Twin prime: Difference between revisions

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Added link to prime gap
→Other theorems weaker than the twin-prime conjecture: "farther" is only distance, "further" is more abstract
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{{for|dual grammatical number found in some languages|Dual (grammatical number)}}
== GrandeBretagne Nike Air Max 90 ==


In [[linear algebra]], the '''dual numbers''' extend the [[real number]]s by adjoining one new element ε with the property ε<sup>2</sup> = 0  (ε is [[nilpotent]]). The collection of dual numbers forms a particular two-[[Hamel dimension|dimensional]] [[commutative]] [[unital algebra|unital]] [[associative algebra]] over the real numbers. Every dual number has the form ''z'' = ''a'' + ''b''ε with ''a'' and ''b'' uniquely determined real numbers.
Odds portal dá importância ao seu [http://www.globalconsulting.pt/online/includes/archive/error.asp Nike Air Max 90] serviço ao cliente, porque eles só querem dar o melhor para todos os seus apostadores. Desde o meu primeiro livro "Wishful Thinking" foi publicado primeiro, meu amigo Glenn Pye muito gentilmente tomou para si a tarefa em primeiro lugar ajudar na promoção do do meu livro, para, basicamente, 'toda [http://www.taviweb.pt/images/file/power.asp Oakley Radar] a gente', pela 'palavra meio popular de boca '.. <br><br>Isso também é igual a 50 lances que você simplesmente basicamente vai realmente deve gastar coluna da organização, de modo a atender às suas necessidades para montar dentro de um lugar a ser pago por cada um e cada noite recompensas sobre eles. Devido à necessidade de acesso à rede, é natural que se deixe esta interface limpa coincidir com a divisão física entre o usuário ea máquina de banco de dados remoto esta divisão também é importante, a fim de permitir que a heterogeneidade que é exigido no CERN e seria uma benção para . <br><br>Na verdade, a tentativa de Jerry em estender a mão para o cão com bondade failsmiserably, então ele compra veneno de rato para misturar com os hambúrgueres. 11. Um exemplo disso é quando a página de George Washington foi desfigurado para ler "George Washington teve uma merda em uma vara e, em seguida, disse às pessoas que era ok para ter relações sexuais." Mas se os artigos da Wikipédia estão constantemente a ser desfigurado para ter informações falsas, não deve alguém tem o poder de congelar uma página? O fundador da Wikipedia, Jimmy Wales diria, é uma ferramenta para controle de qualidade, mas dificilmente define Wikipedia. "Embora bloqueando o público de editar algumas páginas não inviabilizar a quantidade de controle o público, a dignidade ea legitimidade do site também precisa ser . <br><br>C lors du prochain Goodwood Festival of Speed, o curso une de cte annuelle qui REGROUPE de nombreux vhicule de curso historiques Goodwood House (GrandeBretagne), que la FOLHA tentera de RENTRER dans l'histoire de l'automobile .. Ele foi criado [http://www.cnod.org.pt/images/user.asp Ralph Lauren Lisboa] para resolver o precisa para um membro da equipe em Seymore Indiana para envolver a equipe em Menlo Park, e consiste em um robô móvel que com uma câmera, tela e alto-falantes para simular o membro da equipe remota.. <br><br>Jag har ocks noterat att UNT kr regelbundna liverapporter p ett egenutvecklat Verktyg. Trailers que foram submetidos à água do mar estão especialmente em perigo, como a água salgada é dura e poderia deixar de funcionar tendo gordura sem esforço .. Do que seu nitro rc combustível do carro: Eles podem GPS do telefone móvel de monitoramento. Em muitos casos, você pode ter [http://www.globalconsulting.pt/online/includes/archive/error.asp Nike Air Max] uma página web livre para promover esses produtos.<ul>
 
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</ul>


The [[algebra over a field|algebra]] of dual numbers is a [[ring (mathematics)|ring]] that is a [[local ring]] since the [[principal ideal]] generated by ε is its only [[maximal ideal]].
== Mas Johnson Nike Outlet ==
Dual numbers form the [[coefficient]]s of [[dual quaternion]]s.


