|
|
| Line 1: |
Line 1: |
| {{Multiple issues|{{Formula missing descriptions|date=November 2010}}
| | == Polo Ralph Lauren Skjorta fattigdom och kärnvapen. == |
| {{More footnotes|date=February 2010}}
| |
| }}
| |
| [[Image:Ito Integral BdB.png|thumb|300px|Itō integral of a Brownian motion with respect to itself.]]
| |
| '''Itō calculus''', named after [[Kiyoshi Itō]], extends the methods of calculus to [[stochastic process]]es such as [[Brownian motion]] ([[Wiener process]]). It has important applications in [[mathematical finance]] and [[stochastic differential equation]]s. The central concept is the Itō stochastic integral. This is a generalization of the ordinary concept of a [[Riemann–Stieltjes integral]]. The generalization is in two respects. Firstly, we are now dealing with random variables (more precisely, stochastic processes). Secondly, we are integrating with respect to a non-differentiable function (technically, a stochastic process).
| |
|
| |
|
| The Itō integral allows one to integrate one stochastic process (the integrand) with respect to another stochastic process (the integrator). It is common for the integrator to be the [[Brownian motion]] (also see [[Wiener process]]). The result of the integration is another stochastic process. In particular, the integral from 0 to any particular ''t'' is a random variable. This random variable is defined as a limit of a certain sequence of random variables. (There are several equivalent ways to construct a definition). Roughly speaking, we are choosing a sequence of partitions of the interval from 0 to ''t''. Then we are constructing [[Riemann sum]]s. However, it is important which point in each of the small intervals is used to compute the value of the function. Typically, the left end of the interval is used. (It is conceptualized in [[mathematical finance]] as that we are first deciding what to do, then observing the change in the prices. The integrand is how much stock we hold, the integrator represents the movement of the prices, and the integral is how much money we have in total including what our stock is worth, at any given moment). Every time we are computing a Riemann sum, we are using a particular instantiation of the integrator. The limit then is taken in probability as the [[Mesh (mathematics)|mesh]] of the partition is going to zero. (Numerous technical details have to be taken care of to show that this limit exists and is independent of the particular sequence of partitions).
| | Sura uppstötningar är annars känd som gastroesofageal reflux (GERD). En användare kan trycka mot skärmen för att påverka förinspelat video fortkörning en del av videon upp eller sakta ner medan resten av bilden påverkas inte.. När jag arbetade för House republikanska Personal i Springfield, Illinois 1984-1990, observerade jag en hel del inflytelserika personer, bland lagstiftare och lobbyister, som använde kokain. <br><br>Detta är inte att hacka sin exploatera! Mer än sannolikt dess inte olagligt utan mer ett brott mot det gäller service häxa kan få dig förbjudas. [75] Dessutom Griffin flörtade med Holocaust Denial skriver i The Rune att Förintelsen var en 'blandning av allierades krigspropaganda, extremt lönsam lögn, och senare dag häxa hysteri '. <br><br>Några system använder givare för att mäta förändringar i vibrationer som orsakas när fingret når skärmens yta eller kameror för att övervaka förändringar i ljus och skugga.. [http://www.ovikenost.se/FCKeditor/editor/dialog/common/finder.asp Polo Ralph Lauren Skjorta] Facebook däremot använder en separat men liknande API för att skapa applikationer inom webbplatsen. <br><br>Så där har ni det. Upprepade försök att blidka honom med Chris Kattan rop Nej, Vanilla! misslyckas med att dämpa hans konstigt ursäkt ilska en underlig blandning av ilska och ånger matchas bara av det av biobesökare som hade betalat för att se honom stjärna [http://www.nerjaspecialisten.se/bilder/nerja/cache.asp Nike Free Run 3.0] i 1991 filmCool som is.. <br><br>Andra är för blyg för att närma sig de som har förstått deras intressen och ville inte vet det första om dating, men skulle vilja. Medlemmar använder Twitter för att organisera improviserade möten, föra ett gruppsamtal eller bara skicka en snabb uppdatering för att låta folk veta vad som händer.. <br><br>De material och innehåll som finns på denna webbplats, produkter, e-post, meddelanden, eller konsulttjänster finns för allmän hälsa endast information och är inte avsedda att vara en ersättning för professionell medicinsk rådgivning, diagnos eller behandling. <br><br>'Det är en släkting till mig på det laget, så ja, han kommer på mig säkert,' skämtade Glenn, som har vunnit fyra Briers och fyra VM 1987, 1993, 2007 och 2012. Varför bry sig om [http://www.blandaren.se/bilder/knappar/on/aviator.php Ray Ban Wayfarer] denna lilla flod här?' Men han gör det till slut, och han renas.. Vår utmaning är ännu större att arbeta för avskaffandet av krig, fattigdom och kärnvapen. <br><br>Detta växlar ringklockan på och av. Sedan hon. Den iPhone pekskärm kan svara på både beröringspunkter och deras rörelser samtidigt. I över ett år, studenter [http://www.emilorman.com/test/images/form.asp Nike Air Force Dam] från Greater Lawrence Tekniska skolan slet på tre sovrum hem, som konstruerades för Andover Community Trust som en prisvärd hem. |
| | 相关的主题文章： |
| | <ul> |
| | |
| | <li>[http://www.xiyanggift.com/news/html/?22432.html http://www.xiyanggift.com/news/html/?22432.html]</li> |
| | |
| | <li>[http://www.hayfa-factory.com/hayfafourm/viewtopic.php?f=3&t=5754 http://www.hayfa-factory.com/hayfafourm/viewtopic.php?f=3&t=5754]</li> |
| | |
| | <li>[http://222.243.160.155/forum.php?mod=viewthread&tid=7988863 http://222.243.160.155/forum.php?mod=viewthread&tid=7988863]</li> |
| | |
| | <li>[http://www.rzyy.com.cn/news/html/?52172.html http://www.rzyy.com.cn/news/html/?52172.html]</li> |
| | |
| | </ul> |
|
| |
|
| The usual notation for the Itō stochastic integral is:
| | == Michael Kors Stockholm Joaquin Guillen == |
| :<math>Y_t=\int_0^t H_s\,dX_s</math>
| |
| where ''X'' is a [[Brownian motion]] or, more generally, a [[semimartingale]] and ''H'' is a locally square-integrable process adapted to the [[filtration (mathematics)#Measure theory|filtration]] generated by ''X'' {{Harv|Revuz|Yor|1999|loc=Chapter IV}}. The paths of Brownian motion fail to satisfy the requirements to be able to apply the standard techniques of calculus. In particular, it is not differentiable at any point and has infinite [[Bounded variation|variation]] over every time interval. As a result, the integral cannot be defined in the usual way (see [[Riemann–Stieltjes integral]]). The main insight is that the integral can be defined as long as the integrand ''H'' is [[adapted process|adapted]], which loosely speaking means that its value at time ''t'' can only depend on information available up until this time.
