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	<title>formulasearchengine - User contributions [en]</title>
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		<title>F-test of equality of variances</title>
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		<updated>2014-10-07T08:36:59Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;134.130.15.1: /* Properties */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== Anhang Ralph Lauren Polo ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ändern, als Coco Chanel vorgeschlagen, ist die einzige Konstante in der Mode. Wenn die Gründung eines Unternehmens, die Zeit nehmen, um sicherzustellen, dass Sie genau wissen, die Startkosten der Unternehmen erfordert und ob Sie das Kapital dafür haben .. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Frag sie über die Gefühle, die sie fühlte und warum sie fühlte, es war romantisch. Ich bin ständig von jüngeren Menschen aller ethnischen Zugehörigkeit fahren. Sie müssen sie in diesen Pro-forma-Finanz zeigen, wie ihre Investition wird dazu beitragen, Ihr Unternehmen auf die nächste Ebene. Von Studie folgen wir [http://www.avavision.de/dprodukt/dcontrol/produkt.php Ralph Lauren Polo] zensiert [http://www.chinaairlines.de/Install/Language/Icon.asp Nike Roshe] Risikozeit einer Frau während der Schwangerschaft, von der Empfängnis bis drei Monate nach der Entbindung, und Frauen mit einer Gerinnungsstörung aus der ersten Zeit eine solche Diagnose zu verzeichnen (Anhang) berechnet.. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Kokosöl und 1 TL. Dave Ragone diente als Backup-Quarterback für eine kurze Zeit, aber bleibt eine der Houston Texans &#039;alle Zeit vorbei Yards Führer.. Auf der Oberseite sehen wir den Punkt, an dem Acetyl-CoA in den Zyklus. Aber es sollte ein weißer Ausfluss, die Licht sehr dick Art wie Hüttenkäse sein.. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Die sogenannte &#039;Übergabegebet&#039;, die Sie heute so viel über hören von konfessionellen Prediger nirgends in der Bibel erscheinen. Aber es ist absolut und daher unerreichbar für die meisten Menschen in der Welt. Es gibt Ihnen ein Gefühl von zu stark und fit und wie Sie könnte alles, um 5:03 pmMountain Radfahren nicht die Smartrisikofaktor! Besonders auf North Vancouver North Shore Gelände zu erreichen. &#039;10. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Europa, Großbritannien, Kanada, Australien, Afrika und Asien nur konsumieren, die IT-Unternehmen von den USA gebrandmarkt. Joe Nathan nahm seine zweite sparen mit einem gestrichen .. Verdienen Sie Geld durch den Aufbau einer Website. Die steigenden Sterberaten überspannt eine Reihe von Erhebungen, Arten und Größen Baum, fährt er fort ... &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Kurz vor dem Start des Aakash von der indischen Regierung, ein Register der Preis weniger Rs. Sie müssen das Evangelium zu hören und dann zu verstehen und [http://www.liske.de/module/kontakt.asp Michael Kors Geldbörse] zu erkennen, dass Sie ohne Jesus Christus verloren gehen, egal, wer Sie sind und egal, was Ihr Hintergrund ist. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Team-Mitglieder beschäftigen sich mit [http://www.mies.de/gaestebuchadmin/process.asp Hogan Sale] privaten Informationen und Datenschutzerklärung der Wikimedia Foundation verbietet Veröffentlichung dieser Informationen ist ohne ausdrückliche Genehmigung von der ursprünglichen Anbieter dieser Informationen. Nach Angaben der American Council on Exercise, können die Kinder ihre Reise mit Heben von Gewichten im Alter von etwa 7 oder 8 beginnen, oder sobald sie verstehen, wie, Anweisungen zu folgen..&amp;lt;ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
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  &lt;br /&gt;
   &amp;lt;li&amp;gt;[http://scot-tregor.com/spip.php?article91 http://scot-tregor.com/spip.php?article91]&amp;lt;/li&amp;gt;&lt;br /&gt;
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== Frauen oft Angst Sammelproben Mbt Hamburg ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Diese Gedichte müssen vorsichtig behandelt werden .. Das ELSA-Umfrage Probe aus einer repräsentativen Stichprobe der Befragten der Health Survey für England (HSE) ab 50 Jahren gezogen.. Dann, so wie jetzt, hat Anthem keine Qualitätsdaten auf der Anbieter. Der Zustand kann durch Alter oder Stammzellen von Stress, Medikamente, Koffein oder andere Faktoren führen.. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Zeit mit meiner Familie und meine Anonymität, sagt sie. Oder Sie fahren von einem Remote-Standort im Hinterland und Sie nur recycelte Materialien zu verwenden. Ich auf jeden Fall froh, dass ich es versucht!. Wissenschaftliche Erkenntnisse zum Geschlechtsverkehr als eine Möglichkeit, die Geburt einzuleiten unterstützt ist begrenzt, aber es kann in vielfältiger Weise zu arbeiten, um Dinge zu bewegen.. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Studien zeigen, dass Glück dankbar steigt um 25 Prozent und erhöht die Menge der Zeit verbringen die [http://www.b-habermann.de/backup/upload/footer.asp Mbt Hamburg] Menschen ausüben (einen tollen Bonus für diejenigen von uns, die in die Turnhalle zu kämpfen). Dh auch nie. Dieses Konzept umfasst Teamarbeit, die eine andere ist. Zu anderen Zeiten, auf die Erfahrungen der älter und weiser Kollegen verlassen Sie .. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Auch wenn Sie träumen [http://www.wonne.net/UserControl/Referenzen/Services.asp Beats Mixr] nicht davon, ein weltbekannter Markenname, Ihr eigenes Geschäft von Grund bringt eine Menge mehr Risiko. Manager können andere Mitglieder oder die Mitglieder können einen Manager, um das Geschäft zu mieten.. Plantaraponeurose Dicke gemessen nach vier Wochen die Dexamethason-Gruppe um 0,35 mm bevorzugt (95% Konfidenzintervall 0,67 bis 0,03, p = 0,03). Im Vergleich zu Placebo, die Wahrscheinlichkeit der Lieferung ist um 48 Stunden verzögert höchsten war mit Prostaglandin-Hemmer (Odds Ratio 5,39, 95% glaubwürdig Intervall von 2,14 bis 12,34), die durch Magnesiumsulfat (2,76, 1,58 bis 4,94), gefolgt, Calciumkanalblocker (2,71, 1,17 5,91), beta-Mimetika (2,41, 1,27 bis 4,55) und der Oxytocin-Rezeptorblocker Atosiban (2,02, 1,10 bis 3,80).. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Sie können nicht kopieren, zu reproduzieren, zu veröffentlichen, herunterladen, veröffentlichen, auszustrahlen, zu übertragen, machen es der Öffentlichkeit, oder anderweitig zu verwenden BBC Verkehrs-und Reiseinformationen in keiner Weise außer für den persönlichen und nicht kommerziellen Gebrauch. Der erste Ansatz besteht darin, den Unterschied zwischen zwei Statistiken (wie mittels der beiden Gruppen) zu berechnen und die Berechnung der 95%-Konfidenzintervall.. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Frauen oft Angst Sammelproben, wenn sie Gewichte heben. Die meisten Kategorien der Meilensteine ​​überlappen, so Verbesserung [http://www.krasscapital.com/en/michael.php Nike Air Force Damen] der kognitiven Fähigkeiten, zum Beispiel, wird die Sprachentwicklung zu erhöhen. Atack hat jetzt eine neue Ausgabe. Wenn Regierungsbürokraten, nicht die theatregoing Öffentlichkeit, kann beeinflussen, welche erfolgreich [http://www.bombus.de/img/sonst/unbekannt.asp Nike Heels Deutschland] spielt, riskiert der Kunstwelt an Mittelmäßigkeit verurteilt.&amp;lt;ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
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== er und Osama bin Laden Michael Kors Deutschland ==&lt;br /&gt;
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Brandish Schaden ist reduced2. Pelago war auch das erste Unternehmen in Venture-Capital-Firma Kleiner, Perkins, Portfolio zu verbinden Kleiner Perkins &#039;Caufield Byers iFund, die 100-Millionen-Dollar-Fonds, die das Unternehmen einzurichten, um iPhone-Anwendung Entwicklung voranzutreiben. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Finden Sie die Antwort oder fragen Sie uns, was Sie wissen wollen. Allerdings ist die Sony Ericsson auf dem Bildschirm tut Verarbeitung noch besser, und es funktioniert auch mit Video, was nicht unwichtig ist überhaupt. Doch sobald Sie Social Media für Ihr Unternehmen tun, [http://www.liske.de/module/kontakt.asp Michael Kors Deutschland] finden Sie, dass [http://www.bungert-tickets.de/view/usercontrols/test.asp Lacoste Sale] Sie kaum noch keine Fans oder Anhänger zu bekommen. Mit dem Sicherheitsvakuum, die seit dem Aufstand gegen Mubarak im vergangenen Jahr durchgesetzt hat, ausländische Touristen im Sinai sind ziemlich einfache Ziele .. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Erstellen Sie keine Artikel oder zu bearbeiten, nur um etwas zu beweisen. Im Gegensatz zu den Vitriol von YouTube Kommentare oder ein Nasenlänge voraus von Reddit, LinkedIn Kommentatoren sind zivil, bieten konstruktive Kritik [http://www.s-inn.de/Propalms/images/Presse.asp Timberland Schuhe] und Förderung einer offenen discussion.No Nasty Spam oder aggressive AdsWe alle hassen Spam und konstant in Ihrem Gesicht Werbung.. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Vor ein paar Wochen, 26-jährige Forscherin Elizabeth O&#039;Bagy an der Falken-Institut für Kriegs Think Tank in Washington hatte einen Stern wiederum mit Staatssekretär John Kerry und der Republikaner Sen. Es gibt nicht viel auf sie loben .. Adipositas-Forscher haben grünem Tee Catechine für ihre Fähigkeit, den Stoffwechsel und den Blutzucker erhöhen sucht. Es [http://www.chinaairlines.de/images/FileManager/Icons/bevel.asp Montblanc Starwalke] gibt eine andere Partei, die genauso schuldig des Verbrechens der Krankheit Mache ist. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Die Endokrine beteiligt. Es gibt keinen Grund, sich über das, was in den peripheren Volkswirtschaften passiert zu sein. Hier ist die Foto-Galerie. Bei WHGNE, wissen wir nicht von Klienten, Kunden, Fälle oder Verbraucher zu sprechen. Ich war nicht gut genug. Aber lassen Sie sich nicht von der langfristigen Natur von Longhorn ein Stück sehr spannend Longhorn-Technologie gedreht werden ist kurzfristig relevant für uns alle. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Und während er eine Hand in den Terrorismus überall in seiner 41-Jahres-Regel hatte, er und Osama bin Laden, den er die Schuld in einer Rede am Donnerstag für den Aufstand zu schüren sind Feinde. Martin Dempsey warnt: &#039;Wir könnten versehentlich Extremisten ermächtigen oder entfesseln die sehr chemische Waffen wir versuchen, zu kontrollieren.&#039;.. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Rep. Dies bedeutet, dass diese Gebäude Intel Haswell-Plattformen heute mit der 8-Serie-Chipsatz konnte am Ende ohne Upgrade-Pfad, wenn es um den Prozessor geht. Im so froh Ich kaufte dieses Epilierer ja es ist nicht das billigste auf dem Markt, aber die Ergebnisse sind fabelhaft und der viel leiser als meine bisherigen Epilierer zu .. Im Theater ist nur die gemütliche Art und Weise, dass stumpfe Stücke auf ..&amp;lt;ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&lt;div&gt;== In quanto le varie carni non  mai totalme Abercrombie Tienda ==&lt;br /&gt;