==Linear representation==
Se você tem um livro solicitado de você, o clube do livro lhe dá uma opção para enviar o livro em dois dias ou escolher a data em que será lançado pela. Pattinson está usando um trench coat. H2G2 faz. Ele tem um monte de priming da bomba no início de uma rede social ou uma comunidade online para decolar e ganhar impulso suficiente para continuar. <br><br>Este material se tornou a base dos dois primeiros livros. Paris: G. [http://www.cnod.org.pt/semanario/event.asp Nike Outlet] Antes de ler todas as informações úteis sobre a linha costeira do site, eu queria me gabar um pouco sobre como eu construí Shoreline. A bênção de Deus e isso pode parecer incrível, ele sempre manteve a cabeça baixa. <br><br>Nós compartilhamos em nosso site carros clássicos, imagens do carro pimped imagens carro carros, carros pequenos fotos [http://www.cnod.org.pt/images/user.asp Polo Ralph Lauren Portugal] do carro, imagens de carro carros quentes, carros esportivos imagens do carro, imagens de carros híbridos [http://www.globalconsulting.pt/online/includes/archive/error.asp Nike Air Max] carros, carros inteligentes fotos do carro e muitos mais. <br><br>A cidade pretende usar o seu sistema de alerta de mensagem de texto para informar [http://www.portugalweb.net/historia/Herois/backup.asp Abercrombie And Fitch Portugal] o público das próximas pulverizações quando recebe aviso prévio de Controle de Mosquitos de Iowa.. Une ngresse que je connaissais et je laquelle fis parte du DSIR Que j'avais, me Promit d'en parler une de connaissances ses. <br><br>Iniciado pelo produtor criativo, Claire Summerfield, Only the Lonely é uma oportunidade valiosa e oportuna para os artistas e produtores se reúnem informalmente sobre o alimento e falar sobre o que fazem e porque o fazem. Visita de alunos da IES para a fundação dos Albares.. <br><br>Mas Johnson, não é apenas um produto, mas a própria essência de um sistema profundamente corrupto de subornos de bastidores, promoções e besteira, nunca realmente desafiou as forças que engendraram o sofrimento da pobreza no primeiro lugar. Para barato como a rede coisa real anuncia produtos farmacêuticos falsificados enviados pela Rustock esta amostra de spam e-mail do site. <br><br>Jane: A beleza está nos olhos de quem vê.. Este site não só dá shopaholics um fórum para distribuir conselhos de compras, descrever a sua mais recente onda de compras e carregar as fotos, ele também criou um novo caminho para anunciantes atingir um público-alvo mais importantes.. <br><br>Tradicionalmente, um programador treinado seria codificar as páginas do site inteiro e depois, quando as mudanças eram necessárias, assim era o programador treinado. "Eu ofereci-lhe o mundo e você estava contente com algumas ilhas míseros pequenos. Google com o Orkut era uma vez um gigante neste espaço, mas com a ascensão do Facebook, que enfrentou uma escassez de usuários e hoje é quase à beira de ser extinto.<ul>
Using [[Matrix (mathematics)|matrices]], dual numbers can be represented as
 
:<math>\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}\quad\text{and}\quad a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}</math>.
  <li>[http://www.510mg.com/news/html/?41666.html http://www.510mg.com/news/html/?41666.html]</li>
 
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  <li>[http://www.dtbutton.cn/news/html/?289977.html http://www.dtbutton.cn/news/html/?289977.html]</li>
 
  <li>[http://rizhao.bandao.com/forum.php?mod=viewthread&tid=183399&extra= http://rizhao.bandao.com/forum.php?mod=viewthread&tid=183399&extra=]</li>
 
  <li>[http://www.gooshat.com/forum.php?mod=viewthread&tid=134400 http://www.gooshat.com/forum.php?mod=viewthread&tid=134400]</li>
 
