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| {{context|date=May 2012}}
| | == New Balance Laufschuhe Weiten müssen Sie sicherstellen == |
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| {{Other uses|Kansa (disambiguation){{!}}Kansa}}
| | Patterned Rollos gibt es in vielen Formen und Farben. Hayes: Sie sind. Die größere Wahrscheinlichkeit beraubt Patienten mit Lungenkrebs präsentiert mit lokalisierter Erkrankung könnte ein Artefakt aus Differenz Verfügbarkeit von medizinischen Daten über die sozioökonomischen Gruppierungen oder wegen Komorbidität, weniger intensive [http://www.blockhouse.ch/thesheriff/Collagen/thumbnails/menu.asp?n=50-New-Balance-Laufschuhe-Weiten New Balance Laufschuhe Weiten] Untersuchung dieser Patienten, die zu weniger genaue Daten für die Inszenierung entstehen.<br><br>Um Peel für zu spät zur Aufhebung der Korngesetze handeln zu kritisieren, oder nicht zu geben genug Subventionen an die Iren, zeigt ein Missverständnis der historischen Kontext. Ich allmählich aufgehört mich in Bezug auf die Definition von Karriere oder das Fehlen von einem. Bewertung Noten Übung 29A 643 648 Seiten in 8. Auflage.<br><br>Zunahme der Popularität von Yoga hat auch einen Anstieg der Zahl der Menschen immer die Zertifizierung nach Yoga Lehrer werden gegeben. Um zu beginnen mit, müssen Sie sicherstellen, dass Sie sich weiterzubilden auf einer Vielzahl von Themen. Es is also available mittels eines Buttons Kleinen mglich, schnell sterben bersetzungsrichtung zu wechseln.<br><br>Die beiden Angebote sind Lambeth, ein Single-Ended-Bad oder das luxuriöse und geräumige Hampton. Wurde ich nun gebissen und müssen es wie ein Zombie zu sehen!! Kann für jede Episode warten, aber jetzt habe ich einen Weg, um es im Internet zu sehen oder zur Zeichnung von AMC-Kanal auf Satelliten [http://www.ferotech.ch/highslide/graphics/outlines/define.asp?r=12-Sonnenbrillen-Ray-Ban-Fielmann Sonnenbrillen Ray Ban Fielmann] zu finden.<br><br>Robert und Dominic Hip Hop (Choreographie: Tabitha Napoleon Dumo) Nigel: Liebt die Choreographie und denkt, es war eine große Routine. Das Sony Xperia L ist ein Mittelklasse-Gerät, das Sony von der ersten Blick schreit. Andere, die 'Tauben', argumentierte, dass der Konflikt in Vietnam war im Wesentlichen ein Bürgerkrieg, in dem die Vereinigten Staaten kein Recht, sich einzumischen hatte.<br><br>2 3 verschiedene Erklärungen für die Behandlung resistenter Hypertonie gegeben. Apple hat Dokumente so dick wie 132 Seiten interner Samsung als Beweismittel vor Gericht Patentstreit der beiden Unternehmen eingereicht, am Dienstag. Der Instinkt ist lebendig und gut in die Menschen, aber an einem gewissen Punkt der sozialen Veränderung wird durch die Bereitschaft, ein [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=85-Michael-Kors-Jet-Set-Saffiano Michael Kors Jet Set Saffiano] Risiko einzugehen und ein paar Opfer gemessen, und das hat nicht mit Live Aid passieren, obwohl ich glaube, es war wichtig, denn es brach eine Art von völlig leeren mich orientieren Zauber, der von der Unterhaltungsindustrie gegossen wurde.''.<br><br>Es ist passend, dass neue [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=52-Michael-Kors-Ipad-Mini Michael Kors Ipad Mini] Schaufenster der Volkskunst ist in New York City, fügt er hinzu. Für die Dauer des Aufenthalts, haben wir den Median und Interquartilbereich als Indikatoren für die typische Dauer des Aufenthalts und der Mittelwert (SD) ein Maß für die Gesamtkosten des Krankenhausaufenthaltes für alle Kinder in jedem fünften Entzug.<ul> |
| E. J. Kansa in very early 1990s made the first attempt to extend [[radial basis function]] (RBF), which was then quite popular in scattered data processing and function approximation, to the solution of [[partial differential equations]] in the strong-form collocation formulation. His RBF collocation approach is inherently meshless, easy-to-program, and mathematically very simple to learn. Before long, this method is known as the Kansa method in academic community.
