The Market for Lemons: Difference between revisions

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2013 is coming to an end. Are you longing for an adrenaline stuffed 2014 because the looking season is nearing. Gear up for the subsequent big hunting journey but first you must equip yourself with the top searching gear for 2014<br><br>
In [[linear algebra]] an ''n''-by-''n'' (square) [[matrix (mathematics)|matrix]] '''A''' is called '''invertible''' (some authors use '''nonsingular''' or '''nondegenerate''') if there exists an ''n''-by-''n'' matrix '''B''' such that


Every hunter must first know his quarry, very properly. It is advisable to know the popular habitat and look of untamed hogs and you must be capable to path them. Study to learn their trails, by means of indicators like hog wallows and rooting. Accompanying experienced hunters on trips may give you arms-on expertise and confidence to go by yourself. Realizing the anatomy of your quarry and the 'kill zone' of the animal is essential. That method, whenever you shoot it, the animal suffers less and will get a fast silent demise. Getting the animal with the primary shot is also higher for your personal security.<br><br>Until you're looking on a recreation reserve throughout the daytime where the deer move a bit more typically, you will likely be bow searching within the compromised mild of the day, and since your arrow will lose it is energy and trajectory angle once it reaches about 20 - 25 yards away, this would be the distance you will be capturing for hitting a deer Give yourself a second earlier than climbing down out of your stand or leaving your blind after capturing your deer , and watch to see the place your deer heads. You'll have to attend for gentle if it goes very far. A blood path, damaged branches, and hoof prints will guide you to it's location. The puma often hunts and feeds on small prey corresponding to deer, smaller mammals, wild sheep, rabbits, raccoons, antelopes, rodents and birds.<br><br>What do you suppose. I think without it this deer would still be working. What a hunt, I will never forget it. These trail camera's are a vital instrument for us modern-day hunters of right this moment and shouldn't be over [http://Www.dict.cc/?s=regarded regarded]. They put me in the best place at the right time. They will make you a significantly better hunter They did for me. So I say to all you deer hunters - get in the woods - keep within the woods - I know I shall be. GOOD LUCK!!!! TAKE A LOOK AT Ci-dessous est l'image de la preuve de notre Deer Hunter 2014 HackNotice est attainable de générer des Gold et Bucks 9,999,999. jouir de Bow hunts take place during January when the deer are in full rut. Changes in movement patterns of dollars make this [http://www.tumblr.com/tagged/hunt+action hunt action] packed. Open the apk file and set up the sport Blacktail Deer<br><br>Moose are distinguished by the "palmate" (flattened like a hand) antlers of the males. They initially have a gentle fuzzy pores and skin known as "velvet," which is shed once the antlers develop into fully developed. This velvet has nutrient wealthy blood vessels in it that help the antlers grow. Moose antlers take three to five months to fully grow. They could develop as a lot as three-quarters of an inch per day, making them one of the fastest rising animal organs. By late summer season when the antlers reach full measurement, the nutrient rich blood provide dries up and the velvet begins to drop off. After the antlers are utterly developed, they're stable bone, and will weigh as a lot as 50 pounds, and have perhaps greater than 30 points. Whitetail Deer Gestation Interval<br><br>If you have any sort of concerns relating to where and the best ways to use [https://www.facebook.com/pages/Deer-Hunter-2014-Hack/259420840891111 deer hunter 2014 hack ios], you can call us at the website.
:<math>\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_n \  </math>
 
where '''I'''<sub>''n''</sub> denotes the ''n''-by-''n'' [[identity matrix]] and the multiplication used is ordinary [[matrix multiplication]]. If this is the case, then the matrix '''B''' is uniquely determined by '''A''' and is called the '''''inverse''''' of '''A''', denoted by '''A'''<sup>−1</sup>. It follows from the theory of matrices that if
 
:<math>\mathbf{AB} = \mathbf{I} \ </math>
 
for ''finite square'' matrices '''A''' and '''B''', then also
 
:<math>\mathbf{BA} = \mathbf{I}. \ </math><ref>{{Cite book | last1=Horn | first1=Roger A. | last2=Johnson | first2=Charles R. | title=Matrix Analysis | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-38632-6 | year=1985 | page=14 | postscript=<!--None-->}}.</ref>
 
Non-square matrices (''m''-by-''n'' matrices for which ''m ≠ n'') do not have an inverse.  However, in some cases such a matrix may have a [[Inverse element#Matrices|left inverse]] or [[Inverse element#Matrices|right inverse]].  If '''A''' is ''m''-by-''n'' and the [[rank (linear algebra)|rank]] of '''A''' is equal to ''n'', then '''A''' has a left inverse: an ''n''-by-''m'' matrix '''B''' such that '''BA'''&nbsp;=&nbsp;'''I'''.  If '''A''' has rank ''m'', then it has a right inverse: an ''n''-by-''m'' matrix '''B''' such that '''AB'''&nbsp;=&nbsp;'''I'''.
 
{{anchor|singular}} A square matrix that is not invertible is called '''singular''' or '''degenerate'''. A square matrix is singular [[if and only if]] its [[determinant]] is 0. Singular matrices are rare in the sense that a square matrix randomly selected from a [[continuous uniform distribution]] on its entries will [[almost never]] be singular.
 
While the most common case is that of matrices over the [[real number|real]] or [[complex number|complex]] numbers, all these definitions can be given for matrices over any [[ring (mathematics)|commutative ring]]. However, in this case the condition for a square matrix to be invertible is that its determinant is invertible in the ring, which in general is a much stricter requirement than being nonzero. The conditions for existence of left-inverse resp. right-inverse are more complicated since a notion of rank does not exist over rings.
 
'''Matrix inversion''' is the process of finding the matrix '''B''' that satisfies the prior equation for a given invertible matrix '''A'''.
 