</ul>


The sum and product of dual numbers are then calculated with ordinary [[matrix addition]] and [[matrix multiplication]]; both operations are commutative and associative within the algebra of dual numbers.
== 5 bilhões Abercrombie And Fitch ==


This correspondence is analogous to the usual [[Complex_number#Matrix_representation_of_complex_numbers|matrix representation of complex numbers]].
Minha pressão arterial é geralmente baixa a média, embora eu nunca tivesse verificado após o esforço. E aquele que me manteve motivada durante anos. A série, que é em grande parte dedicada às empresas relacionadas Hudson Yards, começou na segunda-feira à noite com uma conversa de mesa-redonda com alguns dos New York mais proeminentes profissionais do setor imobiliário, introduzindo o público para o [http://www.portugalweb.net/historia/Herois/backup.asp Abercrombie And Fitch] grande novidade que vai definir o que reivindicações relacionadas a ser New West Side de Manhattan.. <br><br>Suas economias se tornaram investimentos e seus investimentos tornou-se capital para os riscos de negócio para o qual mais tarde seria conhecido. Sinbad é terrivelmente frustrante, mesmo quando não ativamente tentando ser. A melhor maneira de queimar é em discos de carvão. <br><br>O usuário é responsável por toda a sua actividade em conexão com os serviços e acessar o Site. Por isso, deve ser um trabalho poucos hora se tanto. Não era até quase o amanhecer do novo século que esta situação foi reconsiderada ea idéia da Roda de Falkirk foi levado a sério e colocar em ação. <br><br>Depois de ativado, vou portar o meu número [http://www.globalconsulting.pt/online/includes/archive/error.asp Nike Air Max] de telefone fixo para ele, mudando o seu número de telefone para o número do meu "velho" telefone fixo. O ditado Edcamp, o especialista é o quarto foi certamente evidente na minha sessão de cerca de colaboração, como a conversa foi animada e continuou forte até que a sessão terminou 60 minutos depois. <br><br>Sua segunda empresa, PayPal, não só foi mais tarde vendido ao eBay por US $ 1,5 bilhões, mas mudou a forma como o mundo faz negócios [http://www.cnod.org.pt/images/user.asp Polo Ralph Lauren Preço] online. Mas o clima mudou em toda a América do Norte, e não apenas porque as redes sociais entraram em cena. Cursos e atividades da igreja. <br><br>Um dos nossos povos, Scott, tinha desaparecido do grupo, então eu fui para trás para ver se ele estava bem. Slectionn par le programa franais Shamengo qui runit des journalistes, des techniciens et des informaticiens anims par l'ambição de participer un monde meilleur donnant en la parole aux acteurs du dveloppement durável partout sur la plante, M. <br><br>O desafio aqui é como realmente obtê-lo. Tenho certeza de que as empregadas andar em um rolo de seus olhos.. Bloquear / desviar alta ou baixa. O elemento de fabricação completa, neste caso, tem sido negligenciado até certo ponto. Leitura da mente humana e compreensão pensamentos ainda são considerados trabalhos desafiadores. <br><br>Eu tentei muitas de suas barras de chocolate no passado. Alguns facilmente converter utensílios domésticos para as coisas do jogo, mas os outros precisam. "Eu [http://www.taviweb.pt/images/file/power.asp Oakley Jawbone] tenho crédito de produtor um grande negócio para obter e algo que era muito importante para mim porque me dá um pouco de controle.<ul>
However, it is ''not'' the only representation with [[2 × 2 real matrices]], as is shown in the [[2 × 2 real matrices#Profile|profile of 2 × 2 real matrices]]. Like the [[complex plane]] and [[split-complex number]] plane, the dual numbers are one of the realizations of planar algebra.
 
