formulasearchengine - User contributions [en]

Davisson–Germer experiment

2014-12-07T16:26:48Z

79.241.217.103:

== Eğer bir "para utanç Ray Ban Güneş Gözlükleri ==

"Bir küçük bir adım ..." Ben her ayrıntıyı hatırlıyorum. İki çalışma diyete katı [http://www.kenansahin.com.tr/FileManager/master/publish.asp Ray Ban Güneş Gözlükleri] ekleyerek bebekler artık uyku neden olmadığını belirttiler. Folio numaralandırma genellikle her parçanın başında baştan başlar. 1.. Ama Leakey, nihayet. McCarron ve Alabama nihayet sayılı ET, CBS) Cumartesi bir rakip karşılamak ve Nick Saban, 2007 yılında Alabama'da devraldı beri hiçbir takımı oldukça Kaplanları gibi Alabama ile kilitlendi. Denizanası pet etmeyin. "Onlar kamuoyu ile daha iyi iletişim kurmak için çalışıyoruz," Brian Gendreau, Finans Network, bir Califonia merkezli finansal danışmanlık firması ile piyasa stratejisti diyor. Fly Ters. En iyi liderler, bir iyiliği için karşı ilgi hizalama ve birleştirme yeteneğine sahiptir. Küresel olarak, çiftçiler onları yeryüzünde doğal kaynakların büyük yöneticileri yapar, dünyanın en hizmete arazinin yüzde 50 ve dünyanın en tatlı suyun yüzde 70'i kullanın. Onun küçük motorlar güç eksikliği ve güçlü V8 özellikle [http://www.enroll.com.tr/M/UserControls/haber/editor.php Michael Kors Türkiye] kötü yakıt ekonomisi kapalı ticareti ile birlikte gelir. Eğer bir "para utanç," ya sizi utandıran veya size geçmişte para ele ettik konusunda kötü hissettiren bir şey varsa, o zaman üzerinde taşımak için yıl bu hale. Acer Aspire 5100 Sorun Tanımlama ve Arka Plan Acer Aspire 5100 15.4 "ekran ve 64 bit AMD Turion X2 çift çekirdekli işlemciye sahip. Yoga beynin kapasitesini sokmak süreç olarak başlar ve doğal olarak iyi yaşam sanatı evrilir. Tablo skoru iş arayan her iş ona ne kadar alakalı bir fikir verir. Bu temel sektörlerde toplam yatırım kadar 10 trilyon yuan (veya yaklaşık US $ 1600000000000) olabilir. Orada çok açık bir politika sizin için daha esnek olduğunu soruya doğru veya yanlış cevap değil, ama çok herkes için. Biz [http://www.enroll.com.tr/M/UserControls/duyuru/search.php Nike Air Max 2013] dürüst iseniz, RLX aslında virajlı yollarda gerçekleştirmek için oldukça istekli. Bu ürkütücü sessiz tüm hesaplar tarafından, havada kaldı yuvarlanan; zemin üzerinde olanlar çığlık attı. Kredi puanı mahvetmek için başka bir kolay yolu, kredi kartlarını kullanarak durdurmak için. Bu yüzden ben olduğunu keşfetmek için tam [http://www.galabutikhotel.com/sanaltur/skin/th/state.asp Oakley Güneş Gözlüğü] bir şok oldu! Hemen ben bu durum hakkında elimden geleni öğrenmek için Web baktı. Eğer sert çok az ek emek için size bu kadar ödeyebileceğiniz bir iş bulmak için baskı olurdu.. "Sigortacılar sayacı ve ne kadar sorumlu gösterir çünkü kredi puanı alakalı olduğunu söylüyorlar. Yani sadece yeni bir yere taşındı ve yeni kablo kanca kalkmak için sabırsızlanıyorum? Uyardı: Eğer onların hizmet için kayıt Bazı yüksek hızlı internet ve kablo şirketleri kredi sert bir soruşturma çalışacaktır.<ul>

<li>[http://www.hardstyleforum.at/viewtopic.php?f=52&t=19019 http://www.hardstyleforum.at/viewtopic.php?f=52&t=19019]</li>