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| Due to the fact that the RBF uses the one-dimensional Euclidean distance variable irrespective of dimensionality, the '''Kansa method''' is independent of dimensionality and geometric complexity of problems of interest. The method is a domain-type numerical technique in the sense that the problem is discretized not only on the boundary to satisfy boundary conditions but also inside domain to satisfy governing equation.
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| | | <li>[http://bryan7.egloos.com/1403377/ http://bryan7.egloos.com/1403377/]</li> |
| In contrast, there is another type of RBF numerical methods, called boundary-type RBF collocation method, such as the [[method of fundamental solution]], [[boundary knot method]], [[singular boundary method]], [[boundary particle method]], and regularized meshless method, in which the basis functions, also known as kernel function, satisfy the governing equation and are often fundamental solution or general solution of governing equation. Consequently, only boundary discretization is required.
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| | | <li>[http://www.pg038.phpnet.org/spip.php?article157/ http://www.pg038.phpnet.org/spip.php?article157/]</li> |
| Since the RBF in the '''Kansa method''' does not necessarily satisfy the governing equation, one has more freedom to choose a RBF. The most popular RBF in the Kansa method is the multiquadric (MQ), which usually shows spectral accuracy if an appropriate shape parameter is chosen.
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| | | <li>[http://swclan.host22.com/index.php?site=clanwars_details&cwID=30 http://swclan.host22.com/index.php?site=clanwars_details&cwID=30]</li> |
| == Description ==
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| | | <li>[http://demo-01.hnet.hu/index.php/forum/welcome-mat/128648-abercrombie-and-fitch-schweiz-zuerich-alles-was-es-braucht#128648 http://demo-01.hnet.hu/index.php/forum/welcome-mat/128648-abercrombie-and-fitch-schweiz-zuerich-alles-was-es-braucht#128648]</li> |
| The '''Kansa method''', also called modified MQ scheme or MQ collocation method, originated from the well-known MQ interpolation. The efficiency and applicability of this method have been verified in a wide range of problems. Compared with the boundary-type RBF collocation methods, the '''Kansa method''' has wider applicability to problems whose fundamental and general solutions are not available, e.g., varying coefficient and nonlinear problems.
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| == Formulation ==
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| Let ''d''-dimensional physical domain <math>\Omega \subseteq^d</math> and consider the following [[boundary value problem]] (BVP)
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| :<math>Lu(X) = f(X),\quad X\in \Omega,\qquad (1)</math> | |
| :<math>u(X) = g(X),\quad X\in\partial\Omega_D,\qquad(2)</math>
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| :<math>\frac{\partial u(X)}{\partial n} = h(X),\quad X\in\partial\Omega_N,\qquad (3)</math> | |
| where ''L'' represents a differential operator and ''d'' is the dimensionality of the problem,<math>\partial \Omega_D,\quad \partial \Omega_N</math> denote the Dirichlet and Neumann boundaries, respectively, and <math>\partial \Omega_D \cup \partial \Omega_N =\partial \Omega </math>.
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| The '''Kansa method''' approximates the desired function by a linear combination of the RBF in the form:
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| :<math>{{u(X)}^{*}} = \sum\limits_{i=1}^N \alpha_i\phi \left( r_i \right),\qquad(4)</math>
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| where <math>{{\alpha }_{i}}</math> is the coefficients to be determined, <math>\phi \left( r_i \right)</math> denotes the RBF such as the MQ.
