formulasearchengine - User contributions [en]

Essential singularity

2014-12-10T22:34:10Z

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Prüfer domain

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Quantum channel

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We are not seeking compensation for the very few survivor's that may [http://www.matesinconstruction.com.au/flux-system/plugins/resources.asp Pandora Bracelet Australia] still be alive or for their family members. We are asking the federal government to determine the contemporary value of the internees' confiscated wealth, that portion of it that was not returned and stays to the Bank of Canada to this day. And finally, this Monday, we picked up two bins filled with food in the Bellevue College Early Learning Center Daycare Program. In early August the children toured our food bank and were motivated to create posters and encourage their parents to create items for the drive. She was very talented but a buddy of hers found her dead one morning by having an empty bottle of pills. I pointed out more about this in detial on deadjournal. This emphasizes the requirement for appropriate staff training to ensure correct storage, reconstitution and injection. Provided that a correct sterile technique is used, the remaining doses may be kept in the vial at 28C and used for another patient within six hours after reconstitution.. If this email address bounces, then your warning or suspension notice might be posted to your Personal Space. Suspended, returning to h2g2 by creating another account will constitute a further offence and will extend the suspension to the next period, or will result in your bank [http://www.romavilla.com/custom/ordersummary.asp Mbt Shoes] account being closed permanently. Figure 2 Relative Strength Index The relative strength index (RSI) is yet another one of the most used and wellknown momentum indicators in technical analysis. RSI helps to signal overbought and oversold conditions in a security. Guests enjoy [http://www.taoist.org.au/settings/affiliate.asp Nike Free 5.0] our lobby with inviting, flexible spaces to work or relax, complimentary WiFi throughout and easy access to the latest news, weather and airport conditions via our GoBoard. At our onsite Red Bank restaurant, The Bistro Eat. "There is also a set of avid readers, and we have chosen an article limit which allows that fan base to support us directly. On other platforms like the Kindle and Nook, we've had great support from our fans and other interested readers, that has given us confidence for this move.. My snooping is on full force. I personally don't like doing it but I can't stop since i feel so much worse if I don't do it. Heat a skillet over medium heat, convey a little bit of butter in the skillet. Spread the melted butter around with a paper towel or pastry brush. Whether or not they did the poly or not, maybe it's just coincidence but the winning fish this season was only 3.7 pounds. A pleasant [http://www.bellaflora.com.au/settings/maintenance.asp Abercrombie And Fitch Melbourne] fish for Winni but not the 45 pound fish which have been winning in the past years. The traditional "row" garden allows for more space between vegetable plants; however, there is often a lot of space wasted in the row garden. In this kind of garden, go ahead and space your plants as wide apart as possible.Squarefoot gardening uses a grid of 1foot squares placed over a raised bed.<ul>

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Generally, I do not publish entire conversations I've with readers; however, in this instance, I think it will be instructive for the larger audience. This reader, without me even asking, suggested which i share his story. There aren't any such jobs in existence. There are however many legitimate work from home opportunities where small companies hire you online and pay upfront. The process is an international, multiyear effort to revise the accessibility standards for internet sites. Details of the current status of the implementation process are [http://www.romagnolabeefgenetics.com.au/dev/newsletter/graphics/system/permissions.asp Christian Louboutin Australia] at no more this post.. [http://www.matesinconstruction.com.au/flux-system/plugins/resources.asp Pandora Jewelry Australia] Description: Jared Friedman is Scribd's CoFounder/CTO. Other information includes Jared Friedman's email, phone, biography and extension.. Consequently, Buckingham really comes forward as a rock guitar soloist on this disc. His solo albums are more about meticulously crafted guitar overdubs, generally recorded direct and carefully manipulated via analog tape varispeeding. Their booth in the travel show also featured a photo booth where visitors could get a keepsake from the event while imaging exactly what the Italian vacation of their dreams may be like. According to Jennifer and Pasquale "The personal and local touch creates lasting friendships, as opposed to just charter contracts. This is especially the situation when many of the pages need to be updated and changed on a regular basis. It doesn't take much at all for these activities to become overwhelming.. If you are not able to grab that number one listing, you can still create the ultimatum feeling by turning up everywhere your audience is. Eventually the worry that they might be missing something will compel these to visit your site. She is known for both her. May 07, 2013. They allow people actively looking for work in the retail field to include their details to their database. Whenever a [http://www.romavilla.com/custom/ordersummary.asp Mbt Shoes Perth] retailer wants someone for any role, for a small [http://www.gregoryburgessarchitects.com.au/Mobile/Css/style.asp Timberland Boots] fee, they can be given use of that database and find the individual they need.In addition, the best retail agencies give firms the chance to advertise open roles on their website, for a reasonable fee. The reasons why credit may be used by other agencies is that there is a belief that if you have defaulted on other payments, you may not be entirely reliable to repay your monthly insurance amounts. Another way to get around this and find affordable Florida car insurance quotes without a credit check is always to pay the whole amount owed in advance, which eliminates the need for any kind of code of faith with the insurance agents..<ul>

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<li>[http://www.stmarychurchportland.org/katAK http://www.stmarychurchportland.org/katAK]</li>

<li>[http://www.hyjy365.com/hy_bbs/home.php?mod=space&uid=216606 http://www.hyjy365.com/hy_bbs/home.php?mod=space&uid=216606]</li>

</ul>

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Someone on the Sprint HoFo forum told me that it does. But in a thread here, people. The idea is to get them to design and program their very own video games. Specifically, they want to strengthen the science, technology, engineering and math skills of the teenagers playing the game.. Since the publication of THE ORION MYSTERY in [http://www.enginegroup.com.au/news/common.asp Cheap New Balance 574 Australia] February 1994 (see books page) much water has flowed under the bridge. In 1996 Graham Hancock and that i then pursued the quest along with the publication of KEEPER OF GENESIS which took us deep in to the haunting metaphysical questions of the origins of human intellect as well as in hot pursuit of what we have started to term 'the quest for the science of immortality'. Welcome to our site where we have collected recent news and resources for Funny Student Council. Pick a good slogan to look in your high school student campaign. Including local public health agencies, hospitals, clinics, and accountable care organizations over the state. The CMHI works to be inclusive of people and organizations dedicated to ensuring a medical home model that supports a greater delivery of care in Colorado.. Maybe we're all in the same business so we do it slightly differently. Some of the scientists are pretty much writing opinion. Using a spoon, create 4 wells in the vegetables, each about 2 inches across. Crack an egg into each well. If you want I can explain why I believe taking every word in the bible literally would make God a psychopath. In addition, i have met and known a genuine psychopath so I know from experience how a psychopath behaves. Need to know?Canoes are available for hire at R50 per day. An entrance fee is payable in the gates, open from 07:00 to 17:00.. Moulds can release spores which get blown around but bacteria usually grows in moist environments and are slimy, [http://www.bellaflora.com.au/common/update.asp Oakley Sunglasses] making getting airborne difficult. Secondly, if there was such a thing as a 'bacteria magnet' it would be enormously useful in the medical field for drawing bacteria away from the ill and infirmed. Plus, tags are not very specific. While the tagging system is nice, I propose an alternate approach to locating that [http://www.smallbusinesssolutions.qld.gov.au/common/functions.asp Nike Air Max 2013] damn article that you barely remember. Two states, California and New [http://www.glendavishotel.com.au/ximages/class.asp Vibram Five Fingers Melbourne] Jersey, have adopted paid parental leave through their unemployment insurance programs, but state benefits are meager when available. Additionally, states that provide such benefits must increase taxes, putting them in a competitive disadvantage compared with states that don A national policy of paid parental leave is necessary..<ul>