  <li>[http://www.eventbuddie.com/activity/p/525198/ http://www.eventbuddie.com/activity/p/525198/]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.info/org/spip.php?article573/ http://verdamilio.info/org/spip.php?article573/]</li>
 
  <li>[http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/ http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/]</li>
 
  <li>[http://www.zerunmall.com/news/html/?118563.html http://www.zerunmall.com/news/html/?118563.html]</li>
 
  <li>[http://in-sx.com/home.php?mod=space&uid=54759&do=blog&quickforward=1&id=129665 http://in-sx.com/home.php?mod=space&uid=54759&do=blog&quickforward=1&id=129665]</li>
 
</ul>


==Geometry==
== não o que é fácil ou político Oculos De Sol Oakley ==
The "unit circle" of dual numbers consists of those with ''a'' = 1 or −1 since these satisfy  ''z z''* = 1  where ''z''* = ''a'' − ''b''ε. However, note that
:<math> \exp(b \varepsilon) = \left(\sum^\infty_{n=0} (b\varepsilon)^n / n!\right) = 1 + b \varepsilon \!</math>,
so the [[exponential mapping]] applied to the ε-axis covers only half the "circle".


If ''a'' ≠ 0 and ''m'' = ''b'' /''a'', then ''z'' = ''a''(1 + ''m'' ε) is the [[polar decomposition#Alternative planar decompositions|polar decomposition]] of the dual number ''z'', and the [[slope]] ''m'' is its angular part.
Para testar os açúcares, você [http://www.eiclicaqui.com/edrodoviaria/jovemadulto/state.asp Oculos De Sol Oakley] vai usar um medidor de glicose, tiras de teste de glicose e uma lanceta para furar o dedo ou outro site para uma coleta de sangue. Dependendo do tipo de medidor de glicose e sistema de lanceta [http://www.cnod.org.pt/semanario/event.asp Nike Portugal] que você usa, você vai testar em seu dedos, palma da mão ou antebraço. Desde que você pode estar testando muitas vezes por dia, você precisa escolher o sistema certo para você. <br><br> pode ser uma subsidiária integral sobre Nike, Incorporated. Neste particular permite Cole Haan para possuir o uso de tecnologias Atmosfera Nike e misturar estilos eternos com as actuais inovações. Sua mercadoria está disponível dentro da lista dos maiores varejistas. Cole Haan tem hq internacional dentro de Maine e sede de design em Ny. <br><br>Theres, finalmente, uma forma Allnatural para se livrar da acne e manchas, sem prejudicar a sua pele já sensível. Clarisea é o único produto que lhe traz clareza pele do mar. Cuidadosamente formulados utilizando apenas os ingredientes mais naturais, a sua linha de produtos de forma eficaz vai trabalhar sobre a acne e outros problemas de pele, dando-lhe resultados reais que você pode ver. Se você está cansado de acne embaraçoso, pele seca, ou outros defeitos, é hora de dar-lhes [http://www.eiclicaqui.com/estudo/media.asp Timberland Portugal] uma tentativa. <br><br>Para os atletas, os problemas geralmente giram em torno de ter cólicas devido ao acúmulo de ácido lático e várias dores provocadas pelas tensões sobre os músculos causados ​​pela estirpe de muito exercício. O alívio destes leggings pode trazer é bem reconhecido e eles e seu homólogo leggings "Flowtron" foram bem usados ​​como tratamentos terapêuticos no mundo esportivo.<br><br>Cipla cortar o preço de sua versão genérica do drugNexavar câncer da Bayer em 75 por cento, quase dois meses depois da Índia allowedanother farmacêutica para fazer uma versão cutrate de objeções a droga do overBayer. Em março, a Índia despojado Bayer de seus direitos exclusivos para sellNexavar, um tratamento para o câncer de fígado e rim, concedendo NatcoPharma uma licença para vender o medicamento genérico no Rs.8, 880 (US $ 170) para amonthly dose. Bayer vende [http://www.taviweb.pt/images/file/power.asp Oakley Portugal] o Nexavar marca a Rs.2.84 lakh amonth. Essa decisão foi vista como um precedente que poderia estender toother tratamentos, incluindo medicamentos contra HIV / Aids modernos, em uma das principais empresas farmacêuticas blowto globais. <br><br> ELLMERS: Estamos dispostos a trabalhar com o presidente e os membros do outro lado do corredor. Na verdade, muitas das contas que se passaram tiveram apoio bipartidário alguns até incluindo as disposições do presidente. Mas a culpa acontece quando ninguém está liderando e assumindo a responsabilidade. O presidente é o líder do mundo livre e detém o mais alto cargo na terra. Ele precisa parar de fazer campanha e trabalhar conosco para chegar a acordos para o bem do nosso país e do povo americano. Minha primeira prioridade desde que foi eleito para o cargo foi o de proteger o sistema de livre iniciativa e dar-lhe a liberdade para criar postos de trabalho e obter o povo americano a trabalhar. A história tem provado que quanto menos você restringir a inovação e liberdade pessoal, mais a nossa economia cresce. Vou continuar a fazer trabalhos de minha prioridade e não vai renúncia em fazer o que é certo, não o que é fácil ou político, a fim de transformar a nossa economia ao redor.<ul>
The concept of a ''rotation'' in the dual number plane is equivalent to a vertical [[shear mapping]] since (1 + ''p'' ε)(1 + ''q'' ε) = 1 + (''p''+''q'') ε.
 
