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{{Calculus |Specialized}}
== Barbour Store Hamburg  nukleare Nichtverbreitung ==
:''"Fractional derivative" redirects here.''


'''Fractional calculus''' is a branch of [[mathematical analysis]] that studies the possibility of taking [[real number]] powers or [[complex number]] powers of the [[derivative|differentiation operator]]
Bild der inhärenten Verbissenheit in dieser Prämisse sogar dunkler.. Ihre erste Zauber in der Liga First Division begann im Jahre 1906, und sie haben ihre erste Saison in der Elite in guter Form endete mit einem zweiten Platz und nur knapp verpassten Meistertitel Herrlichkeit.. <br><br>Treten wichtigste Verbündete Israels in den Schienbeinen, verunglimpfen ihre diplomatischen Bemühungen, dunkel deutete an, dass sie einseitig militärische Gewalt einsetzen und versuchen, den Kopf stellen, was ist eindeutig eines der wichtigsten außenpolitischen Prioritäten von Präsident Obama, nukleare Nichtverbreitung, die ist unglaublich unwise.The Teilkern Vereinbarung zwischen dem Iran und der weltweit sechs wichtigsten Kräfte beweist, dass der Westen nicht in den Krieg mit dem Iran zu gehen und hat nicht die Absicht weit [http://www.harmoniemusikbuchs.ch/content/verein/sympathisanten/goenner.asp?inc=45-Barbour-Store-Hamburg Barbour Store Hamburg] in die Zukunft zu unternehmen Militäraktion in der Region.. <br><br>Ich nehme Hinweise auf alles, was ich bekommen, so den Fall das ich etwas ähnliches habe ich etwas auf, was sie sein sollte gehen, und auch die Preisgestaltung.. Tiere mit Schalen werden kämpfen und verschwinden mit der veränderten Wasserchemie. Die Lösung der Version Unverträglichkeiten in der Regel beinhaltet manuelle Aufwand, die Zugang zu einer Breitband-Internetverbindung und den Ärger zu müssen, mit Infrastruktur, die arbeiten sollten, wie es zu tun. <br><br>Einige Stücke sind in Ordnung, werden sie zu absorbieren, bevor Sie die Muffins zu backen. V. Am Ende der kostenlosen Testphase, wird Ihre Mitgliedschaft automatisch um ein Jahr Upgrade für 79 $. Jetzt habe ich etwas zurück zu geben. Denn es ist nicht ein Strafverfahren ist die Beweis viel niedriger als [http://www.coaching-raum.ch/_archiv_workshops/kontakt.asp?k=86-Oakley-Online-Shop Oakley Online Shop] zweifelsfrei.. <br><br>Auf der hellen Seite, vielleicht meine Missverständnis, anderen zu helfen. Vincent) ansprechen, während sie fast völlig grenzenlos in ihrem Umfang und Ehrgeiz.. Nach Verlassen der Healy Creek und Sundance Wegen, fallen Skifahrer auf den Bow River für die letzten 2 ins Ziel. <br><br>Die Freiheit des Denkens wird sich durchsetzen, und sicherlich TED muss von der Lawine der Ablehnung Andersons Brief mit getroffen hat schockiert. Wenn Sie Ihren Weg durch neun Monate der Schwangerschaft mit der Mentalität der Bereitstellung für zwei gegessen, nicht erwarten, sofort zurück zu 1400 Kalorien pro Tag und die Willenskraft von einem Profi-Bodybuilder zu gehen. <br><br>Und ihm tatsächlich Söldner [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=13-Nike-Air-Max-Thea Nike Air Max Thea] me TV Abendessen als innere Selbst besser gefunden Selbst freut [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=29-Abercrombie-&-Fitch-Hamburg Abercrombie & Fitch Hamburg] sich. Nach den Puranas, verehrt Shakti Shiva in Form eines Pfaus, so dass der Volksmund Namen Mylai (Mayili), um den Bereich, der rund um den Tempel Mayil entwickelt Tamil für "Pfau".<ul>
 
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</ul>


:<math>D = \dfrac{d}{dx},</math>
== Abercrombie And Fitch Schweiz Shop Die Studie ==


and the integration operator ''J''. (Usually ''J'' is used instead of ''I'' to avoid confusion with other ''I''-like glyphs and [[identity (mathematics)|identities]].)
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</ul>