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<li>[http://bbs.liyufx.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=82598 http://bbs.liyufx.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=82598]</li>

<li>[http://www.bbscan.com/news/html/?38699.html http://www.bbscan.com/news/html/?38699.html]</li>

<li>[http://www.mvmgr.com/event/swank-gala#comment-592829 http://www.mvmgr.com/event/swank-gala#comment-592829]</li>

<li>[http://gwxd.vicp.net:8085/forum.php?mod=viewthread&tid=302795 http://gwxd.vicp.net:8085/forum.php?mod=viewthread&tid=302795]</li>

</ul>

Limited-memory BFGS

2014-02-28T00:29:47Z

136.152.142.22: The matrix stored by BFGS approximates the inverse Hessian, not the Hessian. This is noted earlier in this sentence, so this seems to just be a typo.

The author is called Wilber Pegues. Invoicing is my occupation. Some time in the past he chose to reside in North Carolina and he doesn't plan on altering it. To play lacross is the factor I love psychic readings ([http://help.ksu.edu.sa/node/65129 similar web-site]) most of all.

Maximum flow problem

2014-01-29T05:15:56Z

136.152.155.23: /* Solutions */

{{examplefarm|date=March 2010}}
{{Redirect|LXV|the IATA/FAA code|Lake County Airport (Colorado)}}
{{Infobox number
| number = 65
| divisor = 1, 5, 13, 65
}}
'''65''' ('''sixty-five''') is the [[natural number]] following [[64 (number)|64]] and preceding [[66 (number)|66]].

==In mathematics==
'''Sixty-five''' is the 23rd<ref>{{OEIS|A001358}}</ref> [[semiprime]] and the 3rd of the form (5.q)it is an [[octagonal number]]. It is also a [[Cullen number]]. Given 65, the [[Mertens function]] returns [[0 (number)|0]].

'''Sixty-five''' has an [[aliquot sum]] of 19 and is the first composite number in the 19-aliquot tree.

This number is the [[magic constant]] of 5 by 5 normal [[magic square]]:

<math>
\begin{bmatrix}
17 & 24 & 1 & 8 & 15 \\
23 & 5 & 7 & 14 & 16 \\
4 & 6 & 13 & 20 & 22 \\
10 & 12 & 19 & 21 & 3 \\
11 & 18 & 25 & 2 & 9
\end{bmatrix}.
</math>

This number is also the [[magic constant]] of [[Eight queens puzzle|n-Queens Problem]] for n = 5.<ref>{{SloanesRef|sequencenumber= A006003}}</ref>

65 is the smallest integer that can be expressed as a sum of two distinct positive squares in two ways, 65 = 82 + 12 = 72 + 42.

It appears in the [[Padovan sequence]], preceded by the terms 28, 37, 49 (it is the sum of the first two of these).

There are only 65 known [[Euler's idoneal numbers]].

In base 14, 65 is a [[cyclic number]].

65=15+24+33+42+51

65 is the length of the hypotenuse of 4 different [[pythagorean triple|pythagorean triangles]], the lowest number to have more than 2: 652 = 162 + 632 = 332 + 562 = 392 + 522 = 252 + 602. The first two are "primitive", and 65 is the lowest number to be the largest side of more than one such triple.

==In science==
*The [[atomic number]] of [[terbium]], a lanthanide

===Astronomy===
*[[Messier object]] [[Messier 65|M65]], a [[galaxy]] of [[visual magnitude|magnitude]] 10.5 in the [[constellation]] [[Leo (constellation)|Leo]]

*The [[New General Catalogue]] object NGC 65, a [[spiral galaxy]] in the constellation [[Cetus]]

*The [[Saros number]] of the series of [[solar eclipse]]s that began on April 24, 749 [[BCE]], and ended in May 513 [[Common Era|CE]]. The duration of the Saros series 65 was 1262.1 years, and it contained 71 solar eclipses.

*The [[Saros number]] of the series of [[lunar eclipse]]s that began on August 11, 736 [[BCE]], and ended in February 797 [[Common Era|CE]]. The duration of Saros series 65 was 1532.5 years, and it contained 86 lunar eclipses.

==In music==
*"[[65 Love Affair]]", singer Paul Davis' hit song in 1982
*[[Sammy Hagar]] re-recorded his hit "I Can't Drive 55", with the 55 changed to 65, in 2001 for NBC's NASCAR broadcasts to reflect higher speed limits; the song was used from 2001 until 2004 to introduce Budweiser Pole Award winners on NBC and TNT broadcasts
*65 is a commonly used abbreviation for the Sheffield, UK, post-rock band [[65daysofstatic]]
*Referenced in "[[Heroes and Villains]]" by the Beach Boys: "At 60 and 5 / I'm very much alive / I've still got the jive / to survive with the Heroes and Villains"
*[[Odd Future]] group [[MellowHype]] has performed a song entitled "65"

==In other fields==
'''Sixty-five''' is:
*A common [[speed limit]], in miles per hour, on [[Controlled-access highway|expressways]] in many [[U.S. States]], primarily in the eastern and central United States. (In the western United States, a common speed limit is 70 m.p.h., and in some places it is 75 m.p.h.)
*The designation of [[Interstate 65]], the [[Interstate Highway]] that runs from northwestern [[Indiana]] to southmost [[Alabama]]
*[[+65]] is the [[code for international direct dial]] telephone calls to [[Singapore]]
*The traditional age for [[retirement]] in the [[United Kingdom]], [[Germany]], the United States, Canada, and several other countries.
*The [[hull number]] of the U.S. Navy's first nuclear-powered [[aircraft carrier]], the [[USS Enterprise (CVN-65)]]
*65 is the minimum grade or average required to pass an exam, or a class, in some schools.
*The setting of the American classic [[TV series]] ''[[Naked City (TV series)|Naked City]]'' (1958 - 63) was the 65th Precinct in [[New York City]].
*The number of the French department [[Hautes-Pyrénées]]
*65 is commonly used in names of many dishes of [[South India]] cuisine, for instance [[Chicken 65]]
*The [[M-65 Field Jacket|M-65 field jacket]] was commonly worn by American troops during the [[War in Vietnam]]

==In sports==
*[[MotoGP]] rider [[Loris Capirossi]] races with #65

==References==
<references/>

{{Integers|zero}}

[[Category:Integers]]

Orlicz–Pettis theorem

2013-12-14T22:18:00Z

136.152.142.157: /* Orlicz–Pettis theorem for normed spaces */

'''[[Circuit (computer theory)|Circuit]]s over [[natural number]]s''' is a mathematical model used in studying [[computational complexity theory]]. It is a special case of [[circuit (computer theory)|circuit]], the object is a labeled [[directed acyclic graph]] the nodes of which evaluate to sets of natural numbers, the leaves are finite sets, and the gates are set operations or arithmetic operations.

