Polar coordinate system: Difference between revisions

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{{About|quadratic equations and their solutions|more general information|Quadratic function}}
== Free Run Belgique Pétersbourg ==
{{Infobox physical quantity
|image=[[File:Ball Thrown Downward.jpg|200px]]
|bgcolour={default}
|caption= In this [[physics]] example, a ball with [[uniform acceleration]] {{math|''a''}} ({{math|[[gravitational acceleration|9.8 m/s<sup>2</sup>]]}}) and initial [[velocity]] {{math|''u''}} ({{math|0.196 m/s}}) is seen at intervals of 0.05 second, with distances marked. If the ball moves a distance {{math|''s''}} the time {{math|''t''}}  satisfies the equation:
:<math>\tfrac{1}{2} at^2+u t-s=0</math>
}}
In [[elementary algebra]], a '''quadratic equation''' (from the [[Latin]] ''quadratus'' for "[[Square (algebra)|square]]") is any equation having the form
:<math>ax^2+bx+c=0</math>
where {{math|''x''}} represents an unknown, and {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, and {{math|''c''}} are [[Constant term|constant]]s  with {{math|''a''}} not equal to {{math|0}}. If {{math|''a'' {{=}} 0}}, then the equation is [[linear equation|linear]], not quadratic.  The constants {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, and {{math|''c''}} are called, respectively, the quadratic [[coefficient]], the linear coefficient and the constant or free term.


Because the quadratic equation involves only one unknown, it is called "[[univariate]]". The quadratic equation only contains [[exponentiation|powers]] of {{math|''x''}} that are non-negative integers, and therefore it is a [[polynomial equation]], and in particular it is a [[degree of a polynomial|second degree polynomial equation]] since the greatest power is two.
Puis prendre l'habitude de lire des livres à elle dans ses lots de lit de livres, pas seulement un. Je n'ai pas de raison de douter de son optimisme. Pour commencer avec les gens en général ne sont pas très à l'aise de donner toute personnelle, en particulier à des étrangers. <br><br>Crédit: NASA].. À la fin de la journée, la 3e Division d'infanterie canadienne avait fait plus profondément dans la France que toute autre unité alliée .. Vous censé passer les épaules de temps en temps tout en portant pendant de longues périodes, ce qui est gênant .. Mais compte tenu de la hausse récente des <br><br>J'ai fait ces sous en place! jante saute triceps plonge pli ici une bonne vidéo (sauter 37 secondes). Un pêcheur de subsistance hypothétique aux États-Unis qui consomme 124 kg de fruits de mer chaque année (95e percentile des pêcheurs de loisirs), environ cinq fois plus qu'un habitant moyen des États-Unis, recevrait une dose efficace engagée de 2,8 mSv en raison de la consommation d'un an de poissons, <br><br>Les [http://www.mycontigo.com/includes/contact.asp?p=92-Free-Run-Belgique Free Run Belgique] finalistes ont été sélectionnés initialement pour la force de leur prouesse scientifique via un résumé soumis, mais la finale implique la préparation d'un article pour l'Australien producteur [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=10-Air-Max-1-Pas-Cher-Bruxelles Air Max 1 Pas Cher Bruxelles] laitier Magazine, la préparation et de parler à une affiche et de préparer et présenter un exposé de cinq minutes à un public <br><br>Pétersbourg, mais le long de la façon dont il est venu avec de la fièvre et mourut à Tyumen .. Il est impératif de se rappeler en tout temps que seuls certains restaurants et bars à Dubaï sont autorisés à vendre de l'alcool, mais cela ne devrait pas nuire à la [http://www.sadietoast.be/backoffice/ckeditor/plugins/forms/dialogs/upfile.asp?j=33-Adidas-Js-Wings Adidas Js Wings] valeur de divertissement sur l'offre <br><br>Les voitures sont un excellent moyen de promouvoir votre nouvelle boutique en ligne à d'autres. Et quand ces cellules cardiaques ont été injectées dans des souris et des porcs atteints de la maladie de coeur, ils ont remplis les cellules lésées ou mortes et accéléré la récupération. Phillips, basé à Riverside, en Californie, a rendu une décision historique en sept.<br><br>Vous pouvez activer les requêtes POST sur notre page des paramètres, mais il a ses propres problèmes. C'est la façon dont il est, et qui va bien pour beaucoup de gens. Faites don de votre RMD à la charité. Essayez les coiffures de Megan Fox avec notre système de coiffure virtuelle. <br><br>Cette année, nous avons décidé de faire preuve de créativité avec les pitreries de Elfy. "Certains types de poissons, cependant, contiennent des niveaux élevés de métaux lourds, comme le mercure, qui peuvent affecter la santé de votre bébé en pleine croissance (il s'agit notamment de paillettes, l'espadon et le marlin) et ils devraient être évités pendant la grossesse», dit Guy [http://www.spellenclubs.be/extern/functions.asp?l=14-Abercrombie-&-Fitch-Recrutement Abercrombie & Fitch Recrutement] ..<ul>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17393214 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17393214]</li>
 
  <li>[http://auditionlive.com/activity/p/15879/ http://auditionlive.com/activity/p/15879/]</li>
 
  <li>[http://khadakpada.com/index.php?page=item&id=359126 http://khadakpada.com/index.php?page=item&id=359126]</li>
 
  <li>[http://yijiansong.u092.iiddcc.com/news/html/?54096.html http://yijiansong.u092.iiddcc.com/news/html/?54096.html]</li>
 
  <li>[http://www.youxisky.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=516200 http://www.youxisky.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=516200]</li>
 
</ul>


Quadratic equations can be solved by a process known in American English as [[Factorization|factoring]] and in other varieties of English as ''factorising'', by [[completing the square]], by using the [[quadratic formula]], or by [[Graph of a function|graphing]].  Solutions to problems equivalent to the quadratic equation were known as early as 2000 BC.
== Abercrombie London " Kari ==


==Solving the quadratic equation==
Microsoft fois poussé une montre SPOT qui a tiré des informations à partir du Web, mais il était aussi la mode en avant comme un sweat NFL et a lamentablement échoué. Je sentais que je faisais confiance dans le Christ, le Christ seul pour le salut: Et l'assurance m'a été donnée, qu'il avait pris mes péchés, même la mienne, et m'a sauvé de la loi du péché et de la mort.<br><br>Nous l'avons fait si bien, nous avons commencé à faire de nouveau d'acheter le dos. Le point fondamental est que votre corps n'a pas besoin probablement la protéine ajoutée qu'un tremblement fournit ils peuvent ajouter jusqu'à 200 grammes ou 300 grammes de protéines par jour et les régimes alimentaires riches en protéines peut également conduire à des choses comme la [http://www.spellenclubs.be/extern/functions.asp?l=104-Abercrombie-London Abercrombie London] perte osseuse et les reins. <br><br>Le courtier a déclaré une agence d'authentification appelé JSA a été payé 7 [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=161-Nike-Air-Max Nike Air Max] $ chacun pour vérifier les informations autographs.This vient un jour après le rapport que la NCAA enquête pour savoir si Manziel a été payé pour signer des autographes en Janvier. Certains moments font encore les sœurs laugh.Both se souviennent de leur père essayant pièges Midcourt sur Casey Bowman, la junior garde point haut sur l'équipe de Kristin. "Elle a toujours voulu jeter sur le dessus et le papa voulait lui apprendre à rebondir passe," Kari <br><br>Le dioxyde de carbone est un gaz à effet de serre, et quand il était épais sur Mars il est probable fourni une couverture [http://www.verbeke-daniel.be/doeself/includes/promoties.asp?p=4-Doudoune-Moncler-Femme Doudoune Moncler Femme] isolante qui a contribué à maintenir les rivières et les mers depuis longtemps disparu .. Voir si cela résout votre problème .. Cette occasion, quand il est venu, a été saisi dans les moments <br><br>Le thème du Maroc Kasbar est un bar pour faire un point de la visite en raison de sa construction en terrasses très inhabituel, tandis que Carter dans Wafi City au cœur de Dubaï est l'un des bars et restaurants mieux combinées, très populaire avec la foule de la vie nocturne plus tard dans la <br><br>Mes hormones sont devenus équilibrée et je perdais du poids. Il ne semble de toute évidence, cependant, un ralentissement est en cours, avec un PIB risque d'être beaucoup plus faible [http://www.bandenerwin.be/includes/download.asp?id=48-Ray-ban-Belgique-Magasin Ray-ban Belgique Magasin] que dans le premier trimestre, pour un certain nombre de raisons deuxième trimestre. Connexions de médias sociaux permettent les statistiques de la condition physique des PORTEUR être comparés à leurs amis ou membres de la famille en intégrant les dispositifs avec un téléphone et une tablette applications ..<br><br>Beaucoup de points de vue qu'il défendait dans sa campagne devint plus tard premier plan dans ceux poussée par le Tea Party deux ans plus tard, en aidant le GOP gagner une marée rouge de victoires en 2010 .. Barton, 57 ans, un résident de New YorkVille, volontaire pour l'un des<ul>
[[File:Quadratic equation coefficients.png|thumb|right|300px|Figure 1. Plots of quadratic function {{nowrap|''y'' {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}}, varying each coefficient separately while the other coefficients are fixed (at values ''a''&nbsp;=&nbsp;1, ''b''&nbsp;=&nbsp;0, ''c''&nbsp;=&nbsp;0)|alt=Figure 1. Plots of the quadratic function, y = eh x squared plus b x plus c, varying each coefficient separately while the other coefficients are fixed at values eh = 1, b = 0, c = 0. The left plot illustrates varying c. When c equals 0, the vertex of the parabola representing the quadratic function is centered on the origin, and the parabola rises on both sides of the origin, opening to the top. When c is greater than zero, the parabola does not change in shape, but its vertex is raised above the origin. When c is less than zero, the vertex of the parabola is lowered below the origin. The center plot illustrates varying b. When b is less than zero, the parabola representing the quadratic function is unchanged in shape, but its vertex is shifted to the right of and below the origin. When b is greater than zero, its vertex is shifted to the left of and below the origin. A dotted parabolic line whose vertex is on the origin, and which opens to the bottom, illustrates how the vertices of the family of curves created by varying b follow along a parabolic curve. The right plot illustrates varying eh. When eh is positive, the quadratic function is a parabola opening to the top. When eh is zero, the quadratic function is a horizontal straight line. When eh is negative, the quadratic function is a parabola opening to the bottom.]]
 
A quadratic equation with [[real number|real]] or [[complex number|complex]] [[coefficients]] has two solutions, called ''roots''. These two solutions may or may not be distinct, and they may or may not be real.
  <li>[http://pujiangbx.com/news/html/?3471.html http://pujiangbx.com/news/html/?3471.html]</li>
 
  <li>[http://www.seabear.com.hk/forum/read.php?tid=9044 http://www.seabear.com.hk/forum/read.php?tid=9044]</li>
 
  <li>[http://www.jianniukeji.com/forum.php?mod=viewthread&tid=833645 http://www.jianniukeji.com/forum.php?mod=viewthread&tid=833645]</li>
 
  <li>[http://www.sqxysm.com/news/html/?28215.html http://www.sqxysm.com/news/html/?28215.html]</li>
 
  <li>[http://www.h5ne.com/en/forum.php?mod=viewthread&tid=168852&fromuid=10547 http://www.h5ne.com/en/forum.php?mod=viewthread&tid=168852&fromuid=10547]</li>
 
</ul>


===Factoring by inspection===
== Boutique Barbour En Ligne  je la vois dans ==
It may be possible to express a quadratic equation {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} as a product {{math|(''px'' + ''q'')(''rx'' + ''s'') {{=}} 0}}. In some cases, it is possible, by simple inspection, to determine values of ''p'', ''q'', ''r,'' and ''s'' that make the two forms equivalent to one another. If the quadratic equation is written in the second form, then the "Zero Factor Property" states that the quadratic equation is satisfied if {{math|''px'' + ''q'' {{=}} 0}} or {{math|''rx'' + ''s'' {{=}} 0}}. Solving these two linear equations provides the roots of the quadratic.


