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2013-12-06T18:42:58Z

130.85.58.237:

In mathematics, a '''superelliptic curve''' is a [[plane curve]] with an equation of the form
:<math>y^m = f(x),</math>
where the exponent <math>m</math> is fixed and <math>f</math> is a [[polynomial]]. The case <math>m = 2</math> is a ''[[hyperelliptic curve]]'': the case <math>m = 3</math> is a ''[[trigonal curve]]''.

The [[Diophantine problem]] of finding integer points on a superelliptic curve can be solved by a method similar to one used for the resolution of hyperelliptic equations: a [[Siegel identity]] is used to reduce to a [[Thue equation]].

== Definition ==
More generally, a ''superelliptic curve'' is a cyclic [[branched covering]]
:<math>C \to \mathbb{P}^1</math>
of the projective line of degree <math>m \geq 2</math> coprime to the characteristic of the field of definition. The degree <math>m</math> of the covering map is also referred to as the degree of the curve. By ''cyclic covering'' we mean that the [[Galois group]] of the covering (i.e., the corresponding [[Function field of an algebraic variety|function field]] extension) is [[Cyclic group|cyclic]].

The fundamental theorem of [[Kummer theory]] implies {{Citation needed|date=February 2014}} that a superelliptic curve of degree <math>m</math> defined over a field <math>k</math> has an affine model given by an equation
:<math>y^m = f(x)</math>
for some polynomial <math>f \in k[x]</math> of degree <math>m</math> without repeated roots, provided that <math>C</math> has a point defined over <math>k</math>, that is, if the set <math>C(k)</math> of <math>k</math>-rational points of <math>C</math> is not empty. For example, this is always the case when <math>k</math> is [[Algebraically closed field|algebraically closed]]. In particular, function field extension <math>k(C)/k(x)</math> is a [[Kummer extension]].

==Ramification==
Let <math>C: y^m = f(x)</math> be a superelliptic curve defined over an algebraically closed field <math>k</math>, and <math>B' \subset k</math> denote the set of roots of <math>f</math> in <math>k</math>. Define set
:<math>B = \begin{cases} B' &\text{ if }m\text{ divides }\deg(f), \\ B'\cup\{\infty\} &\text{ otherwise.}\end{cases}</math>
Then <math>B \subset \mathbb{P}^1(k)</math> is the set of branch points of the covering map <math>C \to \mathbb{P}^1</math> given by <math>x</math>.

For an affine branch point <math>\alpha \in B</math>, let <math>r_\alpha</math> denote the order of <math>\alpha</math> as a root of <math>f</math>. Then
:<math>e_\alpha = \frac{m}{(m, r_\alpha)}</math>
is the ramification index <math>e(P_{\alpha, i})</math> at each of the <math>(m, r_\alpha)</math> ramification points <math>P_{\alpha, i}</math> of the curve lying over <math>\alpha \in \mathbb{A}^1(k) \subset \mathbb{P}^1(k)</math> (that is actually true for any <math>\alpha \in k</math>).

For the point at infinity,
:<math>e_\infty = \frac{m}{(m, \deg(f))}</math>
is the ramification index <math>e(P_{\infty, i})</math> at the <math>(m, \deg(f))</math> points <math>P_{\infty, i}</math> that lie over <math>\infty</math>. In particular, the curve is unramified over infinity if and only if its degree <math>m</math> and the degree of the defining polynomial <math>f</math> are relatively prime.

==See also==
* [[Hyperelliptic curve]]
* [[Artin-Schreier curve]]
* [[Kummer theory]]
* [[Superellipse]]

==References==
* {{cite book | first1=Marc | last1=Hindry | first2=Joseph H. | last2=Silverman | authorlink2=Joseph H. Silverman | title=Diophantine Geometry: An Introduction | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | volume=201 | year=2000 | isbn=0-387-98981-1 | zbl=0948.11023 | page=361 }}
* {{cite book | first=Serge | last=Lang | authorlink=Serge Lang | title=Elliptic Curves: Diophantine Analysis | volume=231 | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1978 | isbn=0-387-08489-4 }}
* {{cite book | last1=Shorey | first1=T.N. | last2=Tijdeman | first2=R. | author2-link=Robert Tijdeman | title=Exponential Diophantine equations | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=87 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1986 | isbn=0-521-26826-5 | zbl=0606.10011 }}
* {{cite book | title=The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations | volume=41 | series=London Mathematical Society Student Texts | first=N. P. | last=Smart | authorlink=Nigel Smart (cryptographer) | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1998 | isbn=0-521-64633-2 }}

[[Category:Algebraic curves]]

{{geometry-stub}}

Lookup table

2013-12-05T01:47:55Z

130.85.255.80: /* History */

In [[linear algebra]], the '''Cauchy–Binet formula''', named after [[Augustin-Louis Cauchy]] and [[Jacques Philippe Marie Binet]], is an identity for the [[determinant]] of the [[matrix multiplication|product]] of two rectangular [[matrix (mathematics)|matrices]] of transpose shapes (so that the product is well-defined and square). It generalizes the statement that the determinant of a product of square matrices is equal to the product of their determinants. The formula is valid for matrices with entries from any [[commutative ring]].