<li>[http://bbs.shenghuoqu.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=824344&fromuid=4243 http://bbs.shenghuoqu.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=824344&fromuid=4243]</li>

<li>[http://pppppirn.com/news/html/?211248.html http://pppppirn.com/news/html/?211248.html]</li>

<li>[http://wikilegal.in/index.php?title=User:Lfpjkuuk#Longchamp_.C3.A7anta http://wikilegal.in/index.php?title=User:Lfpjkuuk#Longchamp_.C3.A7anta]</li>

<li>[http://www.ftcw.net/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=15847043 http://www.ftcw.net/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=15847043]</li>

</ul>

== sağlık sistemi ile ilgili Hollister Co ==

(4) Kathy diyor ki: Hiç Toni BERNHART Sick Olmak kitabı okudunuz? O Budist uygulamaları kullanır ve herhangi bir kronik hastalık veya durumun yarattığı zorlukları karşılamak gerekir edenlere ilham CFS ile bir kişidir: semptomların acımasızlığıyla başa çıkma; gelecekle ilgili korku ayrışma; göreli tecrit bir hayat ile yüzleşen; başkalarının yanlış anlama ile karşı karşıya; sağlık sistemi ile ilgili; ve, eş, partner veya diğer bakıcı için, çok beklenmedik yaşam değişiklikleri adapte. Onlar şafak ve alacakaranlıkta etrafında en aktif bulunmaktadır. Dışarı bu bilgilerin tümünü almak için her şeyi kapsayan olmak bizim görevimiz ve ilk bir yıl sonra katlanmış olduğunu hissettim serisi. O 490 metre için 47 resepsiyonlar ve beş touchdown ile birlikte, 1.228 acele metre ve 184 taşır 12 touchdown üretti. 25 Akşam yemeği için, bahsettiğim, [http://www.galabutikhotel.com/sanaltur/plugins/session.asp Hollister Co] oldukça bir yük. Bir çocuk yakalanan veya beşik koruyucu barlar sıkışmış olunca yaralanmalar sadece yüzde 5,5 'oluştu, ama bu tür kazalar ölümlerin başlıca nedeni vardı: Özellikle çarpıcı. Baldwin ve Robertson patladı deli konuşma benign ve samimiyet dedi. En iyi liderler, bir iyiliği için karşı ilgi hizalama ve birleştirme yeteneğine sahiptir. Bu, düz bir bir öğrenci bir kızdı sadece yaklaşık 13 yaşındaydı, benim şehrin varlıklı bir [http://www.kenansahin.com.tr/FileManager/master/publish.asp Ray Ban Wayfarer] bölümünde yaşamış, ve 3 ay içinde uyuşturucu bağımlısı olduğu ve seks ticaretinde çalışmaktadır. Ayrıca test puanları ve puan için hedef ile birlikte gereklidir şirket eğitimi tamamlanmasını içerir. Sen kardeşin için bir işe çalışan, eşiniz için bir geri ovmak vererek, ya da anne için bir dolap temizleme düşünebilirsiniz. Halen bağımsız bir danışman / servis sağlayıcı eğitim ve merkezli çocuk üzerindeki kapasite geliştirme, aile ve toplum travma ve sıkıntı hafifletmeye yardımcı olmak için yaklaşımlar / yöntemler [http://www.galabutikhotel.com/sanaltur/plugins/session.asp Hollister Ankara] odaklı dahil hizmet veren olarak çalışıyor. Bir devlet üniversitesinde benim birinci yıl içinde, benim sınıfların çoğu 300 öğrenci vardı ve ben bir tek profesör karşılamak için fırsat yoktu. Her iki tarafta ya da tavuk ile pişirilir ve suları berrak bitene kadar 8 ila 10 dakika pişirin. İlk birkaç ay Saf TortureI bazen uyku çok düzensiz, bebeklerin çığlıkları öylesine ızgara olduğunu düşünüyorum, ve sadece anne sertleşmesine kadar acı emzirme var. Ancak araştırmalar bu tür bize memelilerin cinsel alışkanlıkları nesilden nesile gelişmeye nasıl bir visseral duygusu verir farkeder.. Iyi, iyi yazılmış yazma, ilgili makaleleri web [http://www.enroll.com.tr/M/UserControls/haber/editor.php Michael Kors Türkiye] sitenize etkinlikle biraz net olabilir. Gerçekten mi? . Gün boyu oturarak ya da bir yerde duran gerginlik kırın.<ul>