For most students, factoring by inspection is the first method of solving quadratic equations to which they are exposed.<ref name=Washington2000>{{cite book|last=Washington|first=Allyn J.|title=Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition|year=2000|publisher=Addison Wesley Longman, Inc.|isbn=0-201-35666-X}}</ref>{{rp|202&ndash;207}} If one is given a quadratic equation in the form {{math|''x''<sup>2</sup> + ''px'' + ''q'' {{=}} 0}}, one would seek to find two numbers that add up to {{math|''p''}} and whose product is {{math|''q''}} ("Vieta's Rule"). The more general case where {{math|''a''}} does not equal {{math|1}} can require a considerable effort in trial and error guess-and-check, assuming that it can be factored at all by inspection.
" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">L'équipe d'explorateurs projettent d'entreprendre une traversée de la rivière Okavango système de deux mois à partir de la source en Angola tout le chemin 1,000 miles sur la rivière à travers la bande de Caprivi en Namibie et dans une nature sauvage au coeur du delta de l'Okavango au Botswana.<br><br>Mais ils ont dépensé plus de 100 millions de dollars US pour les produire! C'est plus de 50 millions de dollars de pertes. Il a fallu un peu de temps pour ma soeur à réaliser que juste parce qu'un commerce ou une étiquette donne l'impression qu'un aliment est [http://www.glasscoating.be/contact/custing.asp?t=68-Boutique-Barbour-En-Ligne Boutique Barbour En Ligne] bon pour vous, doesn dire qu'il est vraiment.<br><br>Plus de 11.000 étudiants viennent de presque tous les 50 états et 68 pays à [http://www.aircleaning.be/includes/Scripts/fiche.asp?c=7-Christian-Louboutin-Belgique-Adresse Christian Louboutin Belgique Adresse] explorer des options allant des études de premier cycle intenses études supérieures spécialisées et programmes professionnels. Parfois, les enfants crient parce qu'ils sont froids, fatigué ou affamé, de [http://www.spellenclubs.be/extern/functions.asp?l=5-Abercrombie-Pas-Cher-Femme Abercrombie Pas Cher Femme] sorte à se préparer à ces facteurs en apportant une collation ou d'assurer votre enfant reçoit une sieste si vous sortez en public.<br><br>Ceci fait suite à un certain nombre d'avis d'expulsion émis en Avril, où plusieurs locataires contestées. Pour cette variété, ne plaisante pas avec Photoshop (si vous possédez même pas) ou un autre programme graphique. Lorsque au moins un représentant élu de ce pays tente de contrer un argument de cruauté envers les animaux en impliquant l'activiste qu'il est en désaccord avec est une salope, eh bien, nous avons nous-mêmes mis là dans la boue avec le reste d'entre eux, et soutiennent <br><br>Il informera également le membre de l'Assemblée générale 193 plus tard aujourd'hui. Il a EnglandMore victorienne du 19ème siècle >> Bob et Leona Shaffer aiment décorer pour Noël. Le juge n'a pas statué, mais la demande est secondaire de toute façon. En termes de pellicule vs C'est alors [http://www.oude-weverij.be/include/header.asp?f=27-Michael-Kors-Bags Michael Kors Bags] que je devais commencer la modification de pleurer dehors avec elle (aller dans toutes les 5 10 minutes, lui dire que je suis juste à l'extérieur, de fixer et d'aller dormir, je la vois dans <br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Il a dit la piste reconfiguré et les bourses accrues vont attirer les cavaliers qui ont abandonné le Liban pour les pistes dans les États voisins .. Toutefois, si vous habitez au nord de la Géorgie, alors vous devez donner à votre corps un coup de pouce de la vitamine D dans les mois d'hiver.<br><br>Ajouter la pâte mélangée à l'huile et faire revenir pendant 1 minute avant d'ajouter la pâte de laksa. «Je ne peux pas attendre jusqu'en 2030. Ces feux accueil chassé les ténèbres et laisser les voyageurs savent qu'ils approchaient de la sécurité. Finalement ces zones seraient inclure des parties de l'Est et la côte Ouest, un total d'environ 1/3 du pays par région.<ul>
 
  <li>[http://www.tbfl5.com/forum.php?mod=viewthread&tid=948388 http://www.tbfl5.com/forum.php?mod=viewthread&tid=948388]</li>
 
  <li>[http://jz.791.com/news/html/?198447.html http://jz.791.com/news/html/?198447.html]</li>
 
  <li>[http://daili.xw68.com/in2039/news/html/?10886.html http://daili.xw68.com/in2039/news/html/?10886.html]</li>
 
  <li>[http://v.o.c.free.fr/spip.php?article104/ http://v.o.c.free.fr/spip.php?article104/]</li>
 
  <li>[http://ltnllhs.com/news/html/?16109.html http://ltnllhs.com/news/html/?16109.html]</li>
 
</ul>


Except for special cases such as where {{math|''b'' {{=}} 0}} or {{math|''c'' {{=}} 0}}, factoring by inspection only works for quadratic equations that have rational roots. This means that the great majority of quadratic equations that arise in practical applications cannot be solved by factoring by inspection.<ref name=Washington2000/>{{rp|207}}
== Air Jordans 5  Vous pouvez trouver ici. ==


===Completing the square===
Leur travail sera à rien et [http://www.thelord.be/scripts/menukaart.asp?j=61-Air-Jordans-5 Air Jordans 5] détruire beaucoup plus que ce qu'ils réalisent. Le président doit montrer plus de leadership pour amener toutes les parties à la table pour parvenir à un accord avant les coupes automatiques commençant janvier Un certain nombre d'autres références qui courent ici montrent que période de l'heure [http://www.aircleaning.be/includes/Scripts/fiche.asp?c=32-Louboutin-Femme-Site-Officiel Louboutin Femme Site Officiel] de pointe pour les gens dans leur ensemble, les données démographiques importants <br><br>Beaucoup dépendra de la nature de vos allergies. Ne vous précipitez pas là-haut, ne pas les évider de lit. Bien qu'ils ne s'étaient jamais rencontrés. Vous aurez accès à des ateliers et des séminaires qui vous feront mieux connaître, ainsi que d'obtenir la possibilité de se connecter à des personnes déjà établies dans le domaine.<br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">En quelques jours, les travailleurs de la santé des malades ont commencé à apparaître dans les salles d'urgence, la signalisation le virus a été continue de se propager dans les hôpitaux de la ville .. la peau de Mntyranta a progressivement rougi parce que son corps produit une surabondance de globules rouges.<br><br>Idéalement, les trois contacts seront une passe, définir et frapper, mais il peut être trois passes ou toute autre combinaison de contacts tant qu'ils sont des contacts juridiques .. "Lorsque de grandes zones de pavage sont nécessaires, comme dans l'espace autour de la piscine , une carpette ou un tapis persan peut définir l'espace dans une chambre ", dit Gary van Eijk, propriétaire et designer principal à Uncommon Ground Design Group Inc.<br><br>D'autres masques pourraient être faites avec de la farine de gramme, d'eau et de miel ou de pétales et d'eau bouillante augmenté. Je suis passé de diplôme de baccalauréat à la maîtrise, et moi-même forcé par un doctorat (oh la douleur!). Si vous partie de ces gens qui n'ont jamais fait attention quand vos parents ont essayé de vous apprendre à faire les choses pratiques de la vie, (ou si, comme moi, vous avez eu des parents qui étaient sans espoir à ces choses!), Vous pouvez trouver ici.<br><br>Mais pour être sûr, il a beaucoup à voir au-delà des domaines de la forêt de roulement dans la vallée glaciaire avec des fermes de travail comme La Vielle Fermeserving tarif jusqu'à préparé avec des ingrédients locaux .. Le malheureux en amour actrice était en retard sortant de sa caravane pendant le tournage " <br><br>Ce sera souvent le cas quand on est [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=56-New-Balance-Femme New Balance Femme] fier de quelque chose, ils sont réprimandés ou réprimandés pour. Il ya beaucoup de théories qui circulent à ce qui s'est passé dans ce cas. Je vais écrire à nouveau pour que chacun sache [http://www.glasscoating.be/contact/custing.asp?t=37-Barbour-Veste-Internationale Barbour Veste Internationale] ce qui se passe, parce que je viens d'avoir mon deuxième de deux traitements, avec un médicament ajouté, que les deux premiers n'ont pas marché.<ul>
{{Main|Completing the square}}
 
[[File:Polynomialdeg2.svg|thumb|right|200px|Figure 2. For the [[quadratic function]] {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> &minus; ''x'' &minus; 2}}, the points where the graph crosses the {{math|''x''}}-axis, {{math|''x'' {{=}} −1}} and {{math|''x'' {{=}} 2}}, are the solutions of the quadratic equation {{math|''x''<sup>2</sup> &minus; ''x'' &minus; 2 {{=}} 0}}.
  <li>[http://www.tc139.cn/news/html/?212878.html http://www.tc139.cn/news/html/?212878.html]</li>
|alt=Figure 2 illustrates an {{math|''x'' ''y''}} plot of the quadratic function {{math|''f''}} of {{math|''x''}} equals {{math|''x''}} squared minus {{math|''x''}} minus {{math|2}}. The {{math|''x''}}-coordinate of the points where the graph intersects the {{math|''x''}}-axis, {{math|''x'' {{=}} &minus;1}} and {{math|''x'' {{=}} 2}}, are the solutions of the quadratic equation {{math|''x''}} squared minus {{math|''x''}} minus {{math|2}} equals zero.]]
 
The process of completing the square makes use of the algebraic identity
  <li>[http://www.polyhb.com/bbs/showtopic-413612.aspx http://www.polyhb.com/bbs/showtopic-413612.aspx]</li>
:<math>x^2+2xh+h^2 = (x+h)^2,</math>
 
which represents a well-defined [[algorithm]] that can be used to solve any quadratic equation.<ref name=Washington2000/>{{rp|207}} Starting with a quadratic equation in standard form, {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}}
  <li>[http://bbs.ewche.com/forum.php?mod=viewthread&tid=362655&fromuid=89785 http://bbs.ewche.com/forum.php?mod=viewthread&tid=362655&fromuid=89785]</li>
#Divide each side by {{math|''a''}}, the coefficient of the squared term.
 
#Rearrange the equation so that the constant term {{math|''c''/''a''}} is on the right side.
  <li>[http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article450/ http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article450/]</li>
#Add the square of one-half of {{math|''b''/''a''}}, the coefficient of {{math|''x''}}, to both sides. This "completes the square", converting the left side into a perfect square.
 
#Write the left side as a square and simplify the right side if necessary.
  <li>[http://www.ilales.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=106155 http://www.ilales.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=106155]</li>
#Produce two linear equations by equating the square root of the left side with the positive and negative square roots of the right side.
 