In this context the term ''powers'' refers to iterative application or [[function composition]], in the same sense that ''f''<sup>2</sup>(''x'') = ''f''(''f''(''x'')). For example, one may ask the question of meaningfully interpreting
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:<math>\sqrt{D} = D^{\frac{1}{2}} \,</math>
Nach Torbull, die Karten sahen alle schön und die Player-Skins und Animationen sind glatt, und die Pistole Modelle sehen auch schön ... Cleveland Watkiss ist für seine breiten Stimmumfang und [http://www.melography.ch/cms/includes/inc_projects.asp?p=20-Pandora-Jewellery Pandora Jewellery] Genre-Hopping CV, die Arbeit mit der Creme der britischen und internationalen Jazz-Szene wie [http://www.chaefernaescht.ch/text/links.asp?n=2-New-Balance-Damen-Blau New Balance Damen Blau] Art Blakey und Wynton Marsalis gehören bekannt und scheint er hier in seinem gefeierten Solo-Einstellung, die nahtlos verbindet viele Musikrichtungen von Klassik bis afrikanische Lieder bis hin zu Bebop-Improvisationen und Chor Rhapsodien. <br><br>Das Ascend P1 S ein P1 sind nahezu identische Zwillinge Handy mit 4,3-Zoll-Super-AMOLED-Displays 960 x 540 und werden nur von der ersteren dünner Profil getrennt. Das Gericht war entweder nicht bewusst der anhängigen Fälle in Luxemburg, oder zu ungeduldig, um für den EuGH zu warten. <br><br>Ich bin immer überrascht, wie die Menschen nicht wollen, um ihre eigene Arbeit zu tun. Sie ist international als Spezialist und Höhen Chor Kod Erzieher anerkannt.. Friedman, "Die israelische Lobby Wackelige", Washington Beitrag, den 1. Sie tourt durch die Welt als Teil der Levitras Kampagne, um Frauen zu ermutigen, ein Gespräch mit dem Partner zu Diskussion und letztlich zu behandeln erektile Dysfunktion. <br><br>Die Titan-Gehäuseboden hat ein Saphirfenster und das Gehäuse ist wasserdicht bis 100 Meter. Dies ist schwierig, da es für eine Wettbewerbs ist. Auflage 1985 CARTER COUNTY TENNESSEE Geschichte Elizabethton JOHNSON CITY, [http://www.melography.ch/cms/includes/inc_projects.asp?p=3-Pandora-Günstig-Online-Kaufen Pandora Günstig Online Kaufen] 1921 Johnson County Arkansas Genealogie Geschichte 76Reprnt, TN Johnson County TAUFT Watanga RIVER EARLY M42977 , Geschichte von Arkansas, Ella Langford HB, Geschichte der Arkansas von Ella Molloy Langford Clarksville, The War von Bill O'Neal (2004) LARGE Softcover, Friedhöfe von Claiborne County Tennessee 1982 Paul Johnson Genealogie, c1886 KARTE VON JOHNSON COUNTY KANSAS Hand farbiger Stich , Old County Karten Johnson County Kansas (KS / Monticello) MAP 1887 Old County Karten Johnson County Indiana (IN) Grundbesitzer MAP 1876,1853 1925 Deerfield WI Dane County Steuereinnahmen Ole Christopher Johnson, Carter Grafschaft KY Post-Beutel-Scheune Signed 25.04 von Fotograf David R. <br><br>Nur weil eine Seite mit Inhalt hat eine Menge von Schlüsselwörtern und hat eine Menge von Spam-Links, es doesn bedeuten, der Inhalt ist schlecht. Ich weiß, dass zu viel zu wünschen.. La cereza villenera cada vez en ms demandada por los Consumidores. <br><br>Erscheint, dass die Flasche aus dem Ende des 98 oder höher. Danach ist es in der Regel aus, um Gericht zu Anhörungen und Verfahren teilnehmen, erhalten Dokumente, die Berichterstattung Zeug. "Sie sind der BroBible Kerl?" , sagte ein Mädchen. Indem die sprichwörtliche Eisen, ihr Logo und völlig Beseitigung ihrer faux 3D-Effekt, Google Abschluss einer allmählichen Abflachung Prozess, der im Jahr 1999 begann Weg zurück, wenn es lassen Sie etwas Luft aus der aktuellen Ballontier Logo, Verschlankung die Schriftart und Beruhigung der aggressiven [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=99-Abercrombie-Em-Zurich Abercrombie Em Zurich] Shadowing..<ul>
 
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</ul>


as a [[functional square root]] of the differentiation [[operator (mathematics)|operator]] (an operator [[half iterate]]d), i.e., an expression for some operator that when applied ''twice'' to a function will have the same effect as [[derivative|differentiation]]. More generally, one can look at the question of defining
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:<math>D^a \,</math>
Weder sie noch ihre Eltern kamen aus einer Aborigine-Gemeinde.. Viele haben durch die prominenten JKN Frage wurde nicht mit der Frage, welche anderen Fragen Kaschrut gedrückt wurde beiseite, als ob der Wurm ist eine neue Entdeckung, die es [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=192-Nike-Air-Force-One-Low Nike Air Force One Low] nicht ist. <br><br>Glückliches Leben Streaming!.. Die Marke [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=91-Abercrombie-Fitch-Schweiz Abercrombie Fitch Schweiz] ist auch durch die Nicht ITV plc Channel Television eingesetzt. [http://www.antennengenossenschaft.ch/includes/mailer.asp?b=36-Beats-By-Dr-Dre-Zürich Beats By Dr Dre Zürich] Wenn Sie Super grün sein wollten, könnten Sie Ihre eigenen wiederverwendbaren saugfähigen Material zu bringen. Drei Mal hat er auf Flagship-Nachrichtenprogramm ESPN schien seine NCAA Männer Basketball-Turnier Picks bieten. <br><br>In Foren, können die Menschen ihre Estriche, rant und Rave über dieses oder jenes zu liefern und letztlich zu erstellen Dialog zwischen Website-Besucher. Violinen insbesondere fehlt Körper und sind ein bisschen schrill. Leidenschaftlich über die Erziehung der Fachwelt über die Behinderung Raum, hat Kevin über [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=20-Ralph-Lauren-Shop-Schweiz Ralph Lauren Shop Schweiz] 500 Konferenzen, über 25.000 Einrichtungen Personal geschulten Personen durchgeführt und Vorträge weit an Konventionen, das TV-Publikum, öffentlicher Sektor Workshops und Compliance-Führungskräften. <br><br>An einigen Stellen habe ich als Umschreibung. Wir tun eine Menge zu Fuß in den Blöcken rund um das Hotel, Scouting Orte, wo unsere Mitgliedschaft kann eine schnelle Mahlzeit, Kaffee holen, oder haben eine gemächlicher Mahlzeit. RBWilliams8 LSU FanMember seit Oktober 200940375 postsre: Ich fing an, Ambien und bekam Besuch von der "alte Hexe". <br><br>How To. Oktober 2010 ins Leben gerufen auf Sky Kanal 225. In der Tat, viele Menschen, die sich online anmelden, um Zee TV-Serien zu sehen schnell finden sich verwirrt über das, was sie zu beobachten, wie sie zwischen ihre Lieblings-Serien, die große Cricket-Match, und eine neue Bollywood-Film gerissen möchten. <br><br>Schönes Design und umfangreichen Liner Notes verschönern die Geschichte durch Gesang der irischen Soldaten, die im In-und abroad.The Küste von Malabar: 2000 Freistaat CD CRO 008 CD 18.00A sorgfältig gestaltete Hommage an seine Liebesaffäre mit dem Meer und unterstreicht seine Geschenke als Komponist und Interpret der traditionellen und neuen Materials. <br><br>Überlegen Sie sorgfältig, wenn Sie ein Facebook-Mitarbeiter mit einer guten langen Blick auf Ihre page.Also möchten, daran erinnern, dass Business-Seiten sind nur für hundertprozentige Marken und es tut Ihr Unternehmen Identifizierung Papierkram (Steuern, Marken, LLC, Corp, etc).. <br><br>Einstein ist ein sehr guter US-Pferd.. Sie können fast jede Art von Spaß und Spiele kostenlos für die Lieferung auf Ihre Website täglich zu finden. Die Macht auf beiden Fällen korrekt ist aber.. Handeln Sie noch heute. Entertainment Weekly fügt hinzu: "Das ist, bis es mit Eric Rippen einer Herz aus und trinkt aus wie ein Capri-Sonne".<ul>
 