== Properties ==
 
===The invertible matrix theorem===
Let '''A''' be a square ''n'' by ''n'' matrix over a [[field (mathematics)|field]] ''K'' (for example the field '''R''' of real numbers). The following statements are equivalent:
: '''A''' is invertible, i.e. '''A''' has an inverse, is nonsingular, or is nondegenerate.
: '''A''' is [[Row equivalence|row-equivalent]] to the ''n''-by-''n'' [[identity matrix]] '''I'''<sub>''n''</sub>.
: '''A''' is [[Row equivalence|column-equivalent]] to the ''n''-by-''n'' [[identity matrix]] '''I'''<sub>''n''</sub>.
: '''A''' has ''n'' [[pivot position]]s.
: [[determinant|det]] '''A''' &ne; 0.  In general, a square matrix over a [[commutative ring]] is invertible if and only if its [[determinant]] is a [[unit (ring theory)|unit]] in that ring.
: '''A''' has full rank; that is, [[rank (linear algebra)|rank]] '''A''' = ''n''.
: The equation '''Ax'''&nbsp;=&nbsp;'''0''' has only the trivial solution '''x'''&nbsp;=&nbsp;'''0'''
:    [[null space|Null]] '''A''' = {0}
: The equation '''Ax''' = '''b''' has exactly one solution for each '''b''' in ''K<sup>n</sup>''.
: The columns of '''A''' are [[linear independence|linearly independent]].
: The columns of '''A''' [[linear span|span]] ''K<sup>n</sup>''
:    Col '''A''' = ''K<sup>n</sup>''
: The columns of '''A''' form a [[basis of a vector space|basis]] of ''K<sup>n</sup>''.
: The linear transformation mapping '''x''' to '''Ax'''  is a [[bijection]] from ''K<sup>n</sup>'' to ''K<sup>n</sup>''.
: There is an ''n'' by ''n'' matrix '''B''' such that '''AB''' = '''I'''<sub>''n''</sub> = '''BA'''.
: The [[transpose]] '''A'''<sup>T</sup> is an invertible matrix (hence rows of '''A''' are [[linear independence|linearly independent]], span ''K<sup>n</sup>'', and form a [[basis of a vector space|basis]] of ''K<sup>n</sup>'').
: The number 0 is not an [[eigenvalue]] of '''A'''.
: The matrix '''A''' can be expressed as a finite product of [[elementary matrix|elementary matrices]].
: The matrix '''A''' has a left inverse (i.e. there exists a '''B''' such that '''BA''' = '''I''') ''or'' a right inverse (i.e. there exists a '''C''' such that '''AC''' = '''I'''), in which case both left and right inverses exist and '''B''' = '''C''' = '''A<sup>-1</sup>'''.
 
===Other properties===
Furthermore, the following properties hold for an invertible matrix '''A''':
* ('''A'''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup> = '''A''';
* (''k'''''A''')<sup>−1</sup> = ''k''<sup>−1</sup>'''A'''<sup>−1</sup> for nonzero scalar ''k'';
* ('''A'''<sup>T</sup>)<sup>−1</sup> = ('''A'''<sup>−1</sup>)<sup>T</sup>;
* For any invertible ''n''-by-''n'' matrices '''A''' and '''B''', ('''AB''')<sup>−1</sup> = '''B'''<sup>−1</sup>'''A'''<sup>−1</sup>.  More generally, if '''A'''<sub>1</sub>,...,'''A'''<sub>''k''</sub> are invertible ''n''-by-''n'' matrices, then ('''A'''<sub>1</sub>'''A'''<sub>2</sub>⋯'''A'''<sub>''k−1''</sub>'''A'''<sub>''k''</sub>)<sup>−1</sup> = '''A'''<sub>''k''</sub><sup>−1</sup>'''A'''<sub>''k−1''</sub><sup>−1</sup>⋯'''A'''<sub>2</sub><sup>−1</sup>'''A'''<sub>1</sub><sup>−1</sup>;
* det('''A'''<sup>−1</sup>) = det('''A''')<sup>−1</sup>.
 
'''A matrix that is its own inverse''', i.e. '''A''' = '''A'''<sup>−1</sup> and '''A'''<sup>2</sup> = '''I''', is called an [[Involutory matrix|involution]].
 
=== Density ===
Over the field of real numbers, the set of singular ''n''-by-''n'' matrices, considered as a subset of '''R'''<sup>''n''&times;''n''</sup>, is a [[null set]], i.e., has [[Lebesgue measure|Lebesgue]] [[measure zero]]. This is true because singular matrices are the roots of the polynomial function in the entries of the matrix given by the [[determinant]]. Thus in the language of [[measure theory]], [[almost all]] ''n''-by-''n'' matrices are invertible.
 
Furthermore the ''n''-by-''n'' invertible matrices are a [[dense set|dense]] [[open set]] in the [[topological space]] of all ''n''-by-''n'' matrices.  Equivalently, the set of singular matrices is [[closed set|closed]] and [[nowhere dense]] in the space of ''n''-by-''n'' matrices.
 
In practice however, one may encounter non-invertible matrices. And in [[numerical analysis|numerical calculations]], matrices which are invertible, but close to a non-invertible matrix, can still be problematic; such matrices are said to be [[Condition number#Matrices|ill-conditioned]].
 
== Methods of matrix inversion ==
 
=== Gaussian elimination ===
[[Gauss–Jordan elimination]] is an [[algorithm]] that can be used to determine whether a given matrix is invertible and to find the inverse. An alternative is the [[LU decomposition]] which generates upper and lower triangular matrices which are easier to invert.
 
=== Newton's method ===
A generalisation of [[Newton's method]] as used for a [[Multiplicative inverse#Algorithms|multiplicative inverse algorithm]] may be convenient, if it is convenient to find a suitable starting seed:
 
:<math>X_{k+1} = 2X_k - X_k A X_k.</math>
 
[[Victor Pan]] and [[John Reif]] have done work that includes ways of generating a starting seed. Otherwise, the method may be adapted to use the starting seed from a trivial starting case by using a [[homotopy]] to "walk" in small steps from that to the matrix needed, "dragging" the inverses with them:
 
:<math>X_{k+1} = 2X_k - X_k A_{k+1} X_k,</math> where <math>A_0 = S,</math> <math>X_0 = S^{-1},</math> and <math>A_N = A</math> for some terminating ''N'', perhaps followed by another few iterations at ''A'' to settle the inverse.
 