| |
|
| |
|
| The prices of stocks and other traded financial assets can be modeled by stochastic processes such as Brownian motion or, more often, [[geometric Brownian motion]] (see [[Black–Scholes]]). Then, the Itō stochastic integral represents the payoff of a continuous-time trading strategy consisting of holding an amount ''H<sub>t</sub>'' of the stock at time ''t''. In this situation, the condition that ''H'' is adapted corresponds to the necessary restriction that the trading strategy can only make use of the available information at any time. This prevents the possibility of unlimited gains through high frequency trading: buying the stock just before each uptick in the market and selling before each downtick. Similarly, the condition that ''H'' is adapted implies that the stochastic integral will not diverge when calculated as a limit of [[Riemann sum]]s {{Harv|Revuz|Yor|1999|loc=Chapter IV}}.
| | Om eleverna aldrig har upplevt snö eller annat element av säsongs väder, be dem att föreställa sig vad den säsong vädret kan vara. Vibrio cholerae bacteriaMassive diarré. En förklaring är att PaaS har gått längre än hype och nått en ny nivå av mognad. <br><br>Det finns ett litet tempel till Poseidon, medan vissa tror olivträdet [http://www.bibu.se/biennalinfo/isemail.asp Michael Kors Stockholm] som står utanför är Athenas egen.. När Toronto Maple Leafs och Detroit Red Wings möts i Winter Classic på onsdag, kommer det stora huset vara ett hav av rött och blått blandas ihop. <br><br>PAT fyrdubblats under de senaste tre åren till Rs 2,9 miljarder i FY13. '. Vad Afrika kan lära av phonesGates fonder web universitets tillgång Online kurser som tillhandahålls av några av världens främsta universitet kommer att användas av studenter vid lokala högskolor, i ett [http://www.emilorman.com/test/images/form.asp Nike Air Force 1 Mid] projekt som finansieras av Gates Foundation.If du vill ha en förstklassig utbildning, men kan råd med avgiften eller tiden, finns det nu en alternative.This november investerade Bill och Melinda Gates stiftelse en miljon dollar i EDX, världens största online-lärande initiativ. <br><br>Det gäller en konvergens höjning eftersom britt kvitton sjunker under 90 procent av EU-genomsnittet per hektar takt. Jag använder hyresgästen betalning för att betala Guardian den tilläggsavgift och betala min kvartalsvis vattenräkning till staden. (Legenden). <br><br>Du tjänar pengar genom att skörda bönor, men det är mest lönsamt att [http://www.restaurangaurorum.se/includes/pageList.asp Louis Vuitton Neverfull] skörda ett stort antal av samma sort; ibland tvingas du att skörda i förtid för att skapa utrymme för nya sorter som du tvingas att plantera. Resultatet är ett lapptäcke systemet plågas av bortfaller planering och konstruktionsfel som leder till miljoner i kostnadsöverdrag och månader av dyra konstruktionsförseningar på skattebetalarnas bekostnad. <br><br>Just det, har vänt marknaden skift borden. Höga nivåer av grundforskning och överlägsen teknik hindras av alltför strikta regler, och vertikalt integrerad administration. Vi hade [http://www.ambumedica.se/bilder/start.asp Hollister Kläder] ett gemensamt bankkonto, så det kan vara svårt att bevisa, men han arbetar 8 timmar medan jag arbetade 40 gör dubbel per timme vad han gjorde? Hur som helst, lång historia kort, jag fångade honom att fuska igen och beslutade att lämna. <br><br>Han byggde sin karriär och släppte ytterligare sex album, den senaste bara tre dagar innan hans death.Hundreds av människor ut på gatorna i sin hemstad Valledupar efter inlärning av hans death.The staden borgmästare har deklarerat fyra dagars mourning.His chef, Joaquin Guillen, sade att 'döden inte skulle tysta [Diomedes Diaz], hans fans och hans låtar kommer att hålla honom vid liv'. |
| | 相关的主题文章： |
| | <ul> |
| | |
| | <li>[http://atcollab.sourceforge.net/wiki/index.php/User:Hmiugors#Ralph_Lauren_Sverige_._Hade_en_bisarr_fr.C3.A5ga_i_dag http://atcollab.sourceforge.net/wiki/index.php/User:Hmiugors#Ralph_Lauren_Sverige_._Hade_en_bisarr_fr.C3.A5ga_i_dag]</li> |
| | |
| | <li>[http://levelupbaby.com/activity/p/282950/ http://levelupbaby.com/activity/p/282950/]</li> |
| | |
| | <li>[http://www.bbscan.com/news/html/?34090.html http://www.bbscan.com/news/html/?34090.html]</li> |
| | |
| | <li>[http://www.hzbchy.com/news/html/?291536.html http://www.hzbchy.com/news/html/?291536.html]</li> |
| | |
| | </ul> |
|
| |
|
| Important results of Itō calculus include the integration by parts formula and [[Itō's lemma]], which is a [[Integration by substitution|change of variables]] formula. These differ from the formulas of standard calculus, due to [[quadratic variation]] terms.