<li>[http://www.hlyjq.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1409613 http://www.hlyjq.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1409613]</li>

<li>[http://www.zhongyifukang.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=409212 http://www.zhongyifukang.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=409212]</li>

<li>[http://www.dshengtieyi.com/news/html/?81337.html http://www.dshengtieyi.com/news/html/?81337.html]</li>

<li>[http://web.frf.cc/news/html/?47501.html http://web.frf.cc/news/html/?47501.html]</li>

<li>[http://jz.eeeqi.com/news/html/?79342.html http://jz.eeeqi.com/news/html/?79342.html]</li>

</ul>

== Bizim yeni favori oyun Knew nedir Hollister Gömlek ==

Bizim yeni favori oyun Knew nedir? Bu kartları ve cips ile bir oyun ve gezegen üzerindeki her bir partide oynanmalıdır. Bir huşu uyandıran bir ortamda egzersiz biraz, Seul Kalesi Duvar boyunca sizi Bugaksan dağ parkurları, yürüyüş. Wikipedia "Kişisel bir kişinin etkileşimi geliştirmek nitelikleri, iş performansı ve [http://www.galabutikhotel.com/sanaltur/plugins/session.asp Hollister Gömlek] kariyer olanakları olarak tanımlar. 1.. Ve benim çivi yapmış. Ben böyle bir kaset izlerken bana bebeğim sadece ağlıyor ya da gerçekten zarar olup olmadığını takdir yardımcı olduğunu buldu. Bir an tarih için durdurmak ve bu konuda düşünmek düşmüş güçlü liderleri ile doludur, başarısız, ya da yerini almış olanlar, gasp veya ihanet. Ve ilave şeker veya diğer tatlandırıcılar mutlaka daha fazla dolum elma yapmadan kalori sayısını artırmak. Gerçekten bu ülkede Aborjin kültürünü anlamak için arzuları biri varsa, Avustralya'nın ilk ulus hakkında bilgi edinmek [http://www.enroll.com.tr/M/UserControls/haber/editor.php Michael Kors Cüzdan] için pek çok yolu vardır. Altı ay üçüncü filmin olaylardan sonra, DeLorean Time Machine gizemli Hill Valley [http://www.ymgv.org.tr/FileManager/master/system.asp Longchamp Eşarp] döner. Bu buz kırma ve insanları tanımak için mükemmel bir oyun. Kurslar tıbbi terminoloji, transkripsiyon ve klinik laboratuvar tekniklerini içerir. Bağırıyor ya da onun davranışı için çocuğunuzu cezalandırmak etkili olsaydı, zaten çalışmış olurdu. Bebeğiniz gündüz şekerleme rutin kullanılan almak için yaklaşık bir hafta boyunca her gün bu saatlerde bebeğiniz ile uzanın. Örneğin, bir hedef tarih fon yavaş yavaş [http://www.ymgv.org.tr/FileManager/master/system.asp Longchamp Fiyatları] 25 yıl o hisse senedi yüzde 30 ulaştığında hedef tarih sonrasına kadar azalır hedef tarihte, stoklarında yatırımlarının yüzde 60 tutabilir. Yanlış. Bu evrim, rengi siyah ve beyaz televizyon kayması benzer olacaktır. Somun yağlar. Şeker sabit bir oranda kan dolaşımına girecek şekilde yağ küçük bir miktarı, karbonhidrat bağırsak emilimini yavaşlatır. Dolandırıcıların kimliklerini çalmak Sonra, dolandırıcıların da kurbanlarını 'yıldız kredi puanları nedeniyle kredi kartları için onaylanmış almak için daha olasıdır.. Artı bir öğretmen olarak, yazılı olarak tüm farklılıkları sınıflandırma sinir bozucu alabilirsiniz. Dağıtmamız oluşturun. Bu derste, size insan davranışlarının temelini oluşturan bilişsel süreci hakkında daha fazla öğreneceksiniz. Mesajda, size hitap üniversite bir veya iki özelliği unutmayın. Onlar izlenebilir. Yorumcu kendi kontrolleri oldukça basit rapor ve kaliteli malzeme ile yapılır. İşte kullanımı kolay ve eğlenceli bir strateji konuşmak istiyorum, özellikle eğer bu! Sadece öğrenmek zorunda bilgiler hakkında konuşun. Nispeten az sayıda hastane kanser ve solunum hastalıkları veya böbrek koşulları geniş bir yelpazede çocukların büyükçe numaralarını göreceksiniz.<ul>