== Statement ==

Let ''A'' be an ''m''×''n'' matrix and ''B'' an ''n''×''m'' matrix. Write [''n''] for the set { 1, ..., ''n'' }, and <math>\tbinom{[n]}m</math> for the set of ''m''-[[combination]]s of [''n''] (i.e., subsets of size ''m''; there are [[binomial coefficient|<math>\tbinom nm</math>]] of them). For <math>S\in\tbinom{[n]}m</math>, write ''A''[''m''],''S'' for the ''m''×''m'' matrix whose columns are the columns of ''A'' at indices from ''S'', and ''B''''S'',[''m''] for the ''m''×''m'' matrix whose rows are the rows of ''B'' at indices from ''S''. The Cauchy–Binet formula then states

: <math>\det(AB) = \sum_{S\in\tbinom{[n]}m} \det(A_{[m],S})\det(B_{S,[m]}).</math>

Example: taking ''m'' = 2 and ''n'' = 3, and matrices <math>A = \begin{pmatrix}1&1&2\\
3& 1& -1\\
\end{pmatrix}</math>
and <math>B =
\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}</math>, the Cauchy–Binet formula gives the determinant:

:<math>
\det(AB)=
\left|\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right|
+
\left|\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}\right|
+
\left|\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}\right|.
</math>

Indeed <math>AB =\begin{pmatrix}4&6\\6&2\end{pmatrix}</math>, and its determinant is −28, which is also the value <math>-2\times-2+-3\times6+-7\times2</math> given by the right hand side of the formula.

== Special cases ==
If ''n'' < ''m'' then <math>\tbinom{[n]}m</math> is the empty set, and the formula says that det(''AB'') = 0 (its right hand side is an [[empty sum]]); indeed in this case the [[rank (linear algebra)|rank]] of the ''m''×''m'' matrix ''AB'' is at most ''n'', which implies that its determinant is zero. If ''n'' = ''m'', the case where ''A'' and ''B'' are square matrices, <math>\tbinom{[n]}m=\{[n]\} </math> (a [[singleton (mathematics)|singleton]] set), so the sum only involves ''S'' = [''n''], and the formula states that det(''AB'') = det(''A'')det(''B'').

For ''m'' = 0, ''A'' and ''B'' are [[empty matrix|empty matrices]] (but of different shapes if ''n'' > 0), as is their product ''AB''; the summation involves a single term ''S'' = Ø, and the formula states 1 = 1, with both sides given by the determinant of the 0×0 matrix. For ''m'' = 1, the summation ranges over the collection <math>\tbinom{[n]}1</math> of the ''n'' different singletons taken from [''n''], and both sides of the formula give <math>\textstyle\sum_{j=1}^nA_{1,j}B_{j,1}</math>, the [[dot product]] of the pair of [[Tuple|vector]]s represented by the matrices. The smallest value of ''m'' for which the formula states a non-trivial equality is ''m'' = 2; it is discussed in the article on the [[Binet–Cauchy identity]].

== Proof ==

There are various kinds of proofs that can be given for the Cauchy−Binet formula. The proof below is based on formal manipulations only, and avoids using any particular interpretation of determinants, which may be taken to be defined by the [[Leibniz formula (determinant)|Leibniz formula]]. Only their multilinearity with respect to rows and columns, and their alternating property (vanishing in the presence of equal rows or columns) are used; in particular the multiplicative property of determinants for square matrices is not used, but is rather established (the case ''n'' = ''m''). The proof is valid for arbitrary commutative coefficient rings.

The formula can be proved in two steps:

# use the fact that both sides are [[multilinear]] (more precisely 2''m''-linear) in the ''rows'' of ''A'' and the ''columns'' of ''B'', to reduce to the case that each row of ''A'' and each column of ''B'' has only one non-zero entry, which is 1.
# handle that case using the functions [''m'']→[''n''] that map respectively the row numbers of ''A'' to the column number of their nonzero entry, and the column numbers of ''B'' to the row number of their nonzero entry.

For step 1, observe that for each row of ''A'' or column of ''B'', and for each ''m''-combination ''S'', the values of det(''AB'') and det(''A''[''m''],''S'')det(''B''''S'',[''m'']) indeed depend linearly on the row or column. For the latter this is immediate from the multilinear property of the determinant; for the former one must in addition check that taking a linear combination for the row of ''A'' or column of ''B'' while leaving the rest unchanged only affects the corresponding row or column of the product ''AB'', and by the same linear combination. Thus one can work out both sides of the Cauchy−Binet formula by linearity for every row of ''A'' and then also every column of ''B'', writing each of the rows and columns as a linear combination of standard basis vectors. The resulting multiple summations are huge, but they have the same form for both sides: corresponding terms involve the same scalar factor (each is a product of entries of ''A'' and of ''B''), and these terms only differ by involving two different expressions in terms of constant matrices of the kind described above, which expressions should be equal according to the Cauchy−Binet formula. This achieves the reduction of the first step.