Using this simplistically on real valued matrices would lead the homotopy through a degenerate matrix about half the time, so complex valued matrices should be used to bypass that, e.g. by using a starting seed ''S'' that has ''i'' in the first entry, ''1'' on the rest of the leading diagonal, and ''0'' elsewhere. If complex arithmetic is not directly available, it may be emulated at a small cost in computer memory by replacing each complex matrix element ''a+bi'' with a 2×2 real valued submatrix of the form <math>\begin{bmatrix}
a & b \\ -b & a \\
\end{bmatrix}</math> (see [[square root of a matrix]]).
 
Newton's method is particularly useful when dealing with families of related matrices that behave enough like the sequence manufactured for the homotopy above: sometimes a good starting point for refining an approximation for the new inverse can be the already obtained inverse of a previous matrix that nearly matches the current matrix, e.g. the pair of sequences of inverse matrices used in obtaining [[Matrix_square_root#By_Denman.E2.80.93Beavers_iteration|matrix square roots by Denman-Beavers iteration]]; this may need more than one pass of the iteration at each new matrix, if they are not close enough together for just one to be enough. [[Newton's method]] is also useful for "touch up" corrections to the [[Gauss–Jordan elimination|Gauss–Jordan algorithm]] which has been contaminated by small errors due to [[Round-off error|imperfect computer arithmetic]].
 
=== Cayley–Hamilton method ===
[[Cayley–Hamilton theorem]] allows to represent the inverse of '''A''' in terms of det('''A'''), traces and powers of '''A'''  
:<math>  \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det (\mathbf{A})}\sum_{s=0}^{n-1}\mathbf{A}^{s}\sum_{k_1,k_2,\ldots ,k_{n-1}}\prod_{l=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k_l+1}}{l^{k_l}k_{l}!}\mathrm{tr}(\mathbf{A}^l)^{k_l},</math>
where ''n'' is dimenison of '''A''', and the sum is taken over ''s'' and the sets of all ''k<sub>l</sub>'' ≥ 0 satisfying the linear [[Diophantine equation]]
:<math>s+\sum_{l=1}^{n-1}lk_{l} = n - 1.</math>
 
=== Eigendecomposition ===
{{main|Eigendecomposition}}
If matrix '''A''' can be eigendecomposed and if none of its eigenvalues are zero, then '''A''' is [[nonsingular]] and its inverse is given by
:<math>\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}^{-1}\mathbf{Q}^{-1}  </math>
where '''Q''' is the square (''N''&times;''N'') matrix whose ''i''<sup>th</sup> column is the eigenvector <math>q_i</math> of '''A''' and '''Λ''' is the [[diagonal matrix]] whose diagonal elements are the corresponding eigenvalues, ''i.e.'', <math>\Lambda_{ii}=\lambda_i</math>.
Furthermore, because '''Λ''' is a [[diagonal matrix]], its inverse is easy to calculate:
:<math>\left[\Lambda^{-1}\right]_{ii}=\frac{1}{\lambda_i}</math>
 
=== Cholesky decomposition ===
{{main|Cholesky decomposition}}
If matrix '''A''' is [[Positive definite matrix|positive definite]], then its inverse can be obtained as
:<math>\mathbf{A}^{-1} = (\mathbf{L}^{*})^{-1} \mathbf{L}^{-1} , </math>
where '''L''' is the lower triangular [[Cholesky decomposition]] of '''A''', and '''L*''' denotes the conjugate transpose of '''L'''.
 
=== Analytic solution ===
{{Main|Cramer's rule}}
Writing the transpose of the [[matrix of cofactors]], known as an [[adjugate matrix]], can also be an efficient way to calculate the inverse of ''small'' matrices, but this recursive method is inefficient for large matrices. To determine the inverse, we calculate a matrix of cofactors:
 
:<math>\mathbf{A}^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\mathbf{C}^{\mathrm{T}}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}
\begin{pmatrix}
\mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{21} & \cdots & \mathbf{C}_{n1} \\
\mathbf{C}_{12} & \mathbf{C}_{22} & \cdots & \mathbf{C}_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{C}_{1n} & \mathbf{C}_{2n} & \cdots & \mathbf{C}_{nn} \\
\end{pmatrix}</math>
 
so that
:<math>\left(\mathbf{A}^{-1}\right)_{ij}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}^{\mathrm{T}}\right)_{ij}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}_{ji}\right)</math>
where |'''A'''| is the [[determinant]] of '''A''', '''C''' is the [[matrix of cofactors]], and '''C'''<sup>T</sup> represents the matrix [[transpose]].
 
==== Inversion of 2×2 matrices ====
The ''cofactor equation'' listed above yields the following result for 2×2 matrices. Inversion of these matrices can be done easily as follows:<ref>{{cite book
|title=Introduction to linear algebra
|edition=3rd
|first1=Gilbert
|last1=Strang
|publisher=SIAM
|year=2003
|isbn=0-9614088-9-8
|page=71
|url=http://books.google.com/books?id=Gv4pCVyoUVYC}}, [http://books.google.com/books?id=Gv4pCVyoUVYC&pg=PA71 Chapter 2, page 71]
</ref>
:<math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
\end{bmatrix} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
\end{bmatrix}.</math>
This is possible because 1/(ad-bc) is the reciprocal of the determinant of the matrix in question, and the same strategy could be used for other matrix sizes.
 
The Cayley–Hamilton method gives
:<math>
\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det (\mathbf{A})}\left[ \mathrm{tr}\mathbf{A}- \mathbf{A}\right].
</math>
 
==== Inversion of 3×3 matrices ====
A computationally efficient 3x3 matrix inversion is given by
:<math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i\\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\, A & \, B & \,C \\ \, D & \, E & \, F \\ \, G & \, H & \, I\\
\end{bmatrix}^T =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, I\\
\end{bmatrix}</math>
where the determinant of '''A''' can be computed by applying the [[rule of Sarrus]] as follows:
:<math>\det(\mathbf{A}) = a(ei-fh)-b(id-fg)+c(dh-eg).</math>
If the determinant is non-zero, the matrix is invertible, with the elements of the above matrix on the right side given by
:<math>\begin{matrix}
A = (ei-fh)  & D = -(bi-ch) & G = (bf-ce)  \\
B = -(di-fg) & E = (ai-cg)  & H = -(af-cd) \\
C = (dh-eg)  & F = -(ah-bg) & I = (ae-bd)  \\
\end{matrix}</math>
 