<li>[http://jsyccc.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1496799&fromuid=142918 http://jsyccc.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1496799&fromuid=142918]</li>

<li>[http://slabville.com/index.php/blogs/83336/1377249/potasyum-ve-lif-oakley-g-zl-k http://slabville.com/index.php/blogs/83336/1377249/potasyum-ve-lif-oakley-g-zl-k]</li>

<li>[http://www.yinmao.org/forum.php?mod=viewthread&tid=50654 http://www.yinmao.org/forum.php?mod=viewthread&tid=50654]</li>

<li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1893/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1893/]</li>

<li>[http://bbs.eganxian.com/forum.php?mod=viewthread&tid=454214&fromuid=105047 http://bbs.eganxian.com/forum.php?mod=viewthread&tid=454214&fromuid=105047]</li>

</ul>

== faydacı Nike Air Max 2013 ==

Paylaşılan varlığının fikri dil yokluğunda en çok tanınabilir. Onlar [http://www.enroll.com.tr/M/UserControls/duyuru/search.php Nike Air Max 2013] 200'den fazla uçak, yanı sıra MQ 1 Predators ve MQ 9 Orak gibi insansız ISR uçağı kullanır. Onları tüketmeden yakın sırtlan yaralamak bilinmektedir ve sırtlanlar kendi toprakları yaklaşım herhangi aslanlara agresif tepki bu yırtıcı davranışa tepki bilinmektedir. Derrick, faydacı, çelik çerçeve" olarak yapısını sınıflandırır Las Vegas City Metin o zaman bile, yapısı "hiçbir belirgin işlevi hizmet ettiğini", ima ama Las Vegas gibi düz bir toplumda bir "görsel bir dönüm noktası" oldu. Ve biz onları, onların sıkıcı yaşlı anne, aslında bazı çok güzel şeyler hakkında bilmek sürpriz ve etkilendim olmak istiyorum. Aniden durdurma ya da çevrenizdeki koşucular bildirmeden bir yürüyüş yavaşlatmadan diğerleri uyarı olmadan durdurmak ya da etrafında saptırmak olabilir. Birlikte ve sezon tavuk göğsü iki tarafını karıştırın. Bu nedenle, bir katil balina aslında büyük bir dolphin.3 olduğunu varsayabiliriz. Çift Everett bir hediye var kanıtladı için çeviri teknikleri dersleri verildi. Ya Cinq.. Benim "iradeli" [http://www.ymgv.org.tr/FileManager/master/system.asp Longchamp Eşarp] çocuk kesinlikle bir tutum var! Biz de bir web sitesi araştırılmış, ücretsiz ebeveynlik çığlık. Boru hattı, küresel emisyonlarının önemli bir sürücü olacak asla, ama Pierrehumbert ve diğer bazı çevreciler onu öldürerek Cumhurbaşkanı fosil yakıtların rampa aşağı Amerika'nın niyeti konusunda açık bir mesaj göndermek olacağını söylüyorlar. Şey o emin bağlanmak için zor kanıtlayan oluyor,, o gülümsüyor ve görüşmeler sizin için güzel ve kibarca, ama hiç değilse o kadarını çapkın jestleri ve yorumlarınızı dönen değil. Görüştüğümüz duyarlı veliler tüm eller fiziksel ceza sınırlar kapalı olması gerektiğini kabul ediyorum. Eğer okurken, bu noktaya bu yorum okumak için sana bir dakika sürdü Eğer taşındı yaklaşık 30km dönel, 1500km grup içindeki galaksi ve 18.000 km çevresinde güneş sistemi, yörünge boyunca güneşin etrafında gezegen, yörünge boyunca 900km gökada. RLX 5 Serisi kalabalık daha hiç bu kadar biraz daha büyük bir şey istiyorum ama premium sedan tedavisi için [http://www.enroll.com.tr/M/UserControls/duyuru/search.php Nike Air Max] tam ödemek istemeyen kişiler için en cazip görünüyor. Onlar bükülmüş mantığı kullanıyor olabilir, bunlar televizyonda bir binanın yıkılışını görmek ve annenin ofis bina [http://www.ymgv.org.tr/FileManager/master/system.asp Longchamp çanta] gibi düşünüyorum. 1860, popülaritesi rakipsiz spor, Amerika'nın olarak tarif ediliyordu "ulusal bir eğlence." New York (1820 1892) 1845 yılında modern bir beyzbol alanını icat. "Bir boşluk yıl size gitmek istediğiniz ve nasıl gidilir gerekiyor size kim olduğunuzu anlamaya nasıl kararlar, yapmak nasıl, okuldan sonra ne hakkında olduğunu. Bir, her ne kadar sen ve ona olmak için vücudunuzun saat çığlık olduğunda, gündüz mışıl mışıl uyumak zor çünkü.<ul>