| | == Nike Air Force Low Dam . == |
|
| |
|
| ==Notation==
| | Och, mina kommentarer i mångfaldsutbildning var mätt och saneras eftersom de kan samtidigt göra det en punkt som jag bara inte kunde släppa taget efter att ha suttit i virtuella tystnad under hela utbildningen. Nu lämnar jag er alla med denna serie jag ritade:. <br><br>Annat än att det är som de aldrig ändrats något.. Efter dess Paonta Sahib och Dewas enheter, Ranbaxy tredje och nyligen beställt Mohali anläggning också, tycks ha kommit under den amerikanska tillsynsmyndigheten skannern. De av oss som räknar med att punga ut $ 320.000 för en lyxbil 2030 bör hålla ett öga på Keio University i Japan. <br><br>För din hälsa och välbefinnande Police Corp Garner uttalande! Vid det senaste mötet i stads Aldermen beskriver mögel växer på taken och väggarna i [http://www.onnestadsgymnasiet.se/FCKeditor/editor/plugins/simplecommands/fckfiler.asp Nike Air Force Low Dam] hans arbetsplats har redan lett till ett samråd med en expert på området av mögel borttagning. Inne i händelse upptäcker specifika traditionell stil möjligen minimeras för att tillgodose deras handväskor form som du vill för att kopiera, arbeta med kamera möjligen video upp till spränga en bild från det möjligen skriva ut bilder av [http://www.kristinas-kapellverkstad.se/includes/defines.asp Nike Free Run 5.0 Dam] butikens internet affärer för ditt läsning.. <br><br>Redan medlem? Logga in Hitta min hobby Sport. Och jag vill att du ska veta att jag känner mig så patetisk just nu hela min kropp skakar eftersom jag är så rädd för att bli hatad av människor [http://www.bibu.se/include/discon.asp Air Max 90 Essential] som har stöttat mig så mycket. John Adams borstade en del av det av tungan i kinden när han svarade på hennes uttalanden om utbildning och andra grundläggande mänskliga rättigheter för kvinnor, men det är klart att han uppskattade hennes åsikter och kan inte förneka sanningen bakom hennes tankar. <br><br>Först, låt oss avmontera enheten så att vi kan testa vår återmontering av den senare. Frisläppandet av RFP system pågår lanseringen av TIAA CREF Advisor Network, som är nästan färdigt och är den enda oberoende objektiv systemet i sitt slag för att hjälpa planerar sponsorer identifiera, hastighet, poäng, bedöma och välja en kvalificerad rådgivare.. <br><br>Jag fattar beslut snart efter och börja kontakta alla som väljs. 'För de flesta spretande tempel som bär bördan av en varm sol, säkerställer en tank att vissa delar av templet alltid förvaras svalt,' påpekar Sridhar Bhattar från Narasingam Perumal templet. <br><br>Han tror att handstil är en värdefull [http://www.blandaren.se/bilder/knappar/on/aviator.php Ray Ban Solglasögon] färdighet; don tror eleverna uppskattar vikten av god handstil, sade han.. IP-adresser IP-adresser används av datorn varje gång du är ansluten till Internet. Igenom den värsta säsongen av hans karriär i 2013, som slår till bara .198/.306/.261 och knyta en karriär låg med två home runs. |
| The process ''Y'' defined as before as
| | 相关的主题文章： |
| | | <ul> |
| : <math>Y_t = \int_0^t H\,dX\equiv\int_0^t H_s\,dX_s ,</math>
| | |
| | | <li>[http://bobo006.com/forum.php?mod=viewthread&tid=39141 http://bobo006.com/forum.php?mod=viewthread&tid=39141]</li> |
| is itself a stochastic process with time parameter ''t'', which is also sometimes written as ''Y'' = ''H'' · ''X'' {{Harv|Rogers|Williams|2000}}. Alternatively, the integral is often written in differential form ''dY = H dX'', which is equivalent to ''Y'' − ''Y''<sub>0</sub> = ''H'' · ''X''. As Itō calculus is concerned with continuous-time stochastic processes, it is assumed that an underlying [[filtration (mathematics)|filtered probability space]] is given
| | |
| | | <li>[http://116.254.222.128/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1375916 http://116.254.222.128/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1375916]</li> |
| :<math>(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\ge 0},\mathbb{P}) .</math> | | |
| | | <li>[http://bbs.zzabc.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=764525 http://bbs.zzabc.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=764525]</li> |
| The [[sigma algebra]] ''F<sub>t</sub>'' represents the information available up until time ''t'', and a process ''X'' is adapted if ''X<sub>t</sub>'' is ''F<sub>t</sub>''-measurable. A Brownian motion ''B'' is understood to be an ''F<sub>t</sub>''-Brownian motion, which is just a standard Brownian motion with the properties that ''B''<sub>''t''</sub> is ''F<sub>t</sub>''-measurable and that ''B''<sub>''t''+''s''</sub> − ''B''<sub>''t''</sub> is independent of ''F<sub>t</sub>'' for all ''s'',''t'' ≥ 0 {{Harv|Revuz|Yor|1999}}.
| | |
| | | <li>[http://xishanqiao.com/forum.php?mod=viewthread&tid=376515 http://xishanqiao.com/forum.php?mod=viewthread&tid=376515]</li> |
| ==Integration with respect to Brownian motion==
| | |
| The Itō integral can be defined in a manner similar to the [[Riemann–Stieltjes integral]], that is as a [[Convergence of random variables|limit in probability]] of [[Riemann sum]]s; such a limit does not necessarily exist pathwise. Suppose that ''B'' is a [[Wiener process]] (Brownian motion) and that ''H'' is a left-continuous, [[adapted process|adapted]] and locally bounded process. If {π<sub>''n''</sub>} is a sequence of [[Partition of an interval|partition]]s of [0, ''t''] with mesh going to zero, then the Itō integral of ''H'' with respect to ''B'' up to time ''t'' is a [[random variable]]
| | </ul> |
| | |
| :<math>\int_0^t H \,d B =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{[t_{i-1},t_i]\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}).</math> | |
| | |
| It can be shown that this limit [[Convergence of random variables|converges in probability]].
| |
| | |
| For some applications, such as [[martingale representation theorem]]s and [[local time (mathematics)|local times]], the integral is needed for processes that are not continuous. The [[predictable process]]es form the smallest class that is closed under taking limits of sequences and contains all adapted left-continuous processes. If ''H'' is any predictable process such that ∫<sub>0</sub><sup>''t''</sup> ''H''<sup>2</sup> ''ds'' < ∞ for every ''t'' ≥ 0 then the integral of ''H'' with respect to ''B'' can be defined, and ''H'' is said to be ''B''-integrable. Any such process can be approximated by a sequence ''H<sub>n</sub>'' of left-continuous, adapted and locally bounded processes, in the sense that
| |
| | |
| :<math> \int_0^t (H-H_n)^2\,ds\to 0</math>
| |
| | |
| in probability. Then, the Itō integral is
| |
| | |
| :<math>\int_0^t H\,dB = \lim_{n\to\infty}\int_0^t H_n\,dB</math>
| |
| | |
| where, again, the limit can be shown to converge in probability. The stochastic integral satisfies the [[Itō isometry]]
| |
| | |
| :<math>\mathbb{E}\left[ \left(\int_0^t H_s \, dB_s\right)^2\right]=\mathbb{E} \left[ \int_0^t H_s^2\,ds\right ]</math>
| |
| | |
| which holds when ''H'' is bounded or, more generally, when the integral on the right hand side is finite.