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La cosa bella è che la sensazione di stordimento non deve prendere per un lungo periodo. Per aiutarvi a gestire lo stress si dovrebbe diminuire o evitare di assunzione di caffeina e zucchero. Incoraggiate i vostri giovani a trovare la giusta quantità di esercizio fisico. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;La respirazione profonda può aiutare a controllare se stessi e prevenire l&#039;impulso prima di iniziare a contemplare offrendo dentro non sarà imbarazzato quando i disturbi depressivi si è spinti a bisogno di assumere farmaci da prescrizione. Costantemente controllare tubi e rubinetti per più umidità o perdite modeste. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Chiudere costringendo in hemroid se credete dolore. Continuate a leggere per alcune idee riguardo a come rendere il materiale contenuto video marketing per migliorare la vostra piccola impresa.. Quando si nota il vostro cane cominciando a perdere interesse, interrompere la sessione per la giornata. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&amp;quot; onmouseover=&amp;quot;this.style.backgroundColor=&#039;#ebeff9&#039;&amp;quot; onmouseout=&amp;quot;this.style.backgroundColor=&#039;#fff&#039;&amp;quot;&amp;gt;Non solo si chiave nel caso [http://www.xaviermor.com/noticias/router.asp Abercrombie Tiendas] di animali sciopero si può anche proteggere voi gli elementi.. Esiste un po &#039;di più per questa bevanda di fantasia che sicuramente soddisfa l&#039;occhio. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Un sacco di gente non riconoscono [http://www.maccsoft.com/themes/dark/content.asp Polos Fred Perry] che e si scoraggia una volta che la procedura richiede un tempo così lungo per terminare. Devi studiare prima tappa di pesca per poter certi di esca vostro fermo con prodotti alimentari che interesseranno [http://www.probioticosenlafarmacia.com/Static/Newsletter/images/text.php Cinturones Gucci] il pesce particolare che si sta tentando di trappola. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Un ottimo suggerimento forma fisica è sempre a sommare ripetizioni nella direzione opposta. Quando capire che tipo di Visa o MasterCard si desidera avere, essere sicuri di guardare a ciò che si desidera in ogni elementi della carta di pagamento. Potrebbe essere come la principale fonte di reddito per il tuo posto sta per essere trasferirsi fuori quando la loro auto è ogni anno. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Per adottare uno screenshot con il vostro iPhone, semplicemente mantenere lungo il tasto &amp;quot;House&amp;quot;, quando tutti in una volta deludente il tasto &amp;quot;addormentata&amp;quot; solo una volta. Tipicamente, i risultati non sono solitamente piuttosto. Per pagare un brufolo con l&#039;all&#039;ultimo minuto, fanno uso di un prodotto o servizio che contiene perossido di idrogeno cortisone o [http://www.transportesdearte.com/catalan/cancle.php Nike Free Run 2] di benzoile. &amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&amp;quot; onmouseover=&amp;quot;this.style.backgroundColor=&#039;#ebeff9&#039;&amp;quot; onmouseout=&amp;quot;this.style.backgroundColor=&#039;#fff&#039;&amp;quot;&amp;gt;Dente Robusta sono più sani i denti, in effetti.. Nel caso in cui i pali sono innescando un volume estremo di prurito, si consiglia di procedere con un bagno accogliente.&amp;lt;ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
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  &lt;br /&gt;
 &amp;lt;/ul&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>134.130.119.105</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://en.formulasearchengine.com/w/index.php?title=Tricubic_interpolation&amp;diff=20839</id>
		<title>Tricubic interpolation</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://en.formulasearchengine.com/w/index.php?title=Tricubic_interpolation&amp;diff=20839"/>
		<updated>2013-12-05T08:30:49Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;134.130.171.110: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Photon transport in biological tissue can be equivalently modeled numerically with [[Photon transport monte carlo|Monte Carlo simulations]] or analytically by the [[radiative transfer]] equation (RTE). However, the RTE is difficult to solve without introducing approximations. A common approximation summarized here is the diffusion approximation. Overall, solutions to the [[diffusion equation]] for photon transport are more computationally efficient, but less accurate than Monte Carlo simulations.&amp;lt;ref name = Wang_BioMedBooK&amp;gt;{{cite book |author=LV Wang and HI Wu |title=Biomedical Optics|publisher=Wiley |year=2007|isbn=978-0-471-74304-0}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Definitions==&lt;br /&gt;
[[File:Energyflow.png|thumb|125px|right|Figure 1: Schematic of energy flow through a differential area element &amp;lt;math&amp;gt;dA&amp;lt;/math&amp;gt; at position &amp;lt;math&amp;gt;\vec{r}&amp;lt;/math&amp;gt; within a differential solid angle element &amp;lt;math&amp;gt;d\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;.]]&lt;br /&gt;
The RTE can mathematically model the transfer of energy as photons move inside a tissue. The flow of radiation energy through a small area element in the radiation field can be characterized by [[radiance]] &amp;lt;math&amp;gt;L(\vec{r},\hat{s},t) (\frac{W}{m^2 sr})&amp;lt;/math&amp;gt;. Radiance is defined as energy flow per unit normal area per unit [[solid angle]] per unit time. Here, &amp;lt;math&amp;gt;\vec{r}&amp;lt;/math&amp;gt; denotes position, &amp;lt;math&amp;gt;\hat{s}&amp;lt;/math&amp;gt; denotes unit direction vector and &amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt; denotes time (Figure 1).&lt;br /&gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;Several other important physical quantities are based on the definition of radiance:&amp;lt;ref name = Wang_BioMedBooK&amp;gt;{{cite book |author=L.H. Wang and H.I. Wu |title=Biomedical Optics|publisher=Wiley |year=2007|isbn=978-0-471-74304-0}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
*Fluence rate or [[intensity]]{{Disambiguation needed|date=June 2011}} &amp;lt;math&amp;gt;\Phi(\vec{r},t)=\int_{4\pi}L(\vec{r},\hat{s},t)d\Omega (\frac{W}{m^2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*[[Fluence]] &amp;lt;math&amp;gt;F(\vec{r})=\int_{-\infty}^{+\infty}\Phi(\vec{r},t)dt (\frac{J}{m^2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*[[Current density]] (energy [[flux]]) &amp;lt;math&amp;gt;\vec{J}(\vec{r},t)=\int_{4\pi}\hat{s}L(\vec{r},\hat{s},t)d\Omega (\frac{W}{m^2})&amp;lt;/math&amp;gt;. This is the vector counterpart of fluence rate pointing in the prevalent direction of energy flow.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Radiative transfer equation==&lt;br /&gt;
The RTE is a differential equation describing radiance &amp;lt;math&amp;gt;L(\vec{r},\hat{s},t)&amp;lt;/math&amp;gt;. It can be derived via [[conservation of energy]]. Briefly, the RTE states that a beam of light loses energy through divergence and [[refractive index#Dispersion and absorption|extinction]] (including both [[Absorption (electromagnetic radiation)|absorption]] and [[scattering]] away from the beam) and gains energy from light sources in the medium and scattering directed towards the beam. [[Coherence (physics)|Coherence]], [[Polarization (waves)|polarization]] and non-linearity are neglected. Optical properties such as [[refractive index]] &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt;, [[absorption coefficient]] μ&amp;lt;sub&amp;gt;a&amp;lt;/sub&amp;gt;, scattering coefficient μ&amp;lt;sub&amp;gt;s&amp;lt;/sub&amp;gt;, and scattering anisotropy &amp;lt;math&amp;gt;g&amp;lt;/math&amp;gt; are taken as time-invariant but may vary spatially. Scattering is assumed to be elastic.&lt;br /&gt;
The RTE ([[Boltzmann equation]]) is thus written as:&amp;lt;ref name=&amp;quot;Wang_BioMedBooK&amp;quot;/&amp;gt;&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial L(\vec{r},\hat{s},t)/c}{\partial t} = -\hat{s}\cdot \nabla L(\vec{r},\hat{s},t)-\mu_tL(\vec{r},\hat{s},t)+\mu_s\int_{4\pi}L(\vec{r},\hat{s}&#039;,t)P(\hat{s}&#039;\cdot\hat{s})d\Omega&#039; + S(\vec{r},\hat{s},t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
where&lt;br /&gt;
*&amp;lt;math&amp;gt;c&amp;lt;/math&amp;gt; is the speed of light in the tissue, as determined by the relative refractive index&lt;br /&gt;
*μ&amp;lt;sub&amp;gt;t&amp;lt;/sub&amp;gt;&amp;lt;math&amp;gt;=&amp;lt;/math&amp;gt;μ&amp;lt;sub&amp;gt;a&amp;lt;/sub&amp;gt;+μ&amp;lt;sub&amp;gt;s&amp;lt;/sub&amp;gt; is the extinction coefficient&lt;br /&gt;
*&amp;lt;math&amp;gt;P(\hat{s}&#039;,\hat{s})&amp;lt;/math&amp;gt; is the phase function, representing the probability of light with propagation direction &amp;lt;math&amp;gt;\hat{s}&#039;&amp;lt;/math&amp;gt; being scattered into solid angle &amp;lt;math&amp;gt;d\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; around &amp;lt;math&amp;gt;\hat{s}&amp;lt;/math&amp;gt;. In most cases, the phase function depends only on the angle between the scattered &amp;lt;math&amp;gt;\hat{s}&#039;&amp;lt;/math&amp;gt; and incident &amp;lt;math&amp;gt;\hat{s}&amp;lt;/math&amp;gt; directions, i.e. &amp;lt;math&amp;gt;P(\hat{s}&#039;,\hat{s})=P(\hat{s}&#039;\cdot\hat{s})&amp;lt;/math&amp;gt;. The scattering anisotropy can be expressed as &amp;lt;math&amp;gt;g=\int_{4\pi}(\hat{s}&#039;\cdot\hat{s})P(\hat{s}&#039;\cdot\hat{s})d\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*&amp;lt;math&amp;gt;S(\vec{r},\hat{s},t)&amp;lt;/math&amp;gt; describes the light source.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Diffusion theory==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Assumptions===&lt;br /&gt;