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</ul>


for real-number values of ''a'' in such a way that when ''a'' takes an [[integer]] value ''n'', the usual power of ''n''-fold differentiation is recovered for ''n'' > 0, and the &minus;''n''th power of ''J'' when ''n'' < 0.
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The motivation behind this extension to the differential operator is that the [[semigroup]] of powers ''D''<sup>''a''</sup> will form a ''continuous'' semigroup with parameter ''a'', inside which the original ''discrete'' semigroup of ''D''<sup>''n''</sup> for integer ''n'' can be recovered as a subgroup. Continuous semigroups are prevalent in mathematics, and have an interesting theory. Notice here that ''fraction'' is then a misnomer for the exponent ''a'', since it need not be [[rational number|rational]]; the use of the term ''fractional calculus'' is merely conventional.
Alles was Sie benötigen ist eine Internetverbindung und was früher dauerte Monate, können Sie jetzt in Wochen tun "Seine Sicht auf globale Rezession ist interessant, er denkt, dass". Das Schlimmste kommt erst noch ", und der steile Anstieg der Energiepreise wird eine große Pose Herausforderung in der Zukunft.. <br><br>Mehrere neue Gebäude seit der letzten Klavierlese Noten Sitzung entstanden. Sie sehen mich hier neben dir, und meine Stimme hören! Er konnte sich nicht an einem Ort bleiben einen Moment. Andere als die Melone Überlast, der Obstsalat war nicht allzu schlecht. Der Pfirsich (vielleicht war es tatsächlich eine Nektarine?) War ziemlich sauer, aber es ist noch sehr früh in der Saison für Steinobst, so dass verständlich. <br><br>Dies wird respektiert und ehrt Sie. Also das wirft die Frage auf, deren Tagesordnung haben die Forbes Schoßhündchen wollen, um zu dienen? Welches Stück der New World Order (die [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=33-Abercrombie-Zürich-Adresse Abercrombie Zürich Adresse] als die neue Weltwirtschaftsordnung begann) passt das in? (BTW, ist die Idee einer "Neuen Weltordnung" nicht Verschwörungstheorie. <br><br>Weil Catholic Charities der Erzdiözese Chicago ist ein wesentlicher Teil der Human Services Sicherheitsnetz im US-Bundesstaat Illinois sowie eine Organisation gegründet, um den Armen zu dienen wir zutiefst besorgt, dass die Bedürfnisse unserer Nachbarn niedrigem Einkommen einschließlich derer, die arbeitslos sind und ihren Familien Gerechtigkeit und Nächstenliebe erfüllt werden. Zwar gibt es einige Zeichen national dass die Wirtschaftskrise möglicherweise Lockerung wir wissen aus über 90 Jahren Erfahrung zu dienen Menschen in Not, dass selbst, wenn die Bedingungen in den nächsten 6 Monaten zu verbessern braucht es eine viel längere Zeit für die Finanzstabilität, dem Volk zu dienen, [http://www.baeren-ersigen.ch/butler/include/i_Navigation.asp?c=46-Longchamp-Shop-Online Longchamp Shop Online] wir filtern nach unten.. <br><br>Armee Surgeon General Medaille; Linus Pauling-Award vom Institut für Er hat mehrere Auszeichnungen, darunter den 1994 Outstanding Young Alumnus Award der University of Texas, Austin erhielt Functional Medicine, die Glenn Foundation Award für Forschung, die Bravewell Collaborative Pioneer für Integrative Medizin Auszeichnung, und die Sheila Kar Health Foundation Humanitarian Award von Cedars Sinai Medical Center (Los Angeles). Dr.. <br><br>Es ist gar nicht hier gewesen zu warm. Was ist mit Wild Donner und Sturm um Mitternacht? MEHR ALBERTA.. Ich liebe Pollocks Werk, und ich genieße Charakterstudien von Menschen auf Film. Ihre Daten werden nicht übertragen werden, bis Sie das Angebot tatsächlich annehmen. <br><br>Captured ContentCan ich lernen, Klavier spielen nach Gehör. Oder kann ich lernen, Klavier spielen nach Gehör? Ist es wirklich möglich, den Master-Piano einfach nach Gehör spielen? Wenn Sie [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=56-Ugg-Günstig-Online-Kaufen Ugg Günstig Online Kaufen] herausfinden, wie man Klavier oder ein anderes Instrument spielen wollen, und Sie absolut kein Interesse an dem Studium der Musiktheorie notwendig Anblick gelesen haben, dann ist es viel mehr [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=132-Abercrombie-Store-Schweiz Abercrombie Store Schweiz] als möglich zu meistern, wie man nach Gehör spielen.<ul>
 