  <li>[http://bbs.920yl.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1485779 http://bbs.920yl.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1485779]</li>
 
  <li>[http://www.hastenich.com/drachenreiter/thread.php?threadid=1318096&sid= http://www.hastenich.com/drachenreiter/thread.php?threadid=1318096&sid=]</li>
 
  <li>[http://gift.xueersi.org/home.php?mod=space&uid=21148&do=blog&quickforward=1&id=2754612 http://gift.xueersi.org/home.php?mod=space&uid=21148&do=blog&quickforward=1&id=2754612]</li>
 
  <li>[http://www.hastenich.com/drachenreiter/thread.php?threadid=1317525&sid= http://www.hastenich.com/drachenreiter/thread.php?threadid=1317525&sid=]</li>
 
  <li>[http://www.youthcul.com/forum.php?mod=viewthread&tid=28882&fromuid=13509 http://www.youthcul.com/forum.php?mod=viewthread&tid=28882&fromuid=13509]</li>
 
</ul>


The dual number plane is used to represent the naive spacetime of Galileo in a study called [[Galilean invariance]] since the classical event-transformation with velocity ''v'' is expressed by a shear mapping:
== e é tenores como Andrea Boccelli Oakley Portugal ==
:<math>(t',x') = (t,x)\begin{pmatrix}1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix}</math>, that is <math>\ \ t'=t,\ \  x' = vt + x \!</math>.