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| In order to guarantee the uniqueness of the solution, a polynomial term may be added as follows:
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| :<math>{{u(X)}^{*}} = \sum\limits_{i=1}^N \alpha_i\phi \left( r_i \right) + \sum\limits_{k=1}^M \alpha_{k+N}\gamma_k\left(X\right),\qquad (5)</math>
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| where <math>{{\gamma }_{k}}(X)</math> is the polynomial. The RBF interpolation (4) and (5) are both often used in practice. Mathematicians prefer the latter for its rigorous and solid theoretical foundation, while engineering users often employ the former since it is easier and simpler and produces the sound results in the most majority cases.
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| Substituting Eq. (4) or (5) into Eqs. (1–3) yields the resulting algebraic equation system:
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| : <math> \mathbf{A}\alpha = b,\qquad (6) </math>
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| where
| | </ul> |
| : <math>\mathbf{A}=\left(\begin{matrix} L(\phi ) & L(\gamma)\\\phi & \gamma\\ \frac{\partial {\phi }}{\partial n}&\frac{\partial {\gamma}}{\partial n}\\ {\gamma}&0\\ \end{matrix} \right),\quad \mathbf{b}=\left(\begin{matrix} f\\g\\h\\0\\ \end{matrix} \right),\quad \phi = \phi\left( x_i,x_j\right),\quad \gamma = \gamma_k\left(X_i\right).\qquad (7)</math>
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| After expansion coefficients <math>\alpha_i</math> are evaluated, the desired function can be calculated from Eq. (4) or (5).
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| == History and recent developments ==
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| Numerical solutions of PDEs are usually obtained through the finite difference method (FDM), the [[finite element method]] (FEM) or [[boundary element method]] (BEM). It is known that the FDM is difficult to model an irregular domain for the reason that it usually requires a rectangular grid system. Although the FEM can accommodate a more flexible framework, the meshing and remeshing are not trivial. The BEM is an alternative method in some engineering problems, such as inverse, unbounded domain, and thin-walled structure problems. However, its applications are largely limited by the availability of the fundamental solution of the governing equation.
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| In the recent several decades, “meshless” or “element-free” methods attract great attention. The driving force behind the scene is that the mesh-based methods such as the standard FEM and BEM require prohibitively computational effort in handling high-dimensional, moving, and complex-shaped boundary problems. The Kansa method <ref name="Chena">E. J. Kansa, "Multiquadrics—A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics—II solutions to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations," Computers & Mathematics with Applications, vol. 19, pp. 147–161, 1990.</ref><ref>J. Li, et al., "A comparison of efficiency and error convergence of multiquadric collocation method and finite element method," Engineering Analysis with Boundary Elements, vol. 27, pp. 251–257, 2003.</ref> directly collocates the RBFs, especially the MQ, at the nodes without the need of mesh or elements and therefore is an inherently truly meshless method.
