Kripke–Platek set theory with urelements: Difference between revisions

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{{About|scale, nominal scale, principal scale, representative fraction, and scale factor of a map|bar scale on a map|Linear scale}}
== Air Max Tn Requin  farine d'avoine ==


The '''scale''' of a [[map]] is the [[ratio]] of a distance on the map to the corresponding distance on the ground. This simple concept is complicated by the curvature of the [[Earth]]'s surface, which forces scale to vary across a map. Because of this variation, the concept of scale becomes meaningful in two distinct ways. The first way is the ratio of the size of the '''generating globe''' to the size of the Earth. The generating globe is a conceptual model to which the Earth is shrunk and from which the map is [[Map projection|projected]].
Attention, je suis un client très heureux de HSBC \ Best Buy jusqu'à aujourd'hui. Le message (montré dans la vidéo) est ainsi libellé: "Jen, je t'aime de tout mon cœur et rien ne me ferait plus plaisir que de passer le reste de ma vie avec toi Et Kasich a soulevé les sourcils avec la façon dont il a exhorté l'appui. <br><br>"Le premier attentat contre le World Trade Center, je pense que nous avions le gars qui a loué la voiture en une journée. Le programme sportif universitaire champs 16 équipes [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=136-Air-Max-Tn-Requin Air Max Tn Requin] interuniversitaires, mais est surtout connu pour son équipe de basketball masculin, qui est parmi les 10 meilleurs programmes à l'échelle nationale avec [http://www.bierhandeldetroetsel.be/pics/contact.asp?g=125-Chemise-Fred-Perry-Blanc Chemise Fred Perry Blanc] <br><br>Aéronefs, des missiles intercepteurs et d'autres armes, à l'amélioration des systèmes nationaux de renseignement. Beaucoup de sites vous permettent d'entendre le score par l'intermédiaire de midi, ainsi que de lire et d'imprimer la partition .. Essayer de se faufiler dans les crevasses, a déclaré Vogel. "Pour obtenir les effets positifs de la musique, vous devez écouter [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=33-Nike-Air-Max-2012 Nike Air Max 2012] de la musique que vous aimez.".<br><br>Il ya une nouvelle génération d'adresses étant conçus appelé IPv6. Dotation a également été un problème. Comme David Zurawik du Baltimore Sun souligne, un morceau du New York Times sur le lancement contenait ce commentaire: "A la télévision haute nouvelles exécutif prédit que Al Jazeera Amérique serait, dès le début, de recevoir encore plus sévèrement que le canal qu'il remplace, actuel TV. " Doomsday prévision d'un rival sans nom? <br><br>Je suis désolé mais tout n'est pas toujours sur la ligne de fond, et quand il s'agit de mettre en péril la santé de ma famille qui est l'endroit où je tire la ligne .. En Kettering, une ville orange vif posté signe déclare la maison, enveloppé de vue sur la rue par <br><br>609 à une église chrétienne. fermetures de raffineries touché les travailleurs et Drivers "). espérons que les décisions qui ont été faites sur le travail .. 8. Le seul mensonge au sujet de l'invasion de l'Irak était médias américains racontant l'esprit faible que les États-Unis allait dans de l'huile et non pas pour protéger la <br><br>Si vous avez le syndrome de Weirdo, vous pouvez avoir demandé pourquoi tout le monde autour de vous a un moment facile de rencontrer des gens et se faire des amis quand il si difficile pour vous. Si vous n'avez pas un piano droit ou à queue cher, il n'y a pas besoin de s'inquiéter. <br><br>Pas tous les administrateurs choisissent des avantages sociaux du canton, mais sont admissibles à un remboursement limité à la couverture obtenue elsewhere.Heidi M. Son assez simple: sélectionner des protéines maigres (poisson, la dinde, le poulet et le bœuf maigre), chargent sur des légumes, sélectionnez les [http://www.paloma-curiosa.be/includes/old/function.asp?l=23-Fadan-Longchamp-Bruxelles Fadan Longchamp Bruxelles] bons glucides ( grains entiers, farine d'avoine, pommes de terre douces, et le riz brun), et n'oubliez pas d'ajouter des graisses saines (des avocats, tous les beurres de noix naturels, huile d'olive, noix de coco et les noix).<ul>
 
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  <li>[http://www.juegosetnicos.com.ar/spip.php?article87&lang=ru/ http://www.juegosetnicos.com.ar/spip.php?article87&lang=ru/]</li>
 
  <li>[http://www.ares-association.fr/spip/spip.php?article247 http://www.ares-association.fr/spip/spip.php?article247]</li>
 
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The ratio of the Earth's size to the generating globe's size is called the '''nominal scale''' (= '''principal scale''' = '''representative fraction'''). Many maps state the nominal scale and may even display a [[bar scale]] (sometimes merely called a 'scale') to represent it. The second distinct concept of scale applies to the variation in scale across a map. It is the ratio of the mapped point's scale to the nominal scale. In this case 'scale' means the '''scale factor''' (= '''point scale''' = '''particular scale''').
== Adidas Jeremy Scott Usa Pas Cher b ==


If the region of the map is small enough to ignore Earth's curvature—a town plan, for example—then a single value can be used as the scale without causing measurement errors. In maps covering larger areas, or the whole Earth, the map's scale may be less useful or even useless in measuring distances. The map projection becomes critical in understanding how scale varies throughout the map.<ref name=snyder>{{cite book | author=Snyder, John P. | title=Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395 | publisher =United States Government Printing Office, Washington, D.C. | year=1987}}This paper can be downloaded from [http://pubs.er.usgs.gov/pubs/pp/pp1395 USGS pages.] It gives full details of most projections, together with introductory sections, but it does not derive any of the projections from first principles. Derivation of all the formulae for the Mercator projections may be found in ''The Mercator Projections''.</ref><ref name=flattening>''Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections'', John P. Snyder, 1993, pp. 5-8, ISBN 0-226-76747-7. This is a survey of virtually all known projections from antiquity to 1993.</ref> When scale varies noticeably, it can be accounted for as the scale factor. [[Tissot's indicatrix]] is often used to illustrate the variation of point scale across a map.
Pics, trucs et astuces sur la peau, des cheveux et des ongles. Cependant, tant que le bateau et la remorque ne sont pas trop lourd, pas de réels dommages se produit, il suffit d'utiliser plus de gaz .. Parce qu'il augmente la quantité d'énergie que vous avez à un moment donné, la créatine qui fonctionne le mieux pour les sports qui nécessitent de fréquents éclats de mouvement <br><br>Il est difficile d'échapper remise en forme dans notre maison, mon mari dirige une entreprise de formation personnelle et nous avons vécu ce mode de vie depuis 21 ans. 3.after tente de récupérer les informations sur une carte ont été infructueuses, les agents électoraux se préparaient à distribuer [http://www.sadietoast.be/backoffice/ckeditor/plugins/forms/dialogs/upfile.asp?j=18-Adidas-Jeremy-Scott-Usa-Pas-Cher Adidas Jeremy Scott Usa Pas Cher] compter les 93 votes de la Cité touchés. "Tout est allé assez bien, sauf que la carte mémoire", a déclaré Steve Quillen, les élections membre director.Board Robert Huffman [http://www.mycontigo.com/includes/contact.asp?p=24-Nike-Free-Trainer Nike Free Trainer] Jr.<br><br>Les aliments qui collent à la bouche ou de la gorge de votre enfant peuvent également être un risque d'étouffement, comme les grands globules de beurre d'arachide ou d'autres beurres de noix et des bonbons gluants ou collants, comme le caramel .. Sa campagne n'était pas disponible [http://www.davalie.be/class/config.asp?m=25-Doudoune-Canada-Goose-Solde Doudoune Canada Goose Solde] pour commenter Whispers en raison de la prestation de serment , mais le porte-parole Justin Unga dit le Service Nouvelles Religion en Novembre que Sinema favorise une «approche laïque." <br><br>Avant cela, le vaccin contre la grippe n'a été utilisé que pour certains enfants souffrant de certaines maladies chroniques qui rendrait la grippe plus dangereuse pour [http://www.paloma-curiosa.be/includes/old/function.asp?l=45-Longchamp-Belgique-Sac Longchamp Belgique Sac] eux .. Paradoxalement, hypothèques qualifié protège les prêteurs de toute responsabilité pour de nombreux prêts à haut risque, encourage les types de prêts plus risqués, et continue <br><br>Le mode d'articulation décrit le type d'obstruction dans le conduit vocal qui produit une consonne, tel qu'un arrêt (b), une fricative (f), ou une nasale (m). Elle a besoin d'un rein. «Mon cœur était brisé. Entendre leurs histoires et de voir les choses à leur façon. Pour dire que quelque chose est froid, ou que nous nous sentons le froid, ou même que nous allons dans "le froid", n'est pas d'affirmer que le froid "existe." Nous sommes tout simplement des rapports de la température.<br><br>Stills ont eu quatre réceptions pour 64 verges et un touché la semaine dernière et mis son travail régulier avec deux réceptions pour 54 verges et une autre partition, le dimanche. Parcak espère l'aide de données tirées de la nouvelle technologie pour répondre à certaines des questions les plus importantes de l'archéologie.<ul>
 