As an [[algorithm]]ic problem, the possible question are to find if a given natural number is an element is in the output node or if two circuits compute the same set. The decidability is still an open question, but there are results on restriction of those circuits. Finding answers to some questions about this model could serve as a proof to many important mathematical conjectures, like [[Goldbach's conjecture]].

== Formal definition ==
An natural number circuit is a [[circuit complexity|circuit]], i.e. a labelled [[directed acyclic graph]] of in-degree at most 2. The nodes of in-degree 0, the leaves, are finite sets of natural numbers, the labels of the nodes of in-degree 1 are −, where <math>\overline{A}=\{x\in\mathbb{N}|x\not\in A\}</math> and the labels of the nodes of in-degree 2 are +, ×, ∪ and ∩, where <math>A+B=\{a+b|a\in A, b\in B\}</math>, <math>A\times B=\{a\times b|a\in A, b\in B\}</math> and ∪ and ∩ with the usual [[Set (mathematics)|set]] meaning.

The subset of circuits which do not use all of the possible labels are also studied.

=== Algorithmic problems ===
One can ask:
*Is a given number ''n'' a member of the output node.
*Is the output node empty, does it contain a specific element, is it equal to <math>\mathbb{N}</math>?
*Is one node is a subset of another.

For circuits which use all the labels, all these problems are equivalent.

==== Proof ====
The first problem is reducible to the second one, by taking the intersection of the output gate and ''n''. Indeed the new output get will be empty if and only if ''n'' was not an element of the former output gate.

The first problem is reducible to the third one, by asking if the node ''n'' is a subset of the output node.

The second problem is reducible to the first one, it suffices to multiply the output gate by 0, then 0 will be in the output gate if and only if the former output gate were not empty.

The third problem is reducible to the second one, checking if A is a subset of B is equivalent to ask if there is an element in <math>A\cap\overline{B}</math>.

=== Restrictions ===
Let O be a subset of {∪,∩,−,+,×}, then we call MC(O) the problem of finding if a natural number is inside the output gate of a circuit the gates' labels of which are in O, and MF(O) the same problem with the added constraint that the circuit must be a [[Tree (graph theory)|tree]].

== Examples ==
* The set of numbers greater than ''n'' is <math>\overline{\{0,\dots,n\}}</math>. In particular <math>\mathbb{N}=\overline{\{\}}</math>
* The set of prime numbers with 0 and 1, ''PRIME' '' is the complement of the numbers who are multiple of 2 natural numbers greater than 2, so it is <math>\overline{\overline{\{0,1\}}\times \overline{\{0,1\}}}</math>
* The set of prime numbers, ''PRIME'' is then PRIME'<math>\cap \overline{\{0,1\}}</math>, the elements of PRIME' greater than 2.
* The set of ''EVEN'' numbers is <math>\mathbb{N}\times \{2\}</math>.

[[Goldbach's conjecture]] asks if there is an even number greater than 2 which is not the sum of two prime numbers, it is natural to rephrase this question by asking if there is an element in <math>EVEN\cap \overline{\{2\}}\cap \overline{PRIMES+PRIMES}</math>.

=== Quickly growing set ===
One difficulty come from the fact that the complement of a finite set is infinite, and computer has got only a finite memory. But even without complementation, one can create [[Double exponential function|double exponential]] number. Let <math>E_0=\{2\}, E_{i+1}=E_i\times E_i</math>, then one can easily prove by induction on <math>i</math> that <math>E_i=\{2^{2^i}\}</math>, indeed <math>E_0=\{2\}=\{2^1\}=\{2^{2^0}\}</math> and by induction <math>E_{i+1}=E_i\times E_i=\{2^{2^i}\}\times\{2^{2^i}\}=\{(2^{2^i})^2\}=\{2^{2^i\times2}\}=\{2^{2^{i+1}}\}</math>.

And even double exponential—sized sets: let <math>S_0=\{0,1,2\}, S_{i+1}=(S_i\times S_i)+S_i</math>, then <math>\{x|0<x<2^{2^i}\}\subset S_i</math>, i.e. <math>S_i</math> contains the <math>2^{2^i}</math> firsts number. Once again this can be proved by induction on <math>i</math>, it is true for <math>S_0</math> by definition and let <math>x\in\{x|0<x<2^{2^{i+1}}\}</math>, dividing <math>x</math> by <math>2^{2^i}</math> we see it can be written as <math>x=2^{2^i}\times d+r</math> where <math>d,r< 2^{2^i}</math>, and by induction, <math>2^{2^i}, d</math> and <math>r</math> are in <math>S_i</math>, so indeed <math>x\in (S_i \times S_i)+ S_i</math>.

Those examples explains why addition and multiplication are enough to create problem of high complexity.

== Complexity results ==

=== Membership problem ===
The membership problem ask if, given an element ''n'' and a circuit, if ''n'' is in the output gate of the circuit.

When the class of authorized gate is restricted, the membership problem lay inside well known complexity classes.

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:80%;"
|+ Complexity
|-
! scope=col | O
! scope=col | MC(O)
! scope=col | MF(O)
|-
! scope=row | ∪,∩,−,+,×
| [[NEXPTIME]]-hard
Decidable with an [[oracle machine|oracle]] for the [[halting problem]]
| [[PSPACE]]-hard
|-
! scope=row | ∪,∩,+,×
| [[NEXPTIME]]-complete
| [[NP-complete]]
|-
! scope=row | ∪,+,×
| [[PSPACE]]-complete
| [[NP-complete]]
|-
! scope=row | ∩,+,×
| [[P (complexity)|P]]-hard, in co-R
| [[LOGCFL]]
|-
! scope=row | +,×
| [[P (complexity)|P]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ∪,∩,−,+
| [[PSPACE]]-complete
| [[PSPACE]]-complete
|-
! scope=row | ∪,∩,+
| [[PSPACE]]-complete
| [[NP-complete]]
|-
! scope=row | ∪,+
| [[NP-complete]]
| [[NP-complete]]
|-
! scope=row | ∩,+
| [[CL (complexity)|C=L]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | +
| [[CL (complexity)|C=L]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ∪,∩,−,×
| [[PSPACE]]-complete
| [[PSPACE]]-complete
|-
! scope=row | ∪,∩,×
| [[PSPACE]]-complete
| [[NP-complete]]
|-
! scope=row | ∪,×
| [[NP-complete]]
| [[NP-complete]]
|-
! scope=row | ∩,×
| [[CL (complexity)|C=L]]-hard, in [[P (complexity)|P]]
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ×
| [[NL (complexity)|NL]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ∪,∩,−
| [[P (complexity)|P]]-complete
| [[NC (complexity)|NC1]]-complete
|-
! scope=row | ∪,∩
| [[P (complexity)|P]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ∪
| [[NL (complexity)|NL]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ∩
| [[NL (complexity)|NL]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|}

=== Equivalence problem ===
The equivalence problem ask if, given two gates of a circuits, they evaluate to the same set.