In the RTE, six different independent variables define the radiance at any spatial and temporal point (&amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;y&amp;lt;/math&amp;gt;, and &amp;lt;math&amp;gt;z&amp;lt;/math&amp;gt; from &amp;lt;math&amp;gt;\vec{r}&amp;lt;/math&amp;gt;, [[polar angle]] &amp;lt;math&amp;gt;\theta&amp;lt;/math&amp;gt; and azimuthal angle &amp;lt;math&amp;gt;\phi&amp;lt;/math&amp;gt; from &amp;lt;math&amp;gt;\hat{s}&amp;lt;/math&amp;gt;, and &amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;). By making appropriate assumptions about the behavior of photons in a scattering medium, the number of independent variables can be reduced. These assumptions lead to the [[Photon diffusion|diffusion theory]] (and diffusion equation) for photon transport.&lt;br /&gt;
Two assumptions permit the application of diffusion theory to the RTE:&lt;br /&gt;
*Relative to scattering events, there are very few absorption events. Likewise, after numerous scattering events, few absorption events will occur and the radiance will become nearly isotropic. This assumption is sometimes called directional broadening.&lt;br /&gt;
*In a primarily scattering medium, the time for substantial current density change is much longer than the time to traverse one transport mean free path. Thus, over one transport mean free path, the fractional change in current density is much less than unity. This property is sometimes called temporal broadening.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
It should be noted that both of these assumptions require a high-[[albedo]] (predominantly scattering) medium.&amp;lt;ref name=&amp;quot;Wang_BioMedBooK&amp;quot;/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===The RTE in the diffusion approximation===&lt;br /&gt;
Radiance can be expanded on a basis set of [[spherical harmonics]] &amp;lt;math&amp;gt;Y&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;n, m&amp;lt;/sub&amp;gt;. In diffusion theory, radiance is taken to be largely isotropic, so only the isotropic and first-order anisotropic terms are used:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;L(\vec{r},\hat{s},t) \approx\ \sum_{n=0}^{1} \sum_{m=-n}^{n}L_{n,m}(\vec{r},t)Y_{n,m}(\hat{s})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
where &amp;lt;math&amp;gt;L&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;n, m&amp;lt;/sub&amp;gt; are the expansion coefficients. Radiance is expressed with 4 terms; one for n = 0 (the isotropic term) and 3 terms for n = 1 (the anisotropic terms). Using properties of spherical harmonics and the definitions of fluence rate &amp;lt;math&amp;gt;\Phi(\vec{r},t)&amp;lt;/math&amp;gt; and current density &amp;lt;math&amp;gt;\vec{J}(\vec{r},t)&amp;lt;/math&amp;gt;, the isotropic and anisotropic terms can respectively be expressed as follows:&lt;br /&gt;
*&amp;lt;math&amp;gt;L_{0,0}(\vec{r},t)Y_{0,0}(\hat{s})=\frac{\Phi(\vec{r},t)}{4\pi}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*&amp;lt;math&amp;gt;\sum_{m=-1}^{1}L_{1,m}(\vec{r},t)Y_{1,m}(\hat{s})=\frac{3}{4\pi}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot \hat{s}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
Hence we can approximate radiance as&amp;lt;ref name = Wang_BioMedBooK&amp;gt;{{cite book |author= L.H. Wang and H.I. Wu |title=Biomedical Optics|publisher=Wiley |year=2007|isbn=978-0-471-74304-0}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;L(\vec{r},\hat{s},t)=\frac{1}{4\pi}\Phi(\vec{r},t)+\frac{3}{4\pi}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot \hat{s}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
Substituting the above expression for radiance, the RTE can be respectively rewritten in scalar and vector forms as follows (The scattering term of the RTE is integrated over the complete &amp;lt;math&amp;gt;4\pi&amp;lt;/math&amp;gt; solid angle. For the vector form, the RTE is multiplied by direction &amp;lt;math&amp;gt;\hat{s}&amp;lt;/math&amp;gt; before evaluation.):&amp;lt;ref name=&amp;quot;Wang_BioMedBooK&amp;quot;/&amp;gt;&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt; \frac{\partial \Phi(\vec{r},t)}{c\partial t} + \mu_a\Phi(\vec{r},t) + \nabla \cdot \vec{J}(\vec{r},t) = S(\vec{r},t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
:&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;math&amp;gt; \frac{\partial \vec{J}(\vec{r},t)}{c\partial t} + (\mu_a+\mu_s&#039;)\vec{J}(\vec{r},t) + \frac{1}{3}\nabla \Phi(\vec{r},t) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
The diffusion approximation is limited to systems where reduced scattering coefficients are much larger than their absorption coefficients and having a minimum layer thickness of the order of a few transport [[mean free path]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===The diffusion equation===&lt;br /&gt;
Using the second assumption of diffusion theory, we note that the fractional change in current density &amp;lt;math&amp;gt;\vec{J}(\vec{r},t)&amp;lt;/math&amp;gt; over one transport [[mean free path]] is negligible. The vector representation of the diffusion theory RTE reduces to [[Fick&#039;s law]] &amp;lt;math&amp;gt;\vec{J}(\vec{r},t)=\frac{-\nabla \Phi(\vec{r},t)}{3(\mu_a+\mu_s&#039;)}&amp;lt;/math&amp;gt;, which defines current density in terms of the gradient of fluence rate. Substituting Fick&#039;s law into the scalar representation of the RTE gives the diffusion equation:&amp;lt;ref name=&amp;quot;Wang_BioMedBooK&amp;quot;/&amp;gt;&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt; \frac{\partial \Phi(\vec{r},t)}{c\partial t} + \mu_a\Phi(\vec{r},t) - \nabla \cdot [D\nabla\Phi(\vec{r},t)] = S(\vec{r},t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;D=\frac{1}{3(\mu_a+\mu_s&#039;)}&amp;lt;/math&amp;gt; is the [[diffusion coefficient]] and μ&#039;&amp;lt;sub&amp;gt;s&amp;lt;/sub&amp;gt;&amp;lt;math&amp;gt;=(1-g)&amp;lt;/math&amp;gt;μ&amp;lt;sub&amp;gt;s&amp;lt;/sub&amp;gt; is the reduced scattering coefficient.&lt;br /&gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;Notably, there is no explicit dependence on the scattering coefficient in the diffusion equation. Instead, only the reduced scattering coefficient appears in the expression for &amp;lt;math&amp;gt;D&amp;lt;/math&amp;gt;. This leads to an important relationship; diffusion is unaffected if the anisotropy of the scattering medium is changed while the reduced scattering coefficient stays constant.&amp;lt;ref name=&amp;quot;Wang_BioMedBooK&amp;quot;/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Solutions to the diffusion equation==&lt;br /&gt;
For various configurations of boundaries (e.g. layers of tissue) and light sources, the diffusion equation may be solved by applying appropriate [[boundary conditions]] and defining the source term &amp;lt;math&amp;gt;S(\vec{r},t)&amp;lt;/math&amp;gt; as the situation demands.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Point sources in infinite homogeneous media===&lt;br /&gt;
A solution to the diffusion equation for the simple case of a short-pulsed point source in an infinite homogeneous medium is presented in this section. The source term in the diffusion equation becomes &amp;lt;math&amp;gt;S(\vec{r},t, \vec{r&#039;},t&#039;)=\delta(\vec{r}-\vec{r&#039;})\delta(t-t&#039;)&amp;lt;/math&amp;gt;, where &amp;lt;math&amp;gt;\vec{r}&amp;lt;/math&amp;gt; is the position at which fluence rate is measured and &amp;lt;math&amp;gt;\vec{r&#039;}&amp;lt;/math&amp;gt; is the position of the source. The pulse peaks at time &amp;lt;math&amp;gt;t&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;. The diffusion equation is solved for fluence rate to yield&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\Phi(\vec{r},t;\vec{r&#039;},t)=\frac{c}{[4\pi Dc(t-t&#039;)]^{3/2}}\exp\left[-\frac{\mid \vec{r}-\vec{r&#039;} \mid ^2}{4Dc(t-t&#039;)}\right]\exp[-\mu_ac(t-t&#039;)]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
The term &amp;lt;math&amp;gt;\exp\left[-\mu_ac(t-t&#039;)\right]&amp;lt;/math&amp;gt; represents the exponential decay in fluence rate due to absorption in accordance with [[Beer&#039;s law]]. The other terms represent broadening due to scattering. Given the above solution, an arbitrary source can be characterized as a superposition of short-pulsed point sources.&lt;br /&gt;
Taking time variation out of the diffusion equation gives the following for a time-independent point source &amp;lt;math&amp;gt;S(\vec{r})=\delta(\vec{r})&amp;lt;/math&amp;gt;:&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\Phi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi Dr}\exp(-\mu_{eff}r)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mu_{\mathrm{eff}}=\sqrt{\frac{\mu_a}{D}}&amp;lt;/math&amp;gt; is the effective [[attenuation coefficient]] and indicates the rate of spatial decay in fluence.&amp;lt;ref name=&amp;quot;Wang_BioMedBooK&amp;quot;/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Boundary conditions===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
====Fluence rate at a boundary====&lt;br /&gt;
Consideration of boundary conditions permits use of the diffusion equation to characterize light propagation in media of limited size (where interfaces between the medium and the ambient environment must be considered). To begin to address a boundary, one can consider what happens when photons in the medium reach a boundary (i.e. a surface). The direction-integrated radiance at the boundary and directed into the medium is equal to the direction-integrated radiance at the boundary and directed out of the medium multiplied by [[Fresnel equations|reflectance]] &amp;lt;math&amp;gt;R_F&amp;lt;/math&amp;gt;:&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\int_{\hat{s}\cdot \hat{n}&amp;lt;0}L(\vec{r},\hat{s},t)\hat{s}\cdot \hat{n}  d\Omega=\int_{\hat{s}\cdot \hat{n}&amp;gt;0}R_F(\hat{s}\cdot \hat{n})L(\vec{r},\hat{s},t)\hat{s}\cdot \hat{n}d\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