<li>[http://www.pseudoclopedia.org/wiki/index.php/User:Fijlpbbq#burada_3K_size_gitar_ALOT_alabilirsiniz._Hollister_G.C3.B6mlek http://www.pseudoclopedia.org/wiki/index.php/User:Fijlpbbq#burada_3K_size_gitar_ALOT_alabilirsiniz._Hollister_G.C3.B6mlek]</li>

<li>[http://www.bbscan.com/news/html/?27424.html http://www.bbscan.com/news/html/?27424.html]</li>

<li>[http://kblzb.com/news/html/?37988.html http://kblzb.com/news/html/?37988.html]</li>

<li>[https://fratpoet.com/activity/p/15256/ https://fratpoet.com/activity/p/15256/]</li>

<li>[http://www.imodium.es/node/360234 http://www.imodium.es/node/360234]</li>

</ul>

Multi-armed bandit

2014-01-26T10:26:36Z

79.241.122.80: Remove obsolete "and".

{{Hatnote|The notation used in this article is explained on the page [[polynomial hierarchy]].}}
In [[computational complexity theory|complexity theory]], the '''Karp–Lipton theorem''' states that if the [[boolean satisfiability problem]] (SAT) can be solved by [[Boolean circuit]]s with a [[polynomial]] number of logic gates, then

:<math>\Pi_2 = \Sigma_2 \,</math> and therefore <math>\mathrm{PH} = \Sigma_2. \,</math>

That is, if we assume that [[NP (complexity)|NP]], the class of nondeterministic polynomial time problems, can be contained in the non-uniform polynomial time complexity class [[P/poly]], then this assumption implies the collapse of the [[polynomial hierarchy]] at its second level. Such a collapse is believed unlikely, so the theorem is generally viewed by complexity theorists as evidence for the nonexistence of polynomial size circuits for SAT or for other [[NP-complete]] problems. A proof that such circuits do not exist would imply that [[P = NP problem|P ≠ NP]]. As P/poly contains all problems solvable in randomized polynomial time ([[P/poly#Adleman's theorem|Adleman's theorem]]), the Karp–Lipton theorem is also evidence that the use of randomization does not lead to polynomial time algorithms for NP-complete problems.

The Karp–Lipton theorem is named after [[Richard M. Karp]] and [[Richard J. Lipton]], who first proved it in 1980. (Their original proof collapsed PH to <math>\Sigma_3</math>, but [[Michael Sipser]] improved it to <math>\Sigma_2</math>.)

Variants of the theorem state that, under the same assumption, '''[[MA (complexity)|MA]]''' = '''AM''', and '''PH''' collapses to '''[[S2P (complexity)|{{nowrap|S{{su|p=P|b=2}}}}]]''' complexity class. There are stronger conclusions possible if PSPACE, or some other complexity classes are assumed to have polynomial-sized circuits; see [[P/poly]]. If NP is assumed to be a subset of BPP (which is a subset of P/poly), then the polynomial hierarchy collapses to BPP.<ref>[[Stathis Zachos|S. Zachos]], Probabilistic quantifiers and games, 1988</ref> If coNP is assumed to be subset of NP/poly, then the polynomial hierarchy collapses to its third level.