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==The terminology of scales==
== Nike Free 3.0 V2 25 ==


===Representation of scale===
Peu de temps après, alors qu'une réunion de l'ANC a eu lieu dans notre maison, les voitures sur l'avant ont été décorées avec le même haine, cette fois en rouge. Sud-Soudan se mobilise plus de troupes pour lutter contre les rebelles du Sud Soudan mort péage encore plus élevé: appel urgent des Nations Unies des Nations Unies pour le Sud-Soudan et de la RCA Sud-Soudanais australien tué au Sud-Soudan SBS Sport (il ya 3 jours) Beaucoup d'Australiens sont dits être en essayant de sortir une région de po<br><br>Bien Shogatsu signifie Janvier, elle est célébrée pour les 3 premiers jours ou la première semaine de Janvier. Ma carte mmoire affiche un message d'Erreur non sur l'cran de l'Appareil de récupération de la TVA à la carte SanDisknumrisation, aperu ET rcuprationrcupration des Photos supprimes Est non Logiciel de récupération de la TVA puissant compatible AVEC: Les Principales marques d'Appareils Photos numriques: Nikon, Sony , Olympus.<br><br>Un enfant est âgé de moins de 3 mois et a une fièvre de 100,4 F ou au-dessus. Il ya eu des cas où les astronautes ont perdu connaissance lors des conférences de presse parce qu'ils n'avaient pas suffisamment récupéré. Il n'est pas rare de voir des titres comme conseiller financier, gestionnaire de patrimoine privé, conseiller en gestion [http://www.mycontigo.com/includes/contact.asp?p=9-Nike-Free-3.0-V2 Nike Free 3.0 V2] de patrimoine, spécialiste de la richesse privée, banquier privé et même courtier utilisé dans un faible effort de la marque ou de différencier les services entre les entreprises et les particuliers ..<br><br>Mon père l'a appelé monsieur et lui a donné de l'argent. Je savais que j'avais un problème, je suis accro à mon nouveau mangez propre mode de vie, j'étais bien déterminée à ne pas abandonner. Parcak souligne que ces moments passionnants se produisent seulement après beaucoup de recherche préliminaire minutieux et une analyse en laboratoire.<br><br>(Actes [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=120-Nike-Air-Yeezy-Belgique Nike Air Yeezy Belgique] 07:25, 35 me traversa l'esprit). En 1938, la famille de Hansberry emménagé dans un quartier blanc et a été violemment attaqué par des voisins. Il le genre de gars qui se replie parfaitement son domaine sale vêtements quand il emballe [http://www.bistrolarmagnac.be/history/foto/contact.asp?g=85-Isabel-Marant-Sneakers-Été-2014 Isabel Marant Sneakers Été 2014] rentrer à la maison. Vous pouvez obtenir votre propre panier throughIsland Location (40 $ pour une location d'une heure, plus un acompte de 40 $), mais d'explorer intérieur [http://www.r2b.be/verstraete/design/disclaimer.asp?k=18-Uggs-Soldes Uggs Soldes] accidenté de l'île, vous aurez besoin de louer une deux vélos de roues de fromBrown (20 $ par jour) ou solliciter l'aide d'un <br><br>Si vous vendre un élément de coût plus élevé ou vous fournir une transaction plus complexe (comme la signature d'un membre ou un autre programme de continuité), puis sur le lien peut accéder à une page fournissant plus d'informations .. Blanchiment des dents peut être un bon moyen d'améliorer facilement<ul>
Map scales may be expressed in words (a lexical scale), as a ratio, or as a fraction. Examples are:
 
::'one centimetre to one hundred metres' &nbsp;&nbsp; or &nbsp;&nbsp; 1:10,000 &nbsp;&nbsp;or &nbsp;&nbsp; 1/10,000
  <li>[http://cupuyc.free.fr/viewthread.php?tid=59990&extra=page%3D1&frombbs=1 http://cupuyc.free.fr/viewthread.php?tid=59990&extra=page%3D1&frombbs=1]</li>
::'one inch to one mile' &nbsp;&nbsp; or &nbsp;&nbsp; 1:63,360 &nbsp;&nbsp; or &nbsp;&nbsp; 1/63,360
 
::'one centimetre to one thousand kilometres' &nbsp;&nbsp;or&nbsp;&nbsp; 1:100,000,000 &nbsp;&nbsp; or &nbsp;&nbsp; 1/100,000,000. &nbsp;(The ratio would usually be abbreviated to 1:100M
  <li>[http://old.narutotrad.com/index.php/2006/04/13/39/ http://old.narutotrad.com/index.php/2006/04/13/39/]</li>
 
  <li>[http://www.nfbjp.com/news/html/?112780.html http://www.nfbjp.com/news/html/?112780.html]</li>
 
  <li>[http://old.narutotrad.com/index.php/2006/04/13/39/ http://old.narutotrad.com/index.php/2006/04/13/39/]</li>
 
  <li>[http://mouthtoears.com/?p=68698#comments http://mouthtoears.com/?p=68698#comments]</li>
 
</ul>


===Bar scale vs. lexical scale===
== New Balance Shoes Canada Online 8A / o ==
In addition to the above many maps carry one or more ''(graphical)'' '''[[linear scale|bar scales]]'''. For example some British maps presently (2009) use three bar scales for kilometres, miles and nautical miles.