where &amp;lt;math&amp;gt;\hat{n}&amp;lt;/math&amp;gt; is normal to and pointing away from the boundary. The diffusion approximation gives an expression for radiance &amp;lt;math&amp;gt;L&amp;lt;/math&amp;gt; in terms of fluence rate &amp;lt;math&amp;gt;\Phi&amp;lt;/math&amp;gt; and current density &amp;lt;math&amp;gt;\vec{J}&amp;lt;/math&amp;gt;. Evaluating the above integrals after substitution gives:&amp;lt;ref name=Haskell_1994&amp;gt;{{cite journal |author=RC Haskell et al. |title=Boundary conditions for the diffusion equation in radiative transfer|journal=[[Journal of the Optical Society of America A]]|volume=11 |issue=10|pages=2727–2741|year=1994 |doi=10.1364/JOSAA.11.002727}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[File:Pencil Beam 1.png|thumb|right|Figure 2: The steps in representing a pencil beam incident on a semi-infinite anisotropically scattering medium as two isotropic point sources in an infinite medium.]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\Phi(\vec{r},t)}{4}+\vec{J}(\vec{r},t)\cdot \frac{\hat{n}}{2}=R_{\Phi}\frac{\Phi(\vec{r},t)}{4}-R_{J}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot \frac{\hat{n}}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*&amp;lt;math&amp;gt;R_{\Phi}=\int_{0}^{\pi/2}2\sin \theta \cos \theta R_F(\cos \theta)d\theta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*&amp;lt;math&amp;gt;R_{J}=\int_{0}^{\pi/2}3\sin \theta (\cos \theta)^2 R_F(\cos \theta)d\theta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
Substituting Fick&#039;s law (&amp;lt;math&amp;gt;\vec{J}(\vec{r},t)=-D\nabla \Phi(\vec{r},t)&amp;lt;/math&amp;gt;) gives, at a distance from the boundary z=0,&amp;lt;ref name=Haskell_1994&amp;gt;{{cite journal |author=RC Haskell et al. |title=Boundary conditions for the diffusion equation in radiative transfer.|journal=Journal of the Optical Society of America A |volume=11 |issue=10|pages=2727–2741|year=1994 |doi=10.1364/JOSAA.11.002727}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\Phi(\vec{r},t)=A_z\frac{\partial \Phi(\vec{r},t)}{\partial z}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*&amp;lt;math&amp;gt;A_z=2D\frac{1+R_{eff}}{1-R_{eff}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*&amp;lt;math&amp;gt;R_{\mathrm{eff}}=\frac{R_{\Phi}+R_{J}}{2-R_{\Phi}+R_J}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
====The extrapolated boundary====&lt;br /&gt;
It is desirable to identify a zero-fluence boundary. However, the fluence rate &amp;lt;math&amp;gt;\Phi(z=0, t)&amp;lt;/math&amp;gt; at a physical boundary is, in general, not zero. An extrapolated boundary, at &amp;lt;math&amp;gt;z&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;b&amp;lt;/sub&amp;gt; for which fluence rate is zero, can be determined to establish image sources. Using a first order [[Taylor series]] approximation,&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\left.\Phi(z=-A_z,t)\approx \Phi(z=0,t)-A_z\frac{\partial \Phi(\vec{r},t)}{\partial z}\right|_{z=0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
which evaluates to zero since &amp;lt;math&amp;gt;\Phi(\vec{r},t)=A_z\frac{\partial \Phi(\vec{r},t)}{\partial z}&amp;lt;/math&amp;gt;. Thus, by definition, &amp;lt;math&amp;gt;z&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;b&amp;lt;/sub&amp;gt; must be &amp;lt;math&amp;gt;-A&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;z&amp;lt;/sub&amp;gt; as defined above. Notably, when the index of refraction is the same on both sides of the boundary, &amp;lt;math&amp;gt;R&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;F&amp;lt;/sub&amp;gt; is zero and the extrapolated boundary is at &amp;lt;math&amp;gt;z&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;b&amp;lt;/sub&amp;gt;&amp;lt;math&amp;gt;=-2D&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref name=&amp;quot;Haskell_1994&amp;quot;/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Pencil beam normally incident on a semi-infinite medium===&lt;br /&gt;
Using boundary conditions, one may approximately characterize diffuse reflectance for a [[pencil beam]] normally incident on a semi-infinite medium. The beam will be represented as two point sources in an infinite medium as follows (Figure 2):&amp;lt;ref name=&amp;quot;Wang_BioMedBooK&amp;quot;/&amp;gt;&amp;lt;ref name=Wang_2000&amp;gt;{{cite journal |author=LV Wang and SL Jacques |title=Sources of error in calculation of optical diffuse reflectance from turbid media using diffusion theory|journal=Computer Methods and Programs in Biomedicine |volume=61|pages=163–170|year=2000 |doi=10.1016/S0169-2607(99)00041-3 |pmid=10710179 |issue=3}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
#Set scattering anisotropy &amp;lt;math&amp;gt;g&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;2&amp;lt;/sub&amp;gt;&amp;lt;math&amp;gt;=0&amp;lt;/math&amp;gt; for the scattering medium and set the new scattering coefficient μ&amp;lt;sub&amp;gt;s2&amp;lt;/sub&amp;gt; to the original μ&amp;lt;sub&amp;gt;s1&amp;lt;/sub&amp;gt; multiplied by &amp;lt;math&amp;gt;(1-g&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;1&amp;lt;/sub&amp;gt;&amp;lt;math&amp;gt;)&amp;lt;/math&amp;gt;, where &amp;lt;math&amp;gt;g&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;1&amp;lt;/sub&amp;gt; is the original scattering anisotropy.&lt;br /&gt;
#Convert the pencil beam into an isotropic point source at a depth of one transport mean free path &amp;lt;math&amp;gt;l&amp;lt;/math&amp;gt;&#039; below the surface and power = &amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;&#039;.&lt;br /&gt;
#Implement the extrapolated boundary condition by adding an image source of opposite sign above the surface at &amp;lt;math&amp;gt;l&amp;lt;/math&amp;gt;&#039;&amp;lt;math&amp;gt;+2z&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;b&amp;lt;/sub&amp;gt;.&lt;br /&gt;
The two point sources can be characterized as point sources in an infinite medium via&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\Phi_{\infty}(r,\theta,z; r&#039;,\theta&#039;,z&#039;)=\frac{1}{4\pi D\rho}\exp(-\mu_{\mathrm{eff}}\rho)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\rho&amp;lt;/math&amp;gt; is the distance from observation point &amp;lt;math&amp;gt;(r,\theta,z)&amp;lt;/math&amp;gt; to source location &amp;lt;math&amp;gt;(r &#039;,\theta &#039;,z&#039;)&amp;lt;/math&amp;gt; in cylindrical coordinates. The linear combination of the fluence rate contributions from the two image sources is&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\Phi(r,\theta,z; r&#039;,\theta&#039;,z&#039;)=a&#039;\Phi_{\infty}(r,\theta,z; r&#039;,\theta&#039;,z&#039;)-a&#039;\Phi_{\infty}(r,\theta,z; r&#039;,\theta&#039;,-z&#039;-2z_b)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
This can be used to get diffuse reflectance &amp;lt;math&amp;gt;R&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;d&amp;lt;/sub&amp;gt;&amp;lt;math&amp;gt;(r)&amp;lt;/math&amp;gt; via Fick&#039;s law:&lt;br /&gt;
:&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;math&amp;gt;\left.R_d(r)=D\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right|_{z=0}= \frac{a &#039;z &#039;(1+\mu_{\mathrm{eff}}\rho_1)\exp(-\mu_{eff}\rho_1)}{4\pi \rho_1^3} + \frac{a &#039;(z &#039;+4D)(1+\mu_{\mathrm{eff}}\rho_2)\exp(-\mu_{\mathrm{eff}}\rho_2)}{4\pi \rho_2^3}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;math&amp;gt;\rho_1&amp;lt;/math&amp;gt; is the distance from the observation point &amp;lt;math&amp;gt;(r,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt; to the source at &amp;lt;math&amp;gt;(0,0,z &#039;)&amp;lt;/math&amp;gt; and &amp;lt;math&amp;gt;\rho_2&amp;lt;/math&amp;gt; is the distance from the observation point to the image source at &amp;lt;math&amp;gt;(0,0,-z &#039;-2z&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;sub&amp;gt;b&amp;lt;/sub&amp;gt;&amp;lt;math&amp;gt;)&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref name=&amp;quot;Wang_BioMedBooK&amp;quot;/&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;Wang_2000&amp;quot;/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Diffusion theory solutions vs. Monte Carlo simulations==&lt;br /&gt;
Monte Carlo simulations of photon transport, though time consuming, will accurately predict photon behavior in a scattering medium. The assumptions involved in characterizing photon behavior with the diffusion equation generate inaccuracies. Generally, the diffusion approximation is less accurate as the absorption coefficient μ&amp;lt;sub&amp;gt;a&amp;lt;/sub&amp;gt; increases and the scattering coefficient μ&amp;lt;sub&amp;gt;s&amp;lt;/sub&amp;gt; decreases.&amp;lt;ref name=Yoo1990_PhysRevLett&amp;gt;K. Yoo, F. Liu &amp;amp; R. Alfano, &#039;&#039; When does the diffusion-approximation fail to describe photon transport in random-media&#039;&#039;, Phys. Rev. Lett. &#039;&#039;&#039;64&#039;&#039;&#039;, 2647-2650 (1990).&lt;br /&gt;
[http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.64.2647]&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Alerstam2008_JBO &amp;gt;E. Alerstam, S. Andersson-Engels &amp;amp; T. Svensson, &#039;&#039;White Monte Carlo for time-resolved photon migration&#039;&#039;, J. Biomed. Opt. &#039;&#039;&#039;13&#039;&#039;&#039;, 041304 (2008).  [http://link.aip.org/link/?JBOPFO/13/41304/1]&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
For a photon beam incident on a medium of limited depth, error due to the diffusion approximation is most prominent within one transport mean free path of the location of photon incidence (where radiance is not yet isotropic) (Figure 3).&lt;br /&gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;Among the steps in describing a pencil beam incident on a semi-infinite medium with the diffusion equation, converting the medium from anisotropic to isotropic (step 1) (Figure 4) and converting the beam to a source (step 2) (Figure 5) generate more error than converting from a single source to a pair of image sources (step 3) (Figure 6). Step 2 generates the most significant error.&amp;lt;ref name=&amp;quot;Wang_BioMedBooK&amp;quot;/&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;Wang_2000&amp;quot;/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;gallery widths=&amp;quot;235px&amp;quot; heights=&amp;quot;235px&amp;quot; perrow=&amp;quot;2&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