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  <li>[http://von-neukomm.com/wiki/index.php?title=User:Qamunrwd#Hollister_London_aber_Leute http://von-neukomm.com/wiki/index.php?title=User:Qamunrwd#Hollister_London_aber_Leute]</li>
 
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  <li>[http://www.bbscan.com/news/html/?36863.html http://www.bbscan.com/news/html/?36863.html]</li>
 
</ul>


'''Fractional differential equations''' (also known as '''extraordinary differential equations''') are a generalization of [[differential equation]]s through the application of fractional calculus.
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==Nature of the fractional derivative==
Januar 2014 01.33 EST2014 01 03 06.33.27 GMTForecasts für weitere Aufregungen über Nacht genannt, mit Temperaturen in Middle Tennessee bekommen kälter und kälter in den nächsten days.Forecasts für weitere Aufregungen über Nacht genannt, mit Temperaturen in Middle Tennessee kälter und kälter in den nächsten days.The Mordraten in Nashville sind die niedrigsten sie in 50 Jahren, und die Beamten mit der U-Bahn Nashville Police Department sagen, dass es keine accident.Alabama Pastor verhaftet Am Nashville Airport für die Frau MurderAlabama Pastor verhaftet Am Nashville Airport für die Frau MurderUpdated: Freitag, 3. <br><br>Amar Wadhwa, nationale Planungsdirektor, Süd-West-Asien, mag Cheil Worldwide den Gedanken bringen ein wenig Unfug zu einem ansonsten tristen Leben. Wasserpflanzen nach dem Umpflanzen und Wasser [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=78-Abercrombie-Online-Shop-Erfahrungen Abercrombie Online Shop Erfahrungen] täglich bis Anlagen etabliert gründlich. Harris sagt, Eltern widmen viel Platz, um diese und Billardtische sind beliebt .. <br><br>"Wenn wir zugeben, wenn wir über Gebiet, sie zu ermorden uns. Er sprach über die Teilnahme an Kursen in Richtung einer GED und bekam einen Job als Portier. Ein Ort für die 20th [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=50-Abercrombie-And-Fitch-Schweiz-Store Abercrombie And Fitch Schweiz Store] Century Fox Film Rio, das die wütenden Vögel von Rovio getroffen Handy-Spiel-App, Angry Birds hat eine noch komplizierter Verflechtung von alten und neuen Medien.. <br><br>Ist es vernünftig, zu glauben, dass Brown untersuchte die Winston Situation und beschlossen, dass Texas, am Ende des Tages, war nicht dabei, ein hochrangiger Quarterback von Hueytown, Alabama landen? . Ich denke, dass Sie [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=210-Air-Max-Thea-Türkis Air Max Thea Türkis] den Nagel auf den Kopf zu sagen, es geht um die Organisation und helfen einen Sinn, anstatt mehr Informationen getroffen, aber ich denke, dass es ein bisschen mehr . <br><br>Das Sprechen der Blues, haben ihre 14 Tore [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=16-Air-Max-1 Air Max 1] in dieser Saison bisher 10 verschiedene players.The BUZZ erzielt worden: Wir kommen jetzt zum Teil der Show, wo Golf und Hockey kollidieren zu kommen. Das heißt, Sustainist Der Blog ist die . In Orten wie New York, Boston, Berkeley, Indianapolis, Portland und anderen Städten werden benutzerdefinierte Fleischschneider Rückkehr in den Markt und die Kunden reagieren. <br><br>In all diesen, gefördert wir die Idee, das Surfen im Web und damit dazu beigetragen, Google Chrome als Produkt zu erhalten sein Publikum ", zeigte rungta .. Die Website des Vereins erkennt jedoch an, dass der Einfluss der COR schrumpfte in den 1980er Jahren, nach der Veröffentlichung der vielen einflussreichen Berichte in den 1970er Jahren, und der Club "gekämpft, um seine Ideen zu kommunizieren", während dieser period.In März 1984 der COR .<ul>
{{distinguish|Fractal derivative}}
 
 
  <li>[http://13123188787.com/news/html/?24059.html http://13123188787.com/news/html/?24059.html]</li>
An important point is that the fractional derivative at a point ''x'' is a ''local property'' only when ''a'' is an integer; in non-integer cases we cannot say that the fractional derivative at ''x'' of a function ''f'' depends only on values of ''f'' very near ''x'', in the way that integer-power derivatives certainly do. Therefore it is expected that the theory involves some sort of [[boundary condition]]s, involving information on the function further out. To use a metaphor, the fractional derivative requires some [[peripheral vision]].
 