A lexical scale on a recently published map, in a language known to the user, may be easier for a non-mathematician to visualise than a ratio: if the scale is an [[inch]] to two [[mile]]s and he can see that two villages are about two inches apart on the map then it is easy to work out that they are about four miles apart on the ground.
Je n'appartiens pas à l'école sanglots de Negrohood qui soutiennent que la nature leur a donné en quelque sorte une affaire sale verité et dont les sentiments sont tout sauf à ce sujet. J'ai allumé une nouvelle Macanudo avec un roulé, flamboyant billet de 20 $. J'ai eu beaucoup de demandes de personnes qui ont eu la tâche de déplacer leur siège de la société et en se déplaçant d'un bureau est une grande entreprise qui peuvent avoir besoin d'aide supplémentaire sous la forme d'autres collègues (création d'un comité) ou par l'embauche de professionnels <br><br>L'augmentation a donné un élan aux fabricants, mais les stocks de l'entreprise de nombreuses entreprises sont en ligne avec les ventes et n'ont pas besoin de se développer autant .. Trouver un bon médecin qui a un bon dossier avec amnio de et vous ne devriez pas avoir un problème. <br><br>Juste à venir et me prouver et si ça marche, ça marche et si elle doesn j'ai une grande équipe, je peux revenir à, dit Logan. Elle respecter et apprécier avoir pris le temps d'écouter .. La ventilation transversale [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=67-New-Balance-Shoes-Canada-Online New Balance Shoes Canada Online] depuis les fenêtres sur le côté nord-ouest du bâtiment et les murs-rideaux en verre sur le côté sud refroidir naturellement environ 70 pour cent de [http://www.verbeke-daniel.be/doeself/includes/promoties.asp?p=31-Moncler-Outlet-Belgique= Moncler Outlet Belgique=] l'espace pour les 1700 employés fédéraux qui ont travaillé <br><br>6Quand fin de supervision? Parfois surveillance se termine une fois il ya plus d'informations ou le parent remplit certaines évaluations, classes, etc Cette façon de penser a été beaucoup moins écrasante et n'arrêtait pas de me concentré. Tina mère de Victoria (8A / o). Heureusement pour nous, cela n'a pas été le cas cette année, et c'est pourquoi je pense que nous avons réussi à rester [http://www.verbeke-daniel.be/doeself/includes/promoties.asp?p=57-Doudoune-Moncler Doudoune Moncler] si forte et revenir là où nous en sommes aujourd'hui "CONTACT SPORT:. Président NASCAR Brian France a fait clair qu'il aime la course passionnante et un produit sur la piste qui a des fans parler pendant des jours ..<br><br>Mais d'abord, vous devez en apprendre davantage sur la mécanique de l'écriture d'un script avant de se soucier de combien de temps il vous faut pour écrire un .. Le tourteau de soja est souvent [http://www.spellenclubs.be/extern/functions.asp?l=12-Abercrombie-Soldes Abercrombie Soldes] utilisé dans les aliments du bétail, en particulier pour les porcs et les volailles et dans les suppléments pour les bovins laitiers .. Bon.<br><br>Mais avez-vous déjà essayé d'être à deux endroits à la fois. Il s'agit notamment de la difficulté à soutenir la tête d'un bébé de 3 mois, disquette ou mou posture du corps ou, à l'autre bras ou des jambes extrêmes, raides ou rigides, repoussant ou fréquemment cambrant le dos, ou en utilisant un seul côté du corps<ul>
 
  <li>[http://www.xuhui365.com/thread-1175529-1-1.html http://www.xuhui365.com/thread-1175529-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://www.yy8313.com/news/html/?78060.html http://www.yy8313.com/news/html/?78060.html]</li>
 
  <li>[http://364088.cn/news/html/?189592.html http://364088.cn/news/html/?189592.html]</li>
 
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  <li>[http://www.ym0921.com/news/html/?23712.html http://www.ym0921.com/news/html/?23712.html]</li>
 
</ul>


On the other hand, a [[lexicon|lexical]] scale may cause problems if it expressed in a language that the user does not understand or in obsolete or ill-defined units. On the other hand ratios and [[fraction (mathematics)|fractions]] may be more acceptable to the numerate user since they are immediately accessible in any language.  For example a scale of one inch to a [[furlong]] (1:7920) will be understood by many older people in countries where [[Imperial unit]]s used to be taught in schools. But a scale of one [[French units of measurement|pouce]] to one [[French units of measurement|league]] may be about 1:144,000 but it depends on the [[cartographer]]'s choice of the many possible definitions for a league, and only a minority of modern users will be familiar with the units used.
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===Large scale, medium scale, small scale===
J'aime la peinture de couche de [http://www.lineair.be/content/includes/paypal.asp?f=4-Oakley-Custom Oakley Custom] liaison, car, contrairement à la peinture normale, il est vraiment mince alors même si nous avons appliqué trois couches les armoires don sentent épaisse et durcie avec de la peinture comme vous obtiendriez avec paint.This réguliers est à quoi il ressemblait après une seule couche. Étape 3: Gloss. <br><br>Vous rêvez si vous pensez que les gens vont rester les bras croisés tandis que [http://www.bistrolarmagnac.be/history/foto/contact.asp?g=80-Sneakers-Isabel-Marant-Lille Sneakers Isabel Marant Lille] Walker et ses copains détruisent croissance de l'emploi, les salaires dans les mines, et augmenter les impôts. Tout à donner d'énormes subventions à ses copains milliardaires de la campagne. LIC a fermé processus d'inscription en ligne le 22 Décembre ADO 2012. <br><br>Cliquez sur le lien "Plus de recherche Outils", puis cliquez sur "sociale". Vous serez en mesure de voir tous les résultats sociaux de Google en un seul endroit de cette façon .. Ynetnews ajouté: Les systèmes d'alerte installés sur la frontière nord sont très sophistiqués et sont différents des systèmes déployés dans le sud, autour de la bande de Gaza. Nous parlons de systèmes sensibles, et l'activation en cours conduirait à l'érosion et des dysfonctionnements.<br><br>Enfin, notre approche fournit un cadre pour la classification des protéines dans des familles sur la base de leurs surfaces fonctionnelles. Utilisation de la théorie de la forme Alpha, nous l'avons déjà développé une approche analytique pour identifier les surfaces [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=101-New-Balance-Magasin-Liege New Balance Magasin Liege] fonctionnelles de protéines par le concept géométrique d'une poche fendue, qui est une poche diviser par un ligand de liaison.<br><br>Une. Réactivité de l'audience aux annonces = Un site Web Voyage qui fournit des informations sur Voyage en Espagne attirera des visiteurs à la recherche de façons d'organiser leur Voyage et dépenser de l'argent sur leurs vacances en Espagne. [http://www.bistrochapoo.be/includes/menukaart.asp?g=6-Sac-Louis-Vuitton-Speedy-30 Sac Louis Vuitton Speedy 30] Vraiment les seuls CONS que j'avais étaient que le personnel de l'hôpital avait besoin d'apprendre plus d'anglais. <br><br>Il fait vraiment ", a déclaré McIlroy, qui à égalité au 25e au Masters avec un 2 sur 290." Je me sens comme l'un de ces années où je peux obtenir sur une course. «Ce fut une attente de se produire", a déclaré le rapport. Un travailleur a été laissé avec des brûlures au visage et au bras, un bâtiment a été endommagé, les habitants ont été évacués et les routes closed.from Sunday Herald, 01 Décembre 2013Scottish ministres ont eu plus de 30 réunions avec les dirigeants de l'industrie de la pisciculture dans les trois derniers <br><br>"Une fois que nous avons mis un moteur de site Zend en place pour gérer la mise en cache dans les zones de goulot d'étranglement clés, la vitesse grandement améliorée. A la fin de la tâche, le gestionnaire de projet / Tech Guru à l'Atlantique (Records) m'a demandé comment nous avons fait le site pour sacrément rapide, comme vous pouvez certainement remarqué la différence entre le site de Bad Boy et le site propre de l'Atlantique qui utilise la même technologie.<ul>
A map is classified as '''small scale''' or '''large scale''' or sometimes '''medium scale'''. Small scale refers to [[world map]]s or maps of large regions such as continents or large nations. In other words, they show large areas of land on a small space. They are called small scale because the [[Scale (map)#The representative fraction (RF) or principal scale | representative fraction]] is relatively small.  
 