#Solve the two linear equations.
</ul>


We illustrate use of this algorithm by solving {{math|2''x''<sup>2</sup> + 4''x'' &minus; 4 {{=}} 0}}
== Louis Vuitton Sac  le colonialisme ==
:<math>1) \ x^2+2x-2=0</math>
:<math>2) \ x^2+2x=2</math>
:<math>3) \ x^2+2x+1=2+1</math>
:<math>4) \ \left(x+1 \right)^2=3</math>
:<math>5) \ x+1=\pm\sqrt{3}</math>
:<math>6) \ x=-1\pm\sqrt{3}</math>


The [[plus-minus sign|plus-minus symbol "±"]] indicates that both {{math|''x'' {{=}} &minus;1 + &radic;3}} and {{math|''x'' {{=}} &minus;1 &minus; &radic;3}} are solutions of the quadratic equation.<ref>{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies|year=2010|publisher=Wiley Publishing|isbn=978-0-470-55964-2|url=http://books.google.com/?id=2toggaqJMzEC&pg=PA219&dq=quadratic+formula#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false|page=219}}</ref>
Dans une étude menée à Virginia Tech (Blacksburg), les joueurs de crosse de femmes qui ont pris de la créatine pendant leur formation pré saison ont augmenté leurs Maxes un rep (de 1RMs) sur le banc de presse et également chuté de plus de graisse corporelle que les joueurs prenant un placebo.<br><br>L'âge d'or des garnitures était Second Empire de la France, de 1852 à 1870. C'est de la science, vous continuez à regarder et vous continuez à trouver choses nouvelles et intéressantes. Adam Jacobi mis en place cette chaîne de tweets, re faire la scène de la salle d'audience Colonel Jessup. <br><br>Des conseils de nutrition expert de [http://www.bistrochapoo.be/includes/menukaart.asp?g=24-Louis-Vuitton-Sac Louis Vuitton Sac] Gans a été présenté dans Glamour, remise en forme, la santé, l'autonomie et la forme, et à la télévision et la radio nationales, y compris les Dr. gens ordinaires dans les pays s'attendre démocrates d'aller dans la prochaine ronde de négociations sur le budget et l'année prochaine législative <br><br>Si ces techniques fonctionnent pour vous, c'est très bien, mais ne réprimandent pas vous-même si vous avez tendance à écrire de façon sporadique et aléatoire .. Il n'est pas question, il ya des questions légitimes et moraux des raisons gratuits pour utiliser le suivi GPS, y compris la gestion de la flotte commerciale, la prévention du vol , la sécurité des animaux, la sécurité des [http://www.bistrochapoo.be/includes/menukaart.asp?g=48-Sac-Louis-Vuitton-Solde Sac Louis Vuitton Solde] personnes, tels que les jeunes enfants et les patients atteints d'Alzheimer et beaucoup plus.<br><br>Oui, en effet, de nos jours, vous pouvez acquérir un diplôme d'infirmier en ligne dans le confort [http://www.debatjeshoek.be/wpimages/wpimages/contact.asp?b=33-Boutique-Hollister-Lille Boutique Hollister Lille] de votre propre maison .. L'outil de sauvegarde du pilote n'est pas activé dans le freeware Il ne va pas beaucoup plus facile que cela pour s'assurer que les pilotes de votre système sont à jour. <br><br>Les pays pauvres comprennent une incroyable variété d'institutions, cultures et histoires: des millénaires des civilisations anciennes en [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=57-Nike-Cortez-Liege Nike Cortez Liege] Chine gigantesque et l'Inde; pays africains bouleversé par des siècles de la traite des esclaves, le colonialisme, les frontières arbitraires, les maladies tropicales et les despotes locaux, les nations d'Amérique latine avec deux siècles d' l'indépendance et cinq siècles d'inégalité extrême; civilisations islamiques avec une longue histoire du progrès technique par rapport à l'Occident, puis une baisse des derrière, et récemment créées nations comme minuscule Timor oriental.<br><br>C'est peut-être à cause des 50 dernières années de peser ins à Weight Watchers ou l'inepte dramatique finale peser de The Biggest Loser ou le parti pris de poids incroyable qui imprègne toute la société et conduit de nombreux médecins à plutôt que de réellement prendre une anamnèse et un examen de la personne en face d'eux, simplement peser ou même juste regarder un patient avec le poids et attribuent toutes leurs préoccupations à elle ..<ul>
 
  <li>[http://www.ty2013.com/news/html/?77277.html http://www.ty2013.com/news/html/?77277.html]</li>
 
  <li>[http://pw.stxia.com/news/html/?84362.html http://pw.stxia.com/news/html/?84362.html]</li>
 
  <li>[http://www.shanghai30p.com/news/html/?80253.html http://www.shanghai30p.com/news/html/?80253.html]</li>
 
  <li>[http://www.track14trade.com/news/html/?58762.html http://www.track14trade.com/news/html/?58762.html]</li>
 
  <li>[http://badchicsclub.com/activity/p/18448/ http://badchicsclub.com/activity/p/18448/]</li>
 
</ul>


===Quadratic formula and its derivation===
== Polo Ralph Lauren Custom Fit Comme l'a dit Mark Twain ==
{{main|Quadratic formula}}
[[Completing the square]] can be used to [[Quadratic formula#Derivation of the formula|derive a general formula]] for solving quadratic equations, called the quadratic formula.<ref>{{citation
|title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra
|first1=Barnett
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|first2=Philip
|last2=Schmidt
|publisher=The McGraw-Hill Companies
|year=2004
|isbn=0-07-141083-X
|url=http://books.google.com/?id=8PRU9cTKprsC}}, [http://books.google.be/books?id=8PRU9cTKprsC&pg=PA291 Chapter 13 §4.4, p. 291]</ref> The [[mathematical proof]] will now be briefly summarized.<ref>Himonas, Alex. ''[http://books.google.com/books?id=1Mg5u98BnEMC&q=%22left+as+an+exercise%22+and+%22quadratic+formula%22&dq=%22left+as+an+exercise%22+and+%22quadratic+formula%22&hl=en&sa=X&ei=6CJbUu2aFMylkQei6YGABA&ved=0CDMQ6AEwATgK Calculus for Business and Social Sciences]'', p. 64 (Richard Dennis Publications, 2001).</ref>  It can easily be seen, by [[polynomial expansion]], that the following equation is equivalent to the quadratic equation:
:<math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.</math>
Taking the [[square root]] of both sides, and isolating {{math|''x''}}, gives:
:<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math>


:Note: Some sources, particularly older ones, use alternative parameterizations of the quadratic equation such as {{math|''ax''<sup>2</sup> &minus; 2''bx'' + ''c'' {{=}} 0}}&nbsp;<ref name="kahan">{{Citation |first=Willian |last=Kahan |title=On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic |url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs.pdf |date=November 20, 2004 |accessdate=2012-12-25}}</ref> or {{math|''ax''<sup>2</sup> + 2''bx'' + ''c'' {{=}} ''0''}},<ref>{{Citation |url=http://www.proofwiki.org/wiki/Quadratic_Equation#Also_defined_as |title=Quadratic Equation |journal=Proof Wiki |accessdate=2012-12-25}}</ref> where {{math|''b''}} has a magnitude one half of the more common one. These result in slightly different forms for the solution, but are otherwise equivalent.
Il m'a fait sourire parce qu'ils voulaient aller entraînement «Il n'a pas été forcé, et c'est un bel exemple de l'ombre nous jetons en tant que parents. Musclepapa Marketing Package comprend un photoshoot d'une heure, une heure Magazine Videoshoot qualité, Site Web Domaine Achat d'un an hébergement démarrage avec le web design personnalisé.<br><br>Donc, je vais lui demander à ce sujet, ainsi que sur ses plans pour réglementer les salaires des cadres à travers le conseil d'administration .. Si les enfants prennent l'école au sérieux, alors tout devient plus facile pour tout le monde. Il a fallu environ un mois jusqu'à ce que je me suis senti comme moi à nouveau, physiquement et émotionnellement.<br><br>Combiné avec un manque nef de l'attitude agressive, il semble pour compenser une pièce facile de travailler à une étiquette d'oreille 700 grammes de petit animal. Dans ces cas, il existe d'autres étudiants qui peuvent présenter un tour pour vous. Voici un test: ce qui va se passer ensuite? Comme l'a dit Mark Twain, était gratifie de pouvoir répondre rapidement.<br><br>Thomas J. C'est presque comme un pompier. contractions des yeux ou myokymie, est une contraction musculaire involontaire des paupières Habituellement qui affecte la paupière inférieure. Soutien vocal de [http://www.bierhandeldetroetsel.be/pics/contact.asp?g=126-Polo-Ralph-Lauren-Custom-Fit Polo Ralph Lauren Custom Fit] Paul de la vue libertaire teinté lui a valu comme soutien de rabbins esprit entre les individus et activé le Congrès du Texas une augmentation de 28 millions de dollars pour la plupart de petits dons en ligne.<br><br>Programmes dans le comté de Montgomery adaptés à chacun de ces domaines a reçu 30 pour cent de l'argent disponible de subvention, Fessler dit, le solde de 10 pour cent répartis entre Greene et Preble County programs.Under le passé système moins rigide, les programmes de santé a augmenté de capturer plus de 40 pour cent de l'argent, Fessler dit, et qui a été réduit à 30 pour cent cette année.<br><br>Dernièrement, mes jours ont été dépensés dans le désert, l'enregistrement de la température Wells. Le noir est dans mon ADN pour la mode Voyage Lite .. Le livre mesure 17cm x 24 cm et est de 4 cm d'épaisseur [17 "x 9 1/2" x 1 1/2 "] et pèse près de 2 kilos [4 1/2 Pounds <br><br>J'ai donc après laminage sur son dos, il vais pleurer et pleurer pour toujours! Peur que je ne tomberai pas endormi, il est sur le dos car il n'a jamais auparavant. Freelance écriture est l'un des moyens les plus faciles de faire l'argent en [http://www.verbeke-daniel.be/doeself/includes/promoties.asp?p=44-Moncler-Belgique Moncler Belgique] ligne, que c'est le top du libre le risque. <br><br>Mon LO se réveille souvent la nuit en hurlant de douleur de gaz Soit il est si triste et cela me brise le coeur. J'ai eu une cabine pour moi dans les bois qui n'avait pas de chaleur et [http://www.betonsnijwerk.be/includes/boren.asp?t=54-Chaussure-Mbt-Pas-Cher Chaussure Mbt Pas Cher] pas d'eau chaude, mais c'était une petite cabane étonnant que j'aimais beaucoup. «Les gens de nos jours peuvent avoir accès à vos ordinateurs, obtenir des informations, venez dans [http://www.bistrolarmagnac.be/history/foto/contact.asp?g=86-Isabel-Marant-Etoile-Belgique Isabel Marant Etoile Belgique] mes ordinateurs, obtenir les fichiers, si ces gens sont toujours actifs en aucune façon dans ce monde la réalisation de travaux similaires Ils arrivent à travailler dans certains des programmes qu'ils vont juste<ul>
 
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  <li>[http://www.llxd688.com/forum.php?mod=viewthread&tid=722998&fromuid=19436 http://www.llxd688.com/forum.php?mod=viewthread&tid=722998&fromuid=19436]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18136809 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18136809]</li>
 
  <li>[http://cert-centers.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1247002&extra= http://cert-centers.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1247002&extra=]</li>
 