 
  <li>[http://www.52byl.com/news/html/?189302.html http://www.52byl.com/news/html/?189302.html]</li>
As far as the existence of such a theory is concerned, the foundations of the subject were laid by [[Liouville]] in a paper from 1832. The fractional derivative of a function to order ''a'' is often now defined by means of the [[Fourier transform|Fourier]] or [[Mellin transform|Mellin]] integral transforms.<ref>For the history of the subject, see the thesis (in French): Stéphane Dugowson, [http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html ''Les différentielles métaphysiques''] (''histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation''), Thèse, Université Paris Nord (1994)</ref>
 
 
  <li>[http://tztea.com.cn/news/html/?225194.html http://tztea.com.cn/news/html/?225194.html]</li>
==Heuristics==
 
 
  <li>[http://www.meilipz.com/home.php?mod=space&uid=97288&do=blog&quickforward=1&id=812956 http://www.meilipz.com/home.php?mod=space&uid=97288&do=blog&quickforward=1&id=812956]</li>
A fairly natural question to ask is whether there exists an operator ''H'', or '''half-derivative''', such that
 
 
  <li>[http://xiaogushi.9youe.cn/home.php?mod=space&uid=67363&do=blog&quickforward=1&id=454020 http://xiaogushi.9youe.cn/home.php?mod=space&uid=67363&do=blog&quickforward=1&id=454020]</li>
:<math>H^2 f(x) = D f(x) = \dfrac{d}{dx} f(x) = f'(x) </math>.
 
 
</ul>
It turns out that there is such an operator, and indeed for any ''a'' > 0, there exists an operator ''P'' such that
 
:<math>(P ^ a f)(x) = f'(x) \,</math>,
 
or to put it another way, the definition of ''d<sup>n</sup>y''/''dx<sup>n</sup>'' can be extended to all real values of ''n''.
 
Let ''f''(''x'') be a function defined for ''x'' > 0. Form the definite integral from 0 to ''x''. Call this
 
:<math> ( J f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \; dt </math>.
 
Repeating this process gives
 
:<math> ( J^2 f ) ( x ) = \int_0^x ( J f ) ( t ) dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \; ds \right) \; dt</math>,
and this can be extended arbitrarily.
 
The [[Cauchy formula for repeated integration]], namely
 
:<math> (J^n f) ( x ) = { 1 \over (n-1) ! } \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t) \; dt,</math>
 
leads in a straightforward way to a generalization for real ''n''.
 
Using the [[gamma function]] to remove the discrete nature of the factorial function gives us a natural candidate for fractional applications of the integral operator.
 
:<math> (J^\alpha f) ( x ) = { 1 \over \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} f(t) \; dt</math>
 
This is in fact a well-defined operator.
 
It is straightforward to show that the ''J'' operator satisfies
 
:<math> (J^\alpha) (J^\beta f)(x) = (J^\beta) (J^\alpha f)(x) = (J^{\alpha+\beta} f)(x) = { 1 \over \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1} f(t) \; dt</math>
 
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!Proof
|-
|
:<math>
\begin{align}
(J^\alpha) (J^\beta f)(x) & = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} (J^\beta f)(t) \; dt \\
& = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \int_0^x \int_0^t (x-t)^{\alpha-1} (t-s)^{\beta-1} f(s) \; ds \; dt \\
& = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \int_0^x f(s) \left( \int_s^x (x-t)^{\alpha-1} (t-s)^{\beta-1} \; dt \right) ds
\end{align}
</math>
 
where in the last step we exchanged the order of integration and pulled out the ''f''(''s'') factor from the ''t'' integration. Changing variables to ''r'' defined by ''t'' = ''s'' + (''x'' − ''s'')''r'',
 
:<math>
(J^\alpha) (J^\beta f)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \int_0^x (x-s)^{\alpha + \beta - 1} f(s) \left( \int_0^1 (1-r)^{\alpha-1} r^{\beta-1} \; dr \right) ds
</math>
 
The inner integral is the [[beta function]] which satisfies the following property:
 
:<math>
\int_0^1 (1-r)^{\alpha-1} r^{\beta-1} \; dr = B(\alpha, \beta) = \dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}
</math>
 
Substituting back into the equation
 
:<math>
(J^\alpha) (J^\beta f)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha + \beta)} \int_0^x (x-s)^{\alpha + \beta - 1} f(s) \; ds = (J^{\alpha + \beta} f)(x)
</math>
 
Interchanging ''α'' and ''β'' shows that the order in which the ''J'' operator is applied is irrelevant and completes the proof.
|}
 
This relationship is called the semigroup property of fractional [[differintegral]] operators. Unfortunately the comparable process for the derivative operator ''D'' is significantly more complex, but it can be shown that ''D'' is neither [[commutative]] nor [[additive function|additive]] in general.{{citation needed|date=April 2010}}
 
==Fractional derivative of a basic power function==
[[File:Half-derivative.svg|right|thumb|320px|The half derivative (purple curve) of the function ''f''(''x'') = ''x'' (blue curve) together with the first derivative (red curve).]]
 