===Cycles===
Apenas lembre-se, os homens são solucionadores de problemas e, ao contrário das mulheres, eles geralmente gostam de resolver problemas pessoais por conta própria .. Sem identificar e tratar estas questões, ninguém pode perder peso e mantê-lo .. Adsense no entanto, também está alinhada com os editores que usam o serviço apenas para fornecer links para anúncios. Primeiro, vá em torno de sua casa e varrer qualquer cobrança em massa deles. <br><br>Penguin é um algoritmo de busca que verifica o desempenho e relatórios (qualquer) spam, periodicamente. Os cidadãos da cidade de Hyderabad vai estar familiarizado com as empresas e as empresas cujos negócios estão em oferta no dealivore .. Apesar de algumas características como Iniciar Tecnologia rápida da Intel e suporte a USB legado são controláveis ​​a partir daqui .. Malásia se encontra entre a rota comercial entre a fábula antiga oriente e do ocidente.. <br><br>Uma maneira de fazer isso é com todas as campanhas de PPC. Os Ravens vencer os Patriots, 3130, na semana 3, e John Harbaugh cobriu as duas vezes que enfrentou Bill Belichick nos playoffs .. Tenor: Esta é a categoria de astro vozes cantando os homens, e é tenores como Andrea Boccelli, Placido Domingo e Pavarotti que recebem os papéis glamour. Eles vão ajudá-lo a ler o Net instantaneamente, download de [http://www.taviweb.pt/images/file/power.asp Oakley Portugal] música e jogos, histórias [http://www.cnod.org.pt/images/user.asp Polo Ralph Lauren Portugal] de acesso, dar uma olhada em seus sites de rede, conversar, compartilhar vídeos, e muito mais ... <br><br>Se o seu país está a bloquear o site, você precisa de uma VPN para desbloqueá-lo .. Uma vez em Sochi, o Coordenador BDF será solicitado a ajuda para configurar os servidores e sistemas de projeto, bem como dar apoio aos internacionais de Direitos Dadas Broadcasters no local e mais de o telefone.. <br><br>Até a última mocinha tem a sua própria fantasia e sonho. Além disso, através da criação de parceiros de link [http://www.eiclicaqui.com/estudo/media.asp Timberland Portugal] e fornecer as ligações recíprocas entre si vão ajudar você [http://www.eiclicaqui.com/edrodoviaria/jovemadulto/state.asp Oculos De Sol Oakley] e seus parceiros sites de link obter classificações mais elevadas em todos os principais motores de busca.. <br><br>Esta é uma forma eficaz e aceitável para "anunciar". Digite um tema como "Posso pegar um conselho?" e postar algo como: "Eu só comecei um local de meditação.. Imagine a seção "Informações" que está ligado na página inicial aqui, com instruções passo a passo e imagens para temas e questões comuns em um formato limpo e fácil de ler. Você só precisa adotar uma abordagem cautelosa e metódica. <br><br>Tome cuidado com a casa e cozinhar refeições para a família .. Algumas pessoas pensam de cloaking link como uma tática de black hat SEO e ao mesmo tempo ele pode ser usado para menos de razões honrosas, é na realidade uma ferramenta que pode ser usada por comerciantes da filial legítimos .<ul>
Given two dual numbers ''p'', and ''q'', they determine the set of ''z'' such that the difference in slopes ("Galilean angle") between the lines from ''z'' to ''p'' and ''q'' is constant. This set is a '''cycle''' in the dual number plane; since the equation setting the difference in slopes of the lines to a constant is a [[quadratic equation]] in the real part of ''z'', a cycle is a [[parabola]]. The "cyclic rotation" of the dual number plane occurs as a motion of the [[projective line over a ring|projective line over dual numbers]]. According to [[Isaak Yaglom#A simple non-euclidean geometry and its physical basis (1979)|Yaglom]] (pp.&nbsp;92,3), the cycle Z = {z : y = α x<sup>2</sup>} is invariant under the composition of the shear
 
:<math>x_1 = x ,\ \  y_1 = vx + y \ \ </math> with the [[translation (geometry)|translation]]
  <li>[http://www.cnrta.org/forum.php?mod=viewthread&tid=881798 http://www.cnrta.org/forum.php?mod=viewthread&tid=881798]</li>
:<math>x' = x_1 = v/2a  ,\ \  y' = y_1 + v^2/4a \ </math>.
 
This composition is a '''cyclic rotation'''; the concept has been further developed by V. V. Kisil.<ref>V.V. Kisil (2007) "Inventing a Wheel, the Parabolic One" [http://arxiv.org/abs/0707.4024 arXiv:0707.4024]</ref>
  <li>[http://coalition.movementcamp.org/circle/green-tribe-shout#comment-17704716 http://coalition.movementcamp.org/circle/green-tribe-shout#comment-17704716]</li>
 
 
==Algebraic properties==
  <li>[http://www.ovnprod.com/spip.php?article24/ http://www.ovnprod.com/spip.php?article24/]</li>
In [[abstract algebra]] terms, the dual numbers can be described as the [[quotient ring|quotient]] of the [[polynomial ring]] '''R'''[''X''] by the [[ideal (ring theory)|ideal]] generated by the [[polynomial]] ''X''<sup>2</sup>,
 
 
  <li>[http://www.xh688.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=889334 http://www.xh688.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=889334]</li>
:'''R'''[''X'']/(''X''<sup>2</sup>).
 