Concretely, the multiple summations can be grouped into two summations, one over all functions ''f'':[''m''] → [''n''] that for each row index of ''A'' gives a corresponding column index, and one over all functions ''g'':[''m''] → [''n''] that for each column index of ''B'' gives a corresponding row index. The matrices associated to ''f'' and ''g'' are

:<math>L_f=\bigl((\delta_{f(i),j})_{i\in[m],j\in[n]}\bigr) \quad\text{and}

\quad R_g=\bigl((\delta_{j,g(k)})_{j\in[n],k\in[m]}\bigr)</math>

where "<math>\delta</math>" is the [[Kronecker delta]], and the Cauchy−Binet formula to prove has been rewritten as

:<math>\sum_{f:[m]\to[n]}\sum_{g:[m]\to[n]}p(f,g)\det(L_fR_g)
=\sum_{f:[m]\to[n]}\sum_{g:[m]\to[n]}p(f,g)\sum_{S\in\tbinom{[n]}m}\det((L_f)_{[m],S})\det(R_g)_{S,[m]}),</math>

where ''p''(''f'',''g'') denotes the scalar factor <math>\textstyle(\prod_{i=1}^mA_{i,f(i)})(\prod_{k=1}^mB_{g(k),k})</math>. It remains to prove the Cauchy−Binet formula for ''A'' = ''L''''f'' and ''B'' = ''R''''g'', for all ''f'',''g'':[''m''] → [''n''].

For this step 2, if ''f'' fails to be injective then ''L''''f'' and ''L''''f''''R''''g'' both have two identical rows, and if ''g'' fails to be injective then ''R''''g'' and ''L''''f''''R''''g'' both have two identical columns; in either case both sides of the identity are zero. Supposing now that both ''f'' and ''g'' are injective maps [''m''] → [''n''], the factor <math>\det((L_f)_{[m],S})</math> on the right is zero unless ''S'' = ''f''([''m'']), while the factor <math>\det((R_g)_{S,[m]})</math> is zero unless ''S'' = ''g''([''m'']). So
if the images of ''f'' and ''g'' are different, the right hand side has only null terms, and the left hand side is zero as well since ''L''''f''''R''''g'' has a null row (for ''i'' with <math>f(i)\notin g([m])</math>). In the remaining case where the images of ''f'' and ''g'' are the same, say ''f''([''m'']) = ''S'' = ''g''([''m'']), we need to prove that

:<math>\det(L_fR_g)=\det((L_f)_{[m],S})\det(R_g)_{S,[m]}).\,</math>

Let ''h'' be the unique increasing bijection [''m''] → ''S'', and ''π'',''σ'' the permutations of [''m''] such that <math>f=h\circ\pi^{-1}</math> and <math>g=h\circ\sigma</math>; then <math>(L_f)_{[m],S}</math> is the [[permutation matrix]] for ''π'', <math>(R_g)_{S,[m]}</math> is the permutation matrix for ''σ'', and ''L''''f''''R''''g'' is the permutation matrix for <math>\pi\circ\sigma</math>, and since the determinant of a permutation matrix equals the [[signature (permutation)|signature]] of the permutation, the identity follows from the fact that signatures are multiplicative.

Using multi-linearity with respect to both the rows of ''A'' and the columns of ''B'' in the proof is not necessary; one could use just one of them, say the former, and use that a matrix product ''L''''f''''B'' either consists of a permutation of the rows of ''B''''f''([''m'']),[''m''] (if ''f'' is injective), or has at least two equal rows.

== Relation to the generalized Kronecker delta ==
As we have seen, the Cauchy–Binet formula is equivalent to the following:
:<math>
\det(L_fR_g)=\sum_{S\in\tbinom{[n]}m} \det((L_f)_{[m],S})\det((R_g)_{S,[m]}),
</math>
where
:<math>
L_f=\bigl((\delta_{f(i),j})_{i\in[m],j\in[n]}\bigr) \quad\text{and} \quad R_g=\bigl((\delta_{j,g(k)})_{j\in[n],k\in[m]}\bigr).
</math>

In terms of [[Kronecker delta#Generalizations of the Kronecker delta|generalized Kronecker delta]], we can derive the formula equivalent to the Cauchy–Binet formula:
:<math>
\delta^{f(1) \dots f(m)}_{g(1) \dots g(m)} = \sum_{k:[m]\to[n] \atop k(1)<\dots<k(m)}
\delta^{f(1) \dots f(m)}_{k(1) \dots k(m)}
\delta^{k(1) \dots k(m)}_{g(1) \dots g(m)}.
</math>

== Geometric interpretations ==

If ''A'' is a real ''m''×''n'' matrix, then det(''A'' ''A''T) is equal to the square of the ''m''-dimensional volume of the [[parallelotope]] spanned in '''R'''''n'' by the ''m'' rows of ''A''. Binet's formula states that this is equal to the sum of the squares of the volumes that arise if the parallelepiped is orthogonally projected onto the ''m''-dimensional coordinate planes (of which there are <math>\tbinom nm</math>).