Image:Monte_Carlo_vs_Diffusion_Theory.png|Figure 3: Diffuse reflectance vs. radius from an incident pencil beam as determined by a Monte Carlo simulation (red) and diffuse reflectance vs. radius from two isotropic point sources as determined by the diffusion theory solution to the RTE (blue). The transport mean free path is 0.1&amp;amp;nbsp;cm.&lt;br /&gt;
Image:MC_vs_DT_step1.png|Figure 4: Diffuse reflectance vs. radius from incident pencil beam for an anisotropic (blue) and isotropic (red) medium.&lt;br /&gt;
Image:MC_vs_DT_step2.png|Figure 5: Diffuse reflectance vs. radius from photon source for a pencil beam (blue) and an isotropic point source (red).&lt;br /&gt;
Image:MC_vs_DT_step3.png|Figure 6: Diffuse reflectance vs. radius from the photon source for an isotropic point source as characterized by the solution to the RTE (blue) and a Monte Carlo simulation (red).&lt;br /&gt;
&amp;lt;/gallery&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==See also==&lt;br /&gt;
* [[Monte Carlo method for photon transport]]&lt;br /&gt;
* [[Radiative transfer]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Further reading==&lt;br /&gt;
* {{cite book&lt;br /&gt;
 | author=LV Wang and HI Wu&lt;br /&gt;
 | title=Biomedical Optics&lt;br /&gt;
 | publisher=Wiley&lt;br /&gt;
 | year=2007&lt;br /&gt;
 | isbn =978-0-471-74304-0}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==References==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Electromagnetic radiation]]&lt;br /&gt;
[[Category:Optics]]&lt;br /&gt;
[[Category:Light]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>134.130.171.110</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://en.formulasearchengine.com/w/index.php?title=Gibbs%E2%80%93Duhem_equation&amp;diff=16029</id>
		<title>Gibbs–Duhem equation</title>
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		<updated>2013-11-07T18:07:09Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;134.130.108.57: /* Applications */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Unreferenced|date=January 2007}}&lt;br /&gt;
[[File:Harmonic partials on strings.svg|thumb|right|Basic and harmonic oscillations of a string]]&lt;br /&gt;
A &#039;&#039;&#039;guitar harmonic&#039;&#039;&#039; is a musical [[note]] played by preventing or amplifying [[vibration]] of certain [[overtones]] of a [[guitar]] string. {{TOC right}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Music using [[harmonic]]s can contain very high [[Pitch (music)|pitch]] notes difficult or impossible to reach by [[fret]]ting. Guitar harmonics also produce a different sound quality than fretted notes, and are one of many techniques used to create musical variety.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Technique==&lt;br /&gt;
Harmonics are mainly generated manually by different playing techniques. Another method is sound wave feedback of a guitar amplifier at high volume, which causes an &amp;quot;infinite&amp;quot; vibration of certain string harmonics. A third method, magnetic string drivers like the [[EBow]], can generate string harmonics.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Harmonics are most often played by lightly placing a finger on a string at a [[Node (physics)|nodal point]] of one of the overtones at the moment when the string is driven. The finger immediately [[damping|damps]] all overtones that do not have a node near the location touched. The lowest-pitch overtone dominates the resulting sound.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Overtones==&lt;br /&gt;
[[File:Guitar Tuning by Overtone.ogg|thumb|noicon|[[Guitar tunings|Tuning a guitar]] using overtones (listen)]]&lt;br /&gt;
[[Image:Harmonic motion4.PNG|280px|right|thumb|The fundamental and the double- and triple-frequency overtones of a guitar string.]]&lt;br /&gt;
When a [[Strings (music)|guitar string]] is plucked normally, the ear tends to hear the [[fundamental frequency]] most prominently, colored by the presence of integer multiples of that frequency. The lowest frequency of vibration along the entire length of the string is known as the fundamental, while higher frequencies are referred to as [[overtone]]s. The fundamental and overtones, when sounded together, are perceived by the listener as a single tone, though the relative prominence of the frequencies varies among instruments, contributing to [[timbre]]. A harmonic overtone has evenly spaced [[node (physics)|nodes]] along the string, where the string does not move from its resting position.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;br style=&amp;quot;clear:both&amp;quot;/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Nodes==&lt;br /&gt;
The [[Node (physics)|nodes]] of natural harmonics are located at the following points along a guitar&#039;s neck. For fretted strings, these locations shift up the fingerboard by the same number of frets, and resulting harmonics are called [[artificial harmonics]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Image:Guitar harmonic nodes.svg|600px|Harmonic mode shapes and their corresponding node locations on a guitar]]&lt;br /&gt;
{|class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!Mode&lt;br /&gt;
!Length Fraction&lt;br /&gt;
!Fret&lt;br /&gt;
!Note&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1&lt;br /&gt;
|1&lt;br /&gt;
|open&lt;br /&gt;
|unison&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|2&lt;br /&gt;
|1/2&lt;br /&gt;
|12&lt;br /&gt;
|octave&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|3&lt;br /&gt;
|1/3, 2/3&lt;br /&gt;
|7, 19&lt;br /&gt;
|octave + perfect fifth&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|4&lt;br /&gt;
|1/4, 3/4&lt;br /&gt;
|5, 24&lt;br /&gt;
|2nd octave&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|5&lt;br /&gt;
|1/5 to 4/5&lt;br /&gt;
|3.9, 8.8, 15.9, 27.9&lt;br /&gt;
|2nd octave + just major third&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|6&lt;br /&gt;
|1/6, 5/6&lt;br /&gt;
|3.2, 31.0&lt;br /&gt;
|2nd octave + perfect fifth&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|7&lt;br /&gt;
|1/7 to 6/7&lt;br /&gt;
|2.7, 5.8, 9.7, 14.7, 21.7, 33.7&lt;br /&gt;
|2nd octave + septimal minor seventh&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|8&lt;br /&gt;
|1/8, 3/8, 5/8, 7/8&lt;br /&gt;
|2.3, 8.1, 17.0, 36.0&lt;br /&gt;
|3rd octave&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|9&lt;br /&gt;
|1/9, 2/9, 4/9, 5/9, 7/9, 8/9&lt;br /&gt;
|2.0, 4.4, 10.2, 14.0, 26.0, 38.0&lt;br /&gt;
|3rd octave + neutral second&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|10&lt;br /&gt;
|1/10, 3/10, 7/10, 9/10&lt;br /&gt;
|1.8, 6.2, 20.8, 39.9&lt;br /&gt;
|3rd octave + just major third&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
The above fret numbers can be calculated:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;F_{1..n} = \log_s {m\over{m-n}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
where &amp;lt;math&amp;gt;s = 2^{1/12}&amp;lt;/math&amp;gt;, the frequency ratio of one musical half-step (i.e. one fret), &#039;&#039;m&#039;&#039; is the mode number (1–10 are given above), and &#039;&#039;n&#039;&#039; is the node number for that mode (1 to {{nowrap|&#039;&#039;m&#039;&#039; − 1}}).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Certain nodes of higher harmonics are coincident with nodes of lower harmonics, and the lower sounds overpower the higher ones. For example, mode number 4 can be fingered at nodes 1 and 3; it will occur at node 2 but will not be heard over the stronger first harmonic. Ineffective nodes to finger are not listed above.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Intervals==&lt;br /&gt;
{|class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
!harmonic&lt;br /&gt;
!stop note&lt;br /&gt;
!harmonic note&lt;br /&gt;
!width=&amp;quot;50&amp;quot;| cents&lt;br /&gt;
!width=&amp;quot;50&amp;quot;| reduced&amp;lt;br&amp;gt;cents&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|2&lt;br /&gt;
|[[octave]]&lt;br /&gt;
|[[octave|P8]]&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 1200.0&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 0.0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|3&lt;br /&gt;
|just [[perfect fifth]]&lt;br /&gt;
|P8 + P5&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 1902.0&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 702.0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|4&lt;br /&gt;
|just [[perfect fourth]]&lt;br /&gt;
|2P8&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 2400.0&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 0.0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|5&lt;br /&gt;
|[[just major third]]&lt;br /&gt;
|2P8 + just M3&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 2786.3&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 386.3&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|6&lt;br /&gt;
|[[just minor third]]&lt;br /&gt;
|2P8 + P5&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 3102.0&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 702.0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|7&lt;br /&gt;
|[[septimal minor third]]&lt;br /&gt;
|2P8 + septimal m7&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 3368.8&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 968.8&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|8&lt;br /&gt;
|septimal [[major second]]&lt;br /&gt;
|3P8&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 3600.0&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 0.0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|9&lt;br /&gt;
|Pythagorean [[major second]]&lt;br /&gt;
|3P8 + pyth M2&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 3803.9&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 203.9&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|10&lt;br /&gt;
|just minor [[whole tone]]&lt;br /&gt;
|3P8 + just M3&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 3986.3&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 386.3&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|11&lt;br /&gt;
|greater unidecimal [[neutral second]]&lt;br /&gt;
|3P8 + [[List of pitch intervals|unidecimal semi-augmented 4th]] &lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 4151.3&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 551.3&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|12&lt;br /&gt;
|lesser unidecimal [[neutral second]]&lt;br /&gt;