When the class of authorized gate is restricted, the equivalence problem lay inside well known complexity classes.<ref>
{{Citation
| author = Christian Glaßer, Katrin Herr, Christian Reitwießner, Stephen Travers and Matthias Waldherr
| title = Equivalence Problems for Circuits over Sets of Natural Numbers
| journal = Lecture Notes in Computer Science
| volume = Volume 4649/2007
| edition= (what is called "number" in bibtex)
| year = 2007
| isbn = 978-3-540-74509-9
| pages =127–138
| doi =10.1007/978-3-540-74510-5
| publisher = Springer
| place = Berlin / Heidelberg
| url = http://www.springerlink.com/content/c007kk787054v746/
}}
</ref> We call EC(O) and EF(O) the problem of equivalence over circuits and formulae the gate of which are in O.

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:80%;"
|+ Complexity
|-
! scope=col | O
! scope=col | EC(O)
! scope=col | EF(O)
|-
! scope=row | ∪,∩,−,+,×
| [[NEXPTIME]]-hard
Decidable with an [[oracle machine|oracle]] for the [[halting problem]]
| [[PSPACE]]-hard
Decidable with an [[oracle machine|oracle]] for the [[halting problem]]
|-
! scope=row | ∪,∩,+,×
| [[NEXPTIME]]-hard, in co[[NEXPTIME|NEXP]][[NP (complexity)|NP]]
| [[Polynomial hierarchy|ΠP2]]-complete
|-
! scope=row | ∪,+,×
| [[NEXPTIME]]-hard, in co[[NEXPTIME|NEXP]][[NP (complexity)|NP]]
| [[Polynomial hierarchy|ΠP2]]-complete
|-
! scope=row | ∩,+,×
| [[P (complexity)|P]]-hard, in [[Bounded-error probabilistic polynomial|BPP]]
| [[L (complexity)|L]]-hard, in [[LOGCFL]]
|-
! scope=row | +,×
| [[L (complexity)|L]]-hard, in [[LOGCFL]]
| [[P (complexity)|P]]-hard, in co[[RP (complexity)|RP]]
|-
! scope=row | ∪,∩,−,+
| [[PSPACE]]-complete
| [[PSPACE]]-complete
|-
! scope=row | ∪,∩,+
| [[PSPACE]]-complete
| [[Polynomial hierarchy|ΠP2]]-complete
|-
! scope=row | ∪,+
| [[Polynomial hierarchy|ΠP2]]-complete
| [[Polynomial hierarchy|ΠP2]]-complete
|-
! scope=row | ∩,+
| co[[CL (complexity)|C=L]](2)-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | +
| [[CL (complexity)|C=L]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ∪,∩,−,×
| [[PSPACE]]-complete
| [[PSPACE]]-complete
|-
! scope=row | ∪,∩,×
| [[PSPACE]]-complete
| [[Polynomial hierarchy|ΠP2]]-complete
|-
! scope=row | ∪,×
| [[Polynomial hierarchy|ΠP2]]-complete
| [[Polynomial hierarchy|ΠP2]]-complete
|-
! scope=row | ∩,×
| co[[CL (complexity)|C=L]](2)-hard, in [[P (complexity)|P]]
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ×
| [[CL (complexity)|C=L]]-hared, in [[P (complexity)|P]]
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ∪,∩,−
| [[P (complexity)|P]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ∪,∩
| [[P (complexity)|P]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ∪
| [[NL (complexity)|NL]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|-
! scope=row | ∩
| [[NL (complexity)|NL]]-complete
| [[L (complexity)|L]]-complete
|}

== References ==
{{Reflist}}
*{{Citation
| last = Travers
| first =Stephen
| year =2006
| title =The Complexity of Membership Problems for Circuits over Sets of Natural Numbers
| publisher=Theoretical Computer Science
| volume =389
| issue =1
| pages =211–229
| url =http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1238761
| issn =0304-3975
| ref=travers
}}

*{{Citation
| author = Pierre McKenzie and Klaus W. Wagner
| title = The Complexity of Membership Problems for Circuits over Sets of Natural Numbers
| journal = Lecture Notes In Computer Science
| volume = 2607
| year = 2003
| isbn =3-540-00623-0
| pages =571–582
| publisher = Springer-Verlag
| url = http://portal.acm.org/citation.cfm?id=646517.696311
}}

== External links ==
* Pierre McKenzie, [http://www.iro.umontreal.ca/~mckenzie/Dagstuhl02.pdf The complexity of circuit evaluation over the natural numbers]

[[Category:Computational complexity theory]]
[[Category:Arithmetic]]

Loss function

2013-11-20T01:35:28Z

136.152.142.5:

{{Multiple issues|confusing=July 2009|tone=July 2009}}
An important kind of problem in [[quantum mechanics]] is that of a particle in a '''spherically symmetric potential''', i.e., a potential that depends only on the distance between the particle and a defined center point. In particular, if the particle in question is an electron and the potential is derived from [[Coulomb's law]], then the problem can be used to describe a hydrogen-like (one-electron) atom (or ion).

In the general case, the dynamics of a particle in a spherically symmetric potential are governed by a [[Hamiltonian (quantum mechanics)|Hamiltonian]] of the following form:

:<math>\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m_0} + V(r)</math>

where <math>m_0</math> is the mass of the particle, <math>\hat{p}</math> is the momentum operator, and the potential <math>V(r)</math> depends only on <math>r</math>, the modulus of the radius vector '''r'''. The [[quantum mechanical]] wavefunctions and energies (eigenvalues) are found by solving the [[Schrödinger equation]] with this Hamiltonian. Due to the spherical symmetry of the system, it is natural to use [[spherical coordinates]] <math>r</math>, <math>\theta</math> and <math>\phi</math>. When this is done, the time-independent [[Schrödinger equation]] for the system is [[separation of variables|separable]], allowing the angular problems to be dealt with easily, and leaving an ordinary differential equation in <math>r</math> to determine the energies for the particular potential <math>V(r)</math> under discussion.

== Structure of the eigenfunctions ==

The [[eigenfunction]]s of the [[Schrödinger equation]] have the form
:<math>\psi(r, \theta, \phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \,\;</math>
in which the [[spherical angle|spherical polar angles]] θ and φ represent the [[colatitude]] and [[azimuth]]al angle, respectively. The last two factors of ψ are often grouped together as [[spherical harmonics]], so that the eigenfunctions take the form
:<math>\psi(r, \theta, \phi) = R(r)Y_{lm}(\theta,\phi).\,</math>

The differential equation which characterizes the function <math>R(r) \,\;</math> is called the '''radial equation'''.