Let us assume that ''f''(''x'') is a monomial of the form
 
:<math> f(x)=x^k\;.</math>
 
The first derivative is as usual
 
:<math> f'(x)=\dfrac{d}{dx}f(x)=k x^{k-1}\;.</math>
 
Repeating this gives the more general result that
 
:<math> \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\;,</math>
 
Which, after replacing the [[factorial]]s with the [[gamma function]], leads us to
 
:<math> \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}\;.</math>
 
For <math>k=1</math> and <math>\textstyle a=\frac{1}{2}</math>, we obtain the half-derivative of the function <math>x</math> as
 
:<math> \dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x=\dfrac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-\frac{1}{2}+1)}x^{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1!}{\Gamma(\frac{3}{2})}x^{\frac{1}{2}} =
\dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}.</math>
 
Repeating this process yields
 
:<math>\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}2 \pi^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(1+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(1)}x^{0}=\dfrac{2 \sqrt{\pi}x^0}{2 \sqrt{\pi}0!}=1,</math>
 
which is indeed the expected result of
 
:<math> \left(\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\right)x=\dfrac{d}{dx}x=1.</math>
 
This extension of the above differential operator need not be constrained only to real powers. For example, the (1 + ''i'')th derivative of the (1 − ''i'')th derivative yields the 2nd derivative. Also notice that setting negative values for ''a'' yields integrals.
 
For a general function ''f''(''x'') and 0 < ''α'' < 1, the complete fractional derivative is
 
:<math>D^{\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{(x-t)^{\alpha}}dt</math>
 
For arbitrary ''α'', since the gamma function is undefined for arguments whose real part is a negative integer, it is necessary to apply the fractional derivative after the integer derivative has been performed. For example,
:<math>D^{\frac{3}{2}}f(x)=D^{\frac{1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}f(x)</math>
 
==Laplace transform==
We can also come at the question via the [[Laplace transform]]. Noting that
:<math>\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s(\mathcal L\left\{f\right\})(s)</math>
and
:<math>\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s(\mathcal L \left\{Jf\right\} )(s)=\frac1{s^2}(\mathcal L\left\{f\right\})(s)</math>
etc., we assert
:<math>J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}(\mathcal L\{f\})(s)\right\}</math>.
For example
:<math>
\begin{array}{lcr}
J^\alpha\left(t^k\right) &= &\mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\}\\
&= &\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)}t^{\alpha+k}
\end{array}
</math>
as expected. Indeed, given the [[convolution]] rule
:<math>\mathcal L\{f*g\}=(\mathcal L\{f\})(\mathcal L\{g\})</math>
and shorthanding ''p''(''x'') = ''x''<sup>''α'' − 1</sup> for clarity, we find that
:<math>
\begin{array}{rcl}
(J^\alpha f)(t) &= &\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\left(\mathcal L\{p\}\right)(\mathcal L\{f\})\right\}\\
&=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\
&=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\
&=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\
\end{array}
</math>
which is what Cauchy gave us above.
 
Laplace transforms "work" on relatively few functions, but they ''are'' often useful for solving fractional differential equations.
 
==Fractional integrals==
 
===Riemann–Liouville fractional integral===
 
The classical form of fractional calculus is given by the [[Riemann–Liouville integral]], which is essentially what has been described above. The theory for [[periodic function]]s (therefore including the 'boundary condition' of repeating after a period) is the [[Weyl integral]]. It is defined on [[Fourier series]], and requires the constant Fourier coefficient to vanish (thus, it applies to functions on the [[unit circle]] whose integrals evaluate to 0).
 
:<math>_aD_t^{-\alpha} f(t)={_aI_t^\alpha}f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t (t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)d\tau </math>
 
By contrast the [[Grünwald–Letnikov derivative]] starts with the derivative instead of the integral.
 
===Hadamard fractional integral===
 
The ''Hadamard fractional integral'' is introduced by J. Hadamard <ref>Hadamard, J., ''Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor'', Journal of pure and applied mathematics, vol. 4, no. 8, pp. 101–186, 1892.</ref> and is given by the following formula,
 
:<math>_a\mathbf{D}_t^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t \Bigg(\log\frac{t}{\tau}\Bigg)^{\alpha -1} f(\tau)\frac{d\tau}{\tau}
</math>
 
for ''t'' > ''a''.
 
==Fractional derivatives==
Not like classical Newtonian derivatives, a fractional derivative is defined via a fractional integral.
 
===Riemann–Liouville fractional derivative===
The corresponding derivative is calculated using Lagrange's rule for differential operators. Computing ''n''-th order derivative over the integral of order (''n'' − ''α''), the ''α'' order derivative is obtained. It is important to remark that ''n'' is the nearest integer bigger than ''α''.
 
:<math> _aD_t^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n}{_aD_t^{-(n-\alpha)}}f(t)=\frac{d^n}{dt^n}{_aI_t^{n-\alpha}}f(t)</math>
 
===Caputo fractional derivative===
There is another option for computing fractional derivatives; the Caputo fractional derivative. It was introduced by M. Caputo in his 1967 paper.<ref>{{cite journal|last=Caputo|first=Michel|title=Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent-II|journal=Geophys. J. R. Astr. Soc.|year=1967|volume=13|pages=529–539}}</ref> In contrast to the Riemann Liouville fractional derivative, when solving differential equations using Caputo's definition, it is not necessary to define the fractional order initial conditions. Caputo's definition is illustrated as follows.
 