In the case ''m'' = 1 the parallelotope is reduced to a single vector and its volume its length. The above statement then states that the square of the length of a vector is the sum of the squares of its coordinates; this is indeed the case by [[Euclidean distance|the definition]] of that length, which is based on the [[Pythagorean theorem]].

== Generalization ==

The Cauchy–Binet formula can be extended in a straightforward way to a general formula for the [[minor (linear algebra)|minors]] of the product of two matrices. That formula is given in the article on [[minor (linear algebra)|minors]].

==References==
* Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) ''A Comprehensive Introduction to Linear Algebra'', §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp 208–14, [[Addison-Wesley]] ISBN 0-201-50065-5.
* Jin Ho Kwak & Sungpyo Hong (2004) ''Linear Algebra'' 2nd edition, Example 2.15 Binet-Cauchy formula, pp 66,7, [[Birkhäuser]] ISBN 0-8176-4294-3.
* [[Igor Shafarevich|I. R. Shafarevich]] & A. O. Remizov (2012) ''Linear Algebra and Geometry'', §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), [[Springer Science+Business Media|Springer]] ISBN 978-3-642-30993-9.

==External links==
* Aaron Lauve (2004) [http://www.lacim.uqam.ca/~lauve/courses/su2005-550/BS3.pdf A short combinatoric proof of Cauchy–Binet formula] from [[Université du Québec à Montréal]].

{{DEFAULTSORT:Cauchy-Binet formula}}
[[Category:Determinants]]

Multivariate random variable

2013-11-15T00:39:45Z

130.85.194.248:

{{other uses}}
[[Image:Luca Giordano 014.jpg|thumb|right|Prudence, by [[Luca Giordano]]]]
'''Prudence''' (''[[Latin|Lat.]] prudentia, [[contraction (grammar)|contracted]] from providentia, seeing ahead'') is the ability to govern and discipline oneself by the use of [[reason]].<ref>[http://www.merriam-webster.com/dictionary/prudence Prudence - Definition and More from the Free Merriam-Webster Dictionary]. Merriam-webster.com (2012-08-31). Retrieved on 2013-07-19.</ref> It is classically considered to be a [[virtue]], and in particular one of the four [[Cardinal virtues]] (which are, with the three [[theological virtues]], part of the [[seven virtues]]).

The word comes from [[Old French]] ''prudence'' (14th century), from [[Latin]] '''''prudentia''''' (foresight, sagacity). It is often associated with [[wisdom]], [[insight]], and [[knowledge]]. In this case, the virtue is the ability to judge between virtuous and vicious actions, not only in a general sense, but with regard to appropriate actions at a given time and place. Although prudence itself does not perform any actions, and is concerned solely with knowledge, all virtues had to be regulated by it. Distinguishing when acts are [[courage]]ous, as opposed to [[Recklessness (psychology)|reckless]] or [[Cowardice|cowardly]], for instance, is an act of prudence, and for this reason it is classified as a cardinal (pivotal) virtue.

Although prudence would be applied to any such judgment, the more difficult tasks, which distinguish a person as prudent, are those in which various goods have to be weighed against each other, as when a person is determining what would be best to give charitable donations, or how to punish a child so as to prevent repeating an offense.

In modern [[English language|English]], the word has become increasingly synonymous with cautiousness. In this sense, prudence names a reluctance to take risks, which remains a virtue with respect to unnecessary risks, but when unreasonably extended (i.e. over-cautiousness), can become the [[vice]] of cowardice.

In the [[Nicomachean Ethics]], [[Aristotle]] gives a lengthy account of the virtue [[phronesis]] (Greek: ϕρονησιϛ), which has traditionally been translated as "prudence", although this has become increasingly problematic as the word has fallen out of common usage. More recently ϕρονησιϛ has been translated by such terms as "[[Phronesis|practical wisdom]]", "practical judgment," or "rational choice."

==Prudence as the "Mother" of all virtues==
[[File:DSCN2047.JPG|thumb|Allegory of Prudence on the [[tomb of Francis II, Duke of Brittany]] The female face depicts Francis' daughter [[Anne of Brittany]].]]
Prudence was considered by the [[Ancient Greece|ancient Greeks]] and later on by [[Christian philosophy|Christian philosophers]], most notably [[Thomas Aquinas]], as the cause, measure and form of all virtues. It is considered to be the ''auriga virtutum'' or the charioteer of the virtues.