== Derivation of the radial equation ==

The kinetic energy operator in [[spherical coordinates|spherical polar coordinates]] is
:<math>
\frac{\hat{p}^2}{2m_0} = -\frac{\hbar^2}{2m_0} \nabla^2 =
- \frac{\hbar^2}{2m_0\,r^2}\left[ \frac{\partial}{\partial r}\Big(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\Big) - \hat{l}^2 \right].
</math>
The [[spherical harmonics]] satisfy
:<math>
\hat{l}^2 Y_{lm}(\theta,\phi)\equiv \left\{ -\frac{1}{\sin^2\theta} \left[
\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \Big(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\Big)
+\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]\right\} Y_{lm}(\theta,\phi)
= l(l+1)Y_{lm}(\theta,\phi).</math>

Substituting this into the [[Schrödinger equation]] we get a one-dimensional eigenvalue equation,
:<math>\left \{ - {\hbar^2 \over 2m_0 r^2} {d\over dr}\left(r^2{d\over dr}\right) +{\hbar^2 l(l+1)\over 2m_0r^2}+V(r) \right \} R(r)=ER(r).</math>

=== Relationship with 1-D Schrödinger equation ===
Note that the first term in the kinetic energy can be rewritten

:<math> T_r\equiv \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}r^2\frac{d}{dr} = \frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}r.</math>

If subsequently the substitution <math>u(r)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ rR(r)</math> is made into

:<math> - {\hbar^2 \over 2m_0 r} {d^2 \over dr^2}\left(r R(r)\right) +{\hbar^2 l(l+1)\over 2m_0r^2}R(r)+V(r) R(r)=ER(r),</math>

the radial equation becomes

:<math> - {\hbar^2 \over 2m_0} {d^2 u \over dr^2} + V_{\mathrm{eff}}(r) u(r) = E u(r)</math>

which is precisely a Schrödinger equation for the function ''u(r)'' with an effective potential given by

:<math> V_{\mathrm{eff}}(r) = V(r) + {\hbar^2l(l+1) \over 2m_0r^2},</math>

where the radial coordinate ''r'' ranges from 0 to <math>\infty</math>. The correction to the potential ''V''(''r'') is called the '''centrifugal barrier term'''.

== Solutions for potentials of interest ==
Five special cases arise, of special importance:
#''V''(''r'') = 0, or solving the vacuum in the basis of [[spherical harmonic]]s, which serves as the basis for other cases.
#<math>V(r)=V_0</math> (finite) for <math>r<r_0</math> and 0 elsewhere, or a particle in the spherical equivalent of the [[Particle in a box|square well]], useful to describe [[scattering state|scattering]] and [[bound state]]s in a [[atomic nucleus|nucleus]] or quantum dot.
# As the previous case, but with an infinitely high jump in the potential on the surface of the sphere.
#''V''(''r'') ~ ''r''2 for the three-dimensional isotropic harmonic oscillator.
#''V''(''r'') ~ 1/''r'' to describe bound states of [[hydrogen-like atom]]s.

We outline the solutions in these cases, which should be compared to their counterparts in [[cartesian coordinates]], cf. [[particle in a box]]. This article relies heavily on [[Bessel function]]s and [[Laguerre polynomial]]s.

=== Vacuum case ===

Let us now consider ''V''(''r'') = 0 (if <math>V_0</math>, replace everywhere ''E'' with <math>E-V_0</math>). Introducing the dimensionless variable

:<math>\rho\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ kr, \qquad k\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{2m_0E\over\hbar^2}</math>

the equation becomes a Bessel equation for ''J'' defined by <math>J(\rho)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt\rho R(r)</math> (whence the notational choice of ''J''):

:<math>\rho^2{d^2J\over d\rho^2}+\rho{dJ\over d\rho}+\left[\rho^2-\left(l+\frac{1}{2}\right)^2\right]J=0</math>

which regular solutions for positive energies are given by so-called [[Bessel_function#Bessel_functions_of_the_first_kind_:_J.CE.B1|''Bessel functions of the first kind']] <math>J_{l+1/2}(\rho)</math> so that the solutions written for ''R'' are the so-called [[Bessel_function#Spherical_Bessel_functions:_jn.2C_yn|''Spherical Bessel function'']]
<math>R(r) = j_l(kr) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\pi/(2kr)} J_{l+1/2}(kr)</math>.

The solutions of Schrödinger equation in polar coordinates for a particle of mass <math>m_0</math> in vacuum are labelled by three quantum numbers: discrete indices ''l'' and ''m'', and ''k'' varying continuously in <math>[0,\infty)</math>:
:<math>\psi(\mathbf{r})=j_l(kr)Y_{lm}(\theta,\phi)</math>
where <math>k\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{2m_0E}/\hbar</math>, <math>j_l</math> are the spherical Bessel function and <math>Y_{lm}</math> are the spherical harmonics.

These solutions represent states of definite angular momentum, rather than of definite (linear) momentum, which are provided by plane waves <math>\exp(i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r})</math>.

=== Sphere with square potential===

Let us now consider the potential <math>V(r)=V_0</math> for <math>r<r_0</math> and <math>V(r)=0</math> elsewhere. That is, inside a sphere of radius <math>r_0</math> the potential is equal to ''V''0 and it is zero outside the sphere. A potential with such a finite discontinuity is called a ''square potential.''<ref name ="Messiah">A. Messiah, ''Quantum Mechanics'', vol. I, p. 78, North Holland Publishing Company, Amsterdam (1967). Translation from the French by G.M. Temmer</ref>

We first consider bound states, i.e., states which display the particle mostly inside the box (confined states). Those have an energy ''E'' less than the potential outside the sphere, i.e., they have negative energy, and we shall see that there are a discrete number of such states, which we shall compare to positive energy with a continuous spectrum, describing scattering on the sphere (of unbound states). Also worth noticing is that unlike Coulomb potential, featuring an infinite number of discrete bound states, the spherical square well has only a finite (if any) number because of its finite range (if it has finite depth).

The resolution essentially follows that of the vacuum with normalization of the total wavefunction added, solving two Schrödinger equations — inside and outside the sphere — of the previous kind, i.e., with constant potential. Also the following constraints hold:
#The wavefunction must be regular at the origin.
#The wavefunction and its derivative must be continuous at the potential discontinuity.
#The wavefunction must converge at infinity.

The first constraint comes from the fact that [[Bessel function#Bessel functions of the second kind|Neumann ''N'']] and [[Bessel function#Hankel functions|Hankel ''H'' functions]] are singular at the origin. The physical argument that ''ψ'' must be defined everywhere selected [[Bessel function#Bessel functions of the first kind|Bessel function of the first kind ''J'']] over the other possibilities in the vacuum case. For the same reason, the solution will be of this kind inside the sphere:

:<math>R(r)=Aj_l\left(\sqrt{2m_0(E-V_0)\over\hbar^2}r\right),\qquad r<r_0</math>

with ''A'' a constant to be determined later. Note that for bound states, <math>V_0<E<0</math>.

Bound states bring the novelty as compared to the vacuum case that ''E'' is now negative (in the vacuum it was to be positive). This, along with third constraint, selects Hankel function of the first kind as the only converging solution at infinity (the singularity at the origin of these functions does not matter since we are now outside the sphere):

:<math>R(r)=Bh^{(1)}_l\left(i\sqrt{-2m_0E\over\hbar^2}r\right),\qquad r>r_0</math>

Second constraint on continuity of ψ at <math>r=r_0</math> along with normalization allows the determination of constants ''A'' and ''B''. Continuity of the derivative (or [[logarithmic derivative]] for convenience) requires quantization of energy.