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| Despite great effort, the rigorous mathematical proof of the solvability of the Kansa method is still missing.<ref>Y. C. Hon and R. Schaback, "On unsymmetric collocation by radial basis functions," Applied Mathematics and Computation, vol. 119, pp. 177–186, 2001.</ref> In addition, the mixed boundary conditions also destroy the symmetry of its interpolation matrix. Refs.<ref>C. Franke and R. Schaback, "Solving partial differential equations by collocation using radial basis functions," Applied Mathematics and Computation, vol. 93, pp. 73–82, 1998.</ref><ref>G. E. Fasshauer, "Solving Partial Differential Equations by Collocation," 1996, p. 1.</ref> propose the symmetric Hermite RBF collocation scheme with sound mathematical analysis of solvability. One common issue in the Kansa method and symmetric Hermite method, however, is that the numerical solutions at nodes adjacent to boundary deteriorate by one to two orders of magnitude compared with those in central region. The PDE collocation on the boundary (PDECB) <ref>A. I. Fedoseyev, et al., "Improved multiquadric method for elliptic partial differential equations via PDE collocation on the boundary," Computers & Mathematics with Applications, vol. 43, pp. 439–455, 2002.</ref> effectively remove this shortcoming. However, this strategy requires an additional set of nodes inside or outside of the domain adjacent to the boundary. The arbitrary placing of these additional nodes gives rise to troublesome issues in the simulation of complex and multiply-connected domain problems. The PDECB also lacks explicit theoretical endorsement. In fact, a similar strategy has also been proposed,<ref>X. Zhang, et al., "Meshless methods based on collocation with radial basis functions," Computational Mechanics, vol. 26, pp. 333–343, 2000.</ref> which collocates both governing and boundary equations on the same boundary nodes. However, the method is unsymmetrical and still lacks explicit theoretical foundation. By using the Green second identity, the modified Kansa method <ref>W. Chen, "New RBF Collocation Methods and Kernel RBF with Applications: Meshfree Methods for Partial Differential Equations." vol. 26, M. Griebel and M. A. Schweitzer, Eds., ed: Springer Berlin Heidelberg, 2002, pp. 75–86.</ref><ref>W. Chen and M. Tanaka, "New insights in boundary-only and domain-type RBF methods," Arxiv preprint cs/0207017, 2002.</ref> is devised to remedy all weaknesses aforementioned. For the MQ, its shape parameter largely determines its interpolation error. There exist a number of mathematical theories concerning the family of multiquadric radial basis functions and providing some suggestions on the choice of the shape parameter.<ref>R. L. Hardy, "Multiquadric Equations of Topography and Other Irregular Surfaces," J. Geophys. Res., vol. 76, pp. 1905–1915, 1971.</ref><ref>R. Franke, "Scattered Data Interpolation: Tests of Some Method," Mathematics of Computation, vol. 38, pp. 181-200, 1982.</ref><ref>E. J. Kansa and R. E. Carlson, "Improved accuracy of multiquadric interpolation using variable shape parameters," Computers & Mathematics with Applications, vol. 24, pp. 99–120, 1992.</ref><ref>C. A.H.-D, "Multiquadric and its shape parameter-A numerical investigation of error estimate, condition number, and round-off error by arbitrary precision computation," Engineering Analysis with Boundary Elements, vol. 36, pp. 220–239, 2012.</ref>
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| The Kansa method are widely been applied in computational sciences. In,<ref name="Chena" /> the Kansa method is employed to address the parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations. Kansa method has recently been extended to various ordinary and PDEs including the bi-phasic and triphasic mixture models of tissue engineering problems,<ref>Y. C. Hon, et al., "Multiquadric method for the numerical solution of a biphasic mixture model," Applied Mathematics and Computation, vol. 88, pp. 153–175, 1997.</ref><ref>Y. C. Hon, et al., "A new formulation and computation of the triphasic model for mechano-electrochemical mixtures," Computational Mechanics, vol. 24, pp. 155–165, 1999.</ref> 1D nonlinear Burger’s equation<ref>Y. C. Hon and X. Z. Mao, "An efficient numerical scheme for Burgers' equation," Applied Mathematics and Computation, vol. 95, pp. 37–50, 1998.</ref> with shock wave, shallow water equations <ref>Y.-C. Hon, et al., "Multiquadric Solution for Shallow Water Equations," Journal of Hydraulic Engineering, vol. 125, pp. 524–533, 1999.</ref> for tide and current simulation, heat transfer problems,<ref>M. Zerroukat, et al., "A numerical method for heat transfer problems using collocation and radial basis functions," International journal for numerical methods in engineering, vol. 42, pp. 1263–1278, 1998.</ref> free boundary problems,<ref>J. Perko, et al., "A polygon-free numerical solution of steady natural convection in solid-liquid systems," Computational Modelling of Moving and Free Boundary Problems, pp. 111–122, 2001.</ref> and fractional diffusion equations.<ref>W. Chen, et al., "Fractional diffusion equations by the Kansa method," Computers & Mathematics with Applications, vol. 59, pp. 1614–1620, 2010.</ref>
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| == See also ==
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| * [[Radial basis function]]
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| * [[Method of fundamental solutions]]
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| * [[Boundary knot method]]
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| * [[Boundary particle method]]
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| * [[Singular boundary method]]
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| == External links ==
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| * [http://em.hhu.edu.cn/chenwen/html/MKM.htm Modified Kansa method]
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| == References ==
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| {{Reflist}}
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| [[Category:Partial differential equations]]
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Patterned Rollos gibt es in vielen Formen und Farben. Hayes: Sie sind. Die größere Wahrscheinlichkeit beraubt Patienten mit Lungenkrebs präsentiert mit lokalisierter Erkrankung könnte ein Artefakt aus Differenz Verfügbarkeit von medizinischen Daten über die sozioökonomischen Gruppierungen oder wegen Komorbidität, weniger intensive New Balance Laufschuhe Weiten Untersuchung dieser Patienten, die zu weniger genaue Daten für die Inszenierung entstehen.