| |
| | |
| ==Itō processes==
| |
| An '''Itō process''' is defined to be an [[adapted process|adapted]] stochastic process which can be expressed as the sum of an integral with respect to Brownian motion and an integral with respect to time,
| |
| | |
| :<math>X_t=X_0+\int_0^t\sigma_s\,dB_s + \int_0^t\mu_s\,ds.</math>
| |
| | |
| Here, ''B'' is a Brownian motion and it is required that σ is a predictable ''B''-integrable process, and μ is predictable and ([[Lebesgue integration|Lebesgue]]) integrable. That is,
| |
| | |
| :<math>\int_0^t(\sigma_s^2+|\mu_s|)\,ds<\infty</math> | |
| | |
| for each ''t''. The stochastic integral can be extended to such Itō processes,
| |
| | |
| :<math>\int_0^t H\,dX =\int_0^t H_s\sigma_s\,dB_s + \int_0^t H_s\mu_s\,ds.</math>
| |
| | |
| This is defined for all locally bounded and predictable integrands. More generally, it is required that ''H''σ be ''B''-integrable and ''H''μ be Lebesgue integrable, so that
| |
| :<math>\int_0^t (H^2 \sigma^2 + |H\mu| )ds < \infty.</math>
| |
| Such predictable processes ''H'' are called ''X''-integrable.
| |
| | |
| An important result for the study of Itō processes is [[Itō's lemma]]. In its simplest form, for any twice continuously differentiable function ''f'' on the reals and Itō process ''X'' as described above, it states that ''f''(''X'') is itself an Itō process satisfying
| |
| | |
| :<math>df(X_t)=f^\prime(X_t)\,dX_t + \frac{1}{2}f^{\prime\prime} (X_t) \sigma_t^2 \, dt.</math>
| |
| | |
| This is the stochastic calculus version of the [[integration by substitution|change of variables]] formula and [[chain rule]]. It differs from the standard result due to the additional term involving the second derivative of ''f'', which comes from the property that Brownian motion has non-zero [[quadratic variation]].
| |
| | |
| ==Semimartingales as integrators==
| |
| | |
| The Itō integral is defined with respect to a [[semimartingale]] ''X''. These are processes which can be decomposed as ''X'' = ''M'' + ''A'' for a [[local martingale]] ''M'' and [[bounded variation|finite variation]] process ''A''. Important examples of such processes include [[Wiener process|Brownian motion]], which is a [[Martingale (probability theory)|martingale]], and [[Lévy process]]es. For a left continuous, locally bounded and adapted process ''H'' the integral ''H'' · ''X'' exists, and can be calculated as a limit of Riemann sums. Let π<sub>''n''</sub> be a sequence of [[Partition of an interval|partition]]s of [0, ''t''] with mesh going to zero,
| |
| | |
| :<math>\int_0^t H\,dX = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}).</math>
| |
| | |
| This limit converges in probability. The stochastic integral of left-continuous processes is general enough for studying much of stochastic calculus. For example, it is sufficient for applications of Itō's Lemma, changes of measure via [[Girsanov theorem|Girsanov's theorem]], and for the study of [[stochastic differential equation]]s. However, it is inadequate for other important topics such as [[martingale representation theorem]]s and [[local time (mathematics)|local times]].
| |
| | |
| The integral extends to all predictable and locally bounded integrands, in a unique way, such that the [[dominated convergence theorem]] holds. That is, if ''H<sub>n</sub>'' → ;''H'' and |''H<sub>n</sub>''| ≤ ''J'' for a locally bounded process ''J'', then
| |
| :<math>\int_0^t H_n dX \to \int_0^t H dX, </math>
| |
| in probability. The uniqueness of the extension from left-continuous to predictable integrands is a result of the [[monotone class lemma]].
| |
| | |
| In general, the stochastic integral ''H'' · ''X'' can be defined even in cases where the predictable process ''H'' is not locally bounded. If ''K'' = 1 / (1 + |''H''|) then ''K'' and ''KH'' are bounded. Associativity of stochastic integration implies that ''H'' is ''X''-integrable, with integral ''H'' · ''X'' = ''Y'', if and only if ''Y''<sub>0</sub> = 0 and ''K'' · ''Y'' = (''KH'') · ''X''. The set of ''X''-integrable processes is denoted by L(''X'').
| |
| | |
| ==Properties==
| |
| The following properties can be found in works such as {{Harv|Revuz|Yor|1999}} and {{Harv|Rogers|Williams|2000}}:
| |
| | |
| * The stochastic integral is a [[càdlàg]] process. Furthermore, it is a [[semimartingale]].
| |
| * The discontinuities of the stochastic integral are given by the jumps of the integrator multiplied by the integrand. The jump of a càdlàg process at a time ''t'' is ''X<sub>t</sub>'' − ''X''<sub>t−</sub>, and is often denoted by Δ''X<sub>t</sub>''. With this notation, Δ(''H'' · ''X'') = ''H'' Δ''X''. A particular consequence of this is that integrals with respect to a continuous process are always themselves continuous.
| |
| * '''[[Associativity]]'''. Let ''J'', ''K'' be predictable processes, and ''K'' be ''X''-integrable. Then, ''J'' is ''K'' · ''X'' integrable if and only if ''JK'' is ''X'' integrable, in which case
| |
| *:<math> J\cdot (K\cdot X) = (JK)\cdot X</math>
| |
| * '''[[Dominated convergence theorem|Dominated convergence]]'''. Suppose that ''H<sub>n</sub>'' → ''H'' and ''|H<sub>n</sub>|'' ≤ ''J'', where ''J'' is an ''X''-integrable process. then ''H<sub>n</sub>'' · ''X'' → ''H'' · ''X''. Convergence is in probability at each time ''t''. In fact, it converges uniformly on compacts in probability.