== Intuition ==
Suppose that polynomial sized circuits for SAT not only exist, but also that they could be constructed by a polynomial time algorithm. Then this supposition implies that SAT itself could be solved by a polynomial time algorithm that constructs the circuit and then applies it. That is, efficiently constructible circuits for SAT would lead to a stronger collapse, P = NP.

The assumption of the Karp–Lipton theorem, that these circuits exist, is weaker. But it is still possible for an algorithm in the complexity class <math>\Sigma_2</math> to ''guess'' a correct circuit for SAT. The complexity class <math>\Sigma_2</math> describes problems of the form
:<math>\exists x\forall y\;\psi(x,y)</math>
where <math>\psi</math> is any polynomial-time computable predicate. The existential power of the first quantifier in this predicate can be used to guess a correct circuit for SAT, and the universal power of the second quantifier can be used to verify that the circuit is correct. Once this circuit is guessed and verified, the algorithm in class <math>\Sigma_2</math> can use it as a subroutine for solving other problems.

== Self-reducibility ==

To understand the Karp–Lipton proof in more detail, we consider the problem of testing whether a circuit ''c'' is a correct circuit for solving SAT instances of a given size, and show that this circuit testing problem belongs to <math>\Pi_1</math>. That is, there exists a polynomial time computable predicate ''V'' such that ''c'' is a correct circuit if and only if, for all polynomially-bounded ''z'', ''V''(''c'',''z'') is true.

The circuit ''c'' is a correct circuit for SAT if it satisfies two properties:
*For every pair (''s'',''x'') where ''s'' is an instance of SAT and ''x'' is a solution to the instance, ''c''(''s'') must be true
*For every instance ''s'' of SAT for which ''c''(''s'') is true, ''s'' must be solvable.
The first of these two properties is already in the form of problems in class <math>\Pi_1</math>. To verify the second property, we use the ''self-reducibility'' property of SAT.

Self-reducibility describes the phenomenon that, if we can quickly test whether a SAT instance is solvable, we can almost as quickly find an explicit solution to the instance. To find a solution to an instance ''s'', choose one of the Boolean variables ''x'' that is input to ''s'', and make two smaller instances ''s''0 and ''s''1 where ''s''''i'' denotes the formula formed by replacing ''x'' with the constant ''i''. Once these two smaller instances have been constructed, apply the test for solvability to each of them. If one of these two tests returns that the smaller instance is satisfiable, continue solving that instance until a complete solution has been derived.

To use self-reducibility to check the second property of a correct circuit for SAT, we rewrite it as follows:
*For every instance ''s'' of SAT for which ''c''(''s'') is true, the self-reduction procedure described above finds a valid solution to ''s''.

Thus, we can test in <math>\Pi_1</math> whether ''c'' is a valid circuit for solving SAT.

see [[Random self-reducibility]] for more information

== Proof of Karp–Lipton theorem ==
The Karp–Lipton theorem can be restated as a result about Boolean formulas with polynomially-bounded quantifiers. Problems in <math>\Pi_2</math> are described by formulas of this type, with the syntax
:<math>\phi = \forall x \exists y \; \psi(x, y)</math>
where <math>\psi</math> is a polynomial-time computable predicate. The Karp–Lipton theorem states that this type of formula can be transformed in polynomial time into an equivalent formula in which the quantifiers appear in the opposite order; such a formula belongs to <math>\Sigma_2</math>. Note that the subformula
:<math>s(x)=\exists y \; \psi(x, y)</math>
is an instance of SAT. That is, if ''c'' is a valid circuit for SAT, then this subformula is equivalent to the unquantified formula ''c''(''s''(''x'')). Therefore, the full formula for <math>\phi</math> is equivalent (under the assumption that a valid circuit ''c'' exists) to the formula
:<math>\exists c\forall (x,z)\;V(c,z)\wedge c(s(x)) \, </math>
where ''V'' is the formula used to verify that ''c'' really is a valid circuit using self-reducibility, as described above. This equivalent formula has its quantifiers in the opposite order, as desired. Therefore, the Karp–Lipton assumption allows us to transpose the order of existential and universal quantifiers in formulas of this type, showing that <math>\Sigma_2=\Pi_2.</math> Repeating the transposition allows formulas with deeper nesting to be simplified to a form in which they have a single existential quantifier followed by a single universal quantifier, showing that <math>PH=\Sigma_2.</math>