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  <li>[http://www.sz-jiazhou.com/news/html/?427477.html http://www.sz-jiazhou.com/news/html/?427477.html]</li>
 
</ul>


Large scale maps show smaller areas in more detail, such as county maps or town plans might. Such maps are called large scale because the representative fraction is relatively large. For instance a town plan, which is a large scale map, might be on a scale of 1:10,000, whereas the world map, which is a small scale map, might be on a scale of 1:100,000,000.
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The following table describes typical ranges for these scales but should not be considered authoritative because there is no standard:
Résoudre le problème se que vous avez assigné à un pool qui sera accordé un certain nombre de pièces de monnaie. C'est une citrouille entière lacé, bonbons enrobés de saison qui débute à la mi Septembre quand citrouille lattes et géants des muffins et des scones à la citrouille glacé apparaître dans notre café s'accumule en Octobre avec des festivals pré d'automne Halloween (pommes caramel, anyone?) Et des pics le 31 Octobre avec <br><br>L'impact serait probablement encore plus que ce qu'ils estiment, Heckman et Lakshmi disent, depuis leur recherche est basée sur les programmes préscolaires de qualité inférieure âgées. Anciens notables de Hendrix College comprennent Jo Luck, ancien président et chef de la direction de la sans but lucratif Heifer International, qui met l'accent sur les questions de la faim et de la pauvreté, et la fin de Sarah Caldwell, la première femme chef d'orchestre du Metropolitan Opera de New York City ..<br><br>Il est intéressant de noter que Beatty a été membre du Parlement pour le Parti progressiste-conservateur du Canada pendant 20 ans (1972, 1993) et [http://www.oude-weverij.be/include/header.asp?f=21-Sac-Michael-Kors Sac Michael Kors] a servi en tant que ministre .. Il est bon que vous êtes préoccupé par cela maintenant, parce que le de 1 à 2 vieille année stade que votre bébé est entrée peut être difficile pour les enfants plus âgés à accepter.<br><br>Plus n'est pas toujours plus. Moynihan, le président du même comité. Ivoire est [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=101-Chaussure-Nike-Femme Chaussure Nike Femme] connu comme «l'or blanc» en raison des prix riches qu'il commande sur le marché noir. L'enfant se sent que le parent lui a abandonné, que ses sentiments ne sont pas du tout important et doivent être supprimées, et au-dessus de tout ce qui lui a été soucier en premier lieu, il a maintenant la frustration supplémentaire de son parent le rejeter dans son temps de <br><br>Biden a déjà parlé avec des personnes et des groupes de soutien plus sévères canons lois, y compris la Campagne Brady, et a également parlé avec l'homme d'armes des groupes de défense, y compris la National Rifle Association, qui s'oppose à toute législation visant à interdire à nouveau des armes d'assaut et de grande capacité chargeurs de munitions.<br><br>Et si vous [http://www.lebleu.be/SpryAssets/content.asp?h=61-Timberland-Belgique-Chaussures Timberland Belgique Chaussures] souhaitez informations et les preuves de mes revendications de la façon dont le féminisme est nuisible i heureux de vous donner quelques faits durs froids. À petits pas à vous accepter et se connecter avec le monde autour de vous peut [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=33-Nike-Air-Max-2012 Nike Air Max 2012] vous aider à être plus sociale et moins conscient de soi ..<br><br>Je suis 42 ans et enceinte, et viens de découvrir aujourd'hui que mon risque d'avoir un bébé avec de Down est de 1 sur 44. Vous pourriez même faire quelque chose de temps en temps pour soutenir que la vie personnelle. J'ai une peur de Bezos: son secret. Nous avons eu plusieurs cas de virus du Nil occidental dans ma région au cours des dernières années en raison de nombreux morts, donc c'est une grande source de préoccupation pour moi.<ul>
{| class="wikitable"
 
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  <li>[http://sglmqsmku.huarenblog.com/uUOoI-b1/Lunette-Oakley-Pas-Cher-un-balancier-b1-p19.htm http://sglmqsmku.huarenblog.com/uUOoI-b1/Lunette-Oakley-Pas-Cher-un-balancier-b1-p19.htm]</li>
! Classification
 
! Range
  <li>[http://www.siksik-immobilier.com/spip.php?article303 http://www.siksik-immobilier.com/spip.php?article303]</li>
! Examples
 
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  <li>[http://1.ts.cn/home.php?mod=space&uid=37316&do=blog&quickforward=1&id=2081626 http://1.ts.cn/home.php?mod=space&uid=37316&do=blog&quickforward=1&id=2081626]</li>
| large scale || 1:0 – 1:600,000 || 1:0.00001 for map of virus; 1:5,000 for walking map of town
 
|-
  <li>[http://www.caubbs.com/thread-102126-1-1.html http://www.caubbs.com/thread-102126-1-1.html]</li>
| medium scale || 1:600,000 – 1:2,000,000 || Map of a country
 
|-
  <li>[http://www.shanghai30p.com/news/html/?101583.html http://www.shanghai30p.com/news/html/?101583.html]</li>
| small scale || 1:2,000,000 – 1:∞ || 1:50,000,000 for world map; 1:10<sup>21</sup> for map of galaxy
 
|}
</ul>
The terms are sometimes used in the absolute sense of the table, but other times in a relative sense. For example, a map reader whose work refers solely to large-scale maps (as tabulated above) might refer to a map at 1:500,000 as small-scale.


===Scale variation===
== Air Max Leopard  non seulement pondent lecteurs ==
Mapping large areas causes noticeable distortions due to flattening the significantly curved surface of the earth. How distortion gets distributed depends on the [[map projection]]. Scale varies across the [[map]], and the stated map scale will only be an approximation. This is discussed in detail below.


== Large-scale maps with curvature neglected==
Je pense que l'idée est tout aussi important que la science a à peu près toujours travaillé avec certains nombre d'études faux positifs et irreplicable. Cela a été admirablement décrit par Jared Horvath dans ce blog de l'économiste. La nouvelle clinique dispose de trois chambres entièrement équipées d'examen, un laboratoire, un bureau de dossiers médicaux et un bureau de [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=25-Air-Max-Leopard Air Max Leopard] santé comportementale. <br><br>Carlisle est une ville de règlement calme en Cumbria, en Angleterre. Les premiers Romains se sont installés ici au 12ème siècle pour sécuriser les forts qui y ont été construits sur mur d'Hadrien. Il serait alors possible pour un ami à utiliser le champ de recherche pour rechercher le nom d'un ami et les désirs des amis pour un cadeau d'anniversaire ou tout autre cadeau. <br><br>Aussi, je ne peux pas aider mes sentiments et mes pensées à ce sujet. Certaines des choses que je dis me faire son égoïste, mais je ne cherche pas à l'être. Le sociologue et pédagogue Narendra Jadhav, interviewé dans le Times of India plus tôt cette année, décrits Ambedkar comme la «conscience sociale de l'Inde moderne", et [http://www.slagerij-vasseur.be/backoffice/class/ligging.asp?id=2-Nike-Blazer-Chaussure-Pas-Cher-France Nike Blazer Chaussure Pas Cher France] déploré qu'il a été réduit à être "juste un chef de file des Dalits et une sommité juridique. " En effet, même réfléchie, libérales Indiens d'élite sont souvent ignorants de la vie d'Ambedkar et impact social, à la fois dans sa vie et dans les décennies depuis que le savant Sharmila Rege noté dans Contre la folie de Manu: les écrits de BR Ambedkar sur brahmanique patriarcat, non seulement pondent lecteurs, mais les diplômés et les universitaires de poste indiennes dans les sciences sociales, les sciences humaines et les études sur les femmes sont également peu susceptibles d'avoir le lire. <br><br>Certains de mes favoris seront [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=3-Nike-Tn-Belgique Nike Tn Belgique] évidemment les sites de [http://www.spellenclubs.be/extern/functions.asp?l=49-Abercrombie-Fitch-Polémique Abercrombie Fitch Polémique] conditionnement physique et les autres sont des sites de santé ou un mélange des deux. Il couvre les questions de santé en général, la saine alimentation et de recettes et des articles sur la condition physique, ainsi que des vidéos. J'en ai entendu parler, tout en Arizona. <br><br>Coordonné avec les producteurs et directeur des nouvelles sur l'assemblage des bulletins de nouvelles. Multiples aspects gérés de bulletins de nouvelles de fin de semaine. La seule raison pour laquelle je crois même que j'ai remarqué que c'était parce que la croissance était au bord d'une zone sur son ventre qui avait été rasé pour une échographie précédente. <br><br>Ils changent automatiquement certains expéditeurs pour ce rôle et ils ne peuvent pas revenir en arrière. Je viens de quitter plutôt que de répondre à 200 questions pour un mâle. Dans un communiqué, l'EPA a déclaré qu'il "part de la préoccupation de protéger les Américains des Sénateurs de la santé. EPA examine actuellement les données d'échantillonnage de USA Today et des études de cas et a déjà commencé à évaluer un certain nombre de sites sur la liste afin de déterminer s'ils présentent un<ul>
The region over which the earth can be regarded as flat depends on the accuracy of the [[surveying|survey]] measurements. If measured only to the nearest metre, then [[curvature of the earth]] is undetectable over a meridian distance of about {{Convert|100|km}} and over an east-west line of about 80&nbsp;km (at a [[latitude]] of 45 degrees). If surveyed to the nearest {{Convert|1|mm|inch}}, then curvature is undetectable over a [[meridian arc|meridian]] distance of about 10&nbsp;km and over an east-west line of about 8&nbsp;km.<ref name=merc>[http://www.mercator99.webspace.virginmedia.com The Mercator Projections] A [[pedagogical]] derivation of the formulae describing many of the variants of the [[Mercator projection]]s. In particular normal and transverse projections on the [[sphere]] and [[ellipsoid]] along with their modified versions. It concludes with the [[Transverse Mercator: Redfearn series|Redfearn formulae]] used for the [[Transverse Mercator projection]] on the ellipsoid.</ref> Thus a city plan of [[New York]] accurate to one metre or a building site plan accurate to one millimetre would both satisfy the above conditions for the neglect of curvature. They can be treated by plane surveying and mapped by scale drawings in which any two points at the same distance on the drawing are at the same distance on the ground. True ground distances are calculated by measuring the distance on the map and then multiplying by the [[Multiplicative inverse|inverse]] of the scale fraction or, equivalently, simply using dividers to transfer the separation between the points on the map to a [[bar scale]] on the map.
 