The Cayley–Hamilton decomposition gives
:<math>
\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det (\mathbf{A})}\left[ \frac{1}{2}\left( (\mathrm{tr}\mathbf{A})^{2}-\mathrm{tr}\mathbf{A}^{2}\right) -\mathbf{A}\mathrm{tr}\mathbf{A}+\mathbf{A}^{2}\right].  
</math>
 
The general 3×3 inverse can be expressed concisely in terms of the [[cross product]] and [[triple product]]:
 
If a matrix <math>\mathbf{A}=\left[\mathbf{x_0},\;\mathbf{x_1},\;\mathbf{x_2}\right]</math> (consisting of three column vectors, <math>\mathbf{x_0}</math>, <math>\mathbf{x_1}</math>, and <math>\mathbf{x_2}</math>) is invertible, its inverse is given by
:<math>\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det(\mathbf A)}\begin{bmatrix}
{(\mathbf{x_1}\times\mathbf{x_2})}^{T} \\
{(\mathbf{x_2}\times\mathbf{x_0})}^{T} \\
{(\mathbf{x_0}\times\mathbf{x_1})}^{T} \\
\end{bmatrix}.</math>
Note that <math>\det(A)</math> is equal to the triple product of <math>\mathbf{x_0}</math>, <math>\mathbf{x_1}</math>, and <math>\mathbf{x_2}</math>—the volume of the [[parallelepiped]] formed by the rows or columns:
: <math>\det(\mathbf{A})=\mathbf{x_0}\cdot(\mathbf{x_1}\times\mathbf{x_2}).</math>
The correctness of the formula can be checked by using cross- and triple-product properties and by noting that for groups, left and right inverses always coincide. Intuitively, because of the cross products, each row of <math>\mathbf{A}^{-1}</math> is orthogonal to the non-corresponding two columns of <math>\mathbf{A}</math> (causing the off-diagonal terms of <math>I=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}</math> be zero). Dividing by
: <math>\det(\mathbf{A})=\mathbf{x_0}\cdot(\mathbf{x_1}\times\mathbf{x_2})</math>
causes the diagonal elements of <math>I=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}</math> to be unity. For example, the first diagonal is:
:<math>1 = \frac{1}{\mathbf{x_0}\cdot(\mathbf{x_1}\times\mathbf{x_2})} \mathbf{x_0}\cdot(\mathbf{x_1}\times\mathbf{x_2}).</math>
 
==== Inversion of 4×4 matrices ====
With increasing dimension, expressions for the inverse of '''A''' get complicated. For ''n'' = 4 the Cayley-Hamilton method leads to an expression that is still tractable:
:<math> \mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det (\mathbf{A})}\left[ \frac{1}{6}\left( (\mathrm{tr}\mathbf{A})^{3}-3\mathrm{tr}\mathbf{A}\mathrm{tr}\mathbf{A}^{2}+2\mathrm{tr}\mathbf{A}^{3}\right) -\frac{1}{2}\mathbf{A}\left( (\mathrm{tr}\mathbf{A})^{2}-\mathrm{tr}\mathbf{A}^{2}\right) +\mathbf{A}^{2}\mathrm{tr}\mathbf{A}-\mathbf{A}^{3}\right]. </math>
 
=== Blockwise inversion ===
Matrices can also be ''inverted blockwise'' by using the following analytic inversion formula:
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"
|-
| align="left" |
:<math>
\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1} & -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1} \\ -(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1} & (\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1} \end{bmatrix}
</math>
| align="right" | <math>(1)\,</math>
|}
where '''A''', '''B''', '''C''' and '''D''' are [[block matrix|matrix sub-blocks]] of arbitrary size. ('''A''' and '''D''' must be square, so that they can be inverted. Furthermore, '''A''' and '''D'''&minus;'''CA'''<sup>&minus;1</sup>'''B''' must be nonsingular.<ref>
{{cite book
  | last = Bernstein
  | first = Dennis
  | title = Matrix Mathematics
  | publisher = Princeton University Press
  | year = 2005
  | pages = 44
  | isbn = 0-691-11802-7 }}
</ref>) This strategy is particularly advantageous if '''A''' is diagonal and '''D'''&minus;'''CA'''<sup>&minus;1</sup>'''B''' (the [[Schur complement]] of '''A''') is a small matrix, since they are the only matrices requiring inversion. This technique was reinvented several times and is due to [[Hans Boltz]] (1923),{{Citation needed|date=December 2009}}<!--Surely this was already known by the end of the 19th century.--> who used it for the inversion of geodetic matrices, and [[Tadeusz Banachiewicz]] (1937), who generalized it and proved its correctness.
 
The [[nullity theorem]] says that the nullity of '''A''' equals the nullity of the sub-block in the lower right of the inverse matrix, and that the nullity of '''B''' equals the nullity of the sub-block in the upper right of the inverse matrix.
 
The inversion procedure that led to Equation (1) performed matrix block operations that operated on '''C''' and '''D''' first. Instead, if '''A''' and '''B''' are operated on first, and provided '''D''' and '''A'''&minus;'''BD'''<sup>&minus;1</sup>'''C''' are nonsingular
,<ref>
{{cite book
  | last = Bernstein
  | first = Dennis
  | title = Matrix Mathematics
  | publisher = Princeton University Press
  | year = 2005
  | pages = 45
  | isbn = 0-691-11802-7 }}
</ref> the result is
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"
|-
| align="left" |
:<math>
\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} (\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} & -(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1} \\ -\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} & \quad \mathbf{D}^{-1}+\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1}\end{bmatrix}.
</math>
| align="right" | <math>(2)\,</math>
|}
Equating Equations (1) and (2) leads to
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"
|-
| align="left" |
:<math>
(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} = \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1}\,
</math>
| align="right" | <math>(3)\,</math>
|}
:<math>
(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\,
</math>
:<math>
\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} = (\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1}\,
</math>
:<math>
\mathbf{D}^{-1}+\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1} = (\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\,
</math>
where Equation (3) is the matrix inversion lemma, which is equivalent to the [[binomial inverse theorem]].
 