</ul>


A number of [[Quadratic formula#Other derivations|alternative derivations]] can be found in the literature which either (a)&nbsp;are simpler than the standard completing the square method, (b)&nbsp;represent interesting applications of other frequently used techniques in algebra, or (c)&nbsp;offer insight into other areas of mathematics.
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===Reduced quadratic equation===
Et reculer. "Contrairement au cours de précédents combats, les groupes armés semblent avoir tiré plusieurs roquettes à partir de tunnels souterrains, l'ouverture d'une trappe pour lancer la munition," Human Rights Watch a déclaré dans sa décembre "La [http://www.betonsnijwerk.be/includes/boren.asp?t=38-Chaussure-Mbt-En-Solde Chaussure Mbt En Solde] lumière ultraviolette est similaire aux longueurs d'onde ultraviolettes trouvés dans la lumière naturelle, et nous le faisons veulent pas d'énormes quantités ou des quantités supplémentaires de la lumière ultraviolette sur notre peau, car il peut provoquer des effets biologiques qui peuvent mener au cancer », [http://www.davalie.be/class/config.asp?m=40-Canada-Goose-Homme-2014 Canada Goose Homme 2014] le Dr<br><br>Les trois jeunes de 15 ans ont refusé de commenter quand il est approché par Fox Nouvelles. Droite au centre du terrain. Pendant la course en phase, nous avons obtenu des données de référence pour les résultats de l'étude, l'apport énergétique restreint de participants pour parvenir à une baisse de 12,5% du poids du corps, et les besoins en énergie établies pour la stabilisation du poids au niveau réduit.<br><br>Visions des parents et des anges décédés sont souvent discréditées comme le produit d'un cerveau mourant. Et un sens différent de satisfaction quand vous avez fait que la réalisation de [http://www.bierhandeldetroetsel.be/pics/contact.asp?g=109-Polo-Fred-Perry-Pas-Cher Polo Fred Perry Pas Cher] construire quelque chose, de voir quelque chose, quelque chose de couture. Une autre preuve de prudence lorsque les étiquettes indiquent sans gras: regardez les sucres et en hydrates de carbone.<br><br>Dans un papier PLoS One, Fabien Laloy examiner une grenouille Eocène qui ressemble encore gluant après plus de 34.000.000 années .. Encore malades. Maintenant vient une autre choix personnel: voulez-vous l'huile emballé ou tout simplement séché? Beaucoup de tomates séchées au soleil commerciale emballés dans de l'huile utilisent une huile de qualité inférieure et peuvent être plus épicée.<br><br>Exactement pourquoi les allergies sont en hausse est un mystère. Maman et papa, qui ont passé des heures dans la prière, hochent la tête oui, et une ligne de pourpre se fraie un passage dans le tube, ce qui porte la première d'environ 600 millions de cellules [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=141-Air-Max-1-Bruxelles Air Max 1 Bruxelles] dans le corps de l'enfant. Formation intervalle de haute intensité (HIIT) est l'un des meilleurs moyens de perdre de la graisse rapide.<br><br>Reconnaissant qu'il était grand temps de poursuivre un domaine qui a donné sa passion plutôt que de simplement seulement la sécurité de paiement de l'hypothèque, elle a cherché son âme long et dur, se rendant compte qu'elle avait longtemps été un novice désireux et chien de connaissances qui pourraient inspirer les gens à travers ses mots à<ul>
It is sometimes convenient to reduce a quadratic equation to an equation involving two instead of three constant coefficients. This is done by simply dividing both sides by ''a'', which is possible because ''a'' is non-zero. This produces the reduced quadratic equation:<ref>Alenit͡syn, Aleksandr and Butikov, Evgeniĭ. ''Concise Handbook of Mathematics and Physics'', p. 38 (CRC Press 1997).</ref>
 
  <li>[http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/ http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/]</li>
 
  <li>[http://www.hzbchy.com/news/html/?273324.html http://www.hzbchy.com/news/html/?273324.html]</li>
 
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  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18137851 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18137851]</li>
 
  <li>[http://www.hngggj.com/news/html/?52272.html http://www.hngggj.com/news/html/?52272.html]</li>
 
</ul>


:<math>x^2+px+q=0</math>
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Here ''p'' = ''b''/''a'' and ''q'' = ''c''/''a'' are the only coefficients in the reduced equation, which is also called a [[monic polynomial|monic equation]].
Dans les sports de contact comme le football, il est généralement causée par une blow.Thousands énergiques [http://www.slagerij-vasseur.be/backoffice/class/ligging.asp?id=61-Basket-Nike-Blazer-Mid-Femme Basket Nike Blazer Mid Femme] d'anciens joueurs de la NFL sont poursuit la ligue, l'accusant de dissimuler des informations qui relie le football des blessures liées à des lésions cérébrales au cours des longues études [http://www.bierhandeldetroetsel.be/pics/contact.asp?g=120-Destockage-Ralph-Lauren-Belgique Destockage Ralph Lauren Belgique] term.Previous ont également trouvé un lien (mais pas de cause à effet) entre les traumatismes crâniens chez les joueurs [http://www.bierhandeldetroetsel.be/pics/contact.asp?g=82-Ralph-Lauren-Polo-France-Avis Ralph Lauren Polo France Avis] retraités de football et la pensée et de la mémoire later.Guidelines sur la façon de gérer les commotions cérébrales chez les joueurs sont maintenant en place pour pro, collégial et secondaire joueurs athletics.Aging Football StatusHart santé et son <br><br>"Il ya beaucoup de façons de regarder sous la terre sans avoir à toucher», il observe. Lors d'une réunion à huis clos jeudi soir, le groupe consultatif connu sous le nom Devices Comité Aviation Rulemaking électronique portable a décidé que le moment était venu de lever cette interdiction et publiera un rapport lundi à la FAA à cette recommandation, selon l'Associated Press <br><br>Absolument magnifique grâce à son superbe design, ce modèle est disponible en quantité limitée de seulement 1 pièces par matière. Je [http://www.lebleu.be/SpryAssets/content.asp?h=87-Timberland-Femme-Boots Timberland Femme Boots] n'ai aucune envie de skier avec des taches blanches sur les genoux de mon pantalon de ski que les gens sur le télésiège peut admirer à quelle vitesse je pompe et garder mes genoux together.Some des conseils de DiPiro peut être utile à un tel skieur que je suis grand, <br><br>Vous pouvez publier des dépliants simples qui ont votre nouvelle adresse de boutique en ligne et le message mignon là-dessus. Travailler à partir d'un petit cabinet privé à Saffron Walden, portant principalement sur les travaux des tissus mous et de l'analyse vidéo, la plupart de mon temps est consacré à des athlètes dans leur propre environnement de travail des tissus mous avec des clubs de Premier ministre de rugby à l'examen de dysfonctionnement biomécanique avec quilleurs rythme et les habiletés mentales préparation / ténacité avec la maison cultivés, les Olympiens espoir.<br><br>Préférence pour les amuse-gueules continue. Plus tard, les détracteurs ont essayé de susciter les préjugés contre les épicuriens en les accusant de licence et de plus d'indulgence, mais un témoignage de première main dépeints comme ayant la bonne volonté de tous les hommes et les relations très chaleureuses avec sa famille et un cercle dévoué des disciples.<br><br>3 élection, qui présentait un problème countywide (prélèvement de district du comté de parc), la course d'un maire à trois voies dans Piqua et cinq personnes à la recherche de quatre sièges sur Tipp City Council .. En reconnaissance de son [5], National Geographic a mis en place le Fonds de filles en Afghanistan , un organisme de bienfaisance dans le but de l'éducation des filles afghanes et les jeunes femmes. [6] En 2008, le champ d'application du fonds a été élargi pour inclure les garçons et le nom a été changé pour Fonds pour les enfants afghans. [7] 1. ^ Lucas, Dean<ul>
 
  <li>[http://www.bbctop.com/news/html/?2898323.html http://www.bbctop.com/news/html/?2898323.html]</li>
 
  <li>[http://www.teatermaskinen.com/forum/read.php?3,50858 http://www.teatermaskinen.com/forum/read.php?3,50858]</li>
 
  <li>[http://web.fytc.bj.cn/news/html/?195271.html http://web.fytc.bj.cn/news/html/?195271.html]</li>
 
  <li>[http://www.tztea.com.cn/news/html/?217193.html http://www.tztea.com.cn/news/html/?217193.html]</li>
 
  <li>[http://bbs.hbqcw9.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1479035 http://bbs.hbqcw9.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1479035]</li>
 
</ul>


It follows from the quadratic formula that the solution to the reduced quadratic equation is
== Casque Beats Solo Hd  n'est pas un républicain ordinaire ==
:<math>x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>.


===Discriminant===
Allie a fini dans un zoo de la région de Chicago, tandis que Bailey s'est déplacé vers les Bermudes. Quand il a réalisé combien sa fille aimait être poussé dans le Grand Rapids Marathon il ya quatre ans, Rick van Beek a décidé d'arrêter de fumer et de train pour le triathlon, aider Maddy participer par son tirant dans un kayak pendant les parties [http://www.creamark.eu/includes/contact.asp?b=32-Casque-Beats-Solo-Hd Casque Beats Solo Hd] de natation, faire du vélo avec son <br><br>Une main dispositif coudé, moteurs électriques ont été bientôt ajoutées, mais des avancées majeures depuis ont été limitées aux systèmes intermittents et des capacités à détecteur de pluie, de ce qui a affecté l'idée de base de la lame d'essuie-glace se .. Houkouonchi possède également un serveur 2U fonctionnant dans un colocation installation avec 12 To de disque sur les connexions gigabit », qui je pousse un peu d'aussi bien.<br><br>J'ai pris cela à cœur et, bien sûr, à l'extrême: Si je n'étais pas pelleter carburant insipide dans mon corps toutes les trois heures sur le point, je voudrais commencer à la panique. S'il est vrai que l'opinion des spectacles de la Fox (par opposition à ses nouvelles émissions) sont, comme ils sont supposés être, souvent ampoulé et opiniâtre, il est également vrai que la plus grande super star de Fox, n'est pas un républicain ordinaire, mais un indépendant inscrit qui côtés avec les conservateurs.<br><br>Tout le monde, mais vous .. Ils ne veulent pas avoir à fixer la cuisine ou refaire la salle de bain avant de s'installer po Toutes ces procédures peuvent être accomplies dans un rendez-vous de trois à cinq heures avec un professionnel qualifié .. "Il ya cette énorme bouleversement dans <br><br>Conclusion: les pratiques commerciales transparentes sont un moteur important de grandes relations publiques .. Cela est particulièrement vrai quand quelqu'un a connu une peur intense et d'impuissance, le corps et l'esprit prendre le temps d'intégrer tout ce qui s'est .. Mais de nombreux biologistes préfèrent maintenant l'idée de ruptures propres <br><br>Une manière de résoudre les problèmes de transport dans les grandes villes est de rendre les voitures plus petites et plus intelligent. Établir des attentes irréalistes pour vous est le menu [http://www.verbeke-daniel.be/doeself/includes/promoties.asp?p=60-Moncler-Belgique-Magasin Moncler Belgique Magasin] pour [http://www.funkafee.be/caurina/transitions/memory.asp?y=28-Nike-Roshe-Run-Palm-Trees Nike Roshe Run Palm Trees] une énorme portion de malheur .. Un étudiant costumé appelé George, du nom de George Washington, est la mascotte de l'école, mais un caractère gonflable de 10 pieds appelé Big George et un sur le campus statue d'un hippopotame <br><br>Au cours de poussées d'eczéma donner à votre enfant un antihistaminique recommandé par votre médecin avant de vous coucher. Nos étudiants-athlètes sont parmi les meilleurs dans les sports NCAA Division III, ayant récemment remporté des championnats en piscine, [http://www.aircleaning.be/includes/Scripts/fiche.asp?c=86-Christian-Louboutin-Pas-Cher-2014 Christian Louboutin Pas Cher 2014] tennis, volley-ball et .. La pinte de taille 24 ans, cependant, n'a jamais douté de sa capacité à élever un enfant.<ul>
[[File:Quadratic eq discriminant.svg|thumb|right|Figure 3. Discriminant signs|alt=Figure 3. This figure plots three quadratic functions on a single Cartesian plane graph to illustrate the effects of discriminant values. When the discriminant, delta, is positive, the parabola intersects the {{math|''x''}}-axis at two points. When delta is zero, the vertex of the parabola touches the {{math|''x''}}-axis at a single point. When delta is negative, the parabola does not intersect the {{math|''x''}}-axis at all.]]
 