  <li>[http://xelcoremunity.com/activity/p/193445/ http://xelcoremunity.com/activity/p/193445/]</li>
 
  <li>[http://www.gzhotpower.com/news/html/?15712.html http://www.gzhotpower.com/news/html/?15712.html]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum18231036 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum18231036]</li>
 
  <li>[http://364088.cn/news/html/?189852.html http://364088.cn/news/html/?189852.html]</li>
 
  <li>[http://www.law-bar.com/forum.php?mod=viewthread&tid=121752 http://www.law-bar.com/forum.php?mod=viewthread&tid=121752]</li>
 
</ul>


== Point scale (or particular scale)==
== Longchamp Le Havre  si une personne a ==
As proved by [[Gauss]]’s ''[[Theorema Egregium]]'', a sphere (or ellipsoid) cannot be projected onto a [[Plane (geometry)|plane ]] without distortion. This is commonly illustrated by the impossibility of smoothing an orange peel onto a flat surface without tearing and deforming it. The only true representation of a sphere at constant scale is another sphere such as a [[globe]]


Given the limited practical size of globes, we must use maps for detailed mapping. Maps require projections. A projection implies distortion: A constant separation on the map does not correspond to a constant separation on the ground. While a map may display a graphical bar scale, the scale must be used with the understanding that it will be accurate on only some lines of the map. (This is discussed further in the examples in the following sections.)
Je vous le dis, je reçois vraiment ennuyé alors que les gens considèrent soucis qu'ils viennent de don connaissent. Vous avez réussi à frapper le clou sur le sommet ainsi que défini à [http://www.paloma-curiosa.be/includes/old/function.asp?l=86-Longchamp-Le-Havre Longchamp Le Havre] la chose sans avoir les effets secondaires, les gens peuvent prendre un signal. KCRW généré tout à fait le buzz de la conception de ce dernier week-end à la Dwell sur l'exposition design. Sonic Trace, un projet de KCRW AIR (Association des Indépendants en radio), était là pour présenter personnellement les 30 soumissions reçues pour le défi de la conception de la cabine son, avec un accent sur le dessin gagnant présenté par Hugo Martinez et Christin Pour Mat ter: <br><br>Son contrat avec Scribd pour "Le semeur" lui donne 80% de 2 $, qui est de 1,60 $ par copie. La question est de savoir si Scribd sera en mesure de pousser le genre de volume sur son site Internet qu'un éditeur traditionnel peut dans les librairies .. Il parle de Frank ou Ian, et puis va faire une sieste. <br><br>Au début de 2011, Panda affecté ce qu'elle considérait être "faible qualité, basé sur le Web contenu fermes". Le résultat a été perdu circulation, des millions en revenus perdus, et des emplois pour de nombreux consultants SEO perdu .. Nous avions décidé de passer la location d'une chambre d'hôtel depuis notre maison était si proche de la salle, et je suis vraiment heureux que notre première nuit mariée était passé dans notre maison. <br><br>Inciter les téléspectateurs à poster des commentaires et avis sur des sujets sur votre site. Les autres commentaires de votre site le mieux les résultats de recherche. DESCRIPTION DU COURS: OSHA superviseur du site de recyclage annuel en ligne: En 2005, l'Administration ou OSHA sécurité et la santé au travail exige que tous les superviseurs du site reçoivent ANNUEL Perfectionnement. Cette formation doit être fait en plus de la remise à niveau annuelle exigée par la norme 29 CFR [http://www.bistrochapoo.be/includes/menukaart.asp?g=11-Louis-Vuitton-Chaussures-Femme-Nouvelle-Collection Louis Vuitton Chaussures Femme Nouvelle Collection] 1910.120 ("e" ou "q") qui est nécessaire pour tous les travailleurs de HAZWOPER.<br><br>Merci de donner dans les connaissances efficaces de vérité. A New internet est tellement COOLi suis inspiré par la connaissance que les consommateurs permettent à des choses comme cette page d'accueil. Les rootkits qui se cachent fichiers, répertoires et clés de registre peuvent soit exécuter en mode utilisateur par patcher API Windows dans chaque processus que les applications utilisent pour accéder à ces objets, ou en mode noyau en interceptant les API en mode noyau associés. <br><br>Quelqu'un at-il dans [http://www.creamark.eu/includes/contact.asp?b=17-Beats-Dre-Pro Beats Dre Pro] vos chaussures jamais gagné avec une petite entreprise? Bien sûr. Donc, si une personne a, vous pouvez too.I sais que c'est pas facile à défaire des décennies de lavage de cerveau, mais il est extrêmement important que vous le faites. Comme l'histoire touche à sa fin, le retour de l'enfant est vu en regardant le défilé se termine avec une [http://www.andersmetklank.be/ontwikkeling/favicon.asp?l=35-Vibram-Five-Fingers-Belgique-Magasin Vibram Five Fingers Belgique Magasin] ligne adorable de coup de pied de toutou. Comme votre petit navigue vers le sommeil, vous serez heureux que vous avez choisi un I See Me!<ul>
 