Since a blockwise inversion of an {{nobreak|{{var|n}}×{{var|n}}}} matrix requires inversion of two half-sized matrices and 6 multiplications between two half-sized matrices, it can be shown that a [[divide and conquer algorithm]] that uses blockwise inversion to invert a matrix runs with the same time complexity as the matrix multiplication algorithm that is used internally.<ref>T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, ''Introduction to Algorithms'', 3rd ed., MIT Press, Cambridge, MA, 2009, §28.2.</ref> There exist [[matrix multiplication#Algorithms for efficient matrix multiplication|matrix multiplication algorithms]] with a complexity of {{math|''O''(''n''<sup>2.3727</sup>)}} operations, while the best proven lower bound is {{math|''[[Big O notation#Family of Bachmann–Landau notations|Ω]]''({{var|n}}{{sup|2}} log {{var|n}})}}.<ref>[[Ran Raz]]. On the complexity of matrix product. In Proceedings of the thirty-fourth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM Press, 2002. {{doi|10.1145/509907.509932}}.</ref>
 
=== By Neumann series ===
If a matrix '''A''' has the property that
 
:<math>\lim_{n \to \infty} (\mathbf I - \mathbf A)^n = 0</math>
 
then '''A''' is nonsingular and its inverse may be expressed by a [[Neumann series]]:<ref>
{{cite book
  | last = Stewart
  | first = Gilbert
  | title = Matrix Algorithms: Basic decompositions
  | publisher = SIAM
  | year = 1998
  | pages = 55
  | isbn = 0-89871-414-1}}
</ref>
 
:<math>\mathbf A^{-1} = \sum_{n = 0}^\infty (\mathbf I - \mathbf A)^n.</math>
 
Truncating the sum results in an "approximate" inverse which may be useful as a [[preconditioner]]. Note that a truncated series can be accelerated exponentially by noting that the Neumann series is a geometric sum. Therefore, if one wishes to compute <math>2^L</math> terms, one merely need the moments <math>A,A^2, A^4,...,A^{2^L}</math> which can be found through L matrix multiplications. Then another L matrix multiplications are needed to obtains the final result by multiplying all the moments together. Therefore, 2L matrix multiplications are needed to compute <math>2^L</math>terms of the sum.
 
More generally, if '''A''' is "near" the invertible matrix '''X''' in the sense that
:<math>\lim_{n \to \infty} (\mathbf I - \mathbf X^{-1} \mathbf A)^n = 0 \mathrm{~~or~~} \lim_{n \to \infty} (\mathbf I - \mathbf A \mathbf X^{-1})^n = 0</math>
then '''A''' is nonsingular and its inverse is
:<math>\mathbf A^{-1} = \sum_{n = 0}^\infty \left(\mathbf X^{-1} (\mathbf X - \mathbf A)\right)^n \mathbf X^{-1}~.</math>
If it is also the case that '''A-X''' has [[rank (linear algebra)|rank]] 1 then this simplifies to
:<math>\mathbf A^{-1} = \mathbf X^{-1} - \frac{\mathbf X^{-1} (\mathbf A - \mathbf X) \mathbf X^{-1}}{1+\operatorname{tr}(\mathbf X^{-1} (\mathbf A - \mathbf X))}~.</math>
 
== Derivative of the matrix inverse ==
Suppose that the invertible matrix '''A''' depends on a parameter ''t''. Then the derivative of the inverse of '''A''' with respect to ''t'' is given by
:<math> \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^{-1}}{\mathrm{d}t} = - \mathbf{A}^{-1} \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A}^{-1}. </math>
 
To derive the above expression for the derivative of the inverse of '''A''', one can differentiate the definition of the matrix inverse <math>\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}</math> and then solve for the inverse of '''A''':
: <math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}
=\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^{-1}}{\mathrm{d}t}\mathbf{A}
+\mathbf{A}^{-1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}
=\frac{\mathrm{d}\mathbf{I}}{\mathrm{d}t}
=\mathbf{0}.</math>
Subtracting <math>\mathbf{A}^{-1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}</math> from both sides of the above and multiplying on the right by <math>\mathbf{A}^{-1}</math> gives the correct expression for the derivative of the inverse:
: <math> \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^{-1}}{\mathrm{d}t} = - \mathbf{A}^{-1} \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A}^{-1}. </math>
Similarly, if <math>\epsilon</math> is a small number then
: <math>\left(\mathbf{A} + \epsilon\mathbf{X}\right)^{-1}
= \mathbf{A}^{-1}
- \epsilon \mathbf{A}^{-1} \mathbf{X} \mathbf{A}^{-1} + \mathcal{O}(\epsilon^2)\,.</math>
 
== {{anchor|Moore-Penrose pseudoinverse}}Moore–Penrose pseudoinverse ==
 
Some of the properties of inverse matrices are shared by [[Moore–Penrose pseudoinverse]]s, which can be defined for any ''m''-by-''n'' matrix.
 
== Applications ==
 
For most practical applications, it is ''not'' necessary to invert a matrix to solve a [[system of linear equations]]; however, for a unique solution, it ''is'' necessary that the matrix involved be invertible.
 
Decomposition techniques like [[LU decomposition]] are much faster than inversion, and various fast algorithms for special classes of linear systems have also been developed.
 
=== Matrix inverses in real-time simulations ===
 
Matrix inversion plays a significant role in [[computer graphics]], particularly in [[3D graphics]] rendering and 3D simulations. Examples include screen-to-world ray casting, world-to-subspace-to-world object transformations, and physical simulations.
 
=== Matrix inverses in MIMO wireless communication ===
Matrix inversion also play a significant role in the [[MIMO]] (Multiple-Input, Multiple-Output) technology in wireless communications. The MIMO system consists of N transmit and M receive antennas. Unique signals, occupying the same frequency band, are sent via N transmit antennas and are received via M receive antennas. The signal arriving at each receive antenna will be a linear combination of the N transmitted signals forming a NxM transmission matrix '''H'''. It is crucial for the matrix '''H''' to be invertible for the receiver to be able to figure out the transmitted information.
 