=== Sphere with infinite square potential ===

In case where the potential well is infinitely deep, so that we can take <math>V_0=0</math> inside the sphere and <math>\infty</math> outside, the problem becomes that of matching the wavefunction inside the sphere (the spherical Bessel functions) with identically zero wavefunction outside the sphere. Allowed energies are those for which the radial wavefunction vanishes at the boundary. Thus, we use the zeros of the spherical Bessel functions to find the energy spectrum and wavefunctions. Calling <math>u_{l,k}</math> the ''k''th zero of <math>j_l</math>, we have:

:<math>E_{kl}={u_{l,k}^2\hbar^2\over2m_0r_0^2}</math>

So that one is reduced to the computations of these zeros <math>u_{l,k}</math>, typically by using a table or calculator, as these zeros are not solvable for the general case.

In the special case <math>l = 0</math> (spherical symmetric orbitals), the spherical Bessel function is <math>j_0(x)=\frac{\sin x} {x}</math>, which zeros can be easily given as <math>u_{0,k} = k \pi</math>. Their energy eigenvalues are thus:

:<math>E_{k0}={(k \pi)^2\hbar^2\over2m_0r_0^2}={k^2h^2\over8m_0r_0^2}</math>

=== 3D isotropic harmonic oscillator ===
The potential of a [[Quantum harmonic oscillator#Example: 3D isotropic harmonic oscillator|3D isotropic harmonic oscillator]] is
:<math> V(r) = \frac{1}{2} m_0 \omega^2 r^2. </math>
In [[Quantum harmonic oscillator#N-dimensional harmonic oscillator|this article]] it is shown that an ''N''-dimensional isotropic harmonic oscillator has the energies

:<math>E_n = \hbar \omega( n + \frac{N}{2})\quad\hbox{with}\quad n=0,1,\ldots,\infty,
</math>

i.e., ''n'' is a non-negative integral number; ω is the (same) fundamental frequency of the ''N'' modes of the oscillator. In this case ''N'' = 3, so that the radial Schrödinger equation becomes,

:<math>
\left[-{\hbar^2 \over 2m_0} {d^2 \over dr^2} + {\hbar^2l(l+1) \over 2m_0r^2}+\frac{1}{2} m_0 \omega^2 r^2 - \hbar\omega(n+\frac{3}{2}) \right] u(r) = 0.
</math>

Introducing

:<math>\gamma \equiv \frac{m_0\omega}{\hbar}</math>

and recalling that <math>u(r) = r R(r)\,</math>, we will show that the radial Schrödinger equation has the normalized solution,

:<math>
R_{n,l}(r) =N_{nl} \, r^{l} \, e^{-\frac{1}{2}\gamma r^2}\; L^{(l+\frac{1}{2})}_{\frac{1}{2}(n-l)}(\gamma r^2),
</math>

where the function <math>L^{(\alpha)}_k(\gamma r^2)</math> is a [[Laguerre polynomials#Generalized Laguerre polynomials|generalized Laguerre polynomial]] in ''γr''2 of order ''k'' (i.e., the highest power of the polynomial is proportional to ''γ''''k''''r''2''k'').

The normalization constant ''Nnl'' is,

:<math>
N_{nl} = \left[\frac{ 2^{n+l+2} \,\gamma^{l+\frac{3}{2}} } {\pi^{\frac{1}{2}}}
\right]^{\frac{1}{2}}
\left[\frac{ [\frac{1}{2}(n-l)]!\;[\frac{1}{2}(n+l)]!}{(n+l+1)!}
\right]^{\frac{1}{2}} .
</math>

The eigenfunction ''Rn,l(r)'' belongs to energy ''En'' and is to be multiplied by the spherical harmonic <math>Y_{lm}(\theta, \phi)\,</math>, where

:<math> l = n, n-2, \ldots, l_\min\quad
\hbox{with}\quad l_\min =
\begin{cases}
1 & \mathrm{if}\; n\; \mathrm{odd} \\
0 & \mathrm{if}\; n\; \mathrm{even}
\end{cases}
</math>

This is the same result as given in [[Quantum harmonic oscillator#Example: 3D isotropic harmonic oscillator|this article]] if we realize that <math>\gamma = 2 \nu\,</math>.

==== Derivation ====
First we transform the radial equation by a few successive substitutions to the generalized Laguerre differential equation, which has known solutions: the generalized Laguerre functions.
Then we normalize the generalized Laguerre functions to unity. This normalization is with
the usual volume element ''r''2 d''r''.

First we [[nondimensionalization|scale]] the radial coordinate

:<math>y = \sqrt{\gamma}r \quad \hbox{with}\quad \gamma \equiv \frac{m_0\omega}{\hbar},</math>

and then the equation becomes

:<math>\left[{d^2 \over dy^2} - {l(l+1) \over y^2} - y^2 + 2n - 3 \right] v(y) = 0 </math>

with <math>v(y) = u \left(y / \sqrt{\gamma} \right)</math>.

Consideration of the limiting behaviour of ''v''(''y'') at the origin and at infinity suggests the following substitution for ''v''(''y''),
:<math>v(y) = y^{l+1} e^{-y^2/2} f(y).</math>
This substitution transforms the differential equation to

:<math>\left[{d^2 \over dy^2} + 2 \left(\frac{l+1}{y}-y\right)\frac{d}{dy} + 2n - 2l \right] f(y) = 0,</math>

where we divided through with <math>y^{l+1} e^{-y^2/2}</math>, which can be done so long as ''y'' is not zero.

===== Transformation to Laguerre polynomials =====
If the substitution <math>x = y^2\,</math> is used, <math>y = \sqrt{x}</math>, and the differential operators become

:<math>\frac{d}{dy} = \frac{dx}{dy}\frac{d}{dx} = 2 y \frac{d}{dx} = 2 \sqrt{x} \frac{d}{dx}, \text{ and }</math>
:<math>\frac{d^2}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( 2 y \frac{d}{dx} \right) = 4 x \frac{d^2}{dx^2} + 2 \frac{d}{dx}. </math>

The expression between the square brackets multiplying ''f''(''y'') becomes the differential equation characterizing the generalized [[Laguerre polynomials#Generalized Laguerre polynomials|Laguerre equation]] (see also [[Confluent hypergeometric function#Kummer.27s equation|Kummer's equation]]):

:<math>x\frac{d^2g}{dx^2} + \Big( (l+\frac{1}{2}) + 1 - x\Big) \frac{dg}{dx} + \frac{1}{2}(n-l) g(x) = 0</math>
with <math>g(x) \equiv f(\sqrt{x}) \,\;</math>.

Provided <math>k \equiv (n-l)/2 \,</math> is a non-negative integral number, the solutions of
this equations are generalized (associated) [[Laguerre polynomials]]

:<math> g(x) = L_k^{(l+\frac{1}{2})}(x).</math>

From the conditions on ''k'' follows: (i) <math>n \ge l\,</math> and (ii) ''n'' and ''l'' are either both odd or both even. This leads to the condition on ''l'' given above.