:<math> {_a^CD_t^\alpha} f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_a^t \frac{f^{(n)}(\tau)d\tau}{(t-\tau)^{\alpha+1-n}}</math>
 
==Generalizations==
 
===Erdélyi–Kober operator===
 
The '''[[Erdelyi–Kober operator|Erdélyi–Kober operator]]''' is an integral operator introduced by {{harvs|txt|authorlink=Arthur Erdélyi|first=Arthur |last=Erdélyi|year=1940}} and {{harvs|txt|authorlink=Hermann Kober|first=Hermann |last=Kober|year=1940}} and is given by
 
:<math>\frac{x^{-\nu-\alpha+1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (t-x)^{\alpha-1}t^{-\alpha-\nu}f(t) dt </math>
 
which generalizes the [[Riemann fractional integral]] and the [[Weyl integral]]. A recent generalization is the following, which generalizes the ''Riemann-Liouville fractional integral'' and the ''Hadamard fractional integral''. It is given by,<ref name="Integral">[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300311004309 Katugampola, U.N., New Approach To A Generalized Fractional Integral, Appl. Math. Comput. Vol 218, Issue 3, 1 October 2011, pages 860–865]</ref>
 
:<math> ({}^\rho \mathcal{I}^\alpha_{a+}f)(x) = \frac{\rho^{1- \alpha }}{\Gamma({\alpha})} \int^x_a \frac{\tau^{\rho-1} f(\tau) }{(x^\rho - \tau^\rho)^{1-\alpha}}\, d\tau, </math>
 
for ''x'' > ''a''.
 
==Functional calculus==
 
In the context of [[functional analysis]], functions ''f(D)'' more general than powers are studied in the [[functional calculus]] of [[Spectral theorem|spectral theory]]. The theory of [[pseudo-differential operator]]s also allows one to consider powers of ''D''. The operators arising are examples of [[singular integral operator]]s; and the generalisation of the classical theory to higher dimensions is called the theory of [[Riesz potential]]s. So there are a number of contemporary theories available, within which ''fractional calculus'' can be discussed. See also [[Erdélyi–Kober operator]], important in [[special function]] theory {{harv|Kober|1940}}, {{harv|Erdélyi|1950–51}}.
 
==Applications==
 
===Fractional conservation of mass===
 
As described by Wheatcraft and Meerschaert (2008),<ref>Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2008). "Fractional Conservation of Mass." Advances in Water Resources 31, 1377–1381.</ref> a fractional conservation of mass equation is needed to model fluid flow when the [[control volume]] is not large enough compared to the scale of [[heterogeneity]] and when the flux within the control volume is non-linear. In the referenced paper, the fractional conservation of mass equation for fluid flow is:
 
:<math> -\rho (\nabla^{\alpha} \cdot \vec{u}) = \Gamma(\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha}\rho(\beta_s+\phi \beta_w) \frac{\part p}{\part t} </math>
 
===Fractional advection dispersion equation===
 
This equation has been shown useful for modeling contaminant flow in heterogenous porous media.<ref>Benson, D., Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2000). "Application of a fractional advection-dispersion equation." Water Resources Res 36, 1403–1412.</ref><ref>Benson, D., Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2000). "The fractional-order governing equation of Lévy motion." Water Resources Res 36, 1413–1423.</ref><ref>Benson, D., Schumer, R., Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2001). "Fractional dispersion, Lévy motion, and the MADE tracer tests." Transport Porous Media 42, 211–240.</ref>
 
===Time-space fractional diffusion equation models===
 
Anomalous diffusion processes in complex media can be well characterized by using fractional-order diffusion equation models.<ref>Metzler, R., Klafter, J., (2000). "The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional
dynamics approach." Phys. Rep., 339, 1-77.</ref><ref>Chen, W., Sun, H.G., Zhang, X., Korosak, D., (2010). "Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives." Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 1754-1758. [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0898122109005525]</ref> The time derivative term is corresponding to long-time heavy tail decay and the spatial derivative for diffusion nonlocality. The time-space fractional diffusion governing equation can be written as
 
:<math>
\frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha}=K (-\triangle)^\beta u.
</math>
 
A simple extension of fractional derivative is the variable-order fractional derivative, the ''α'', ''β'' are changed into ''α''(''x'', ''t''), ''β''(''x'', ''t''). Its applications in anomalous diffusion modeling can be found in reference.<ref>Sun, H.G., Chen, W., Chen, Y.Q., (2009). "Variable-order fractional differential operators in anomalous diffusion modeling." Physica A, 2009, 388: 4586-4592.[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437109005822]</ref>
 
===Structural damping models===
 
Fractional derivatives are used to model [[viscoelastic]] [[damping]] in certain types of materials like polymers.<ref>Nolte, Kempfle and Schäfer (2003). "Does a Real Material Behave Fractionally? Applications of Fractional Differential Operators to the Damped Structure Borne Sound in Viscoelastic Solids", Journal of Computational Acoustics (JCA), Volume 11, Issue 3.</ref>
 
===Acoustical wave equations for complex media===
 
The propagation of acoustical waves in complex media, e.g. biological tissue, commonly implies attenuation obeying a frequency power-law. This kind of phenomenon may be described using a causal wave equation which incorporates fractional time derivatives:
 
:<math>
{\nabla^2 u -\dfrac 1{c_0^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \tau_\sigma^\alpha \dfrac{\partial^\alpha}{\partial t^\alpha}\nabla^2 u - \dfrac {\tau_\epsilon^\beta}{c_0^2} \dfrac{\partial^{\beta+2} u}{\partial t^{\beta+2}} = 0.} </math>
 
See also <ref>S. Holm and S. P. Näsholm, "A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media," Journal of the Acoustical Society of America, Volume 130, Issue 4, pp. 2195–2201 (October 2011)</ref> and the references therein. Such models are linked to the commonly recognized hypothesis that multiple relaxation phenomena give rise to the attenuation measured in complex media. This link is further described in <ref>S. P. Näsholm and S. Holm, "Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations," Journal of the Acoustical Society of America, Volume 130, Issue 5, pp. 3038-3045 (November 2011).</ref> and in the survey paper,<ref name="Nasholm2">S. P. Näsholm and S. Holm, "On a Fractional Zener Elastic Wave Equation," Fract. Calc. Appl. Anal. Vol. 16, No 1 (2013), pp. 26-50, DOI: 10.2478/s13540-013--0003-1 [http://arxiv.org/abs/1212.4024 Link to e-print]</ref> as well as the [[acoustic attenuation]] article.
 