| |
| * The stochastic integral commutes with the operation of taking quadratic covariations. If ''X'' and ''Y'' are semimartingales then any ''X''-integrable process will also be [''X'', ''Y'']-integrable, and [''H'' · ''X'', ''Y''] = ''H'' · [''X'', ''Y'']. A consequence of this is that the quadratic variation process of a stochastic integral is equal to an integral of a quadratic variation process,
| |
| *:<math>[H\cdot X]=H^2\cdot[X]</math>
| |
| | |
| ==Integration by parts==
| |
| As with ordinary calculus, [[integration by parts]] is an important result in stochastic calculus. The integration by parts formula for the Itō integral differs from the standard result due to the inclusion of a [[quadratic variation|quadratic covariation]] term. This term comes from the fact that Itō calculus deals with processes with non-zero quadratic variation, which only occurs for infinite variation processes (such as Brownian motion). If ''X'' and ''Y'' are semimartingales then
| |
| :<math>X_tY_t = X_0Y_0+\int_0^t X_{s-}\,dY_s + \int_0^t Y_{s-}\,dX_s + [X,Y]_t</math> | |
| where [''X'', ''Y''] is the quadratic covariation process.
| |
| | |
| The result is similar to the integration by parts theorem for the [[Riemann–Stieltjes integral]] but has an additional [[quadratic variation]] term.
| |
| | |
| ==Itō's lemma==
| |
| {{Main|Itō's lemma}}
| |
| | |
| Itō's lemma is the version of the [[chain rule]] or [[integration by substitution|change of variables]] formula which applies to the Itō integral. It is one of the most powerful and frequently used theorems in stochastic calculus. For a continuous ''d''-dimensional semimartingale ''X'' = (''X''<sup>1</sup>,...,''X''<sup>''d''</sup>) and twice continuously differentiable function ''f'' from '''R'''<sup>''d''</sup> to '''R''', it states that ''f''(''X'') is a semimartingale and,
| |
| :<math>df(X_t)= \sum_{i=1}^d f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{i,j}(X_{t})\,d[X^i,X^j]_t.</math>
| |
| This differs from the chain rule used in standard calculus due to the term involving the quadratic covariation [''X''<sup>''i''</sup>,''X''<sup>''j''</sup> ]. The formula can be generalized to non-continuous semimartingales by adding a pure jump term to ensure that the jumps of the left and right hand sides agree (see [[Itō's lemma]]).
| |
| | |
| ==Martingale integrators==
| |
| ===Local martingales===
| |
| An important property of the Itō integral is that it preserves the [[local martingale]] property. If ''M'' is a local martingale and ''H'' is a locally bounded predictable process then ''H'' · ''M'' is also a local martingale. For integrands which are not locally bounded, there are examples where ''H'' · ''M'' is not a local martingale. However, this can only occur when ''M'' is not continuous. If ''M'' is a continuous local martingale then a predictable process ''H'' is ''M''-integrable if and only if
| |
| :<math>\int_0^t H^2 d[M] <\infty,</math>
| |
| for each ''t'', and ''H'' · ''M'' is always a local martingale.
| |
| | |
| The most general statement for a discontinuous local martingale ''M'' is that if (''H''<sup>2</sup> · [''M''])<sup>1/2</sup> is [[Stopping time#Localization|locally integrable]] then ''H'' · ''M'' exists and is a local martingale.
| |
| | |
| ===Square integrable martingales===
| |
| For bounded integrands, the Itō stochastic integral preserves the space of ''square integrable'' martingales, which is the set of [[càdlàg]] martingales ''M'' such that E[''M<sub>t</sub>''<sup>2</sup>] is finite for all ''t''. For any such square integrable martingale ''M'', the quadratic variation process [''M''] is integrable, and the '''Itō isometry''' states that
| |
| :<math>\mathbb{E}\left [(H\cdot M_t)^2\right ]=\mathbb{E}\left [\int_0^t H^2\,d[M]\right ].</math> | |
| This equality holds more generally for any martingale ''M'' such that ''H''<sup>2</sup> · [''M'']<sub>''t''</sub> is integrable. The Itō isometry is often used as an important step in the construction of the stochastic integral, by defining ''H'' · ''M'' to be the unique extension of this isometry from a certain class of simple integrands to all bounded and predictable processes.
| |
| | |
| ===''p''-Integrable martingales===
| |
| For any ''p'' > 1, and bounded predictable integrand, the stochastic integral preserves the space of ''p''-integrable martingales. These are càdlàg martingales such that E(|''M<sub>t</sub>''|<sup>''p''</sup>) is finite for all ''t''. However, this is not always true in the case where ''p'' = 1. There are examples of integrals of bounded predictable processes with respect to martingales which are not themselves martingales.
| |
| | |
| The maximum process of a càdlàg process ''M'' is written as ''M*<sub>t</sub>'' = sup<sub>''s'' ≤''t''</sub> |''M<sub>s</sub>''|. For any ''p'' ≥ 1 and bounded predictable integrand, the stochastic integral preserves the space of càdlàg martingales ''M'' such that E[(''M*<sub>t</sub>'')<sup>''p''</sup>] is finite for all ''t''. If ''p'' > 1 then this is the same as the space of ''p''-integrable martingales, by [[Doob's martingale inequality|Doob's inequalities]].
| |
| | |
| The '''Burkholder–Davis–Gundy inequalities''' state that, for any given ''p'' ≥ 1, there exist positive constants ''c'', ''C'' that depend on ''p'', but not ''M'' or on ''t'' such that
| |
| | |
| :<math>c\mathbb{E} \left [ [M]_t^{\frac{p}{2}} \right ] \le \mathbb{E}\left [(M^*_t)^p \right ]\le C\mathbb{E}\left [ [M]_t^{\frac{p}{2}} \right ]</math>
| |
| | |
| for all càdlàg local martingales ''M''. These are used to show that if (''M*<sub>t</sub>'')<sup>p</sup> is integrable and ''H'' is a bounded predictable process then
| |
| | |
| :<math>\mathbb{E}\left [ ((H\cdot M)_t^*)^p \right ] \le C\mathbb{E}\left [(H^2\cdot[M]_t)^{\frac{p}{2}} \right ]<\infty</math>
| |
| | |
| and, consequently, ''H'' · ''M'' is a ''p''-integrable martingale. More generally, this statement is true whenever (''H''<sup>2</sup> · [''M''])<sup>''p''/2</sup> is integrable.