===== Recovery of the normalized radial wavefunction =====
Remembering that <math>u(r) = r R(r)\,</math>, we get the normalized radial solution
:<math>
R_{n,l}(r) =N_{nl} \, r^{l} \, e^{-\frac{1}{2}\gamma r^2}\; L^{(l+\frac{1}{2})}_{\frac{1}{2}(n-l)}(\gamma r^2).
</math>

The normalization condition for the radial wavefunction is

:<math>\int^\infty_0 r^2 |R(r)|^2 \, dr = 1.</math>

Substituting <math>q = \gamma r^2 \,\;</math>, gives <math>dq = 2 \gamma r \, dr \,\;</math> and the equation becomes

:<math>\frac{N^2_{nl}}{2\gamma^{l+{3 \over 2}}}
\int^\infty_0 q^{l + {1 \over 2}} e^{-q} \left [ L^{(l+\frac{1}{2})}_{\frac{1}{2}(n-l)}(q) \right ]^2 \, dq = 1.</math>

By making use of the [[Laguerre polynomials#Generalized Laguerre polynomials|orthogonality properties]] of the generalized Laguerre polynomials, this equation simplifies to
:<math>\frac{N^2_{nl}}{2\gamma^{l+{3 \over 2}}} \cdot \frac{\Gamma[\frac{1}{2}(n+l+1)+1]}{[\frac{1}{2}(n-l)]!} = 1.</math>

Hence, the [[normalization constant]] can be expressed as

:<math>N_{nl} = \sqrt{\frac{2 \, \gamma^{l+{3\over 2}} \, (\frac{n-l}{2})! }{\Gamma(\frac{n+l}{2}+\frac{3}{2})}} </math>

Other forms of the normalization constant can be derived by using [[Gamma function#Properties|properties of the gamma function]], while noting that ''n'' and ''l'' are both of the same parity. This means that ''n'' + ''l'' is always even, so that the gamma function becomes

:<math>\Gamma \left[{1 \over 2} + \left( \frac{n+l}{2} + 1 \right) \right]
= \frac{\sqrt{\pi}(n+l+1)!!}{2^{\frac{n+l}{2}+1}} = \frac{\sqrt{\pi}(n+l+1)!}{2^{n+l+1}[\frac{1}{2}(n+l)]!},</math>

where we used the definition of the [[double factorial]]. Hence, the normalization constant is also given by

:<math> N_{nl} = \left [ \frac{2^{n+l+2} \,\gamma^{l+{3 \over 2}}\,[{1 \over 2}(n-l)]!\;[{1 \over 2}(n+l)]!}{\;\pi^{1 \over 2} (n+l+1)! } \right ]^{1 \over 2}
= \sqrt{2} \left( \frac{\gamma}{\pi} \right )^{1 \over 4} \,({2 \gamma})^{\ell \over 2} \, \sqrt{\frac{2 \gamma (n-l)!!}{(n+l+1)!!}}
.</math>

=== Hydrogen-like atoms ===
{{main|hydrogen-like atom}}

A hydrogenic (hydrogen-like) atom is a two-particle system consisting of a nucleus and an electron. The two particles interact through the potential given by [[Coulomb's law]]:

:<math>V(r) = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r}</math>

where
* ε0 is the [[Permittivity#Vacuum permittivity|permittivity]] of the vacuum,
* ''Z'' is the [[atomic number]] (''eZ'' is the charge of the nucleus),
* ''e'' is the [[elementary charge]] (charge of the electron),
* ''r'' is the distance between the electron and the nucleus.

The mass ''m''0, introduced above, is the [[reduced mass]] of the system. Because the electron mass is about 1836 smaller than the mass of the lightest nucleus (the proton), the value of ''m''0 is very close to the mass of the electron ''m''e for all hydrogenic atoms. In the remaining of the article we make the approximation
''m''0 = ''m''e. Since ''m''e will appear explicitly in the formulas it will be easy to correct for this approximation if necessary.

In order to simplify the Schrödinger equation, we introduce the following constants that define the [[atomic unit]] of energy and length, respectively,

:<math> E_\textrm{h} = m_\textrm{e} \left( \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar}\right)^2 \quad\hbox{and}\quad
a_{0} = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{m_\textrm{e} e^2}}. </math>

Substitute <math> y = Zr/a_0\,</math> and <math>W = E/(Z^2 E_\textrm{h})\,</math> into the radial Schrödinger equation given above. This gives an equation in which all natural constants are hidden,
:<math> \left[ -\frac{1}{2} \frac{d^2}{dy^2} + \frac{1}{2} \frac{l(l+1)}{y^2} - \frac{1}{y}\right] u_l = W u_l .
</math>
Two classes of solutions of this equation exist: (i) ''W'' is negative, the corresponding eigenfunctions are square integrable and the values of ''W'' are quantized (discrete spectrum).
(ii) ''W'' is non-negative. Every real non-negative value of ''W'' is physically allowed (continuous spectrum), the corresponding eigenfunctions are non-square integrable. In the remaining part of this article only class (i) solutions will be considered. The wavefunctions are known as [[bound state]]s, in contrast to the class (ii) solutions that are known as ''scattering states''.

For negative ''W'' the quantity <math>\alpha \equiv 2\sqrt{-2W}</math> is real and positive. The scaling of ''y'', i.e., substitution of <math>x \equiv \alpha y </math> gives the Schrödinger equation:

:<math>
\left[ \frac{d^2}{dx^2} -\frac{l(l+1)}{x^2}+\frac{2}{\alpha x} - \frac{1}{4} \right] u_l = 0,
\quad \text{with } x \ge 0.
</math>

For <math> x \rightarrow \infty</math> the inverse powers of ''x'' are negligible and a solution for large ''x'' is <math>\exp[-x/2]</math>. The other solution, <math>\exp[x/2]</math>, is physically non-acceptable. For <math> x \rightarrow 0</math> the inverse square power dominates and a solution for small ''x'' is ''x''''l''+1. The other solution, ''x''-''l'', is physically non-acceptable.
Hence, to obtain a full range solution we substitute

:<math>
u_l(x) = x^{l+1} e^{-x/2}f_l(x).\,
</math>

The equation for ''f''''l''(''x'') becomes,

:<math>
\left[ x\frac{d^2}{dx^2} + (2l+2-x) \frac{d}{dx} +(\nu -l-1)\right] f_l(x) = 0 \quad\hbox{with}\quad \nu = (-2W)^{-\frac{1}{2}}.
</math>

Provided <math>\nu-l-1</math> is a non-negative integer, say ''k'', this equation has polynomial solutions written as

:<math>
L^{(2l+1)}_{k}(x),\qquad k=0,1,\ldots ,
</math>

which are [[Laguerre polynomials#Generalized Laguerre polynomials|generalized Laguerre polynomials]] of order ''k''. We will take the convention for generalized Laguerre polynomials
of Abramowitz and Stegun.<ref>{{Abramowitz_Stegun_ref|22|775}}</ref>
Note that the Laguerre polynomials given in many quantum mechanical textbooks, for instance the book of Messiah,<ref name="Messiah" /> are those of Abramowitz and Stegun multiplied by a factor (''2l+1+k'')! The definition given [[Laguerre polynomials#Generalized Laguerre polynomials|in this Wikipedia article]] coincides with the one of Abramowitz and Stegun.