== See also ==
* [[Binomial inverse theorem]]
* [[LU decomposition]]
* [[Matrix decomposition]]
* [[Matrix square root]]
* [[Moore–Penrose pseudoinverse]]
* [[Pseudoinverse]]
* [[Singular value decomposition]]
* [[Woodbury matrix identity]]
 
== Notes ==
{{Reflist}}
 
== References ==
* {{Introduction to Algorithms|2|chapter=28.4: Inverting matrices|pages=pp. 755&ndash;760}}
 
== External links ==
* {{springer|title=Inversion of a matrix|id=p/i052440}}
*[http://books.google.se/books?id=jgEiuHlTCYcC&printsec=frontcover Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas] at [[Google books]]
*[http://www.solvingequations.net Equations Solver Online]
*[http://www.khanacademy.org/video/inverse-matrix--part-1?playlist=Linear+Algebra Lecture on Inverse Matrices by Khan Academy]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-3-multiplication-and-inverse-matrices/ Linear Algebra Lecture on Inverse Matrices by MIT]
*[http://netlib.org/lapack/ LAPACK] is a collection of FORTRAN subroutines for solving dense linear algebra problems
*[http://www.alglib.net/eigen/ ALGLIB] includes a partial port of the LAPACK to C++, C#, Delphi, etc.
*[http://www.jimmysie.com/maths/matrixinv.php Online Inverse Matrix Calculator using AJAX]
*[http://www.emathhelp.net/calculators/linear-algebra/inverse-of-matrix-calculator/ Symbolic Inverse of Matrix Calculator with steps shown]
*[http://www.vias.org/tmdatanaleng/cc_matrix_pseudoinv.html Moore Penrose Pseudoinverse]
*[http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/04sle/mws_gen_sle_bck_system.pdf Inverse of a Matrix Notes]
*[http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/InverseMatrixMod.html Module for the Matrix Inverse]
*[http://mjollnir.com/matrix/demo.html Calculator for Singular or Non-Square Matrix Inverse]
*{{planetmath reference|title=Derivative of inverse matrix|id=6362}}
 
{{linear algebra}}
 
{{DEFAULTSORT:Invertible Matrix}}
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[[Category:Matrices]]
[[Category:Determinants]]
[[Category:Matrix theory]]
 
[[zh:可逆矩阵]]

Revision as of 16:36, 10 January 2014

In linear algebra an n-by-n (square) matrix A is called invertible (some authors use nonsingular or nondegenerate) if there exists an n-by-n matrix B such that

AB=BA=In

where In denotes the n-by-n identity matrix and the multiplication used is ordinary matrix multiplication. If this is the case, then the matrix B is uniquely determined by A and is called the inverse of A, denoted by A−1. It follows from the theory of matrices that if

AB=I

for finite square matrices A and B, then also

BA=I.[1]

Non-square matrices (m-by-n matrices for which m ≠ n) do not have an inverse. However, in some cases such a matrix may have a left inverse or right inverse. If A is m-by-n and the rank of A is equal to n, then A has a left inverse: an n-by-m matrix B such that BA = I. If A has rank m, then it has a right inverse: an n-by-m matrix B such that AB = I.

<singular>...</singular> A square matrix that is not invertible is called singular or degenerate. A square matrix is singular if and only if its determinant is 0. Singular matrices are rare in the sense that a square matrix randomly selected from a continuous uniform distribution on its entries will almost never be singular.

While the most common case is that of matrices over the real or complex numbers, all these definitions can be given for matrices over any commutative ring. However, in this case the condition for a square matrix to be invertible is that its determinant is invertible in the ring, which in general is a much stricter requirement than being nonzero. The conditions for existence of left-inverse resp. right-inverse are more complicated since a notion of rank does not exist over rings.

Matrix inversion is the process of finding the matrix B that satisfies the prior equation for a given invertible matrix A.

Properties

The invertible matrix theorem

Let A be a square n by n matrix over a field K (for example the field R of real numbers). The following statements are equivalent:

A is invertible, i.e. A has an inverse, is nonsingular, or is nondegenerate.
A is row-equivalent to the n-by-n identity matrix In.
A is column-equivalent to the n-by-n identity matrix In.
A has n pivot positions.
det A ≠ 0. In general, a square matrix over a commutative ring is invertible if and only if its determinant is a unit in that ring.
A has full rank; that is, rank A = n.
The equation Ax = 0 has only the trivial solution x = 0
Null A = {0}
The equation Ax = b has exactly one solution for each b in Kn.
The columns of A are linearly independent.
The columns of A span Kn
Col A = Kn
The columns of A form a basis of Kn.
The linear transformation mapping x to Ax is a bijection from Kn to Kn.
There is an n by n matrix B such that AB = In = BA.
The transpose AT is an invertible matrix (hence rows of A are linearly independent, span Kn, and form a basis of Kn).
The number 0 is not an eigenvalue of A.
The matrix A can be expressed as a finite product of elementary matrices.
The matrix A has a left inverse (i.e. there exists a B such that BA = I) or a right inverse (i.e. there exists a C such that AC = I), in which case both left and right inverses exist and B = C = A-1.

Other properties

Furthermore, the following properties hold for an invertible matrix A:

  • (A−1)−1 = A;
  • (kA)−1 = k−1A−1 for nonzero scalar k;
  • (AT)−1 = (A−1)T;
  • For any invertible n-by-n matrices A and B, (AB)−1 = B−1A−1. More generally, if A1,...,Ak are invertible n-by-n matrices, then (A1A2Ak−1Ak)−1 = Ak−1Ak−1−1A2−1A1−1;
  • det(A−1) = det(A)−1.

A matrix that is its own inverse, i.e. A = A−1 and A2 = I, is called an involution.

Density

Over the field of real numbers, the set of singular n-by-n matrices, considered as a subset of Rn×n, is a null set, i.e., has Lebesgue measure zero. This is true because singular matrices are the roots of the polynomial function in the entries of the matrix given by the determinant. Thus in the language of measure theory, almost all n-by-n matrices are invertible.

Furthermore the n-by-n invertible matrices are a dense open set in the topological space of all n-by-n matrices. Equivalently, the set of singular matrices is closed and nowhere dense in the space of n-by-n matrices.

In practice however, one may encounter non-invertible matrices. And in numerical calculations, matrices which are invertible, but close to a non-invertible matrix, can still be problematic; such matrices are said to be ill-conditioned.