In the quadratic formula, the expression underneath the square root sign is called the ''[[discriminant]]'' of the quadratic equation, and is often represented using an upper case {{math|''D''}} or an upper case Greek [[Delta (letter)|delta]]:<ref>'''Δ''' is the initial of the [[Greek language|Greek]] word '''Δ'''ιακρίνουσα, ''Diakrínousa'', discriminant.</ref>
  <li>[http://bbs.lmzol.com/forum.php?mod=viewthread&tid=4497250 http://bbs.lmzol.com/forum.php?mod=viewthread&tid=4497250]</li>
:<math>\Delta = b^2 - 4ac.</math>
 
A quadratic equation with ''real'' coefficients can have either one or two distinct real roots, or two distinct complex roots. In this case the discriminant determines the number and nature of the roots. There are three cases:
  <li>[http://www.apachina.org/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1337423&fromuid=60727 http://www.apachina.org/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1337423&fromuid=60727]</li>
<ul><li>If the discriminant is positive, then there are two distinct roots
 
:<math>\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{and}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a},</math>
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18226561 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18226561]</li>
both of which are real numbers. For quadratic equations with [[rational number|rational]] coefficients, if the discriminant is a [[square number]], then the roots are rational—in other cases they may be [[quadratic irrational]]s.</li>
 
<li>If the discriminant is zero, then there is exactly one [[real number|real]] root
  <li>[http://218.108.132.102:8089/bbs/boke.asp?mrtxtbnt.showtopic.73704.html http://218.108.132.102:8089/bbs/boke.asp?mrtxtbnt.showtopic.73704.html]</li>
:<math>-\frac{b}{2a},</math>
 
sometimes called a repeated or [[multiple root|double root]].</li>
  <li>[http://www.0936so.com/thread-248483-1-1.html http://www.0936so.com/thread-248483-1-1.html]</li>
<li>If the discriminant is negative, then there are no real roots. Rather, there are two distinct (non-real) [[complex number|complex]] roots<ref>{{cite book|last=Achatz|first=Thomas|last2=Anderson|first2=John G.|last3=McKenzie|first3=Kathleen|title=Technical Shop Mathematics|year=2005|publisher=Industrial Press|isbn=0-8311-3086-5|url=http://books.google.co.uk/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA276&dq=quadratic+formula&hl=en&sa=X&ei=mG_8T9-PMuPC0QXOmZigBw&ved=0CEEQ6AEwAQ#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false|page=277}}</ref>
 
:<math> \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a} \quad\text{and}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},</math>
</ul>
which are [[complex conjugate]]s of each other. In these expressions {{math|''i''}} is the [[imaginary unit]].</li></ul>


Thus the roots are distinct if and only if the discriminant is non-zero, and the roots are real if and only if the discriminant is non-negative.
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===Geometric interpretation===
Il améliore la possibilité de sauvetages à l'avenir. ". Extravertis peuvent faire leur part pour rester en contact avec les introvertis, tout comme lorsque travaillant dans un bureau." Que devez-vous retirer une œuvre réussie de la maison risque? Sutton Fell propose un point final à ajouter à votre liste: La capacité d'arrêter de travailler.<br><br>Le secret derrière les conceptions célestes de hauts talons des chaussures de Manolo pour les femmes est son oeil impeccable pour plus de détails. Un espace sur la carte devrait être un point focal pour les commerçants qui se [http://www.betonsnijwerk.be/includes/boren.asp?t=16-Mbt-Chaussure-Prix Mbt Chaussure Prix] préoccupent avec les cartes avant de prendre une décision de négociation. Sexe ExpressionOut des trois termes «sexe», «l'identité sexuelle» et «expression sexuelle» qui pensez-vous que nous remarquons le plus de personnes sur une base quotidienne? <br><br>D'une certaine manière, il se lie d'amitié le propriétaire, qui décide que David serait le genre de personne qui voudrait voir ce qui se cache derrière le rideau, ce qui les acheteurs typiques ne sont pas autorisés à voir. Numéros de sécurité sociale pour tout le monde dans votre maison Votre nom de l'employeur et répondre à vos talons de paye le plus récent ou récents dossiers de votre salaire informations sur les autres types de revenus que vous recevez, comme les pensions alimentaires, les allocations de chômage ou une des sociétés d'assurance-pension et courtiers [http://www.bistrolarmagnac.be/history/foto/contact.asp?g=15-Sneakers-Isabel-Marant-Occasion Sneakers Isabel Marant Occasion] Certaines personnes préfèrent <br><br>Vraiment, ces nervures sont faciles à préparer et délicieux à manger. Il peut sembler comme une chose simple. En savoir plus sur ce jeu en lisant les résumés de la loi de trois et quatrième acte .. Département de l'énergie, si chaque foyer remplacé une seule ampoule ordinaire par une ampoule CFL, la nation permettrait d'économiser environ 600 millions de dollars en coûts d'énergie et assez d'énergie pour éclairer 3 <br><br>Dolan School of Business, et Graduate School of Education et professions connexes .. D'autres regardent plus profondément en elle et disent que les raisins doux symbolisent une année douce et un raisin vert indique une route sure avance .. Abedin a été à travers chaque jeu disponible supérieur et serait <br><br>Si vous avez été la formation constante pour quelques mois, commencer avec la routine du débutant, mais passer à intermédiaire après une semaine ou deux au lieu de quatre. Et souvent, lorsque nous prenons soin de notre corps, nous sommes de meilleurs mamans pour elle!. Activités havre assez duré Président façon Obama depuis son deuxième inauguration, comme une [http://www.bistrochapoo.be/includes/menukaart.asp?g=62-Louis-Vuitton-Sac-A-Main-Soldes Louis Vuitton Sac A Main Soldes] série d'événements controversés scandales, selon ses adversaires ont empilé sur la Maison Blanche: les retombées de l'attaque de [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=20-Grossiste-Air-Max-Belgique Grossiste Air Max Belgique] Benghazi, à l'examen de l'IRS de groupes conservateurs et le débat sur la surveillance du gouvernement<ul>
The function {{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} is the [[quadratic function]].<ref>{{cite book |last=Wharton |first=P. |title=Essentials of Edexcel Gcse Math/Higher |year=2006 |publisher=Lonsdale |isbn=978-1-905-129-78-2|url=http://books.google.co.uk/books?id=LMmKq-feEUoC&pg=PA63&dq=%22Quadratic+function%22+%22Quadratic+equation%22&hl=en&sa=X&ei=bnT8T-6AKIWX8gP13bCzBw&ved=0CDsQ6AEwAQ#v=onepage&q=%22Quadratic%20function%22%20%22Quadratic%20equation%22&f=false |page=63}}</ref> The graph of any quadratic function has the same general shape, which is called a [[parabola]]. The location and size of the parabola, and how it opens, depends on the values of {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, and {{math|''c''}}. As shown in Figure&nbsp;1, if {{math|''a'' &gt; 0}}, the parabola has a minimum point and opens upward. If {{math|''a'' &lt; 0}}, the parabola has a maximum point and opens downward. The extreme point of the parabola, whether minimum or maximum, corresponds to its [[vertex (curve)|vertex]]. The ''{{math|x}}-coordinate'' of the vertex will be located at <math>\scriptstyle x=\tfrac{-b}{2a}</math>, and the ''{{math|y}}-coordinate'' of the vertex may be found by substituting this ''{{math|x}}-value'' into the function. The ''{{math|y}}-intercept'' is located at the point {{math|(0, ''c'')}}.
 
  <li>[http://hongson.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=798591&fromuid=289293 http://hongson.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=798591&fromuid=289293]</li>
 
  <li>[http://www.05931.cn/viewthread.php?tid=2052590&extra=page%3D1 http://www.05931.cn/viewthread.php?tid=2052590&extra=page%3D1]</li>
 
  <li>[http://clan.gamescraft.de/index.php?site=guestbook http://clan.gamescraft.de/index.php?site=guestbook]</li>
 
  <li>[http://g.damezin.free.fr/famille/spip.php?article13 http://g.damezin.free.fr/famille/spip.php?article13]</li>
 
  <li>[http://arcib.dowling.edu/wiki/index.php/User:Uroqmvfl http://arcib.dowling.edu/wiki/index.php/User:Uroqmvfl]</li>
 
</ul>


The solutions of the quadratic equation {{math|''ax''<sup>2</sup> + {{math|''bx''}} + {{math|''c''}} {{=}} 0}} correspond to the [[root of a function|roots]] of the function {{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}}, since they are the values of {{math|''x''}} for which {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}}. As shown in Figure&nbsp;2, if {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, and {{math|''c''}} are [[real numbers]] and the [[domain (mathematics)|domain]] of {{math|''f''}} is the set of real numbers, then the roots of {{math|''f''}} are exactly the {{math|''x''}}-[[coordinates]] of the points where the graph touches the {{math|''x''}}-axis. As shown in Figure&nbsp;3, if the discriminant is positive, the graph touches the [[x-axis|{{math|''x''}}-axis]] at two points; if zero, the graph touches at one point; and if negative, the graph does not touch the {{math|''x''}}-axis.
== Moncler Belgique Magasin AWEP ==