The energy becomes

:<math> W = -\frac{1}{2n^2}\quad \hbox{with}\quad n \equiv k+l+1 . </math>

The [[principal quantum number]] ''n'' satisfies <math> n \ge l+1</math>, or <math> l \le n-1</math>.
Since <math>\alpha = 2/n</math>, the total radial wavefunction is

:<math>
R_{nl}(r) = N_{nl} \left(\frac{2Zr}{na_0}\right)^{l}\; e^{-{\textstyle \frac{Zr}{na_0}}}\; L^{(2l+1)}_{n-l-1}\left(\frac{2Zr}{na_0}\right),
</math>

with normalization constant
:<math>N_{nl} = \left[\left(\frac{2Z}{na_0}\right)^3 \cdot \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3}\right]^{1 \over 2}</math>

which belongs to the energy
:<math> E = - \frac{Z^2}{2n^2}E_\textrm{h},\qquad n=1,2,\ldots .
</math>

In the computation of the normalization constant use was made of the integral
<ref>H. Margenau and G. M. Murphy, ''The Mathematics of Physics and Chemistry'', Van Nostrand, 2nd edition (1956), p. 130. Note that convention of the Laguerre polynomial in this book differs from the present one. If we indicate the Laguerre in the definition of Margenau and Murphy with a bar on top, we have <math>\bar{L}^{(k)}_{n+k} = (-1)^k (n+k)! L^{(k)}_n</math>.
</ref>

:<math>
\int_0^\infty x^{2l+2} e^{-x} \left[ L^{(2l+1)}_{n-l-1}(x)\right]^2 dx =
\frac{2n (n+l)!}{(n-l-1)!} .
</math>

==References==
<references />

* {{Cite book |title=Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators |author= Gerald Teschl |authorlink= Gerald Teschl |publisher= American Mathematical Society |year=2009 |url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |isbn=9780821846605 }}

{{DEFAULTSORT:Particle In A Spherically Symmetric Potential}}
[[Category:Partial differential equations]]
[[Category:Quantum models]]

Canadian traveller problem

2013-09-20T20:23:19Z

136.152.142.32: Adjacent edges -> incident edges

In [[number theory]], '''Lochs' theorem''' is a theorem concerning the rate of convergence of the [[continued fraction]] expansion of a typical real number. A proof of the theorem was published by [[Gustav Lochs]] in 1964.<ref>{{citation
| last = Lochs | first = Gustav
| doi = 10.1007/BF02993063
| journal = Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
| language = German
| mr = 0162753
| pages = 142–144
| title = Vergleich der Genauigkeit von Dezimalbruch und Kettenbruch
| volume = 27
| year = 1964}}.</ref>

The theorem states that for [[almost all]] real numbers in the interval (0,1), the number of terms ''m'' of the number's continued fraction expansion that are required to determine the first ''n'' places of the number's decimal expansion behaves [[asymptotically]] as follows:

:<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{m}{n} = \frac {6 \ln 2 \ln 10}{ \pi^2} \approx 0.97027014</math> {{OEIS|id=A086819}}.<ref>{{MathWorld|urlname=LochsTheorem|title=Lochs' Theorem}}</ref>

As this limit is only slightly smaller than 1, this can be interpreted as saying that each additional term in the continued fraction representation of a "typical" real number increases the accuracy of the representation by approximately one decimal place. The [[decimal]] system is the last [[positional system]] for which each digit carries less information than one continued fraction quotient; going to [[Undecimal|base-11]] (changing <math>\ln 10</math> to <math>\ln 11</math> in the equation) makes the above value exceed 1.

The reciprocal of this limit,

:<math>\frac { \pi^2}{6 \ln 2 \ln 10} \approx 1.03064083</math> {{OEIS|id=A062542}},

is twice the base-10 logarithm of [[Lévy's constant]].

==References==
<references/>

[[Category:Continued fractions]]
[[Category:Theorems in number theory]]

Anisometropia

2012-03-29T21:33:59Z

136.152.36.141: /* Spectacle correction */ Formatted equation in LaTeX to increase readability of the equation

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2012-03-12T20:47:32Z

136.152.20.245: Removed typo El Ghoaoui -> El Ghaoui

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Er schätzte Kontakt mit dem Publikum sehr viel, und die Geschichte, die ihnen erzählt werden kann, während er nicht einen großen Wert zuschreiben, Geschichten, die nur von Snobs und hoch qualifizierte Ästheten verstanden werden kann. 'Born Ernst Ingmar Bergman 1918 in Uppsala , Schweden zu einem lutherischen Pfarrer dänischer Abstammung, wuchs Bergman von religiösen Bildern und Diskussion umgeben. Sie sind auch verantwortlich, um ihre 'Kunden', die unsere Patienten und damit verantwortlich für uns ist. Lassen Sie uns das noch einmal: Wenn ein Minister macht eine Aussage über die Dateifreigabe, ruft uns Medien für Kommentare, und veröffentlicht sie neben dieser Aussage. Chief Inspector Stephen Französisch, Web Control zitiert in [10] Obwohl diese Aktion ohne vorherige Debatte im Parlament oder anderswo stattgefunden hatte, die Polizei, die werden ihr Bestes tun, um zu schaffen und nicht einfach durchzusetzen, das Gesetz erschienen, wurden nicht handeln ganz auf ihre eigene Initiative. Zum Beispiel, um 2:53, sagt die Off-Stimme 'Sein Name ist Muhammed. Wenn wir zurückblicken auf die Vergangenheit, ob erst gestern oder vor vielen [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Outlet] Jahren, manchmal denken wir, möchte ich wusste dann, was ich jetzt weiß. Er nannte es eine ehemaligen Staatschef und Vorsitzender, Vorstand CENTENARY CITY, GEN: 'Griechische [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Tasche] Geschenk' und 'Täuschung der Öffentlichkeit', obwohl er versprochen, mit seiner Partei zu diskutieren, bevor eine [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free 5.0] endgültige Position würde reached.FROM gelassen werden. (ich ein Teenager :/ ich wahrscheinlich müssen gut vor meinen Freunden schauen __) ich nicht wissen, ob das SGS3 Mini ist ein bisschen zu oder gegen Frauen gerichtet ist oder nicht. Verstehen Sie, was um Sie herum passiert in der Wirtschaft und wie Ihre Wettbewerber der Bewältigung dieser Aufgaben der Kunden. Ergebnisse: Bei der kontinuierlichen Prüfung 478 von 721 (66,3%) Frauen wurden in 30 Minuten und 637 (88,3%) innerhalb von 40 Minuten geliefert; 29 (4,0%) wurden bei 50 Minuten unzustellbar. Und wir sind immer noch [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max Schweiz] nicht ganz fertig Bergbau die frühreifen Teenager-Vergangenheit. Es gibt nur 8760 Stunden in einem ganzen Jahr vorstellen, wie lange eine LED-Lampe würde in einer durchschnittlichen Wohnung reicht!. Nicht, dass Sie diese cyberslacking Aktivitäten unbemerkt. Diese Veränderungen in der Knochenmasse machen die Knochen schwach und eher nach Ihrer Rückkehr auf die Schwerkraft der Erde zu brechen. So doesn es weh zu Ihrer Liste Ihrer Freunde gelegentlich überprüfen, um eine Vorstellung davon, welche Personen Ihren Status Beiträge, Urlaubsfotos und lustige Links, die Sie im Laufe der Jahre geteilt sehen bekommen kann.<ul>

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== Louis Vuitton Tasche um 'freundliche' Verluste zu riskieren ==

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