Methods of matrix inversion

Gaussian elimination

Gauss–Jordan elimination is an algorithm that can be used to determine whether a given matrix is invertible and to find the inverse. An alternative is the LU decomposition which generates upper and lower triangular matrices which are easier to invert.

Newton's method

A generalisation of Newton's method as used for a multiplicative inverse algorithm may be convenient, if it is convenient to find a suitable starting seed:

Xk+1=2XkXkAXk.

Victor Pan and John Reif have done work that includes ways of generating a starting seed. Otherwise, the method may be adapted to use the starting seed from a trivial starting case by using a homotopy to "walk" in small steps from that to the matrix needed, "dragging" the inverses with them:

Xk+1=2XkXkAk+1Xk, where A0=S, X0=S1, and AN=A for some terminating N, perhaps followed by another few iterations at A to settle the inverse.

Using this simplistically on real valued matrices would lead the homotopy through a degenerate matrix about half the time, so complex valued matrices should be used to bypass that, e.g. by using a starting seed S that has i in the first entry, 1 on the rest of the leading diagonal, and 0 elsewhere. If complex arithmetic is not directly available, it may be emulated at a small cost in computer memory by replacing each complex matrix element a+bi with a 2×2 real valued submatrix of the form [abba] (see square root of a matrix).

Newton's method is particularly useful when dealing with families of related matrices that behave enough like the sequence manufactured for the homotopy above: sometimes a good starting point for refining an approximation for the new inverse can be the already obtained inverse of a previous matrix that nearly matches the current matrix, e.g. the pair of sequences of inverse matrices used in obtaining matrix square roots by Denman-Beavers iteration; this may need more than one pass of the iteration at each new matrix, if they are not close enough together for just one to be enough. Newton's method is also useful for "touch up" corrections to the Gauss–Jordan algorithm which has been contaminated by small errors due to imperfect computer arithmetic.

Cayley–Hamilton method

Cayley–Hamilton theorem allows to represent the inverse of A in terms of det(A), traces and powers of A

A1=1det(A)s=0n1Ask1,k2,,kn1l=1n1(1)kl+1lklkl!tr(Al)kl,

where n is dimenison of A, and the sum is taken over s and the sets of all kl ≥ 0 satisfying the linear Diophantine equation

s+l=1n1lkl=n1.

Eigendecomposition

Mining Engineer (Excluding Oil ) Truman from Alma, loves to spend time knotting, largest property developers in singapore developers in singapore and stamp collecting. Recently had a family visit to Urnes Stave Church. If matrix A can be eigendecomposed and if none of its eigenvalues are zero, then A is nonsingular and its inverse is given by

A1=QΛ1Q1

where Q is the square (N×N) matrix whose ith column is the eigenvector qi of A and Λ is the diagonal matrix whose diagonal elements are the corresponding eigenvalues, i.e., Λii=λi. Furthermore, because Λ is a diagonal matrix, its inverse is easy to calculate:

[Λ1]ii=1λi

Cholesky decomposition

Mining Engineer (Excluding Oil ) Truman from Alma, loves to spend time knotting, largest property developers in singapore developers in singapore and stamp collecting. Recently had a family visit to Urnes Stave Church. If matrix A is positive definite, then its inverse can be obtained as

A1=(L*)1L1,

where L is the lower triangular Cholesky decomposition of A, and L* denotes the conjugate transpose of L.

Analytic solution

Mining Engineer (Excluding Oil ) Truman from Alma, loves to spend time knotting, largest property developers in singapore developers in singapore and stamp collecting. Recently had a family visit to Urnes Stave Church. Writing the transpose of the matrix of cofactors, known as an adjugate matrix, can also be an efficient way to calculate the inverse of small matrices, but this recursive method is inefficient for large matrices. To determine the inverse, we calculate a matrix of cofactors:

A1=1|A|CT=1|A|(C11C21Cn1C12C22Cn2C1nC2nCnn)

so that

(A1)ij=1|A|(CT)ij=1|A|(Cji)

where |A| is the determinant of A, C is the matrix of cofactors, and CT represents the matrix transpose.

Inversion of 2×2 matrices

The cofactor equation listed above yields the following result for 2×2 matrices. Inversion of these matrices can be done easily as follows:[2]

A1=[abcd]1=1det(A)[dbca]=1adbc[dbca].

This is possible because 1/(ad-bc) is the reciprocal of the determinant of the matrix in question, and the same strategy could be used for other matrix sizes.

The Cayley–Hamilton method gives

A1=1det(A)[trAA].

Inversion of 3×3 matrices

A computationally efficient 3x3 matrix inversion is given by

A1=[abcdefghi]1=1det(A)[ABCDEFGHI]T=1det(A)[ADGBEHCFI]

where the determinant of A can be computed by applying the rule of Sarrus as follows:

det(A)=a(eifh)b(idfg)+c(dheg).

If the determinant is non-zero, the matrix is invertible, with the elements of the above matrix on the right side given by

A=(eifh)D=(bich)G=(bfce)B=(difg)E=(aicg)H=(afcd)C=(dheg)F=(ahbg)I=(aebd)

The Cayley–Hamilton decomposition gives

A1=1det(A)[12((trA)2trA2)AtrA+A2].

The general 3×3 inverse can be expressed concisely in terms of the cross product and triple product:

If a matrix A=[x0,x1,x2] (consisting of three column vectors, x0, x1, and x2) is invertible, its inverse is given by

A1=1det(A)[(x1×x2)T(x2×x0)T(x0×x1)T].

Note that det(A) is equal to the triple product of x0, x1, and x2—the volume of the parallelepiped formed by the rows or columns:

det(A)=x0(x1×x2).

The correctness of the formula can be checked by using cross- and triple-product properties and by noting that for groups, left and right inverses always coincide. Intuitively, because of the cross products, each row of A1 is orthogonal to the non-corresponding two columns of A (causing the off-diagonal terms of I=A1A be zero). Dividing by

det(A)=x0(x1×x2)

causes the diagonal elements of I=A1A to be unity. For example, the first diagonal is:

1=1x0(x1×x2)x0(x1×x2).