Um Peel für zu spät zur Aufhebung der Korngesetze handeln zu kritisieren, oder nicht zu geben genug Subventionen an die Iren, zeigt ein Missverständnis der historischen Kontext. Ich allmählich aufgehört mich in Bezug auf die Definition von Karriere oder das Fehlen von einem. Bewertung Noten Übung 29A 643 648 Seiten in 8. Auflage.
Zunahme der Popularität von Yoga hat auch einen Anstieg der Zahl der Menschen immer die Zertifizierung nach Yoga Lehrer werden gegeben. Um zu beginnen mit, müssen Sie sicherstellen, dass Sie sich weiterzubilden auf einer Vielzahl von Themen. Es is also available mittels eines Buttons Kleinen mglich, schnell sterben bersetzungsrichtung zu wechseln.
Die beiden Angebote sind Lambeth, ein Single-Ended-Bad oder das luxuriöse und geräumige Hampton. Wurde ich nun gebissen und müssen es wie ein Zombie zu sehen!! Kann für jede Episode warten, aber jetzt habe ich einen Weg, um es im Internet zu sehen oder zur Zeichnung von AMC-Kanal auf Satelliten Sonnenbrillen Ray Ban Fielmann zu finden.
Robert und Dominic Hip Hop (Choreographie: Tabitha Napoleon Dumo) Nigel: Liebt die Choreographie und denkt, es war eine große Routine. Das Sony Xperia L ist ein Mittelklasse-Gerät, das Sony von der ersten Blick schreit. Andere, die 'Tauben', argumentierte, dass der Konflikt in Vietnam war im Wesentlichen ein Bürgerkrieg, in dem die Vereinigten Staaten kein Recht, sich einzumischen hatte.
2 3 verschiedene Erklärungen für die Behandlung resistenter Hypertonie gegeben. Apple hat Dokumente so dick wie 132 Seiten interner Samsung als Beweismittel vor Gericht Patentstreit der beiden Unternehmen eingereicht, am Dienstag. Der Instinkt ist lebendig und gut in die Menschen, aber an einem gewissen Punkt der sozialen Veränderung wird durch die Bereitschaft, ein Michael Kors Jet Set Saffiano Risiko einzugehen und ein paar Opfer gemessen, und das hat nicht mit Live Aid passieren, obwohl ich glaube, es war wichtig, denn es brach eine Art von völlig leeren mich orientieren Zauber, der von der Unterhaltungsindustrie gegossen wurde..
Es ist passend, dass neue Michael Kors Ipad Mini Schaufenster der Volkskunst ist in New York City, fügt er hinzu. Für die Dauer des Aufenthalts, haben wir den Median und Interquartilbereich als Indikatoren für die typische Dauer des Aufenthalts und der Mittelwert (SD) ein Maß für die Gesamtkosten des Krankenhausaufenthaltes für alle Kinder in jedem fünften Entzug.