===Quadratic factorization===
Vous pouvez également recevoir IV ou médicaments contre la douleur par voie orale .. Un pêcheur de subsistance hypothétique aux États-Unis qui consomme 124 kg de [http://www.verbeke-daniel.be/doeself/includes/promoties.asp?p=60-Moncler-Belgique-Magasin Moncler Belgique Magasin] fruits de mer chaque année (95e percentile des pêcheurs de loisirs), environ cinq fois plus qu'un habitant moyen des États-Unis, recevrait une dose efficace engagée <br><br>Performances Elam à la moissonneuse-batteuse a affirmé qu'il est une sécurité supérieure cette année, surtout avec son son 4,54 fois dans la cour tableau de bord 40. Mais la Loi sur la responsabilité de la réglementation de la SEC serait décaler la chance encore plus dans la direction de Wall Street par seller de la commission de nouvelles procédures de coûts qu'il aurait à suivre, non seulement pour la règle qu'il adopte, mais pour toutes les «solutions de rechange disponibles." <br><br>Parker est différent à cet égard. Dans une grande surface, comme un auditorium, une salle de sport ou un espace extérieur, déplacer la balle plus loin que l'enfant détient le pois en face de son visage. Et continue à opérer sous le nom de Goodson géomètres .. Tous ces éléments sont les choses du monde les humains peuvent faire pour contrôler leur destin, bien que Dieu décrète ce qui fonctionne et ce qui ne va pas et le reste est laissé à Dieu, le meilleur de dépendre <br><br>Pour ceux qui ne peuvent pas supporter la chaleur, prendre des suppléments de capsaïcine qui fournissent 40 000 80 000 unités thermiques de Scoville (ou unités de chaleur) par dose 2 3 fois [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=36-Nike-Air-Pegasus-89 Nike Air Pegasus 89] par jour avant les repas .. Est moyen beaucoup plus efficace pour naviguer à travers des milliers d'heures de programmation sur <br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Programme d'amélioration de l'eau agricole de la Farm Bill (AWEP) était destiné à financer l'amélioration des bassins versants larges d'irrigation dans les fermes, comme les conversions de l'irrigation par inondation à gicleurs et de systèmes de goutte à goutte, résultant des livraisons plus efficaces de l'eau qui peut aider les agriculteurs à augmenter les profits ..<br><br>Nous avons eu pratiquement pas de fruits. [http://www.bandenerwin.be/includes/download.asp?id=9-Ray-Ban-Clubmaster Ray Ban Clubmaster] Un bel endroit pour aller faire un tour .. Les tiques et les puces causent beaucoup d'irritation de la peau chez les chiens [http://www.aircleaning.be/includes/Scripts/fiche.asp?c=18-Chaussures-Christian-Louboutin-Homme-Pas-Cher Chaussures Christian Louboutin Homme Pas Cher] et donc Frontline Plus est formulé pour les faire débarrasser des irritants. Voir les avantages et les inconvénients d'obtenir l'assurance de la santé: Pourquoi avez-vous besoin d'une assurance santé? Pour en savoir plus sur la peine, lecture Dois-je payer la pénalité? Si votre police d'assurance de santé a été annulée plus tôt cet automne, vous pourriez être admissible à renouveler pour 2014 la couverture.<ul>
The term
 
:<math>x - r</math>
  <li>[http://prewww.desnivel.com/foros/viewtopic.php?f=20&t=1013189 http://prewww.desnivel.com/foros/viewtopic.php?f=20&t=1013189]</li>
is a factor of the polynomial
 
: <math>ax^2+bx+c</math>
  <li>[http://www.kaoshi886.com/forum.php?mod=viewthread&tid=193202&fromuid=6071 http://www.kaoshi886.com/forum.php?mod=viewthread&tid=193202&fromuid=6071]</li>
if and only if {{math|''r''}} is a [[root of a function|root]] of the quadratic equation
 
: <math>ax^2+bx+c=0.</math>
  <li>[http://42.121.2.33:100/bbs/viewthread.php?tid=3298774&extra= http://42.121.2.33:100/bbs/viewthread.php?tid=3298774&extra=]</li>
It follows from the quadratic formula that
 
: <math>ax^2+bx+c = a \left( x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right).</math>
  <li>[http://sanyacar.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=165292&fromuid=32795 http://sanyacar.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=165292&fromuid=32795]</li>
In the special case {{math|''b''<sup>2</sup> {{=}} 4''ac''}} where the quadratic has only one distinct root (''i.e.'' the discriminant is zero), the quadratic polynomial can be [[Factorization|factored]] as
 
:<math>ax^2+bx+c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2.</math>
  <li>[http://www.iehdi.org/wiki/index.php?title=User:Mkeaklsi#Nike_Classic_Cortez_Pas_Cher_que_la_paix_soit_sur_lui http://www.iehdi.org/wiki/index.php?title=User:Mkeaklsi#Nike_Classic_Cortez_Pas_Cher_que_la_paix_soit_sur_lui]</li>
 
</ul>


===Graphing for real roots===
== Louis Vuitton Homme . ==
[[File:Graphical calculation of root of quadratic equation.png|240px|thumb|Figure 4. Graphing calculator computation of one of the two roots of the quadratic equation {{math|2''x''<sup>2</sup> + 4''x'' &minus; 4 {{=}} 0}}. Although the display shows only five significant figures of accuracy, the retrieved value of {{math|''xc''}} is 0.732050807569, accurate to twelve significant figures.|alt=Figure 4. Graphing calculator computation of one of the two roots of the quadratic equation {{math|2 ''x''}} squared plus {{math|4 ''x'' minus 4}} equals zero. Although the display shows only five significant figures of accuracy, the retrieved value of {{math|''x''}} is 0.732050807569, accurate to twelve significant figures.]]
For most of the 20th century, graphing was rarely mentioned as a method for solving quadratic equations in high school or college algebra texts. Students learned to solve quadratic equations by factoring, completing the square, and applying the quadratic formula. Recently, graphing calculators have become common in schools and graphical methods have started to appear in textbooks, but they are generally not highly emphasized.<ref name=Ballew2007/>


Being able to use a graphing calculator to solve a quadratic equation requires the ability to produce a graph of {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}}, the ability to scale the graph appropriately to the dimensions of the graphing surface, and the recognition that when {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}}, {{math|''x''}} is a solution to the equation. The skills required to solve a quadratic equation on a calculator are in fact applicable to finding the real roots of any arbitrary function.
" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">La proposition de réforme de l'immigration du Sénat, qui a adopté en Juin, allouerait $ 46,3 milliards de plus au cours de la prochaine décennie pour construire 700 miles de plus de barrière frontalière et de doubler le nombre d'agents de patrouille frontalière à près de 40 000 le long de la frontière sud-ouest.<br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Il nous permet de faire des choses, mais il sert aussi un effet dissuasif, car les voisins et les autres pays qui peuvent avoir un intérêt de défavoriser un pays, si ils savent que nous avons un statut de l'accord des Forces, sont moins susceptibles de le faire ..<br><br>Un publiciste de l'acteur Paul Walker dit la star de la série de films "Fast Furious" est décédé dans un accident de voiture au [http://www.bistrochapoo.be/includes/menukaart.asp?g=10-Louis-Vuitton-Homme Louis Vuitton Homme] nord de Los Angeles. Aujourd'hui, les hommes et les femmes n'ont aucune idée de qui est censé faire quoi. "Je ne peux pas parler pour les femmes droites, mais je peux en témoigner pour au moins certains d'entre nous digues que la seule chose que nous sommes confus au sujet de qui est laissé cette pensée dépassée <br><br>L'image est le plus frappant dans le Sénat, où un nom de domaine et plusieurs lignes de texte descriptif de la direction conservatrice du Kentucky sénateur indiquer le site a été exploré par l'araignée moteur de recherche afin de déterminer le contenu du site. Henriette a le traitement du cancer du col standard pour la journée, et personne ne savait que ses cellules seraient utiles.<br><br>Lorsque le chef de la direction a déclaré la société prévoit un placement de nouvelles actions, la SEC allègue, [http://www.debatjeshoek.be/wpimages/wpimages/contact.asp?b=64-Hollister-Co-Uk Hollister Co Uk] Cuba est devenu en colère parce que l'offre permettrait de réduire la valeur de ses 600000 parts et il n'y avait rien qu'il puisse faire à ce sujet .. (h / t eHow Tech). <br><br>«Nous avons testé l'acide ursolique chez la souris et constaté qu'il a augmenté la taille et la force de leurs muscles", a déclaré Adams. Quand ils criaient si fort que je ne pouvais pas les ignorer, j'ai sauté dans la voiture et nous nous sommes hâtés sur comme l'enfer ". Pas, cependant, avant que Peter avait capturé des images d'une tornade de se rapprocher de son bec fatal que tout autre photographe avant lui, <br><br>Mariage devient un sport de compétition. «Ma [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=73-New-Balance-Shoes-Montreal New Balance Shoes Montreal] vie a jamais retourné à la façon dont il était et [http://www.slagerij-vasseur.be/backoffice/class/ligging.asp?id=47-Chaussures-Nike-Blazer-Femme Chaussures Nike Blazer Femme] je ne pense pas que ce sera pour cette famille à Boston soit," Mme j'ai essayé de le mettre derrière et essayer de sortir avec les filles pour montrer à mes amis que je<ul>
 
 
Since an arbitrary function may cross the {{math|''x''}}-axis at multiple points, graphing calculators generally require one to identify the desired root by positioning a cursor at a "guessed" value for the root. (Some graphing calculators require bracketing the root on both sides of the zero.) The calculator then proceeds, by an iterative algorithm, to refine the estimated position of the root to the limit of calculator accuracy.
  <li>[http://www.pitidea.com/activity/p/41886/ http://www.pitidea.com/activity/p/41886/]</li>
 
 
===Avoiding loss of significance===
  <li>[http://blog.zombietoads.com/node/6#comment-120479 http://blog.zombietoads.com/node/6#comment-120479]</li>
Although the quadratic formula provides what in principle should be an exact solution, it does not, from a [[numerical analysis]] standpoint, provide a completely stable method for evaluating the roots of a quadratic equation. If the two roots of the quadratic equation vary greatly in absolute magnitude, {{math|''b''}} will be very close in magnitude to <math>\sqrt{b^2-4ac}</math>, and the subtraction of two nearly equal numbers will cause [[loss of significance]] or [[catastrophic cancellation]]. A second form of cancellation can occur between the terms {{math|''b''<sup>2</sup>}} and {{math|&minus;4''ac''}} of the discriminant, which can  lead to loss of up to half of correct significant figures.<ref name="kahan"/><ref name="Higham2002">{{Citation |first=Nicholas |last=Higham |title=Accuracy and Stability of Numerical Algorithms |edition=2nd |publisher=SIAM |year=2002 |isbn=978-0-89871-521-7 |page=10 }}</ref>
 
 
  <li>[http://entheogenwiki.org/wiki/User:Jrxjgvil#Nike_Cortez_Femme_Pas_Cher_plut.C3.B4t_qu.27en_termes_de_croyance http://entheogenwiki.org/wiki/User:Jrxjgvil#Nike_Cortez_Femme_Pas_Cher_plut.C3.B4t_qu.27en_termes_de_croyance]</li>
==History==
 
[[Babylonian mathematics|Babylonian mathematicians]], as early as 2000 BC (displayed on [[First Babylonian Dynasty|Old Babylonian]] [[clay tablet]]s) could solve problems relating the areas and sides of rectangles. In modern notation, the problems typically involved solving a pair of simultaneous equations of the form:
  <li>[http://shanafanghua.imotor.com/viewthread.php?tid=34679&extra= http://shanafanghua.imotor.com/viewthread.php?tid=34679&extra=]</li>
:<math> x+y=p,\ \ xy=q </math>
 
which are equivalent to the equation:<ref name=Stillwell2004>{{cite book |last=Stillwell |first=John |title=Mathematics and Its History (2nd ed.) |year=2004 |publisher=Springer |isbn=0-387-95336-1}}</ref>{{rp|86}}
  <li>[http://observatoiredesreligions.fr/spip.php?article9 http://observatoiredesreligions.fr/spip.php?article9]</li>
:<math>x^2+q=px</math>
 
 
</ul>
The steps given by Babylonian scribes for solving the above rectangle problem were as follows:
#Compute half of ''p''.
#Square the result.
#Subtract ''q''.
#Find the square root using a table of squares.
#Add together the results of steps (1) and (4) to give {{math|''x''}}.
Note that step (5) is essentially equivalent to calculating
:<math>x = \frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>
There is evidence dating this algorithm as far back as the [[Ur III]] dynasty.<ref name=Friberg2009>{{cite journal|last=Friberg|first=Jöran|title=A Geometric Algorithm with Solutions to Quadratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma|journal=Cuneiform Digital Library Journal|year=2009|volume=3|url=http://cdli.ucla.edu/pubs/cdlj/2009/cdlj2009_003.html}}</ref>
 