It is the cause in the sense that the virtues, which are defined to be the "perfected ability" of man as a spiritual person (spiritual personhood in the classical western understanding means having [[intelligence]] and [[free will]]), achieve their "perfection" only when they are founded upon prudence, that is to say upon the perfected ability to make right decisions. For instance, a person can live [[Temperance (virtue)|temperance]] when he has acquired the habit of deciding correctly the actions to take in response to his instinctual cravings.

Prudence is considered the measure of moral virtues since it provides a model of ethically good actions. "The work of art is true and real by its correspondence with the pattern of its prototype in the mind of the artist. In similar fashion, the free activity of man is good by its correspondence with the pattern of prudence." ([[Josef Pieper]]) For instance, a [[stockbroker]] using his experience and all the data available to him decides that it is beneficial to sell stock A at 2PM tomorrow and buy stock B today. The content of the decision (e.g., the stock, amount, time and means) is the product of an act of prudence, while the actual carrying out of the decision may involve other virtues like fortitude (doing it in spite of fear of failure) and justice (doing his job well out of justice to his company and his family). The actual act's "goodness" is measured against that original decision made through prudence.<ref>Although Aristotle himself would have considered this way of making money contemptible: "[T]hose who ply sordid trades...and those who lend small sums and at high rates...take more than they ought and from wrong sources. What is common to them is evidently sordid love of gain...[A]ll such forms of taking are mean. (Nicomachean Ethics 1121b31)</ref>

In Greek and Scholastic philosophy, "form" is the specific characteristic of a thing that makes it what it is. With this language, prudence confers upon other virtues the form of its inner essence; that is, its specific character as a virtue. For instance, not all acts of telling the truth are considered good, considered as done with the virtue of honesty. What makes telling the truth a virtue is whether it is done with prudence. Telling a competitor the professional secrets of your company is not prudent and therefore not considered good and virtuous.

==Prudence versus cunning and false prudence==
In the Christian understanding, the difference between prudence and cunning lies in the intent with which the decision of the context of an action is made. The Christian understanding of the world includes the existence of [[God]], the [[natural law]] and [[Morality|moral]] implications of human actions. In this context, prudence is different from cunning in that it takes into account the supernatural good. For instance, the decision of persecuted Christians to be [[martyr]]ed rather than deny their faith is considered prudent. Pretending to deny their faith could be considered prudent from the point of view of a non-believer.

Judgments using reasons for evil ends or using evil means are considered to be made through "cunning" and "false prudence" and not through prudence.

On another hand, prudence is based on good will, loving kindness towards each other, leading to "peace," "gloriousness" and "joy" of oneself and/or others; it is without evil reasons and will not cause emotional sorrow to oneself and/or others, will not cause trouble(s) to oneself and/or others.

==Integral Parts of Prudence==
"Integral parts" of virtues, in [[Scholasticism|Scholastic philosophy]], are the elements that must be present for any complete or perfect act of the virtue. The following are the integral parts of prudence:
* [[Memoria]] — Accurate memory; that is, memory that is true to reality
* Intelligentia — Understanding of [[first principle]]s
* Docilitas — The kind of open-mindedness that recognizes the true variety of things and situations to be experienced, and does not cage itself in any presumption of deceptive knowledge; the ability to make use of the experience and authority of others to make prudent decisions
* Shrewdness or quick-wittedness (solertia) — sizing up a situation on one's own quickly
* Discursive reasoning (ratio) — research and compare alternative possibilities
* Foresight ([[providentia]]) — capacity to estimate whether a particular action will lead to the realization of a goal
* Circumspection — ability to take all relevant circumstances into account
* Caution — risk mitigation

==Prudential judgments==
[[File:Titian - Allegorie der Zeit.jpg|thumb|The [[Allegory of Prudence]], a painting by Titian. To Titian, prudence was preparation, foresight and judgement from experience and human history. The three faces in his allegorical painting represent passage of human generations, the young facing the light while the oldest fading into shadow. Above the heads of the three faces is a faint inscription that means, "From the past, the present acts prudently, lest it spoils future action."<ref>David Summers (1987), The Judgment of Sense: Renaissance Naturalism and the Rise of Aesthetics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-32675-9</ref>]]
In ethics, a "prudential judgment" is one where the circumstances must be weighed to determine the correct action. Generally, it applies to situations where two people could weigh the circumstances differently and ''ethically'' come to different conclusions.

For instance, in [[Just War]] theory, the government of a nation must weigh whether the harms they suffer are more than the harms that would be produced by their going to war against another nation that is harming them; the decision whether to go to war is therefore a prudential judgment.

In another case, a patient who has a terminal illness with no conventional treatment may hear of an experimental treatment. To decide whether to take it would require weighing on one hand, the cost, time, possible lack of benefit, and possible pain, disability, and hastened death, and on the other hand, the possible benefit and the benefit to others of what could be learned from his case.