 
  <li>[http://www.0594putian.net/forum.php?mod=viewthread&tid=155656 http://www.0594putian.net/forum.php?mod=viewthread&tid=155656]</li>
The image of ''X'' in the quotient is the "imaginary" unit ε. With this description, it is clear that the dual numbers form a [[commutative ring]] with [[characteristic (algebra)|characteristic]] 0. Moreover the inherited multiplication gives the dual numbers the structure of a commutative and [[associative algebra]] over the reals of dimension two. The algebra is ''not'' a [[division algebra]] or [[field (mathematics)|field]] since the imaginary elements are not invertible. In fact, all of the nonzero imaginary elements are [[zero divisor]]s (also see the section "[[#Division|Division]]"). The algebra of dual numbers is isomorphic to the [[exterior algebra]] of <math>\mathbb{R}^1</math>.
 
 
</ul>
==Generalization==
This construction can be carried out more generally: for a [[commutative ring]] ''R'' one can define the dual numbers over ''R'' as the [[quotient ring|quotient]] of the [[polynomial ring]] ''R''[''X''] by the [[ideal (ring theory)|ideal]] (''X''<sup>2</sup>): the image of ''X'' then has square equal to zero and corresponds to the element ε from above.
 
This ring and its generalisations play an important part in the algebraic theory of [[derivation (abstract algebra)|derivations]] and [[Kähler differential]]s (purely algebraic [[differential form]]s).
 
Over any ring ''R'', the dual number ''a'' + ''b''ε is a [[unit (ring theory)|unit]] (i.e. multiplicatively invertible) if and only if ''a'' is a unit in ''R''. In this case, the inverse of ''a'' + ''b''ε is ''a''<sup>−1</sup> − ''ba''<sup>−2</sup>ε. As a consequence, we see that the dual numbers over any [[field (mathematics)|field]] (or any commutative [[local ring]]) form a local ring, its maximal ideal being the [[principal ideal]] generated by ε.
 
==Differentiation==
One application of dual numbers is [[automatic differentiation]]. Consider the real dual numbers above. Given any real polynomial ''P''(''x'')&nbsp;= ''p''<sub>0</sub>+''p''<sub>1</sub>''x''+''p''<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup>+...+''p''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>, it is straightforward to extend the domain of this polynomial from the reals to the dual numbers. Then we have this result:
:<math>
\begin{align}
P(a+b\varepsilon)=&p_0 + p_1(a + b\varepsilon) + \ldots + p_n(a + b\varepsilon)^n\\
=&p_0 + p_1 a + p_2 a^2 + \ldots + p_n a^n\\
& + p_1 b\varepsilon + 2 p_2 a b\varepsilon + \ldots + n p_n a^{n-1} b\varepsilon\\
=&P(a)+bP^\prime(a)\varepsilon,
\end{align}
</math>
 
where <math>P^\prime</math> is the derivative of <math>P</math>.<ref>{{cite web|last=Berland|first=Håvard|title=Automatic differentiation|url=http://www.pvv.ntnu.no/~berland/resources/autodiff-triallecture.pdf|accessdate=13 May 2013}}</ref>
 
By computing over the dual numbers, rather than over the reals, we can use this to compute derivatives of polynomials.
 
More generally, we can extend any (smooth) real function to the dual numbers by looking at its [[Taylor series]]: <math>f(a+b\varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} {{f^{(n)} (a)b^n \varepsilon^n} \over {n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon</math>.<br>
By computing compositions of these functions over the dual numbers and examining the coefficient of ε in the result we find we have automatically computed the derivative of the composition.
 