 
Let P be a point at latitude <math>\phi</math> and longitude <math>\lambda</math> on the sphere (or [[ellipsoid]]). Let Q be a neighbouring point and let <math>\alpha</math> be the angle between the element PQ and the meridian at P: this angle is the '''azimuth''' angle of the element PQ. Let P' and Q' be corresponding points on the projection. The angle between the direction P'Q' and the projection of the meridian is the '''bearing''' <math>\beta</math>. In general <math>\alpha\ne\beta</math>. Comment: this precise distinction between azimuth (on the Earth's surface) and bearing (on the map) is not universally observed, many writers using the terms almost interchangeably.
  <li>[http://www.cablecarr.com.au/node/14745 http://www.cablecarr.com.au/node/14745]</li>
 
 
'''Definition:'''  the '''point scale''' at P is the ratio of the two distances P'Q' and PQ in the limit that Q approaches P. We write this as
  <li>[http://www.vozesdaeducacao.org.br/bbpress/profile.php?id=506733 http://www.vozesdaeducacao.org.br/bbpress/profile.php?id=506733]</li>
::<math>\mu(\lambda,\,\phi,\,\alpha)=\lim_{Q\to P}\frac{P'Q'}{PQ},</math>
 
where the notation indicates that the point scale is a function of the position of P and also the direction of the element PQ.
  <li>[http://www.twsela.com/?p=46396#comments http://www.twsela.com/?p=46396#comments]</li>
 
 
'''Definition:''' if P and Q lie on the same meridian <math>(\alpha=0)</math>, the '''meridian scale''' is denoted by <math>h(\lambda,\,\phi)</math> .
  <li>[http://www.jinxi.org/forum.php?mod=viewthread&tid=305188&fromuid=83015 http://www.jinxi.org/forum.php?mod=viewthread&tid=305188&fromuid=83015]</li>
 
 
'''Definition:''' if P and Q lie on the same parallel <math>(\alpha=\pi/2)</math>, the '''parallel scale''' is denoted by <math>k(\lambda,\,\phi)</math>.
   <li>[http://www.laoshr.com/forum.php?mod=viewthread&tid=3686&fromuid=1398 http://www.laoshr.com/forum.php?mod=viewthread&tid=3686&fromuid=1398]</li>
 
 
'''Definition:''' if the point scale depends only on position, not on direction, we say that it is [[Isotropy|isotropic]] and conventionally denote its value in any direction by the parallel scale factor <math>k(\lambda,\phi)</math>. 
</ul>
 
'''Definition:''' A map projection is said to be [[Conformal map projection|conformal]] if the angle between a pair of lines intersecting at a point P is the same as the angle between the projected lines at the projected point P', for all pairs of lines intersecting at point P. A conformal map has an isotropic scale factor. Conversely isotropic scale factors across the map imply a conformal projection.
 
Isotropy of scale implies that ''small'' elements are stretched equally in all directions, that is the shape of a small element is preserved. This is the property of '''orthomorphism''' (from Greek 'right shape'). The qualification 'small' means that at some given accuracy of measurement no change can be detected in the scale factor over the element. Since conformal projections have an isotropic scale factor they have also been called '''orthomorphic projections'''. For example the Mercator projection is conformal since it is constructed to preserve angles and its scale factor is isotopic, a function of latitude only: Mercator ''does'' preserve shape in small regions.
 
'''Definition:''' on a conformal projection with an isotropic scale, points which have the same scale value may be joined to form the '''isoscale lines'''. These are not plotted on maps for end users but they feature in many of the standard texts. (See Snyder<ref name=snyder/> pages 203—206.)
 
==The representative fraction (RF) or principal scale==
There are two conventions used in setting down the equations of any given projection. For example, the equirectangular cylindrical projection may be written as
: cartographers: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>x=a\lambda</math>  &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;<math>y=a\phi</math>
: mathematicians: &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; <math>x=\lambda</math>  &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;<math>y=\phi</math>
Here we shall adopt the first of these conventions (following the usage in the surveys by Snyder). Clearly the above projection equations define positions on a huge cylinder wrapped around the Earth and then unrolled. We say that these coordinates define the '''projection map''' which must be distinguished logically from the actual '''printed''' (or viewed) maps. If the definition of point scale in the previous section is in terms of the projection map then we can expect the scale factors to be close to unity. For normal tangent cylindrical projections the scale along the equator is k=1 and in general the scale changes as we move off the equator. Analysis of scale on the projection map is an investigation of the change of k away from its true value of unity.
 
Actual '''printed maps''' are produced from the projection map by a ''constant'' scaling denoted by a ratio such as 1:100M (for whole world maps) or 1:10000 (for such as town plans). To avoid confusion in the use of the word 'scale' this constant
scale fraction is called the '''representative fraction''' (RF) of the printed map and it is to be identified with the ratio printed on the map. The actual printed map coordinates for the equirectangular cylindrical projection are
: printed map: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>x=(RF)a\lambda</math>  &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;<math>y=(RF)a\phi</math>
This convention allows a clear distinction of the intrinsic projection scaling and the reduction scaling.  
 
From this point we ignore the RF and work with the projection map.
 
==Visualisation of point scale: the Tissot indicatrix==
 
[[File:Tissot indicatrix world map Winkel Tripel proj.svg|thumb|right|350px|The Winkel tripel projection with [[Tissot's indicatrix]] of deformation]]
 
Consider a small circle on the surface of the Earth centred at a point P at latitude <math>\phi</math> and longitude <math>\lambda</math>. Since the point scale varies with position and direction the projection of the circle on the projection will be distorted. [[Nicolas Auguste Tissot|Tissot]] proved that, as long as the distortion is not too great, the circle will become an ellipse on the projection. In general the dimension, shape and orientation of the ellipse will change over the projection. Superimposing these distortion ellipses on the map projection conveys the way in which the point scale is changing over the map. The distortion ellipse is known as [[Tissot's indicatrix]]. The example shown here is the [[Winkel tripel projection]], the standard projection for world maps made by the [[National Geographic Society]]. The minimum distortion is on the central meridian at latitudes of 30 degrees (North and South). (Other examples<ref>[http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Normal/CartProp/Distort/distort.html Examples of Tissot's indicatrix.] Some beautiful illustrations of the Tissot Indicatrix applied to a variety of projections other than normal cylindrical.</ref><ref>[http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Map_projections_with_Tissot%27s_indicatrix Further examples of Tissot's indicatrix] at Wikimedia Commons.</ref>).
 
==Point scale for normal cylindrical projections of the sphere==
[[File:201globe.svg|200px|right]]
The key to a ''quantitative'' understanding of scale is to consider an infinitesimal element on the sphere. The figure shows a point P at latitude <math>\phi</math> and longitude <math>\lambda</math> on the sphere. The point Q is at latitude <math>\phi+\delta\phi</math> and longitude <math>\lambda+\delta\lambda</math>. The lines PK and MQ are [[meridian arc|arcs of meridians]] of length <math>a\delta\phi</math> where <math>a</math> is the radius of the sphere and <math>\phi</math> is in radian measure. The lines PM and KQ are arcs of parallel circles of length <math>(a\cos\phi)\delta\lambda</math> with<math>\lambda</math> in radian measure. In deriving a ''point'' property of the projection ''at'' P it suffices to take an infinitesimal element PMQK of the surface: in the limit of Q approaching P such an element tends to an infinitesimally small planar rectangle.
 