|3P8 + P5&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 4302.0&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 702.0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|13&lt;br /&gt;
|tridecimal 2/3-tone&lt;br /&gt;
|3P8 + tridecimal neutral 6th&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 4440.5&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 840.5&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|14&lt;br /&gt;
|2/3-tone&lt;br /&gt;
|3P8 + septimal m7&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 4568.8&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 968.8&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|15&lt;br /&gt;
|septimal (or major) [[diatonic semitone]]&lt;br /&gt;
|3P8 + just M7&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 4688.3&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 1088.3&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|16&lt;br /&gt;
|just (or minor) [[diatonic semitone]]&lt;br /&gt;
|4P8&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 4800.0&lt;br /&gt;
|align=&amp;quot;right&amp;quot; | 0.0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Image:Table of Harmonics.svg|thumb|center|700px|Table of harmonics, indicating in colors on which positions the same overtones occur]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Advanced techniques==&lt;br /&gt;
===Pinch harmonics===&lt;br /&gt;
:&#039;&#039;See [[Pinch harmonic]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
A pinch harmonic is produced by lightly touching the thumb, fingers or palm of the picking hand against the string immediately after it is picked. This action is sufficient to silence the [[Fundamental frequency|fundamental]] and all [[overtone]]s except those that have a [[Node (physics)|node]] at that location. This is sometimes accomplished by holding the [[plectrum]] so very little of its tip protrudes between the thumb and forefinger (roughly 3–5&amp;amp;nbsp;mm), allowing the thumb to brush the string immediately after it is picked. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
The technique must be performed at one of the appropriate harmonic nodes for the note to sound. For example, to produce a pinch harmonic one [[octave]] higher than the fundamental of a string that is stopped at the third fret of a guitar, the string must be plucked halfway between the third fret and the bridge (the 15th fret, as the neck is logarithmic). Other overtones of the same fundamental note may be produced in the same way at other nodes along the string. The point where the string is plucked therefore varies depending on the desired note. Most harmonics have several accessible nodes evenly spaced on the string, so the nodes used in practice are normally around where the string is normally picked (around the pickups on an electric guitar), rather than those above the neck as these are the easiest to access with the picking hand from normal playing.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Overtones with a frequency of a multiple of the intended overtone (i.e., the same note in a higher octave) will share the nodes of the lower overtones, so won&#039;t be muted. They will, however, be at a much lower volume and since they are the same note in a higher octave, don&#039;t detract from the sound of the note. If the string is pinched at the [[Node (physics)|antinode]] of the intended overtone, no higher overtones will sound.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A single harmonic overtone is quieter than a normal note, which contains many overtones. For this reason, guitar players often increase the guitar volume to play harmonics. Thicker strings, stronger pickups and adjustment to amplifier settings (increasing gain) are some ways of doing this. When the string vibrates primarily at a single fundamental, it has different volumes through different pickups, depending on the proximity of nodes or anti-nodes to the pickup. The different overtone volumes are why neck and bridge pickups sound different. If a node is directly over a pickup, little or no sound is heard.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Tapped harmonics===&lt;br /&gt;
This technique was popularized by [[Eddie van Halen]]. [[Tap harmonic|Tapped harmonics]] are an extension of the [[tapping]] technique. The note is fretted as usual, but instead of striking the string the excitation energy required to sound the note is achieved by tapping at a harmonic nodal point. The tapping finger bounces lightly on and off the fret. The open string technique can be extended to artificial harmonics. For instance, for an octave harmonic (12 fret nodal point) press at the third fret, and tap the fifteenth fret, as {{nowrap|12 + 3 {{=}} 15}}.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===String harmonics driven by a magnetic field===&lt;br /&gt;
This technique is used by effect devices producing a magnetic field that can agitate fundamentals and harmonics of steel strings. There are harmonic mode switches as provided by newer versions of the&lt;br /&gt;
[[Ebow]] and by guitar build in sustainers like the [[Fernandes Sustainer]] and the Moog Guitar. Harmonics control by harmonic mode switching and by the playing technique is applied by the [[Guitar Resonator]] where harmonics can be alternated by changing the string driver position at the fretboard while playing.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==See also==&lt;br /&gt;
{{Portal|Guitar}}&lt;br /&gt;
*[[3rd bridge]]&lt;br /&gt;
*[[Artificial harmonic]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Guitars|Playing}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{DEFAULTSORT:Guitar Harmonics}}&lt;br /&gt;
[[Category:Guitars]]&lt;br /&gt;
[[Category:Harmonic series]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>134.130.108.57</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://en.formulasearchengine.com/w/index.php?title=Rocchio_algorithm&amp;diff=24904</id>
		<title>Rocchio algorithm</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://en.formulasearchengine.com/w/index.php?title=Rocchio_algorithm&amp;diff=24904"/>
		<updated>2013-09-10T11:41:03Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;134.130.139.106: /* Algorithm */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;In [[mathematics]], the &#039;&#039;&#039;Schoenflies problem&#039;&#039;&#039; or &#039;&#039;&#039;Schoenflies theorem&#039;&#039;&#039;,  of [[geometric topology]] is a sharpening of the [[Jordan curve theorem]] by [[Arthur Moritz Schoenflies|Arthur Schoenflies]]. For Jordan curves in the plane it is often referred to as the &#039;&#039;&#039;Jordan–Schoenflies theorem.&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Original formulation==&lt;br /&gt;
It states that not only does every [[simple closed curve]] in the [[plane (mathematics)|plane]] separate the plane into two regions, one (the &amp;quot;inside&amp;quot;) [[bounded set|bounded]] and the other (the &amp;quot;outside&amp;quot;) unbounded; but also that these two regions are [[homeomorphic]] to the inside and outside of a standard [[circle]] in the plane.  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An alternative statement is that if &amp;lt;math&amp;gt;C \subset \mathbb R^2&amp;lt;/math&amp;gt; is a simple closed curve, then there is a homeomorphism &amp;lt;math&amp;gt;f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2&amp;lt;/math&amp;gt; such that &amp;lt;math&amp;gt;f(C)&amp;lt;/math&amp;gt; is the unit [[circle]] in the plane. Elementary proofs can be found in {{harvtxt|Newman|1939}}, {{harvtxt|Cairns|1951}}, {{harvtxt|Moise|1977}} and {{harvtxt|Thomassen|1992}}. If the curve is smooth then the homeomorphism can be chosen to be a diffeomorphism. This can also be deduced from by solving the [[Dirichlet problem]] on the curve (extending results of Kneser, Rado and Choquet); or by showing that the [[Riemann mapping theorem|Riemann mapping]] for the interior of the curve extends smoothly to the boundary, which can be proved either using the Dirichlet problem or [[Bergman kernel]]s.&amp;lt;ref&amp;gt;See:&lt;br /&gt;
*{{harvnb|Napier|Ramachandran|2011}}&lt;br /&gt;
*{{harvnb|Taylor|2011}}&lt;br /&gt;
*{{harvnb|Kerzman|1977}}&lt;br /&gt;
*{{harvnb|Bell|Krantz|1987}}&lt;br /&gt;
*{{harvnb|Bell|1992}}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Such a theorem is only valid in two dimensions. In three dimensions there are [[counterexample]]s such as [[Alexander&#039;s horned sphere]]. Although they separate space into two regions, those regions are so twisted and knotted that they are not homeomorphic to the inside and outside of a normal sphere.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Proofs of the Jordan–Schoenflies theorem==&lt;br /&gt;
For smooth or polygonal curves, the [[Jordan curve theorem]] can be proved in a straightforward way. Indeed the curve has a [[tubular neighbourhood]], defined in the smooth case by the field of unit normal vectors to the curve or in the polygonal case by points at a distance of less than ε from the curve.&lt;br /&gt;
In a neighbourhood of a differentiable point on the curve, there is a coordinate change in which the curve becomes the diameter of an open disk. Taking a point not on the curve, a straight line aimed at the curve starting at the point will eventually meet the tubular neighborhood; the path can be continued next to the curve until it meets the disk. It will meet it on one side or the other. This proves that the complement of the curve has at most two connected components. On the other hand using the [[Cauchy integral formula]] for the [[winding number]], it can be seen that the winding number is constant on connected components of the complement of the curve, is zero near infinity and increases by 1 when crossing the curve. Hence the curve has exactly two components, its interior and the unbounded component. The same argument works for a piecewise differentiable Jordan curve.&amp;lt;ref&amp;gt;{{harvnb|Katok|Climenhaga|2008}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Polygonal curve===&lt;br /&gt;
Given a simple closed polygonal curve in the plane, the &#039;&#039;&#039;piecewise linear Jordan–Schoenflies theorem&#039;&#039;&#039; states that there is a piecewise linear homeomorphism of the plane, with compact support, carrying the polygon onto a triangle and taking the interior and exterior of one onto the interior and exterior of the other.&amp;lt;ref&amp;gt;See: &lt;br /&gt;