== Another proof and S2P ==
Assume <math>\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}</math>. Thefore, there exists a family of circuits <math>C_n</math> that solves satisfability on input of length ''n''. Using self-reducibility, there exists a family of circuits <math>D_n</math> which outputs a satisfying assignment on true instances.

Suppose ''L'' is a <math>\Pi_2</math> set

:<math>L = \{z : \forall x. \exists y. \phi(x,y,z)\} \, </math>

Since <math>\exists y. \phi(x,y,z)</math> can be considered an instance of SAT (by [[Cook-Levin theorem]]), there exists a circuit <math>D_n</math>, depending on <math>n = |z|</math>, such that the formula defining ''L'' is equivalent to

{{NumBlk|:|<math>\forall x. \phi(x, D_n(x, z), z)</math>|{{EquationRef|1}}}}

Furthermore, the circuit can be guessed with existential quantification:

{{NumBlk|:|<math>\exists D. \forall x. \phi(x, D(x, z), z)</math>|{{EquationRef|2}}}}

Obviously ({{EquationNote|1}}) implies ({{EquationNote|2}}). If (1) is false, then <math>\neg \exists y. \phi(x,y,z)</math>. In this case, no circuit ''D'' can output an assignment making <math>\phi(x, D(x, z), z)\;</math> true.

The proof has shown that a <math>\Pi_2</math> set <math>L</math> is in <math>\Sigma_2</math>.

What more, if the <math>\Pi_2</math> formula is true, then the circuit ''D'' will work against any ''x''. If the <math>\Pi_2</math> formula is false, then ''x'' making the formula (1) false will work against any circuit. This property means a stronger collapse, namely to '''[[S2P (complexity)|S{{su|p=P|b=2}}]]''' complexity class (i.e. <math>\Pi_2 \subseteq \mathsf{S}_2^P \subseteq \Sigma_2</math>). It was observed by Sengupta.<ref>Jin Yi-Cai. <math>S_2^P \subseteq \mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}}</math> [http://pages.cs.wisc.edu/~jyc/papers/S2-j.pdf], section 6</ref>

=== AM = MA ===
A modification<ref>V. Arvind, J. Köbler, [[Uwe Schöning|U. Schöning]], R. Schuler, [http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Papers/ma-am.ps.gz If NP has Polynomial-Size Circuits, then MA = AM]</ref> of the above proof yields

:<math>\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly} \implies \mathsf{AM} = \mathsf{MA}</math>

(see [[Arthur–Merlin protocol]]).

Suppose that ''L'' is in '''AM''', i.e.:
:<math>z \in L \implies \Pr\nolimits_x[\exists y. \phi(x,y,z)] \geq \tfrac{2}{3}</math>
:<math>z \notin L \implies \Pr\nolimits_x[\exists y. \phi(x,y,z)] \leq \tfrac{1}{3}</math>

and as previously rewrite <math>\exists y. \phi(x,y,z)</math> using the circuit <math>D_n</math> that outputs a satisfying assignment if it exists:
:<math>z \in L \implies \Pr\nolimits_x[\phi(x,D_n(x,z),z)] \geq \tfrac{2}{3}</math>
:<math>z \notin L \implies \Pr\nolimits_x[\phi(x,D_n(x,z),z)] \leq \tfrac{1}{3}</math>

Since <math>D_n</math> can be guessed:
:<math>z \in L \implies \exists D. \Pr\nolimits_x[\phi(x,D(x,z),z)] \geq \tfrac{2}{3}</math>
:<math>z \notin L \implies \forall D. \Pr\nolimits_x[\phi(x,D(x,z),z)] \leq \tfrac{1}{3}</math>

which proves <math>L</math> is in the smaller class '''MA'''.