[[File:205infinitesimal elements on sphere and plane(6).svg|thumb|350px|right|clip-true|Infinitesimal elements on the sphere and a normal cylindrical projection]]
Normal cylindrical projections of the sphere have  <math>x=a\lambda</math> and <math>y</math> equal to a function of latitude only. Therefore the infinitesimal element PMQK on the sphere projects to an infinitesimal element P'M'Q'K' which is an ''exact'' rectangle with a base <math>\delta x=a\delta\lambda</math> and height&nbsp;<math>\delta y</math>. By comparing the elements on sphere and projection we can immediately deduce expressions for the scale factors on parallels and meridians. (The treatment of scale in a general direction may be found [[#Mathematical addendum|below]].)
:: parallel scale factor&nbsp;&nbsp; <math>\quad k\;=\;\dfrac{\delta x}{a\cos\phi\,\delta\lambda\,}=\,\sec\phi\qquad\qquad{}</math>
::meridian scale factor&nbsp;  <math>\quad h\;=\;\dfrac{\delta y}{a\delta\phi\,}=\dfrac{y'(\phi)}{a}</math>
Note that the parallel scale factor <math>k=\sec\phi</math>
is independent of the definition of <math>y(\phi)</math> so it is the same for all normal cylindrical projections. It is useful to note that
::at latitude 30 degrees the parallel scale is <math>k=\sec30^{\circ}=2/\sqrt{3}=1.15</math>
::at latitude 45 degrees the parallel scale is <math>k=\sec45^{\circ}=\sqrt{2}=1.414</math>
::at latitude 60 degrees the parallel scale is <math>k=\sec60^{\circ}=2</math>
::at latitude 80 degrees the parallel scale is <math>k=\sec80^{\circ}=5.76</math>
::at latitude 85 degrees the parallel scale is <math>k=\sec85^{\circ}=11.5</math>
 
The following examples illustrate three normal cylindrical projections and in each case the variation of scale with position and direction is illustrated by the use of [[Tissot's indicatrix]].
 
==Three examples of normal cylindrical projection==
 
===The equirectangular projection===
[[File:Tissot indicatrix world map equirectangular proj.svg|thumb|right|350px|The equidistant projection with [[Tissot's indicatrix]] of deformation]]
The [[equirectangular projection]],<ref name=snyder/><ref name=flattening/><ref name=merc/> also known as the Plate Carrée (French for "flat square") or (somewhat misleadingly) the equidistant projection, is defined by
:<math>x = a\lambda,</math>&nbsp;&nbsp; <math>y = a\phi,</math>
where <math>a</math> is the radius of the sphere, <math>\lambda</math> is the longitude from the central meridian of the projection (here taken as the Greenwich meridian at <math>\lambda =0</math>) and <math>\phi</math> is the latitude. Note that <math>\lambda</math> and <math>\phi</math> are in radians (obtained by multiplying the degree measure by a factor of <math>\pi</math>/180). The longitude <math>\lambda</math> is in the range <math>[-\pi,\pi]</math> and the latitude <math>\phi</math> is in the range <math>[-\pi/2,\pi/2]</math>.
 
Since <math>y'(\phi)=1</math> the previous section gives
: parallel scale,&nbsp; <math>\quad k\;=\;\dfrac{\delta x}{a\cos\phi\,\delta\lambda\,}=\,\sec\phi\qquad\qquad{}</math>
: meridian scale  <math>\quad h\;=\;\dfrac{\delta y}{a\delta\phi\,}=\,1</math>
For the calculation of the point scale in an arbitrary direction see [[#Mathematical addendum|addendum]].
 
The figure illustrates the [[Tissot's indicatrix|Tissot indicatrix]] for this projection. On the equator h=k=1 and the circular elements are undistorted on
projection. At higher latitudes the circles are distorted into an ellipse given by stretching in the parallel direction only: there is no distortion in the meridian direction. The ratio of the major axis to the minor axis is <math>\sec\phi</math>. Clearly the area of the ellipse increases by the same factor.
 
It is instructive to consider the use of bar scales that might appear on a printed version of this projection. The scale is true (k=1) on the equator so that multiplying its length on a printed map by the inverse of the RF (or principal scale) gives the actual circumference of the Earth. The bar scale on the map is also drawn at the true scale so that transferring a separation between two points on the equator to the bar scale will give the correct distance between those points. The same is true on the meridians. On a parallel other than the equator the scale is <math>\sec\phi</math> so when we transfer a separation from a parallel to the bar scale we must divide the bar scale distance by this factor to obtain the distance between the points when measured along the parallel (which is not the true distance along a great circle). On a line at a bearing of say 45 degrees (<math>\beta=45^{\circ}</math>) the scale is continuously varying with latitude and transferring a separation along the line to the bar scale does not give a distance related to the true distance in any simple way. (But see [[#Mathematical addendum|addendum]]). Even if we could work out a distance along this line of constant bearing its relevance is questionable since such a line on the projection corresponds to a complicated curve on the sphere. For these reasons bar scales on small-scale maps must be used with extreme caution.
 
===Mercator projection===
 
[[File:Tissot indicatrix world map Mercator proj.svg|thumb|right|350px|The Mercator projection with [[Tissot's indicatrix]] of deformation. (The distortion increases without limit at higher latitudes)]]
 
The [[Mercator projection]] maps the sphere to a rectangle (of infinite extent in the  <math>y</math>-direction) by the equations<ref name=snyder/><ref name=flattening/><ref name=merc/>
:<math>x = a\lambda\,</math>
:<math>y  = a\ln \left[\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} \right) \right]</math>
where a, <math>\lambda\,</math> and  <math>\phi \,</math> are as in the previous example. Since <math>y'(\phi)=a\sec\phi</math> the scale factors are:
:parallel scale &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>k\;=\;\dfrac{\delta x}{a\cos\phi\,\delta\lambda\,}=\,\sec\phi.</math>
:meridian scale &nbsp;&nbsp;<math>h\;=\;\dfrac{\delta y}{a\delta\phi\,}=\,\sec\phi.</math>
 
In the mathematical [[#Mathematical addendum|addendum]] it is shown that the point scale in an arbitrary direction is also equal to <math>\sec\phi</math> so the scale is isotropic (same in all directions), its magnitude increasing with latitude as <math>\sec\phi</math>. In the Tissot diagram each infinitesimal circular element preserves its shape but is enlarged more and more as the latitude increases.
 
===Lambert's equal area projection===
 
[[File:Tissot indicatrix world map Lambert cyl equal-area proj.svg|thumb|right|350px|Lambert's normal cylindrical equal-area projection with [[Tissot's indicatrix]] of deformation]]
 
[[Lambert cylindrical equal-area projection|Lambert's equal area projection]] maps the sphere to a finite rectangle by the equations<ref name=snyder/><ref name=flattening/><ref name=merc/>  
:<math>x = a\lambda \qquad\qquad y  = a\sin\phi</math>
where a, <math>\lambda</math> and  <math>\phi</math> are as in the previous example. Since <math>y'(\phi)=\cos\phi</math> the scale factors are
: parallel scale&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\quad k\;=\;\dfrac{\delta x}{a\cos\phi\,\delta\lambda\,}=\,\sec\phi\qquad\qquad{}</math>
:meridian scale &nbsp;&nbsp; <math>\quad h\;=\;\dfrac{\delta y}{a\delta\phi\,}=\,\cos\phi</math>
The calculation of the point scale in an arbitrary direction is given [[#Mathematical addendum|below]].
 
The vertical and horizontal scales now compensate each other (hk=1) and in the Tissot diagram each infinitesimal circular element is distorted into an ellipse of the ''same'' area as the undistorted circles on the equator.
 
===Graphs of scale factors===
 
[[File:cyl proj scale 3examples.svg|thumb|right|350px]] The graph shows the variation of the scale factors for the above three examples. The top plot shows the isotropic Mercator scale function: the scale on the parallel is the same as the scale on the meridian. The other plots show the meridian scale factor for the Equirectangular projection (h=1) and for the Lambert equal area projection. These last two projections have a parallel scale identical to that of the Mercator plot. For the Lambert note that the parallel scale (as Mercator A) increases with latitude and the meridian scale (C) decreases with latitude in such a way that hk=1, guaranteeing area conservation.
 