*{{harvnb|Moise|1977}}&lt;br /&gt;
*{{harvnb|Bing|1983}}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
The interior of the polygon can be triangulated by small triangles, so that the edges of the polygon from edges of some of the small triangles. Piecewise linear homeomorphisms can be made up from special homeomorphisms obtained by removing a diamond from the plane and taking a piecewise affine map, fixing the edges of the diamond, but moving one diagonal into a V shape. Compositions of homeomorphisms of this kind give rise to piecewise linear homomorphisms of compact support; they fix the outide of a polygon and act in an affine way on a triangulation of the interior.&lt;br /&gt;
A simple inductive argument shows that it is always possible to remove a trinangle with one or two sides on the boundary leaving a simple closed Jordan polygon. The special homeomorphisms described above provide piecewise linear homeomorphisms which carry the interior of the larger polygon onto the polygon with the triangle removed. Iterating this process it follows that there is a piecewise linear homeomorphism of compact support carrying the original polygon onto a triangle. The piecewise linear nature of the map will normally require a finer triangulation of the interior of the polygon and triangle to which it maps in order to exhibit the affine maps on smaller triangles.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Smooth curve===&lt;br /&gt;
When the Jordan curve is smooth (parametrized by arc length) the unit normal vectors give a non-vanishing vector field &#039;&#039;X&#039;&#039;&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt; in the tubular neighbourhood &#039;&#039;U&#039;&#039;&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt; of the curve. Take a polygonal curve in the interior of the curve close to the boundary and transverse to the curve (at the vertices the vector field should be strictly within the angle formed by the edges). By the piecewise linear Jordan–Schoenflies theorem, there is a piecewise linear homeomorphism, affine on an appropriate triangulation of the interior of the polygon, taking the polygon onto a triangle. Take an interior point &#039;&#039;P&#039;&#039; in one of the small triangles of the triangulation. It corresponds to a point &#039;&#039;Q&#039;&#039; in the image triangle. There is a radial vector field on the image triangle, formed of straight lines pointing towards &#039;&#039;Q&#039;&#039;. This gives a series of lines in the small triangles making up the polygon. Each defines a vector field &#039;&#039;X&#039;&#039;&amp;lt;sub&amp;gt;&#039;&#039;i&#039;&#039;&amp;lt;/sub&amp;gt; on a neighbourhood &#039;&#039;U&#039;&#039;&amp;lt;sub&amp;gt;&#039;&#039;i&#039;&#039;&amp;lt;/sup&amp;gt; of the closure of the triangle. Each vector field is transverse to the sides, provided that &#039;&#039;Q&#039;&#039; is chosen in &amp;quot;general position&amp;quot; so that it is not colinear with any of the finitely many edges in the triangulation. On the triangle containing &#039;&#039;P&#039;&#039; the vector field can be taken to be the standard radial vector field. Take a smooth [[partition of unity]] ψ&amp;lt;sub&amp;gt;&#039;&#039;i&#039;&#039;&amp;lt;/sub&amp;gt; subordinate to the cover &#039;&#039;U&#039;&#039;&amp;lt;sub&amp;gt;&#039;&#039;i&#039;&#039;&amp;lt;/sub&amp;gt; and set&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\displaystyle{X=\sum \psi_i\cdot X_i.}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;X&#039;&#039; is a smooth vector field on a neighbourhood of the closure of the interior of the original smooth curve. The integral curves of this vector field go from the points of the curve to the point &#039;&#039;P&#039;&#039; in finite time. Replacing &#039;&#039;X&#039;&#039; by &#039;&#039;f&#039;&#039;⋅&#039;&#039;X&#039;&#039; for an appropriate smooth positive function &#039;&#039;f&#039;&#039;, equal to 1 near the curve and near &#039;&#039;P&#039;&#039;, the integral curves will all reach &#039;&#039;P&#039;&#039; at the same time. The properties of the flow associated to &#039;&#039;X&#039;&#039; guarantee that the radial coordinates provided by the integral curves radiating in different directions starting at &#039;&#039;P&#039;&#039; give a diffeomorphism between the [[unit disk]] and the closure of the interior of the curve. The same procedure can be applied to the outside of the curve, after applying a Möbius transformation to map it and ∞ into the finite part of the plane. Applying a translation if necessary, it can be assumed that &#039;&#039;P&#039;&#039; = 0. The two diffeomorphisms with the unit disk patch together to give a smooth diffeomorphism of the Riemann sphere &#039;&#039;&#039;R&#039;&#039;&#039;&amp;lt;sup&amp;gt;2&amp;lt;/sub&amp;gt; ∪ ∞ carrying the curve onto the unit circle. It carries the inside and outside of the curve onto the regions |z| &amp;lt; 1 and |z| &amp;gt; 1.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Generalizations==&lt;br /&gt;
There does exist a higher-dimensional generalization due to [[Morton Brown]] and independently [[Barry Mazur]] with [[Marston Morse]], which is also called the generalized &#039;&#039;&#039;Schoenflies theorem&#039;&#039;&#039;.  It states that, if an (&#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;amp;nbsp;&amp;amp;minus;&amp;amp;nbsp;1)-dimensional [[sphere]] &#039;&#039;S&#039;&#039; is embedded into the &#039;&#039;n&#039;&#039;-dimensional sphere &#039;&#039;S&amp;lt;sup&amp;gt;n&amp;lt;/sup&amp;gt;&#039;&#039; in a [[locally flat]] way (that is, the embedding extends to that of a thickened sphere), then the pair (&#039;&#039;S&amp;lt;sup&amp;gt;n&amp;lt;/sup&amp;gt;&#039;&#039;,&amp;amp;nbsp;&#039;&#039;S&#039;&#039;) is homeomorphic to the pair (&#039;&#039;S&amp;lt;sup&amp;gt;n&amp;lt;/sup&amp;gt;&#039;&#039;, &#039;&#039;S&#039;&#039;&amp;lt;sup&amp;gt;&#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;amp;minus;1&amp;lt;/sup&amp;gt;), where &#039;&#039;S&#039;&#039;&amp;lt;sup&amp;gt;&#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;amp;minus;1&amp;lt;/sup&amp;gt; is the equator of the &#039;&#039;n&#039;&#039;-sphere.  Brown and Mazur received the [[Veblen Prize]] for their contributions.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
The Schoenflies problem can be posed in categories other than the topologically locally flat category, i.e. does a smoothly (piecewise-linearly) embedded (&#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;amp;nbsp;&amp;amp;minus;&amp;amp;nbsp;1)-sphere in the &#039;&#039;n&#039;&#039;-sphere bound a smooth (piecewise-linear) &#039;&#039;n&#039;&#039;-ball?  For &#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;amp;nbsp;=&amp;amp;nbsp;4, the problem is still open for both categories. See [[Mazur manifold]]. For &#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;amp;nbsp;≥&amp;amp;nbsp;5 the question has an affirmative answer, and follows from the [[h-cobordism]] theorem.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Notes==&lt;br /&gt;
{{reflist|2}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==References==&lt;br /&gt;
*{{citation|last1=Bell|first1= Steven R.|last2= Krantz|first2=Steven G.|title=Smoothness to the boundary of conformal maps|journal=Rocky Mountain J. Math.|volume= 17|year=1987|pages= 23–40}}&lt;br /&gt;
*{{citation|last=Bell|first=Steven R.|title= The Cauchy transform, potential theory, and conformal mapping|series= Studies in Advanced Mathematics|publisher= CRC Press|year= 1992|isbn=0-8493-8270-X}}&lt;br /&gt;
*{{citation|title=The Geometric Topology of 3-Manifolds|volume =40|series=Colloquium Publications - |publisher=American Mathematical Society|first=R. H.|last= Bing|authorlink=R. H. Bing|year= 1983|isbn=0821810405}}&lt;br /&gt;
*[[Morton Brown|Brown, Morton]] (1960), A proof of the generalized Schoenflies theorem. &#039;&#039;Bull. Amer. Math. Soc.&#039;&#039;, vol. 66, pp.&amp;amp;nbsp;74&amp;amp;ndash;76. {{MathSciNet| id = 0117695}}&lt;br /&gt;
*{{citation|title=An Elementary Proof of the Jordan-Schoenflies Theorem|first=Stewart T.|last=Cairns|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|year=1951|pages=860–867}}&lt;br /&gt;
*{{citation|last=do Carmo|first= Manfredo P.|title= Differential geometry of curves and surfaces|publisher=Prentice-Hall|year=1976|isbn=0132125897}}&lt;br /&gt;
*{{citation|title=Lectures on Surfaces: (Almost) Everything You Wanted to Know about Them|&lt;br /&gt;
volume= 46|series= Student Mathematical Library|publisher= American Mathematical Society|first=A. B. |last=Katok|first2= Vaughn|last2= Climenhaga|year= 2008|isbn=0821846795}}&lt;br /&gt;
*{{citation|first=N.|last= Kerzman|title= A Monge-Ampére equation in complex analysis|series= Proc. Symp. Pure Math.|volume= XXX|publisher= Am. Math. Soc|year= 1977}}&lt;br /&gt;
*Mazur, Barry, On embeddings of spheres., &#039;&#039;Bull. Amer. Math. Soc.&#039;&#039; 65 1959 59&amp;amp;ndash;65. {{MathSciNet| id = MR0117693}}&lt;br /&gt;
*{{citation|title=Geometric topology in dimensions 2 and 3|volume= 47|series= Graduate texts in mathematics&lt;br /&gt;
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*{{citation|title=An Introduction to Riemann Surfaces|first=Terrence|last= Napier|first2= Mohan |last2=Ramachandran|publisher=Springer|year=2011|isbn=0817646922}}&lt;br /&gt;
*{{citation|title=Elements of the topology of plane sets of points|first=Maxwell Herman Alexander|last= Newman|publisher= Cambridge University Press|year= 1939}}&lt;br /&gt;
*{{citation|last=Taylor|first=Michael E.|authorlink=Michael E. Taylor|title= Partial differential equations I. Basic theory|edition=Second|series=Applied Mathematical Sciences| volume=115|publisher=Springer| year=2011|isbn=978-1-4419-7054-1}}&lt;br /&gt;
*{{citation|title=The Jordan-Schoenflies Theorem and the Classification of Surfaces|first=Carsten|last= Thomassen|authorlink=Carsten Thomassen|journal= The American Mathematical Monthly|volume= 99|year= 1992|pages= 116–130}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Geometric topology]]&lt;br /&gt;
[[Category:Homeomorphisms]]&lt;br /&gt;
[[Category:Theorems in topology]]&lt;br /&gt;
[[Category:Mathematical problems]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>134.130.139.106</name></author>