| |
| | |
| ==Existence of the integral== | |
| Proofs that the Itō integral is well defined typically proceed by first looking at very simple integrands, such as piecewise constant, left continuous and adapted processes where the integral can be written explicitly. Such ''simple predictable'' processes are linear combinations of terms of the form ''H<sub>t</sub>'' = ''A'''''1'''<sub>{''t'' > ''T''}</sub> for stopping times ''T'' and ''F<sub>T</sub>''-measurable random variables ''A'', for which the integral is
| |
| :<math>H\cdot X_t\equiv \mathbf{1}_{\{t>T\}}A(X_t-X_T).</math>
| |
| This is extended to all simple predictable processes by the linearity of ''H'' · ''X'' in ''H''.
| |
| | |
| For a Brownian motion ''B'', the property that it has independent increments with zero mean and variance Var(''B<sub>t</sub>'') = ''t'' can be used to prove the Itō isometry for simple predictable integrands,
| |
| :<math> \mathbb{E} \left [ (H\cdot B_t)^2\right ] = \mathbb{E} \left [\int_0^tH_s^2\,ds\right ].</math>
| |
| By a [[continuous linear extension]], the integral extends uniquely to all predictable integrands satisfying
| |
| :<math> \mathbb{E} \left[ \int_0^t H^2 ds \right ] < \infty,</math>
| |
| in such way that the Itō isometry still holds. It can then be extended to all ''B''-integrable processes by [[Stopping_time#Localization|localization]]. This method allows the integral to be defined with respect to any Itō process.
| |
| | |
| For a general semimartingale ''X'', the decomposition ''X'' = ''M'' + ''A'' for a local martingale ''M'' and finite variation process ''A'' can be used. Then, the integral can be shown to exist separately with respect to ''M'' and ''A'' and combined using linearity, ''H'' · ''X'' = ''H'' · ''M'' + ''H'' · ''A'', to get the integral with respect to ''X''. The standard [[Lebesgue–Stieltjes integral]] allows integration to be defined with respect to finite variation processes, so the existence of the Itō integral for semimartingales will follow from any construction for local martingales.
| |
| | |
| For a càdlàg square integrable martingale ''M'', a generalized form of the Itō isometry can be used. First, the [[Doob–Meyer decomposition theorem]] is used to show that a decomposition ''M''<sup>2</sup> = ''N'' + <''M''> exists, where ''N'' is a martingale and <''M''> is a right-continuous, increasing and predictable process starting at zero. This uniquely defines <''M''>, which is referred to as the ''predictable quadratic variation'' of ''M''. The Itō isometry for square integrable martingales is then
| |
| | |
| :<math>\mathbb{E} \left [(H\cdot M_t)^2\right ]= \mathbb{E} \left [\int_0^tH^2_s\,d\langle M\rangle_s\right],</math>
| |
| | |
| which can be proved directly for simple predictable integrands. As with the case above for Brownian motion, a continuous linear extension can be used to uniquely extend to all predictable integrands satisfying ''E''[''H''<sup>2</sup> · <''M''><sub>''t''</sub>] < ∞. This method can be extended to all local square integrable martingales by localization. Finally, the Doob–Meyer decomposition can be used to decompose any local martingale into the sum of a local square integrable martingale and a finite variation process, allowing the Itō integral to be constructed with respect to any semimartingale.
| |
| | |
| Many other proofs exist which apply similar methods but which avoid the need to use the Doob–Meyer decomposition theorem, such as the use of the quadratic variation [''M''] in the Itō isometry, the use of the [[Doléans measure]] for [[submartingale]]s, or the use of the [[Burkholder–Davis–Gundy inequalities]] instead of the Itō isometry. The latter applies directly to local martingales without having to first deal with the square integrable martingale case.
| |
| | |
| Alternative proofs exist only making use of the fact that ''X'' is càdlàg, adapted, and the set {''H'' · ''X<sub>t</sub>'': |''H''| ≤ 1 is simple previsible} is bounded in probability for each time ''t'', which is an alternative definition for ''X'' to be a semimartingale. A continuous linear extension can be used to construct the integral for all left-continuous and adapted integrands with right limits everywhere (caglad or L-processes). This is general enough to be able to apply techniques such as Itō's lemma {{Harv|Protter|2004}}. Also, a [[Khintchine inequality]] can be used to prove the dominated convergence theorem and extend the integral to general predictable integrands {{Harv|Bichteler|2002}}.
| |
| | |
| ==Differentiation in Itō calculus== | |
| The Itō calculus is first and foremost defined as an integral calculus as outlined above. However, there are also different notions of "derivative" with respect to Brownian motion:
| |
| | |
| ===Malliavin derivative===
| |
| [[Malliavin calculus]] provides a theory of differentiation for random variables defined over [[Wiener space]], including an integration by parts formula {{Harv|Nualart|2006}}.
| |
| | |
| ===Martingale representation===
| |
| The following result allows to express martingales as Itô integrals: if ''M'' is a square-integrable martingale on a time interval [0, ''T''] with respect to the filtration generated by a Brownian motion ''B'', then there is a unique [[adapted process|adapted]] square integrable process α on [0, ''T''] such that
| |
| | |
| :<math>M_{t} = M_{0} + \int_{0}^{t} \alpha_{s} \, \mathrm{d} B_{s}</math>
| |
| | |
| almost surely, and for all ''t'' ∈ [0, ''T''] {{Harv|Rogers|Williams|2000|loc=Theorem 36.5}}. This representation theorem can be interpreted formally as saying that α is the “time derivative” of ''M'' with respect to Brownian motion ''B'', since α is precisely the process that must be integrated up to time ''t'' to obtain ''M''<sub>''t''</sub> − ''M''<sub>0</sub>, as in deterministic calculus.
| |
| | |
| ==Itō calculus for physicists== | |
| In physics, usually [[stochastic differential equation]]s, also called [[Langevin equation]]s, are used, rather than general stochastic integrals. A physicist would formulate an Itō stochastic differential equation (SDE) as
| |
| | |
| :<math> \dot{x}_k=h_k+g_{kl} \xi_l,</math>
| |
| | |
| where <math>\xi_j</math> is Gaussian white noise with
| |
| | |
| :<math>\langle\xi_k(t_1)\,\xi_l(t_2)\rangle=\delta_{kl}\delta(t_1-t_2)</math> | |
| | |
| and [[Einstein notation|Einstein's summation convention]] is used.