==Scale variation on the Mercator projection==
 
The Mercator point scale is unity on the equator because it is such that the auxiliary cylinder used in its construction is tangential to the Earth at the equator. For this reason the usual projection should be called a '''tangent''' projection. The scale varies with latitude as <math>k=\sec\phi</math>. Since <math>\sec\phi</math> tends to infinity as we approach the poles the Mercator map is grossly distorted at high latitudes and for this reason the projection is totally inappropriate for world maps (unless we are discussing navigation and [[rhumb lines]]). However, at a latitude of about 25 degrees the value of <math>\sec\phi</math>  is about 1.1 so Mercator ''is'' accurate to within 10% in a strip of width 50 degrees centred on the equator. Narrower strips are better: a strip of width 16 degrees (centred on the equator) is accurate to within 1% or 1 part in 100.
 
A standard criterion for good large-scale maps is that the accuracy should be within 4 parts in 10,000, or 0.04%, corresponding to <math>k=1.0004</math>. Since <math>\sec\phi</math>  attains this value at <math>\phi=1.62</math> degrees (see figure below, red line). Therefore the tangent Mercator projection is highly accurate within a strip of width 3.24 degrees centred on the equator. This corresponds to north-south distance of about {{convert|360|km|mi|abbr=on}}. Within this strip Mercator is ''very'' good, highly accurate and shape preserving because it is conformal (angle preserving). These observations prompted the development of the transverse Mercator projections in which a meridian is treated 'like an equator' of the projection so that we obtain an accurate map within a narrow distance of that meridian. Such maps are good for countries aligned nearly north-south (like [[British national grid reference system|Great Britain]]) and a set of 60 such maps is used for the [[Universal Transverse Mercator coordinate system|Universal Transverse Mercator (UTM)]]. Note that in both these projections (which are based on various ellipsoids) the transformation equations for x and y and the expression for the scale factor are complicated functions of both latitude and longitude.
 
[[File:cyl proj scale secant.svg|thumb|center|550px|Scale variation near the equator for the tangent (red) and secant (green) Mercator projections.]]
 
==Secant, or modified, projections==
 
The basic idea of a secant projection is that the sphere is projected to a cylinder which intersects the sphere at two parallels, say <math>\phi_1</math> north and south. Clearly the scale is now true at these latitudes whereas parallels beneath these latitudes are contracted by the projection and their (parallel) scale factor must be less than one. The result is that deviation of the scale from unity is reduced over a wider range of latitudes.
 
[[File:Cylindrical Projection secant.svg|thumb|center|400px]]
 
As an example, one possible secant Mercator projection is defined by
:<math>x = 0.9996a\lambda \qquad\qquad y  = 0.9996a\ln \left(\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} \right) \right).</math>
The numeric multipliers do not alter the shape of the projection but it does mean that the scale factors are modified:
::: secant Mercator scale, &nbsp;&nbsp;<math>\quad k\;=0.9996\sec\phi.</math>
Thus
* the scale on the equator is 0.9996,
* the scale is k=1 at a latitude given by  <math>\phi_1</math> where  <math>\sec\phi_1=1/0.9996=1.00004</math> so that <math>\phi_1=1.62</math> degrees,
*k=1.0004 at a latitude <math>\phi_2</math> given by <math>\sec\phi_2=1.0004/0.9996=1.0008</math> for which <math>\phi_2=2.29</math> degrees. Therefore the projection has <math>1<k<1.0004</math>, that is an accuracy of 0.04%, over a wider strip of 4.58 degrees (compared with 3.24 degrees for the tangent form).
This is illustrated by the lower (green) curve in the figure of the previous section.
 
Such narrow zones of high accuracy are used in the UTM and the British OSGB projection, both of which are secant, transverse Mercator on the ellipsoid with the scale on the central meridian constant at <math>k_0=0.9996</math>. The isoscale lines with <math>k=1</math> are slightly curved lines approximately 180&nbsp;km east and west of the central meridian. The maximum value of the scale factor is 1.001 for UTM and 1.0007 for OSGB.
 
The lines of unit scale at latitude <math>\phi_1</math> (north and south), where the cylindrical projection surface intersects the sphere, are the '''standard parallels''' of the secant projection.
 
Whilst a narrow band with <math>|k-1|<0.0004</math> is important for high accuracy mapping at a large scale, for world maps much wider spaced standard parallels are used to control the scale variation. Examples are
*Behrmann with standard parallels at 30N, 30S.
*Gall equal area with standard parallels at 45N, 45S.
 
[[File:cyl proj scale Lambert Gall.svg|thumb|right|350px|Scale variation for the Lambert (green) and Gall (red) equal area projections.]]
The scale plots for the latter are shown below compared with the Lambert equal area scale factors. In the latter the equator is a single standard parallel and the parallel scale increases from k=1 to compensate the decrease in the meridian scale. For the Gall the parallel scale is reduced at the equator (to k=0.707) whilst the meridian scale is increased (to k=1.414). This gives rise to the gross distortion of shape in the Gall-Peters projection. (On the globe Africa is about as long as it is broad). Note that the meridian and parallel scales are both unity on the standard parallels.
 
==Mathematical addendum==
 
[[File:205infinitesimal elements on sphere and plane(6).svg|thumb|350px|right|clip-true|Infinitesimal elements on the sphere and a normal cylindrical projection]]
 
For normal cylindrical projections the geometry of the infinitesimal elements gives
::<math>
  \text{(a)}\quad
  \tan\alpha=\frac{a\cos\phi\,\delta\lambda}{a\,\delta\phi}, </math>
::<math>
   \text{(b)}\quad
  \tan\beta=\frac{\delta x}{\delta y}
              =\frac{a\delta \lambda}{\delta y}.
</math>
The relationship between the angles <math>\beta</math> and <math>\alpha</math> is
::<math>    \text{(c)}\quad
\tan\beta=\frac{a\sec\phi}{y'(\phi)} \tan\alpha.\,</math>
For the Mercator projection  <math>y'(\phi)=a\sec\phi</math> giving <math>\alpha=\beta</math>: angles are preserved. (Hardly surprising since this is the relation used to derive Mercator). For the equidistant and Lambert projections we have <math>y'(\phi)=a</math> and <math>y'(\phi)=a\cos\phi</math> respectively so the relationship between <math>\alpha</math> and <math>\beta</math> depends upon the latitude&nbsp;<math>\phi</math>.
Denote the point scale at P when the infinitesimal element PQ makes an angle
<math>\alpha \,</math> with the meridian by <math>\mu_{\alpha}.</math> It is given by the ratio of distances:
 
::<math>
\mu_{\alpha}=\lim_{Q\to P}\frac{P'Q'}{PQ}
= \lim_{Q\to P}\frac{\sqrt{\delta x^2 +\delta y^2}}
{\sqrt{ a^2\,  \delta\phi^2+a^2\cos^2\!\phi\, \delta\lambda^2}}.
</math>
Setting <math>\delta x=a\delta\lambda</math> and substituting <math>\delta\phi</math> and <math>\delta y</math> from equations (a) and (b) respectively gives
::<math>\mu_\alpha(\phi) = \sec\phi \left[\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\right].</math>
 
For the projections other than Mercator we must first calculate <math>\beta</math> from <math>\alpha</math> and <math>\phi</math> using equation (c), before we can find <math>\mu_{\alpha}</math>. For example the equirectangular projection has <math>y'=a</math> so that
::<math>\tan\beta=\sec\phi \tan\alpha.\,</math>
If we consider a line of constant slope  <math>\beta</math> on the projection both the corresponding value of <math>\alpha</math> and the scale factor along the line are complicated functions of <math>\phi</math>. There is no simple way of transferring a general finite separation to a bar scale and obtaining meaningful results.
==See also==
* [[Scaling (geometry)]]
 
==References==
<references/>
 
{{DEFAULTSORT:Scale (Map)}}
[[Category:Cartography]]
[[Category:Measurement]]

Latest revision as of 15:21, 15 August 2014

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