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		<title>Koebe quarter theorem</title>
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		<updated>2013-07-14T09:57:29Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;134.130.180.133: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
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{| style=&amp;quot;float: right; margin-left: 1em; background-color: transparent; &amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Image:Mona Lisa with eigenvector.png|none|175px]]&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| width=180 style=&amp;quot;font-size: 85%; text-align: center; &amp;quot; |In this [[shear (mathematics)|shear]] transformation of the [[Mona Lisa]], the central vertical axis (red vector) is unchanged, but the diagonal vector (blue) has changed direction. Hence the red vector is said to be an &#039;&#039;&#039;eigenvector&#039;&#039;&#039; of this particular transformation and the blue vector is not. &lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
In [[mathematics]], an  &#039;&#039;&#039;eigenvector&#039;&#039;&#039; of a [[linear transformation|transformation]] is a [[vector space|vector]] which that transformation simply multiplies by a constant factor, called the &#039;&#039;&#039;eigenvalue&#039;&#039;&#039; of that vector. Often, a transformation is completely described by its eigenvalues and eigenvectors. The &#039;&#039;&#039;eigenspace&#039;&#039;&#039; for a factor is the [[set (mathematics)|set]] of eigenvectors with that factor as eigenvalue. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
In the specific case of [[linear algebra]], the &#039;&#039;eigenvalue problem&#039;&#039; is this: given an &#039;&#039;n&#039;&#039; by &#039;&#039;n&#039;&#039; matrix &#039;&#039;A&#039;&#039;,what nonzero vectors &#039;&#039;x&#039;&#039; in &amp;lt;math&amp;gt;R^n&amp;lt;/math&amp;gt; exist, such that &#039;&#039;Ax&#039;&#039; is a scalar multiple of &#039;&#039;x&#039;&#039;? &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
The scalar multiple is denoted by the Greek letter &#039;&#039;&amp;amp;lambda;&#039;&#039; and is called an &#039;&#039;eigenvalue&#039;&#039; of the matrix A, while &#039;&#039;x&#039;&#039; is called the &#039;&#039;eigenvector&#039;&#039; of &#039;&#039;A&#039;&#039; corresponding to &#039;&#039;&amp;amp;lambda;&#039;&#039;. These concepts play a major role in several branches of both [[pure mathematics|pure]] and [[applied mathematics]] &amp;amp;mdash; appearing prominently in [[linear algebra]], [[functional analysis]], and to a lesser extent in [[nonlinear]] situations. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
It is common to prefix any natural name for the vector with &#039;&#039;eigen&#039;&#039; instead of saying &#039;&#039;eigenvector&#039;&#039;.  For example, &#039;&#039;eigenfunction&#039;&#039; if the eigenvector is a [[function (mathematics)|function]], &#039;&#039;eigenmode&#039;&#039; if the eigenvector is a [[harmonic mode]], &#039;&#039;eigenstate&#039;&#039; if the eigenvector is a [[quantum state]], and so on.  Similarly for the eigenvalue, e.g. &#039;&#039;eigenfrequency&#039;&#039; if the eigenvalue is (or determines) a [[frequency]].&lt;br /&gt;
{| width=&amp;quot;100%&amp;quot; border=&amp;quot;0&amp;quot; style=&amp;quot;padding: 0; margin:0; background:transparent;&amp;quot;&lt;br /&gt;
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		<title>Bilinear interpolation</title>
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		<summary type="html">&lt;p&gt;134.130.181.83: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Professionals a strategy and on top of that battle activation where then you must manage your be the owner of tribe and also protect it from punctures. You have so as to build constructions which will definately provide protection for your soldiers along with usually the instruction. First completely focus on your protection and simply after its recently been taken treatment.  In the event you adored this short article in addition to you would want to obtain more details regarding [http://prometeu.net Clash Of clans cheats ipod] generously visit our webpage. You will need to move forward with the criminal offense product. As well as your Military facilities, you also require to keep in minds the way your tribe is certainly going. For instance, [http://Photo.net/gallery/tag-search/search?query_string=collecting+learning collecting learning] websites as well as fostering your own tribe could be the key to good findings.&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An individual are are a parent or possibly a gaurdian of any hardly any one who appreciates selecting part in video games, be familiar with multi-player and on-line video games options. These aspects give your kid into interact with many some gamers throughout the . As good as the situation is for your teenager in order to explain with others, you can not know who anyone on the other quit is.&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Vehicle which play clash of clans searching ways of getting costless gems. The gems are very important when they give the player the features and the power enhance their gaming experience. As opposed to added equivalent games in cell phone websites, especially those even individuals use various cracks in buy to gain these practical information forward free, the nature pertaining to farmville and its array does not enable any varieties of hacks that anyone can put to the game. Everyone is always looking for ways teaching how to get free gems at clash of clans nevertheless the most important thing to perform is to employ the best approach to earn these visitors for free, save these businesses suitably and use these people where necessary.&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Where you&#039;re playing a ball game online, and you perform across another player what kind of person seems to be worisome other players (or you, in particular) intentionally, can not take it personally. This is called &amp;quot;Griefing,&amp;quot; and it&#039;s the casino equivalent of Internet trolling. Griefers are you can just out for negative attention, and you give individuals what they&#039;re looking designed for if you interact these people. Don&#039;t get emotionally used in what&#039;s happening and even simply try to overlook it.&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Second, when your husband settles to commit adultery, my husband creates a problem exactly who forces you to prepare some serious decisions. Step one turn at your Xbox sign taken from the dash board. It is unforgivable and as well , disappointing to say the least. I think we need start differentiating between the public interest, and a complete proper definition of what that means, and very helpful that the media settle on the public people may possibly be interested in. Ford introduced the most important production woodie in 1929. The varieties most typically associated with fingers you perform wearing No-Limit Holdem vary than all those in Restrain.&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Be careful about letting your tiddler play online video games, especially games with function sound. There can be foul language in most channels, in addition a number of bullying behavior. There could also be child predators in these chat rooms. Exactly what your child is working on and surveil these chatting times due to a person&#039;s protection.&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Computer games or computer games elevated in popularity nowadays, merely with the younger generation, but also with people today as well. There are a number games available, ranging over the intellectual to the regularly - your options may very well be limitless. Online character playing games are one of the most popular games anywhere planet. With this popularity, plenty of men and women are exploring and trying to find ways to go over the whole game as really fast as they can; reasons for using computer How to compromise in clash of clans range from simply planning to own your own good friends stare at you in awe, or getting a tremendous amount of game money anyone really can sell later, or simply just for you to rid the game among the fun factor for the opposite players.&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>134.130.181.83</name></author>
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		<title>Newmark-beta method</title>
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		<updated>2012-04-16T08:51:13Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;134.130.83.36: typo&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;I woke up yesterday  and realised - I have also been single for a little while at the moment and after much bullying from friends I now locate myself opted for [http://Imageshack.us/photos/internet+dating internet dating]. They assured me that there are lots of normal, sweet and fun folks to meet, therefore here   [http://www.museodecarruajes.org luke bryan concert ticket] goes   [http://lukebryantickets.iczmpbangladesh.org tickets for luke bryan] the message!&amp;lt;br&amp;gt;I try to keep as physically healthy as possible being at the gym several-times a week. I enjoy my sports and endeavor to play or view as many a potential. Being winter I&#039;ll frequently at Hawthorn matches. Note: I have experienced the carnage of fumbling matches at stocktake revenue, Supposing that you considered purchasing an athletics I really do not mind.&amp;lt;br&amp;gt;My household and buddies   luke bryan concert tour 2014 ([http://www.hotelsedinburgh.org www.hotelsedinburgh.org]) are amazing and spending some time together at tavern gigs or meals is consistently vital. As I find that one may never own a decent conversation using the noise I have never been in to clubs. I likewise got 2 undoubtedly cheeky and quite adorable canines that are almost always keen to meet fresh folks.&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;Feel free to surf to my   [http://www.senatorwonderling.com concert dates for luke bryan] web page [http://lukebryantickets.neodga.com luke brian tickets]&lt;/div&gt;</summary>
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