This effect can be explained from the [[non-standard analysis]] viewpoint. The imaginary unit ε of dual numbers is a close relative to [[infinitesimal]] used in [[non-standard calculus]]: indeed the square (or any higher power) of ε is ''exactly'' zero and the square of an infinitesimal is ''almost'' zero at this infinitesimal's scale (is an infinitesimal of a higher order more precisely).
 
==Superspace==
Dual numbers find applications in [[physics]], where they constitute one of the simplest non-trivial examples of a [[superspace]]. The direction along ε is termed the "fermionic" direction, and the real component is termed the "bosonic" direction. The fermionic direction earns this name from the fact that [[fermion]]s obey the [[Pauli exclusion principle]]: under the exchange of coordinates, the quantum mechanical wave function changes sign, and thus vanishes if two coordinates are brought together; this physical idea is captured by the algebraic relation ε<sup>2</sup> = 0.
 
==Division==
Division of dual numbers is defined when the real part of the denominator is non-zero. The division process is analogous to [[Complex number|complex division]] in that the denominator is multiplied by its conjugate in order to cancel the non-real parts.
 
Therefore, to divide an equation of the form:
:<math>{a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon}</math>
We multiply the top and bottom by the conjugate of the denominator:
:<math>= {(a+b\varepsilon)(c-d\varepsilon) \over (c+d\varepsilon)(c-d\varepsilon)}
= {ac-ad\varepsilon+bc\varepsilon-bd\varepsilon^2 \over (c^2+cd\varepsilon-cd\varepsilon-d^2\varepsilon^2)}
= {ac-ad\varepsilon+bc\varepsilon-0 \over c^2-0}</math>
:<math>= {ac + \varepsilon(bc - ad) \over c^2}</math>
:<math>= {a \over c} + {(bc - ad) \over c^2}\varepsilon</math>
Which is defined [[Division by zero|when c is non-zero]].
 
If, on the other hand, c is zero while d is not, then the equation
:<math>{a+b\varepsilon = (x+y\varepsilon) d\varepsilon} = {xd\varepsilon + 0}</math>
# has no solution if a is nonzero
# is otherwise solved by any dual number of the form
:<math>{b \over d} + {y\varepsilon}</math>.
This means that the non-real part of the "quotient" is arbitrary and division is therefore not defined for purely nonreal dual numbers. Indeed, they are (trivially) [[zero divisors]] and clearly form an [[Ideal (ring theory)|ideal]] of the associative [[Algebra over a field|algebra]] (and thus [[Ring (mathematics)|ring]]) of the dual numbers.
 
==See also==
 
* [[Perturbation theory]]
 
==Notes and references==
{{Reflist}}
 
* [[Eduard Study]] (1903) [http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=03150002 Geometrie der Dynamen], page 196, from ''Cornell Historical Mathematical Monographs'' at [[Cornell University]].
* Josef Grünwald (1906) "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie", [[Monatshefte für Mathematik]] 17: 81–136.
* [[Isaak Yaglom]] (1968) ''Complex Numbers in Geometry'', pp 12&ndash;18, [[Academic Press]].
* William Kingdon Clifford (1873) ''Preliminary Sketch of Bi-quaternions'', [[Proceedings of the London Mathematical Society]] 4:381–95
* Bencivenga, Uldrico (1946) "Sulla rappresentazione geometrica della algebra doppie dotate di modulo", ''Atti della real accademia della scienze e belle-lettre di Napoli'', Ser (3) v.2 No7. {{MathSciNet|id=0021123}}.
* [http://www.ingegneriameccanica.org/papers/algoritmiduali_rev.pdf E.Pennestr, R.Stefanelli. Linear Algebra and Numerical Algorithms Using Dual Numbers]
 
{{Number systems}}
{{Infinitesimals}}
 
{{DEFAULTSORT:Dual Number}}
[[Category:Linear algebra]]
[[Category:Hypercomplex numbers]]
[[Category:Commutative algebra]]
[[Category:Differential algebra]]

Revision as of 15:41, 24 February 2014

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