Inversion of 4×4 matrices

With increasing dimension, expressions for the inverse of A get complicated. For n = 4 the Cayley-Hamilton method leads to an expression that is still tractable:

A1=1det(A)[16((trA)33trAtrA2+2trA3)12A((trA)2trA2)+A2trAA3].

Blockwise inversion

Matrices can also be inverted blockwise by using the following analytic inversion formula:

[ABCD]1=[A1+A1B(DCA1B)1CA1A1B(DCA1B)1(DCA1B)1CA1(DCA1B)1]
(1)

where A, B, C and D are matrix sub-blocks of arbitrary size. (A and D must be square, so that they can be inverted. Furthermore, A and DCA−1B must be nonsingular.[3]) This strategy is particularly advantageous if A is diagonal and DCA−1B (the Schur complement of A) is a small matrix, since they are the only matrices requiring inversion. This technique was reinvented several times and is due to Hans Boltz (1923),Potter or Ceramic Artist Truman Bedell from Rexton, has interests which include ceramics, best property developers in singapore developers in singapore and scrabble. Was especially enthused after visiting Alejandro de Humboldt National Park. who used it for the inversion of geodetic matrices, and Tadeusz Banachiewicz (1937), who generalized it and proved its correctness.

The nullity theorem says that the nullity of A equals the nullity of the sub-block in the lower right of the inverse matrix, and that the nullity of B equals the nullity of the sub-block in the upper right of the inverse matrix.

The inversion procedure that led to Equation (1) performed matrix block operations that operated on C and D first. Instead, if A and B are operated on first, and provided D and ABD−1C are nonsingular ,[4] the result is

[ABCD]1=[(ABD1C)1(ABD1C)1BD1D1C(ABD1C)1D1+D1C(ABD1C)1BD1].
(2)

Equating Equations (1) and (2) leads to

(ABD1C)1=A1+A1B(DCA1B)1CA1
(3)
(ABD1C)1BD1=A1B(DCA1B)1
D1C(ABD1C)1=(DCA1B)1CA1
D1+D1C(ABD1C)1BD1=(DCA1B)1

where Equation (3) is the matrix inversion lemma, which is equivalent to the binomial inverse theorem.

Since a blockwise inversion of an Analyst Programmer Alfonzo Crosser from Newcastle, usually spends time with interests which include frisbee golf - frolf, property developers properties for sale in singapore singapore and collecting music albums. Ended up in recent past visiting Puerto-Princesa Subterranean River National Park. matrix requires inversion of two half-sized matrices and 6 multiplications between two half-sized matrices, it can be shown that a divide and conquer algorithm that uses blockwise inversion to invert a matrix runs with the same time complexity as the matrix multiplication algorithm that is used internally.[5] There exist matrix multiplication algorithms with a complexity of Buying, selling and renting HDB and personal residential properties in Singapore are simple and transparent transactions. Although you are not required to engage a real property salesperson (generally often known as a "public listed property developers In singapore agent") to complete these property transactions, chances are you'll think about partaking one if you are not accustomed to the processes concerned.

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By Neumann series

If a matrix A has the property that

limn(IA)n=0

then A is nonsingular and its inverse may be expressed by a Neumann series:[7]

A1=n=0(IA)n.

Truncating the sum results in an "approximate" inverse which may be useful as a preconditioner. Note that a truncated series can be accelerated exponentially by noting that the Neumann series is a geometric sum. Therefore, if one wishes to compute 2L terms, one merely need the moments A,A2,A4,...,A2L which can be found through L matrix multiplications. Then another L matrix multiplications are needed to obtains the final result by multiplying all the moments together. Therefore, 2L matrix multiplications are needed to compute 2Lterms of the sum.

More generally, if A is "near" the invertible matrix X in the sense that

limn(IX1A)n=0orlimn(IAX1)n=0

then A is nonsingular and its inverse is

A1=n=0(X1(XA))nX1.

If it is also the case that A-X has rank 1 then this simplifies to

A1=X1X1(AX)X11+tr(X1(AX)).

Derivative of the matrix inverse

Suppose that the invertible matrix A depends on a parameter t. Then the derivative of the inverse of A with respect to t is given by

dA1dt=A1dAdtA1.

To derive the above expression for the derivative of the inverse of A, one can differentiate the definition of the matrix inverse A1A=I and then solve for the inverse of A:

dA1Adt=dA1dtA+A1dAdt=dIdt=0.

Subtracting A1dAdt from both sides of the above and multiplying on the right by A1 gives the correct expression for the derivative of the inverse:

dA1dt=A1dAdtA1.

Similarly, if ϵ is a small number then

(A+ϵX)1=A1ϵA1XA1+𝒪(ϵ2).

<Moore-Penrose pseudoinverse>...</Moore-Penrose pseudoinverse>Moore–Penrose pseudoinverse

Some of the properties of inverse matrices are shared by Moore–Penrose pseudoinverses, which can be defined for any m-by-n matrix.

Applications

For most practical applications, it is not necessary to invert a matrix to solve a system of linear equations; however, for a unique solution, it is necessary that the matrix involved be invertible.

Decomposition techniques like LU decomposition are much faster than inversion, and various fast algorithms for special classes of linear systems have also been developed.

Matrix inverses in real-time simulations

Matrix inversion plays a significant role in computer graphics, particularly in 3D graphics rendering and 3D simulations. Examples include screen-to-world ray casting, world-to-subspace-to-world object transformations, and physical simulations.

Matrix inverses in MIMO wireless communication

Matrix inversion also play a significant role in the MIMO (Multiple-Input, Multiple-Output) technology in wireless communications. The MIMO system consists of N transmit and M receive antennas. Unique signals, occupying the same frequency band, are sent via N transmit antennas and are received via M receive antennas. The signal arriving at each receive antenna will be a linear combination of the N transmitted signals forming a NxM transmission matrix H. It is crucial for the matrix H to be invertible for the receiver to be able to figure out the transmitted information.

See also

Notes

43 year old Petroleum Engineer Harry from Deep River, usually spends time with hobbies and interests like renting movies, property developers in singapore new condominium and vehicle racing. Constantly enjoys going to destinations like Camino Real de Tierra Adentro.

References

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