| |
| | |
| If <math>y=y(x_k)</math> is a function of the ''x<sub>k</sub>'', then [[Itō's lemma]] has to be used:
| |
| | |
| :<math> \dot{y}=\frac{\partial y}{\partial x_j}\dot{x}_j+\tfrac{1}{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x_k \, \partial x_l} g_{km}g_{ml}. </math>
| |
| | |
| An Itō SDE as above also corresponds to a [[Stratonovich integral|Stratonovich SDE]] which reads
| |
| | |
| :<math> \dot{x}_k = h_k + g_{kl} \xi_l - \frac{1}{2} \frac{\partial g_{kl}}{\partial {x_m}} g_{ml}.</math>
| |
| | |
| SDEs frequently occur in physics in Stratonovich form, as limits of stochastic differential equations driven by [[colored noise]] if the correlation time of the noise term approaches zero.
| |
| For a recent treatment of different interpretations of stochastic differential equations see for example {{Harv|Lau|Lubensky|2007}}.
| |
| | |
| ==See also== | |
| {{Portal|Mathematics|Statistics}}
| |
| *[[Stochastic calculus]]
| |
| *[[Wiener process]]
| |
| *[[Itō's lemma]]
| |
| *[[Stratonovich integral]]
| |
| *[[Semimartingale]]
| |
| | |
| ==References==
| |
| *{{Citation|last=Bichteler|first=Klaus|year=2002|title=Stochastic Integration With Jumps|publisher=[[Cambridge University Press]]|edition=1st|isbn=0-521-81129-5}}
| |
| *[[Hagen Kleinert]] (2004). ''Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets'', 4th edition, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-238-107-4. Fifth edition available online: [http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b5 PDF-files], with generalizations of Itō's lemma for non-Gaussian processes.
| |
| *{{Citation|last=He|first=Sheng-wu|last2=Wang|first2=Jia-gang|last3=Yan|first3=Jia-an|year=1992|title=Semimartingale Theory and Stochastic Calculus|publisher=Science Press, CRC Press Inc.|isbn=978-0849377150}}
| |
| *{{Citation|last=Karatzas|first=Ioannis|last2=Shreve|first2=Steven|year=1991|title=Brownian Motion and Stochastic Calculus|publisher=Springer|edition=2nd|isbn=0-387-97655-8}}
| |
| *{{Citation|last=Lau|first=Andy|last2=Lubensky|first2=Tom|year=2007|title=State-dependent diffusion|pages=011123|journal=Phys. Rev. E|issue=1|volume=76|doi=10.1103/PhysRevE.76.011123}}
| |
| *{{Citation|last=Nualart|first=David|title=The Malliavin calculus and related topics|year=2006|publisher=Springer|isbn=3-540-28328-5}}
| |
| * {{Citation | author=Øksendal, Bernt K. | authorlink=Bernt Øksendal | title=Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications | publisher=Springer| location=Berlin | year=2003 | isbn=3-540-04758-1}}
| |
| *{{Citation|last=Protter|first=Philip E.|year=2004|title=Stochastic Integration and Differential Equations|publisher=Springer|edition=2nd|isbn=3-540-00313-4}}
| |
| * {{Citation|last=Revuz|first= Daniel|last2=Yor|first2=Marc | title=Continuous martingales and Brownian motion | publisher=Springer| location=Berlin | year=1999 | isbn=3-540-57622-3}}
| |
| * {{Citation|last=Rogers|first=Chris|last2=Williams|first2=David | title=Diffusions, Markov processes and martingales - Volume 2: Itô calculus | publisher=Cambridge University Press| location=Cambridge | year=2000 | isbn=0-521-77593-0}}
| |
| * Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.
| |
| | |
| {{integral}}
| |
| {{Stochastic processes}}
| |
| | |
| {{DEFAULTSORT:Ito Calculus}}
| |
| [[Category:Definitions of mathematical integration]]
| |
| [[Category:Stochastic calculus]]
| |
Polo Ralph Lauren Skjorta fattigdom och kärnvapen.
Sura uppstötningar är annars känd som gastroesofageal reflux (GERD). En användare kan trycka mot skärmen för att påverka förinspelat video fortkörning en del av videon upp eller sakta ner medan resten av bilden påverkas inte.. När jag arbetade för House republikanska Personal i Springfield, Illinois 1984-1990, observerade jag en hel del inflytelserika personer, bland lagstiftare och lobbyister, som använde kokain.
Detta är inte att hacka sin exploatera! Mer än sannolikt dess inte olagligt utan mer ett brott mot det gäller service häxa kan få dig förbjudas. [75] Dessutom Griffin flörtade med Holocaust Denial skriver i The Rune att Förintelsen var en 'blandning av allierades krigspropaganda, extremt lönsam lögn, och senare dag häxa hysteri '.
Några system använder givare för att mäta förändringar i vibrationer som orsakas när fingret når skärmens yta eller kameror för att övervaka förändringar i ljus och skugga.. Polo Ralph Lauren Skjorta Facebook däremot använder en separat men liknande API för att skapa applikationer inom webbplatsen.
Så där har ni det. Upprepade försök att blidka honom med Chris Kattan rop Nej, Vanilla! misslyckas med att dämpa hans konstigt ursäkt ilska en underlig blandning av ilska och ånger matchas bara av det av biobesökare som hade betalat för att se honom stjärna Nike Free Run 3.0 i 1991 filmCool som is..
Andra är för blyg för att närma sig de som har förstått deras intressen och ville inte vet det första om dating, men skulle vilja. Medlemmar använder Twitter för att organisera improviserade möten, föra ett gruppsamtal eller bara skicka en snabb uppdatering för att låta folk veta vad som händer..
De material och innehåll som finns på denna webbplats, produkter, e-post, meddelanden, eller konsulttjänster finns för allmän hälsa endast information och är inte avsedda att vara en ersättning för professionell medicinsk rådgivning, diagnos eller behandling.