In the [[Sulba Sutras]] in [[Indian subcontinent|ancient India]] circa 8th century BC quadratic equations of the form {{math|''ax''<sup>2</sup> {{=}} ''c''}} and {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' {{=}} ''c''}} were explored using geometric methods. Babylonian mathematicians from circa 400 BC and [[Chinese mathematics|Chinese mathematicians]] from circa 200 BC used [[Dissection problem|geometric methods of dissection]] to solve quadratic equations with positive roots, but do not appear to have had a general formula.<ref name=Aitken>{{cite web|last=Aitken|first=Wayne|title=A Chinese Classic: The Nine Chapters|url=http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf|publisher=Mathematics Department, California State University|accessdate=28 April 2013}}</ref><ref name=Henderson>{{cite web|last=Henderson|first=David W.|title=Geometric Solutions of Quadratic and Cubic Equations |publisher=Mathematics Department, Cornell University |url=http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/geomsolu/geomsolu.html|accessdate=28 April 2013}}</ref>
 
[[Euclid]], the [[Greek mathematics|Greek mathematician]], produced a more abstract geometrical method around 300 BC. [[Pythagoras]] and Euclid used a strictly geometric approach, and found a general procedure to solve the quadratic equation. In his work ''[[Arithmetica]]'', the Greek mathematician [[Diophantus]] solved the quadratic equation, but giving only one root, even when both roots were positive.<ref>David Eugene Smith (1958). "''[http://books.google.com/books?id=12qdOZ0gsWoC&pg=PA134&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false History of mathematics]''". Courier Dover Publications. p.134. ISBN 0-486-20429-4</ref>
 
In 628 AD, [[Brahmagupta]], an [[Indian mathematics|Indian mathematician]], gave the first explicit (although still not completely general) solution of the quadratic equation {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' {{=}} ''c''}} as follows:
:To the absolute number multiplied by four times the [coefficient of the] square, add the square of the [coefficient of the] middle term; the square root of the same, less the [coefficient of the] middle term, being divided by twice the [coefficient of the] square is the value. (''Brahmasphutasiddhanta'', Colebrook translation, 1817, page 346)<ref name=Stillwell2004/>{{rp|87}}
This is equivalent to:
:<math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}.</math>
The ''[[Bakhshali Manuscript]]'' written in India in the 7th century AD contained an algebraic formula for solving quadratic equations, as well as quadratic [[indeterminate (variable)|indeterminate]] equations (originally of type {{math|''ax''/''c'' {{=}} ''y''}}
 
[[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi]] ([[Persia]], 9th century), inspired by Brahmagupta, developed a set of formulas that worked for positive solutions. Al-Khwarizmi goes further in providing a full solution to the general quadratic equation, accepting one or two numerical answers for every quadratic equation, while providing geometric [[Mathematical proof|proofs]] in the process.<ref name=Katz2007>{{cite doi|10.1007/s10649-006-9023-7}}</ref> He also described the method of completing the square and recognized that the [[discriminant]] must be positive,<ref name=Katz2007/><ref name=Boyer1991/>{{rp|230}} which was proven by his contemporary [['Abd al-Hamīd ibn Turk]] (Central Asia, 9th century) who gave geometric figures to prove that if the discriminant is negative, a quadratic equation has no solution.<ref name=Boyer1991>{{cite book|last=Boyer|first=Carl B.; Uta C. Merzbach, rev. editor|title=A History of Mathematics|year=1991|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-54397-7}}</ref>{{rp|234}} While al-Khwarizmi himself did not accept negative solutions, later [[Mathematics in medieval Islam|Islamic mathematicians]] that succeeded him accepted negative solutions,<ref name=Katz2007/>{{rp|191}} as well as [[irrational number]]s as solutions.<ref>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Arabic_mathematics|title=Arabic mathematics: forgotten brilliance?|year=1999}} "Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., to all be treated as "algebraic objects"."</ref> [[Abū Kāmil Shujā ibn Aslam]] (Egypt, 10th century) in particular was the first to accept irrational numbers (often in the form of a [[square root]], [[cube root]] or [[Nth root|fourth root]]) as solutions to quadratic equations or as [[coefficient]]s in an equation.<ref>Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics|editor1-first=Helaine|editor1-last=Selin|editor1-link=Helaine Selin|editor2-first=Ubiratan|editor2-last=D'Ambrosio|editor2-link=Ubiratan D'Ambrosio|year=2000|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=1-4020-0260-2}}</ref>
 
The Indian mathematician [[Sridhara]], who flourished in the 9th and 10th centuries AC provided the modern solution of the quadratic equation.
 
The Jewish mathematician [[Abraham bar Hiyya|Abraham bar Hiyya Ha-Nasi]] (12th century, Spain) authored the first European book to include the full solution to the general quadratic equation.<ref name=Livio2006>{{cite book |last=Livio |first=Mario |title=The Equation that Couldn't Be Solved |year=2006 |publisher=Simon & Schuster |isbn=0743258215 |url=http://books.google.com/books?id=veQ9a3nixDUC&pg=PA62&lpg=PA62&dq=Abraham+bar+Hiyya+Ha-Nasi+quadratic&source=bl&ots=85JwJi8y4q&sig=UvI5MOdfntTgYwJgR_-5yEZuvEI&hl=en&ei=yGSjSe7eB4iQngf9p52kBQ&sa=X&oi=book_result&resnum=2&ct=result}}</ref> His solution was largely based on Al-Khwarizmi's work.<ref name=Katz2007/> The writing of the Chinese mathematician [[Yang Hui]] (1238–1298 AD) is the first known one in which quadratic equations with negative coefficients of 'x' appear, although he attributes this to the earlier [[Liu Yi (mathematician)|Liu Yi]].
 
By 1545 [[Gerolamo Cardano]] compiled the works related to the quadratic equations. The quadratic formula covering all cases was first obtained by [[Simon Stevin]] in 1594.<ref>{{Citation |title=The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics |volume=II-B |first1=D. J. |last1=Struik |first2=Simon |last2=Stevin |publisher=C. V. Swets & Zeitlinger |year=1958 |page=470 |url=http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf}}</ref> In 1637 [[René Descartes]] published ''[[La Géométrie]]'' containing the quadratic formula in the form we know today. The first appearance of the general solution in the modern mathematical literature appeared in an 1896 paper by Henry Heaton.<ref name="heaton-1896">Heaton, H. (1896) ''[http://www.jstor.org/stable/info/2971099 A Method of Solving Quadratic Equations]'', [[American Mathematical Monthly]] '''3'''(10), 236–237.</ref>
 
==Advanced topics==
 
===Alternative methods of root calculation===
 
====Vieta's formulas====
{{Main|Vieta's formulas}}
[[File:Excel quadratic error.PNG|thumb |350px|Figure 5. Graph of the difference between Vieta's approximation for the smaller of the two roots of the quadratic equation {{math|''x''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} compared with the value calculated using the quadratic formula. Vieta's approximation is inaccurate for small {{math|''b''}} but is accurate for large {{math|''b''}}. The direct evaluation using the quadratic formula is accurate for small {{math|''b''}} with roots of comparable value but experiences loss of significance errors for large {{math|''b''}} and widely spaced roots. The difference between Vieta's approximation ''versus'' the direct computation reaches a minimum at the large dots, and rounding causes squiggles in the curves beyond this minimum.|alt=Figure 5. Graph of the difference between Vieta's approximation for the smaller of the two roots of the quadratic equation x squared plus b x plus c equals zero compared with the value calculated using the quadratic formula. The difference is plotted as a function of b for two different values of c, c equals 4, and c equals 400,000. The graph is a log log graph, with the vertical axis, the difference, ranging from ten to the minus 13 at the bottom to ten to the minus 1 at the top. The horizontal axis, b, ranges from 10 at the left to ten to the eighth at the right. Vieta's approximation for the smaller root is not accurate for small b but is accurate for large b. The direct evaluation of the smaller root using the quadratic formula is accurate for small b with roots of comparable value, but experiences loss of significance errors for large b and widely spaced roots. When c equals 4, Vieta's approximation starts off poorly at the left, but gets better with larger b, the difference between Vieta's approximation and the quadratic formula reaching a minimum at approximately b equals ten to the fifth. Vieta's approximation and the quadratic formula then start diverging again because the quadratic formula experiences loss of significance error. When c equals four hundred thousand, the difference between Vieta's approximation and the quadratic formula reaches a minimum at approximately b equals ten to the seventh. The curves are both straight to the left of the minimum, indicating a simple monomial power relationship between the difference and b. Likewise, the curves are both approximately straight to the right of the minimum, indicating a power relationship, except that the straight lines have squiggles in them due to the loss of significance errors in the quadratic formula.]]
 
Vieta's formulas give a simple relation between the roots of a polynomial and its coefficients. In the case of the quadratic polynomial, they take the following form:
:<math> x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} </math>
and
:<math> x_1 \ x_2 = \frac{c}{a}.</math>
These results follow immediately from the relation:
:<math>\left( x - x_1 \right) \ \left( x-x_2 \right ) = x^2 \ - \left( x_1+x_2 \right)x +x_1 x_2 = 0,</math>
which can be compared term by term with
:<math> x^2 + (b/a)x +c/a = 0.</math>
The first formula above yields a convenient expression when graphing a quadratic function. Since the graph is symmetric with respect to a vertical line through the [[Quadratic function#Vertex|vertex]], when there are two real roots the vertex's {{math|''x''}}-coordinate is located at the average of the roots (or intercepts). Thus the {{math|''x''}}-coordinate of the vertex is given by the expression
:<math> x_V = \frac {x_1 + x_2} {2} = -\frac{b}{2a}.</math>
The {{math|''y''}}-coordinate can be obtained by substituting the above result into the given quadratic equation, giving
:<math> y_V = - \frac{b^2}{4a} + c = - \frac{ b^2 - 4ac} {4a}.</math>
 
As a practical matter, Vieta's formulas provide a useful method for finding the roots of a quadratic in the case where one root is much smaller than the other. If {{math|{{!}}&#8239;''x'' <sub>2</sub>{{!}} &lt;&lt; {{!}}&#8239;''x'' <sub>1</sub>{{!}}}}, then {{math|''x'' <sub>1</sub> + ''x'' <sub>2</sub> &asymp; ''x'' <sub>1</sub>}}, and we have the estimate:
:<math> x_1 \approx -\frac{b}{a} .</math>
The second Vieta's formula then provides:
:<math>x_2 = \frac{c}{a \ x_1} \approx -\frac{c}{b} .</math>
These formulas are much easier to evaluate than the quadratic formula under the condition of one large and one small root, because the quadratic formula evaluates the small root as the difference of two very nearly equal numbers (the case of large {{math|''b''}}), which causes [[round-off error]] in a numerical evaluation. Figure&nbsp;5 shows the difference between (i)&nbsp;a direct evaluation using the quadratic formula (accurate when the roots are near each other in value) and (ii)&nbsp;an evaluation based upon the above approximation of Vieta's formulas (accurate when the roots are widely spaced). As the linear coefficient {{math|''b''}} increases, initially the quadratic formula is accurate, and the approximate formula improves in accuracy, leading to a smaller difference between the methods as {{math|''b''}} increases. However, at some point the quadratic formula begins to lose accuracy because of round off error, while the approximate method continues to improve. Consequently the difference between the methods begins to increase as the quadratic formula becomes worse and worse.
 