== Application to circuit lower bounds – Kannan's theorem ==
Kannan's theorem<ref>{{cite journal
|first=R.
|last=Kannan
|title=Circuit-size lower bounds and non-reducibility to sparse sets
|journal=Information and Control
|volume=55
|pages=40–56
|year=1982
|doi=10.1016/S0019-9958(82)90382-5}}</ref> states that for any fixed ''k'' there exists a language <math>L</math> in <math>\Sigma_2</math>, which is not in '''SIZE'''(nk) (This is a different statement than <math>\Sigma_2 \not \subseteq \mathsf{P/poly}</math>, which is currently open and states that there exists a single language that is not in '''SIZE'''(nk) for any ''k''). It is a simple [[circuit lower bounds|circuit lower bound]].

Proof outline:

There exists a language <math>L \in \Sigma_4 - \mathsf{SIZE}(n^k)</math> (the proof uses [[Cantor's diagonal argument|diagonalization]] technique). Consider two cases:
* If <math>\mathsf{SAT} \notin \mathsf{P/poly}</math> then <math>\mathsf{SAT} \notin \mathsf{SIZE}(n^k)</math> and theorem is proved.
* If <math>\mathsf{SAT} \in \mathsf{P/poly}</math>, then by Karp–Lipton theorem, <math>\Sigma_4 = \Sigma_2</math> and therefore <math>L \in \Sigma_2 - \mathsf{SIZE}(n^k)</math>.

A stronger version of Karp–Lipton theorem strengthens Kannan's theorem to: for any ''k'', there exists a language <math>L \in \mathsf{S}_2^P - \mathsf{SIZE}(n^k)</math>.

It is also known that '''[[PP (complexity)|PP]]''' is not contained in <math>\mathsf{SIZE}(n^k)</math>, which was proved by Vinodchandran.<ref>N. V. Vinodchandran, [http://www.cse.unl.edu/~vinod/papers/pp.ps A note on the circuit complexity of PP]</ref> Proof:<ref>[[Scott Aaronson|S. Aaronson]], [http://www.scottaaronson.com/papers/subtle.pdf Oracles Are Subtle But Not Malicious]</ref>
* If <math>\mathsf{PP} \not \subseteq \mathsf{P/poly}</math> then <math>\mathsf{PP} \not \subseteq \mathsf{SIZE}(n^k)</math>.
* Otherwise, <math>\mathsf{P^{\sharp P}} \subseteq \mathsf{P/poly}</math>. Since

::<math>\mathsf{P^{\sharp P}} \supseteq \mathsf{PP} \supseteq \mathsf{MA}</math> (by property of [[MA (complexity)|MA]])
::<math>\mathsf{P^{\sharp P}} \supseteq \mathsf{PH} \supseteq \Sigma_2 \supseteq \mathsf{MA}</math> (by [[Toda's theorem]] and property of MA)
::<math>\mathsf{P^{\sharp P}} = \mathsf{MA}</math> (follows from assumption using interactive protocol for permanent, see [[P/poly]])

: the containments are equalities and we get <math>\mathsf{PP} = \Sigma_2 \not \subseteq \mathsf{SIZE}(n^k)</math> by Kannan's theorem.

== References ==
<references/>

*{{citation
| last1 = Karp | first1 = R. M. | author1-link = Richard M. Karp
| last2 = Lipton | first2 = R. J. | author2-link = Richard J. Lipton
| contribution = Some connections between nonuniform and uniform complexity classes
| doi = 10.1145/800141.804678
| pages = 302–309
| title = [[Symposium on Theory of Computing|Proceedings of the Twelfth Annual ACM Symposium on Theory of Computing]]
| year = 1980}}.

*{{citation
| last1 = Karp | first1 = R. M. | author1-link = Richard M. Karp
| last2 = Lipton | first2 = R. J. | author2-link = Richard J. Lipton
| contribution = [http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=ensmat-001:1982:28::331&id=browse&id2=browse5&id3=1 Turing machines that take advice]
| pages = 191–209
| title = L'Enseignement Mathématique
| volume = 28
| year = 1982}}.

{{DEFAULTSORT:Karp-Lipton theorem}}
[[Category:Theorems in computational complexity theory]]