'Det är en släkting till mig på det laget, så ja, han kommer på mig säkert,' skämtade Glenn, som har vunnit fyra Briers och fyra VM 1987, 1993, 2007 och 2012. Varför bry sig om Ray Ban Wayfarer denna lilla flod här?' Men han gör det till slut, och han renas.. Vår utmaning är ännu större att arbeta för avskaffandet av krig, fattigdom och kärnvapen.
Detta växlar ringklockan på och av. Sedan hon. Den iPhone pekskärm kan svara på både beröringspunkter och deras rörelser samtidigt. I över ett år, studenter Nike Air Force Dam från Greater Lawrence Tekniska skolan slet på tre sovrum hem, som konstruerades för Andover Community Trust som en prisvärd hem.
相关的主题文章：
Michael Kors Stockholm Joaquin Guillen
Om eleverna aldrig har upplevt snö eller annat element av säsongs väder, be dem att föreställa sig vad den säsong vädret kan vara. Vibrio cholerae bacteriaMassive diarré. En förklaring är att PaaS har gått längre än hype och nått en ny nivå av mognad.
Det finns ett litet tempel till Poseidon, medan vissa tror olivträdet Michael Kors Stockholm som står utanför är Athenas egen.. När Toronto Maple Leafs och Detroit Red Wings möts i Winter Classic på onsdag, kommer det stora huset vara ett hav av rött och blått blandas ihop.
PAT fyrdubblats under de senaste tre åren till Rs 2,9 miljarder i FY13. '. Vad Afrika kan lära av phonesGates fonder web universitets tillgång Online kurser som tillhandahålls av några av världens främsta universitet kommer att användas av studenter vid lokala högskolor, i ett Nike Air Force 1 Mid projekt som finansieras av Gates Foundation.If du vill ha en förstklassig utbildning, men kan råd med avgiften eller tiden, finns det nu en alternative.This november investerade Bill och Melinda Gates stiftelse en miljon dollar i EDX, världens största online-lärande initiativ.
Det gäller en konvergens höjning eftersom britt kvitton sjunker under 90 procent av EU-genomsnittet per hektar takt. Jag använder hyresgästen betalning för att betala Guardian den tilläggsavgift och betala min kvartalsvis vattenräkning till staden. (Legenden).
Du tjänar pengar genom att skörda bönor, men det är mest lönsamt att Louis Vuitton Neverfull skörda ett stort antal av samma sort; ibland tvingas du att skörda i förtid för att skapa utrymme för nya sorter som du tvingas att plantera. Resultatet är ett lapptäcke systemet plågas av bortfaller planering och konstruktionsfel som leder till miljoner i kostnadsöverdrag och månader av dyra konstruktionsförseningar på skattebetalarnas bekostnad.
Just det, har vänt marknaden skift borden. Höga nivåer av grundforskning och överlägsen teknik hindras av alltför strikta regler, och vertikalt integrerad administration. Vi hade Hollister Kläder ett gemensamt bankkonto, så det kan vara svårt att bevisa, men han arbetar 8 timmar medan jag arbetade 40 gör dubbel per timme vad han gjorde? Hur som helst, lång historia kort, jag fångade honom att fuska igen och beslutade att lämna.
Han byggde sin karriär och släppte ytterligare sex album, den senaste bara tre dagar innan hans death.Hundreds av människor ut på gatorna i sin hemstad Valledupar efter inlärning av hans death.The staden borgmästare har deklarerat fyra dagars mourning.His chef, Joaquin Guillen, sade att 'döden inte skulle tysta [Diomedes Diaz], hans fans och hans låtar kommer att hålla honom vid liv'.
相关的主题文章：
Nike Air Force Low Dam .
Och, mina kommentarer i mångfaldsutbildning var mätt och saneras eftersom de kan samtidigt göra det en punkt som jag bara inte kunde släppa taget efter att ha suttit i virtuella tystnad under hela utbildningen. Nu lämnar jag er alla med denna serie jag ritade:.
Annat än att det är som de aldrig ändrats något.. Efter dess Paonta Sahib och Dewas enheter, Ranbaxy tredje och nyligen beställt Mohali anläggning också, tycks ha kommit under den amerikanska tillsynsmyndigheten skannern. De av oss som räknar med att punga ut $ 320.000 för en lyxbil 2030 bör hålla ett öga på Keio University i Japan.
För din hälsa och välbefinnande Police Corp Garner uttalande! Vid det senaste mötet i stads Aldermen beskriver mögel växer på taken och väggarna i Nike Air Force Low Dam hans arbetsplats har redan lett till ett samråd med en expert på området av mögel borttagning. Inne i händelse upptäcker specifika traditionell stil möjligen minimeras för att tillgodose deras handväskor form som du vill för att kopiera, arbeta med kamera möjligen video upp till spränga en bild från det möjligen skriva ut bilder av Nike Free Run 5.0 Dam butikens internet affärer för ditt läsning..
Redan medlem? Logga in Hitta min hobby Sport. Och jag vill att du ska veta att jag känner mig så patetisk just nu hela min kropp skakar eftersom jag är så rädd för att bli hatad av människor Air Max 90 Essential som har stöttat mig så mycket. John Adams borstade en del av det av tungan i kinden när han svarade på hennes uttalanden om utbildning och andra grundläggande mänskliga rättigheter för kvinnor, men det är klart att han uppskattade hennes åsikter och kan inte förneka sanningen bakom hennes tankar.
Först, låt oss avmontera enheten så att vi kan testa vår återmontering av den senare. Frisläppandet av RFP system pågår lanseringen av TIAA CREF Advisor Network, som är nästan färdigt och är den enda oberoende objektiv systemet i sitt slag för att hjälpa planerar sponsorer identifiera, hastighet, poäng, bedöma och välja en kvalificerad rådgivare..
Jag fattar beslut snart efter och börja kontakta alla som väljs. 'För de flesta spretande tempel som bär bördan av en varm sol, säkerställer en tank att vissa delar av templet alltid förvaras svalt,' påpekar Sridhar Bhattar från Narasingam Perumal templet.
Han tror att handstil är en värdefull Ray Ban Solglasögon färdighet; don tror eleverna uppskattar vikten av god handstil, sade han.. IP-adresser IP-adresser används av datorn varje gång du är ansluten till Internet. Igenom den värsta säsongen av hans karriär i 2013, som slår till bara .198/.306/.261 och knyta en karriär låg med två home runs.
相关的主题文章：