==Prudence in rhetoric==
[[Phronesis]], or practical wisdom, holds an important place in [[rhetoric|rhetorical theory]] as a central aspect of judgment and practice. [[Aristotle]]’s notion of phronesis fits with his notes on rhetoric because neither, in his estimation, could be reduced to an [[episteme]] or a [[techne]], and both deal with the ability to deliberate about contingent, variable, or indeterminate matters.

[[Cicero]] defined ''prudentia'' as a rhetorical norm in ''[[De Oratore]]'', ''[[De officiis]]'', ''[[De Inventione]]'', and ''[[De re publica]]''. He contrasts the term with ''imprudens'', young men failing to consider the consequences before they act. The ''prudens'', or those who had prudence, knew when to speak and when to stay silent. Cicero maintained that prudence was gained only through experience, and while it was applied in everyday conversation, in public discourse it was subordinated to the broader term for wisdom, ''sapientia''.<ref>{{cite book|last=Hariman|first=Robert|title=Prudence: classical virtue, postmodern practice|publisher=The Pennsylvania State University Press|year=2003|page=37}}</ref>

In the contemporary era, rhetorical scholars have tried to recover a robust meaning for the term. They have maintained consistency with the ancient orators, contending that prudence is an embodied persuasive resource.<ref name=Jasinski>{{cite book|last=Jasinski|first=Jamesyear=2001|title=Sourcebook on Rhetoric|publisher=Sage Publications|page=463}}</ref> Although sets of principles or rules can be constructed in a particular culture, scholars agree that prudence cannot be derived from a set of timeless principles. Instead, through gauging the situation and through reasoned deliberation, a speaker should determine the set of values and morals by which to base his (or her) actions. Furthermore, scholars suggest the capacity to take into account the particularities of the situation as vital to prudential practice. For example, rhetorical scholar Lois Self explains, “both rhetoric and phronesis are normative processes in that they involve rational principles of choice-making; both have general applicability but always require careful analysis of particulars in determining the best response to each specific situation; both ideally take into account the wholeness of human nature; and finally, both have social utility and responsibility in that both treat matter of the public good.”<ref>{{cite book|first=Lois|last=Self|chapter=Rhetoric and Phronesis: The Aristotelian Ideal|title=Philosophy and Rhetoric|publisher=Penn State University Press|year=1979|page=14}}</ref> Robert Hariman, in his examination of [[Malcolm X]], adds that “aesthetic sensibility, imitation of a performative ideal, and improvisation upon conventions of presentation” are also components of practical reasoning.<ref>{{cite book|last=Hariman|first=Robert|title=Theory without Modernity|year=1991|page=28}}</ref>

Small differences emerge between rhetorical scholars regarding definitions of the term and methods of analysis. Hans-Georg Gadamer, asserts that prudence materializes through the application of principles and can be evaluated accordingly.<ref>{{cite journal|last=Gadamer|first=Hans-George|title=Truth and Method|journal=Crossroad|year=1982|page=7}}</ref> In his analysis of [[Andrew Cuomo]]’s speech to the Catholic Church of Notre Dame, James Jasinski contends, somewhat differently, that since prudence is not an episteme or techne, it cannot be calculated by formal matters like consequences but by judging embodied rhetorical performance.<ref name="Jasinski"/> Thus, while Gadamer would judge prudence based on the execution of contingent principles, Jasinski would examine the artistry of [[communication]] in its cultural milieu between accommodation ([[compromise]]) and audacity ([[courage]]).

In his study of [[Machiavelli]], examining the relationship between prudence and moderation, rhetorical scholar Eugene Garver holds that there is a middle ground between “an ethics of principles, in which those principles univocally dictate action” and “an ethics of consequences, in which the successful result is all.”<ref name=Garver>{{cite book|last=Garver|first=Eugene|title=Machiavelli and the History of Prudence|publisher=University of Wisconsin Press|year=1987 |isbn=0-299-11080-X }}</ref> His premise stems from Aristotle’s theory of virtue as an “intermediate,” in which moderation and compromise embody prudence. Yet, because valorizing moderation is not an active response, prudence entails the “transformation of moderation” into a fitting response, making it a flexible situational norm.<ref name=Garver/> Garver also asserts that prudential reasoning differs from “algorithmic” and “[[heuristic]]” reasoning because it is rooted in a political community. Garver says that common problems regarding stability and innovation arise in a political community, calling for the need for prudential reasoning.<ref name=Garver/>

==Prudence in economics==
Economists say that a consumer is 'prudent' if he or she [[Saving|saves]] more when faced with [[risk]]ier future income. This additional saving is called [[precautionary saving]]. Prudence is closely related to [[risk aversion]]. The difference is that saying a consumer is risk averse merely implies that he or she dislikes facing risk, whereas prudence implies that the consumer takes action to offset the effects of the risk (namely, by increasing saving).