This situation arises commonly in amplifier design, where widely separated roots are desired to ensure a stable operation (see [[step response]]).
 
====Trigonometric solution====
In the days before calculators, people would use [[mathematical table]]s&mdash;lists of numbers showing the results of calculation with varying arguments&mdash;to simplify and speed up computation. Tables of logarithms and trigonometric functions were common in math and science textbooks. Specialized tables were published for applications such as astronomy, celestial navigation and statistics. Methods of numerical approximation existed, called [[prosthaphaeresis]], that offered shortcuts around time-consuming operations such as multiplication and taking powers and roots.<ref name=Ballew2007>{{cite web|last=Ballew|first=Pat|title=Solving Quadratic Equations &mdash; By analytic and graphic methods; Including several methods you may never have seen|url=http://www.pballew.net/quadsol.pdf|accessdate=18 April 2013}}</ref> Astronomers, especially, were concerned with methods that could speed up the long series of computations involved in [[celestial mechanics]] calculations.
 
It is within this context that we may understand the development of means of solving quadratic equations by the aid of trigonometric substitution. Consider the following alternate form of the quadratic equation,
 
'''[1]'''&nbsp;&nbsp; <math>ax^2 + bx \pm c = 0 ,</math>
 
where the sign of the ± symbol is chosen so that {{math|''a''}} and {{math|''c''}} may both be positive. By substituting
 
'''[2]'''&nbsp;&nbsp; <math>x = \sqrt{c/a} \tan\theta </math>
 
and then multiplying through by {{math|cos<sup>2</sup>''&theta;''}}, we obtain
 
'''[3]'''&nbsp;&nbsp; <math>\sin^2\theta + \frac{b}{\sqrt {ac}} \sin\theta  \cos\theta \pm \cos^2\theta = 0 .</math>
 
Introducing functions of {{math|2''&theta;''}} and rearranging, we obtain
 
'''[4]'''&nbsp;&nbsp; <math> \tan 2 \theta_n = + 2 \frac{\sqrt{ac}}{b} ,</math>
 
'''[5]'''&nbsp;&nbsp; <math> \sin 2 \theta_p = - 2 \frac{\sqrt{ac}}{b} ,</math>
 
where the subscripts {{math|''n''}} and {{math|''p''}} correspond, respectively, to the use of a negative or positive sign in equation '''[1]'''. Substituting the two values of {{math|''&theta;''<sub>n</sub>}} or {{math|''&theta;''<sub>p</sub>}} found from equations '''[4]''' or '''[5]''' into '''[2]''' gives the required roots of '''[1]'''. Complex roots occur in the solution based on equation '''[5]''' if the absolute value of {{math|sin 2''&theta;''<sub>p</sub>}} exceeds unity. The amount of effort involved in solving quadratic equations using this mixed trigonometric and logarithmic table look-up strategy was two-thirds the effort using logarithmic tables alone.<ref name=Seares1945>{{cite journal|last=Seares|first=F. H.|title=Trigonometric Solution of the Quadratic Equation|journal=Publications of the Astronomical Society of the Pacific |year=1945 |volume=57 |issue=339 |page=307&ndash;309 |url=http://adsabs.harvard.edu/full/1945PASP...57..307S |accessdate=18 April 2013}}</ref> Calculating complex roots would require using a different trigonometric form.<ref name=Aude1938>{{cite journal |last=Aude |first=H. T. R. |title=The Solutions of the Quadratic Equation Obtained by the Aid of the Trigonometry |journal=National Mathematics Magazine |year=1938 |volume=13 |issue=3 |page=118&ndash;121 |url=http://www.jstor.org/stable/3028750 |accessdate=20 April 2013}}</ref>
 
:To illustrate, let us assume we had available seven-place logarithm and trigonometric tables, and wished to solve the following to six-significant-figure accuracy:
:::<math>4.16130x^2 + 9.15933x - 11.4207 = 0</math>
#A seven-place lookup table might have only 100,000 entries, and computing intermediate results to seven places would generally require interpolation between adjacent entries.
#<math>\log a = 0.6192290,  \log b = 0.9618637, \log c  = 1.0576927</math>
#<math>2 \sqrt{ac}/b = 2 \times 10^{(0.6192290 + 1.0576927)/2 - 0.9618637} = 1.505314 </math>
#<math>\theta = (\tan^{-1}1.505314) / 2 = 28.20169^{\circ} \text{ or } -61.79831^{\circ} </math>
#<math>\log \left\vert \tan \theta \right\vert = -0.2706462 \text{ or } 0.2706462</math>
#<math> \log\sqrt{c/a} = (1.0576927 - 0.6192290) / 2 = 0.2192318</math>
#<math>x_1 = 10^{0.2192318 - 0.2706462} = 0.888353</math> (rounded to six significant figures)
::<math>x_2 = -10^{0.2192318 + 0.2706462} = -3.08943</math>
 
====Geometric solution====
[[File:LillsQuadratic.svg|thumb|180px|Figure 6. Geometric solution of {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} using Lill's method. Solutions are −AX1/SA, −AX2/SA|alt=Figure 6. Geometric solution of eh x squared plus b x plus c = 0 using Lill's method. The geometric construction is as follows: Draw a trapezoid S Eh B C. Line S Eh of length eh is the vertical left side of the trapezoid. Line Eh B of length b is the horizontal bottom of the trapezoid. Line B C of length c is the vertical right side of the trapezoid. Line C S completes the trapezoid. From the midpoint of line C S, draw a circle passing through points C and S. Depending on the relative lengths of eh, b, and c, the circle may or may not intersect line Eh B. If it does, then the equation has a solution. If we call the intersection points X 1 and X 2, then the two solutions are given by negative Eh X 1 divided by S Eh, and negative Eh X 2 divided by S Eh.]]
 
The quadratic equation may be solved geometrically in a number of ways. One way is via [[Lill's method]]. The three coefficients {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} are drawn with right angles between them as in SA, AB, and BC in Figure&nbsp;6. A circle is drawn with the start and end point SC as a diameter. If this cuts the middle line AB of the three then the equation has a solution, and the solutions are given by negative of the distance along this line from A divided by the first coefficient {{math|''a''}} or SA. If {{math|''a''}} is {{math|1}} the coefficients may be read off directly. Thus the solutions in the diagram are &minus;AX1/SA and &minus;AX2/SA.<ref>{{Citation |title=Graphical Method for finding readily the Real Roots of Numerical Equations of Any Degree |first=William Herbert |last=Bixby |year=1879 |publisher=West Point N. Y.}}</ref>
 
===Generalization of quadratic equation===
The formula and its derivation remain correct if the coefficients {{math|''a''}}, {{math|''b''}} and {{math|''c''}} are [[complex number]]s, or more generally members of any [[field (mathematics)|field]] whose [[characteristic (algebra)|characteristic]] is not {{math|2}}. (In a field of characteristic 2, the element {{math|2''a''}} is zero and it is impossible to divide by it.)
 
The symbol
:<math>\pm \sqrt {b^2-4ac}</math>
in the formula should be understood as "either of the two elements whose square is {{math|''b''<sup>2</sup> &minus; 4''ac''}}, if such elements exist". In some fields, some elements have no square roots and some have two; only zero has just one square root, except in fields of characteristic {{math|2}}. Note that even if a field does not contain a square root of some number, there is always a quadratic [[extension field]] which does, so the quadratic formula will always make sense as a formula in that extension field.
 
====Characteristic 2====
In a field of characteristic {{math|2}}, the quadratic formula, which relies on {{math|2}} being a [[unit (ring theory)|unit]], does not hold. Consider the [[monic polynomial|monic]] quadratic polynomial
:<math>x^{2} + bx + c</math>
over a field of characteristic {{math|2}}. If {{math|''b'' {{=}} 0}}, then the solution reduces to extracting a square root, so the solution is
:<math>x = \sqrt{c}</math>
and note that there is only one root since
:<math>-\sqrt{c} = -\sqrt{c} + 2\sqrt{c} = \sqrt{c}.</math>
In summary,
:<math>\displaystyle x^{2} + c = (x + \sqrt{c})^{2}.</math>
See [[quadratic residue]] for more information about extracting square roots in finite fields.
 
In the case that {{math|''b'' &ne; 0}}, there are two distinct roots, but if the polynomial is [[irreducible polynomial|irreducible]], they cannot be expressed in terms of square roots of numbers in the coefficient field. Instead, define the '''2-root''' {{math|''R''(''c'')}} of {{math|''c''}} to be a root of the polynomial {{math|''x''<sup>2</sup> + ''x'' + ''c''}}, an element of the [[splitting field]] of that polynomial. One verifies that {{math|''R''(''c'') + 1}} is also a root. In terms of the 2-root operation, the two roots of the (non-monic) quadratic {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} are
:<math>\frac{b}{a}R\left(\frac{ac}{b^2}\right)</math>
and
:<math>\frac{b}{a}\left(R\left(\frac{ac}{b^2}\right)+1\right).</math>
 
For example, let {{math|''a''}} denote a multiplicative generator of the group of units of {{math|''F''<sub>4</sub>}}, the [[Galois field]] of order four (thus {{math|''a''}} and {{math|''a'' + 1}} are roots of {{math|''x''<sup>2</sup> + ''x'' + 1}} over {{math|''F''<sub>4</sub>}}. Because {{math|(''a'' + 1)<sup>2</sup> {{=}} ''a''}}, {{math|''a'' + 1}} is the unique solution of the quadratic equation {{math|''x''<sup>2</sup> + ''a'' {{=}} 0}}. On the other hand, the polynomial {{math|''x''<sup>2</sup> + ''ax'' + 1}} is irreducible over {{math|''F''<sub>4</sub>}}, but it splits over {{math|''F''<sub>16</sub>}}, where it has the two roots {{math|''ab''}} and {{math|''ab'' + ''a''}}, where {{math|''b''}} is a root of {{math|''x''<sup>2</sup> + ''x'' + ''a''}} in {{math|''F''<sub>16</sub>}}.
 
This is a special case of [[Artin–Schreier theory]].
 
==See also==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2">
* [[Chakravala method]]
*[[Completing the square]]
* [[Cubic function]]
* [[Fundamental theorem of algebra]]
* [[Linear equation]]
* [[Parabola]]
* [[Periodic points of complex quadratic mappings]]
* [[Quadratic function]]
* [[Quadratic polynomial]]
* [[Quartic function]]
* [[Quintic function]]
* [[Solving quadratic equations with continued fractions]]
</div>
 
==References==
{{reflist|2}}
 
==External links==
* {{springer|title=Quadratic equation|id=p/q076050}}
* {{MathWorld|title=Quadratic equations|urlname=QuadraticEquation}}
* [http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index-gifd.html 101 uses of a quadratic equation]
* [http://plus.maths.org/issue30/features/quadratic/index-gifd.html 101 uses of a quadratic equation: Part II]
* [http://www.gandraxa.com/using_the_quadratic_formula.xml?Var1=3;Var2=1/4;Var3=4 Step-by-step instructions on using the quadratic formula for any input]
{{Polynomials}}
 
{{DEFAULTSORT:Quadratic Equation}}
[[Category:Elementary algebra]]
[[Category:Equations]]

Revision as of 16:15, 1 March 2014

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