If a risk averse consumer has a [[utility function]] <math>u(x)</math> over consumption ''x'', and if <math>u(x)</math> is [[Derivative|differentiable]], then the consumer is not prudent unless the third [[derivative]] of utility is positive, that is, <math>
u^{'''}\left(x\right)>0
</math>.<ref>{{cite journal |first=A. |last=Sandmo |year=1970 |title=The Effect of Uncertainty on Saving Decisions |journal=[[Review of Economic Studies]] |volume=37 |issue=3 |pages=353–360 |jstor=2296725 }}</ref>

The strength of the precautionary saving motive can be measured by '''absolute prudence''', which is defined as
<math>
-\frac{u^{'''}\left(x\right)}{u^{''}\left(x\right)}
</math>. Similarly, '''relative prudence''' is defined as absolute prudence, multiplied by the level of consumption. These measures are closely related to the concepts of absolute and relative [[risk aversion]] developed by [[Kenneth Arrow]] and [[John W. Pratt]].<ref>{{cite journal |first=M. |last=Kimball |year=1990 |title=Precautionary Saving in the Small and in the Large |journal=[[Econometrica]] |volume=58 |issue=1 |pages=53–73 |jstor=2938334 }}</ref>

==Prudence in accounting==
In [[accounting]], prudence was long considered one of the '''fundamental accounting concepts''', determining the time for [[revenue recognition]].<ref>[http://www.hmrc.gov.uk/manuals/bimmanual/bim31030.htm Tax and accountancy: 'fundamental accounting concepts'], [[HMRC]], UK. Retrieved 2011-04-12</ref> The rule of prudence meant that gains should not be anticipated unless their realisation was highly probable. However, recent developments in [[Generally Accepted Accounting Principles]] have led academic critics to accuse the international standard-setting body [[IASB]] of abandoning prudence.<ref>[http://www.accountancyage.com/aa/news/1808094/iasb-abandoned-prudence-professor-warns IASB has abandoned prudence, professor warns], ''[[Accountancy Age]]'', 24 August 2010</ref> In the [[Generally Accepted Accounting Practice (UK)|British reporting standard]] FRS 18, prudence, along with consistency, was relegated to a "desirable" quality of financial information rather than fundamental concept.<ref>[http://www.hmrc.gov.uk/manuals/bimmanual/bim31032.htm Tax and accountancy: development of accountancy concepts and new objectives: FRS18], HMRC. Retrieved 2011-04-12</ref> Prudence was rejected for IFRS because it was seen as introducing bias to accounts, which should be neutral.<ref name=Lords>Rose Orlik, [http://www.accountancyage.com/aa/analysis/2039988/lords-leap-international-standards Lords took a leap on international standards], ''[[Accountancy Age]]'', 4 Apr 2011. Retrieved 2011-04-12</ref>

In a 2011 report on the [[Financial crisis of 2007–08]], the British [[House of Lords]] bemoaned the demotion of prudence as a governing principle of accounting and [[financial audit|audit]]. However, their comments were disputed by some leading practitioners.<ref name=Lords/>

==See also==
*[[Prudence (given name)]]
*[[Phronesis]]

==References==
{{Reflist}}

==External links==
{{Wiktionary|Prudence|prudence}}
*[http://www.newadvent.org/summa/3.htm ''Summa Theologica'' "Second Part of the Second Part"] See Questions 47-56
*[http://www.newadvent.org/cathen/12517b.htm ''Catholic Encyclopedia'' "Prudence"]

{{logic}}
{{Use dmy dates|date=January 2011}}

[[Category:Christian ethics]]
[[Category:Positive psychology]]
[[Category:Critical thinking]]

Fisher information metric

2013-09-26T19:33:10Z

130.85.244.4: put KL-div in parens for clarity

{{refimprove|date=July 2012}}
In [[abstract algebra]], an '''Artinian ring''' is a [[ring (mathematics)|ring]] that satisfies the [[descending chain condition]] on [[ideal (ring theory)|ideals]]. They are also called '''Artin rings''' and are named after [[Emil Artin]], who first discovered that the descending chain condition for ideals simultaneously generalizes [[finite ring]]s and rings that are finite-dimensional [[vector space]]s over [[field (mathematics)|fields]]. The definition of Artinian rings may be restated by interchanging the descending chain condition with an equivalent notion: the [[minimum condition]].

A ring is '''left Artinian''' if it satisfies the descending chain condition on left ideals, '''right Artinian''' if it satisfies the descending chain condition on right ideals, and '''Artinian''' or '''two-sided Artinian''' if it is both left and right Artinian. For [[commutative ring]]s the left and right definitions coincide, but in general they are distinct from each other.

The [[Artin–Wedderburn theorem]] characterizes all [[simple ring|simple]] Artinian rings as the [[matrix ring]]s over a [[division ring]]. This implies that a simple ring is left Artinian if and only if it is right Artinian.

Although the descending chain condition appears dual to the [[ascending chain condition]], in rings it is in fact the stronger condition. Specifically, a consequence of the [[Hopkins–Levitzki theorem|Akizuki–Hopkins–Levitzki theorem]] is that a left (right) Artinian ring is automatically a left (right) [[Noetherian ring]]. This is not true for general [[module (mathematics)|module]]s, that is, an [[Artinian module]] need not be a [[Noetherian module]].

== Examples ==
*An integral domain is Artinian if and only if it is a field.
*A ring with finitely many, say left, ideals is left Artinian. In particular, a [[finite ring]] (e.g., <math>\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}</math>) is left and right Artinian.
*Let ''k'' be a field. Then <math>k[t]/(t^n)</math> is Artinian for every positive integer ''n''.
*If ''I'' is a nonzero ideal of a [[Dedekind domain]] ''A'', then <math>A/I</math> is a [[principal ideal ring|principal]] Artinian ring.<ref>Theorem 459 of http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf</ref>
*For each <math>n \ge 1</math>, the full matrix ring <math>M_n(R)</math> over a left Artinian (resp. left Noetherian) ring ''R'' is left Artinian (resp. left Noetherian).<ref>{{harvnb|Cohn|2003|loc=5.2 Exercise 11}}</ref>

The ring of integers <math>\mathbb{Z}</math> is a Noetherian ring but is not Artinian.

== Modules over Artinian rings ==
Let ''M'' be a left module over a left Artinian ring. Then the following are equivalent: (i) ''M'' is finitely generated, (ii) ''M'' has [[finite length]], (iii) ''M'' is Noetherian, (iv) ''M'' is Artinian.<ref>{{harvnb|Bourbaki|loc=VIII, pg 7}}</ref>

== Commutative Artinian rings ==
Let ''A'' be a commutative Noetherian ring with unity. Then the following are equivalent.
*''A'' is Artinian.
*''A'' is a finite product of commutative Artinian local rings.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Atiyah|last2 = Macdonald|year = 1969|}}, Theorems 8.7</ref>
*''A'' / nil(''A'') is a [[semisimple ring]], where nil(''A'') is the [[Nilradical of a ring|nilradical]] of ''A''{{citation needed|date=July 2012}}.<ref>Sketch: In commutative rings, nil(''A'') is contained in the [[Jacobson radical]] of ''A''. Since ''A''/nil(''A'') is semisimple, nil(''A'') is actually equal to the Jacobson radical of ''A''. By [[Levitzky's theorem]], nil(''A'') is a nilpotent ideal. These last two facts show that ''A'' is a [[semiprimary ring]], and by the [[Hopkins–Levitzki theorem]] ''A'' is Artinian.</ref>
* Every finitely generated module over ''A'' has finite length. (see above)
*''A'' has dimension zero.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Atiyah|last2 = Macdonald|year = 1969|}}, Theorems 8.5</ref> (In particular, the nilradical is the Jacobson radical since prime ideals are maximal.)
*<math>\operatorname{Spec}A</math> is finite and discrete.
*<math>\operatorname{Spec}A</math> is discrete.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Atiyah|last2 = Macdonald|year = 1969|}}, Ch. 8, Exercise 2.</ref>

Let ''k'' be a field and ''A'' finitely generated ''k''-algebra. Then ''A'' is Artinian if and only if ''A'' is finitely generated as ''k''-module.

An Artinian local ring is complete. A quotient and localization of an Artinian ring is Artinian.

==See also==
* [[Artin algebra]]
* [[Artinian ideal]]
* [[Serial module]]
* [[Semiperfect ring]]
* [[Noetherian ring]]

==Notes==
<references/>

==References==

*{{Citation | last1=Auslander | first1=Maurice | last2=Reiten | first2=Idun | last3=Smalø | first3=Sverre O. | title=Representation theory of Artin algebras | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-41134-9 | doi=10.1017/CBO9780511623608 | mr=1314422 | year=1995 | volume=36}}
* Bourbaki, Algèbre
* Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712–730.
*{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Macdonald | first2=I.G. | author2-link=Ian G. Macdonald | title=Introduction to Commutative Algebra | publisher=Westview Press | isbn=978-0-201-40751-8 | year=1969}}
* {{cite book |last1=Cohn |first1=Paul Moritz |authorlink1= |last2= |first2= |authorlink2= |title=Basic algebra: groups, rings, and fields |url= |edition= |series= |volume= |year=2003 |publisher=Springer |location= |isbn=978-1-85233-587-8 |id= }}

[[Category:Ring theory]]

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<li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18203234 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18203234]</li>

<li>[http://bryan7.egloos.com/1403377/ http://bryan7.egloos.com/1403377/]</li>

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<li>[http://morigele.com/bbs/read.php?tid=10049381&page=e#a] http://morigele.com/bbs/read.php?tid=10049381&page=e#a]]</li>

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