===Fractional Schrödinger equation in quantum theory===
 
The [[fractional Schrödinger equation]], a fundamental equation of [[fractional quantum mechanics]] discovered by [[Nick Laskin]],<ref>N. Laskin, (2000), [http://dx.doi.org/10.1016/S0375-9601(00)00201-2 Fractional Quantum Mechanics and Lévy Path Integrals. ''Physics Letters'' 268A, 298-304].</ref> has the following form:<ref>N. Laskin, (2002), [http://pre.aps.org/abstract/PRE/v66/i5/e056108 Fractional Schrödinger equation, ''Physical Review'' E66, 056108 7 pages]. '' (also available online: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0206098)</ref>
 
:<math>i\hbar \frac{\partial \psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}=D_\alpha (-\hbar^2\Delta )^{\alpha /2}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t).</math>
 
where the solution of the equation is the [[wavefunction]] ''ψ''('''r''', ''t'') - the quantum mechanical [[probability amplitude]] for the particle to have a given [[position vector]] '''r''' at any given time ''t'', and ''ħ'' is the [[Planck constant|reduced Planck constant]]. The [[potential energy]] function ''V''('''r''', ''t'') depends on the system.
 
Further, Δ = {{math|&part;}}<sup>2</sup>/{{math|&part;}}'''r'''<sup>2</sup> is the [[Laplace operator]], and ''D<sub>α</sub>'' is a scale constant with physical [[dimensional analysis|dimension]] [''D<sub>α</sub>''] = erg<sup>1 − ''α''</sup>·cm<sup>''α''</sup>·sec<sup>−''α''</sup>, (at ''α''&nbsp;=&nbsp;2, ''D''<sub>2</sub> = 1/2''m'' for a particle of mass ''m''), and the operator (−''ħ''<sup>2</sup>Δ)<sup>''α''/2</sup> is the 3-dimensional fractional quantum Riesz derivative defined by
 
:<math>
(-\hbar ^2\Delta )^{\alpha /2}\psi (\mathbf{r},t)=\frac 1{(2\pi \hbar
)^3}\int d^3pe^{i \mathbf{p}\cdot\mathbf{r}/\hbar }|\mathbf{p}|^\alpha \varphi (
\mathbf{p},t)\,.
</math>
 
The index ''α'' in the fractional Schrödinger equation is the Lévy index, 1&nbsp;<&nbsp;''α''&nbsp;≤&nbsp;2.
 
==See also==
 
*[[Acoustic attenuation]]
*[[Differintegral]]
*[[Differential equation]]
*[[Fractional dynamics]]
*[[Fractional Fourier transform]]
*[[Neopolarogram]]
*[[Fractional Schrödinger equation]]
*[[Autoregressive fractionally integrated moving average]]
 
==Notes==
{{Reflist}}
 
==References==
*''Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications'', by Samko, S.; Kilbas, A.A.; and Marichev, O. Hardcover: 1006 pages. Publisher: Taylor & Francis Books. ISBN 2-88124-864-0
*''Theory and Applications of Fractional Differential Equations'', by Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; and Trujillo, J. J. Amsterdam, Netherlands, Elsevier, February 2006. ISBN 0-444-51832-0 (http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.cws_home/707212/description#description)
*''An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations'', by Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor). Hardcover: 384 pages. Publisher: John Wiley & Sons; 1 edition (May 19, 1993). ISBN 0-471-58884-9
*''The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V)'', by Keith B. Oldham, Jerome Spanier. Hardcover. Publisher: Academic Press; (November 1974). ISBN 0-12-525550-0
*''Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications.'', (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), by Igor Podlubny. Hardcover. Publisher: Academic Press; (October 1998) ISBN 0-12-558840-2
* [http://www.worldscibooks.com/mathematics/p614.html Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models.] by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010. 368 pages.
* [http://www.springer.com/physics/complexity/book/978-3-642-14002-0 Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media.] by V.E. Tarasov, Springer, 2010. 450 pages.
* [http://www.springer.com/physics/theoretical,+mathematical+%26+computational+physics/book/978-3-642-33910-3 Fractional Derivatives for Physicists and Engineers] by V.V. Uchaikin, Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.
*''Fractional Calculus. An Introduction for Physicists'', by Richard Herrmann. Hardcover. Publisher: World Scientific, Singapore; (February 2011) ISBN 978-981-4340-24-3 (http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8072)
*''Fractals and quantum mechanics'', by N. Laskin. Chaos Vol.10, pp.&nbsp;780–790 (2000). (http://link.aip.org/link/?CHAOEH/10/780/1)
*''Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics'', by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor). Paperback: 348 pages. Publisher: Springer-Verlag Telos; (January 1998). ISBN 3-211-82913-X
*''Physics of Fractal Operators'', by Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini. Hardcover: 368 pages. Publisher: Springer Verlag; (January 14, 2003). ISBN 0-387-95554-2
*''Fractional Calculus and the Taylor-Riemann Series'', Rose-Hulman Undergrad. J. Math. Vol.6(1) (2005).
*''Operator of fractional derivative in the complex plane'', by Petr Zavada, Commun.Math.Phys.192, pp.&nbsp;261–285,1998. {{doi|10.1007/s002200050299}} (available [http://www.springerlink.com/content/2xbape94pk99k75a/ online] or as the [http://arxiv.org/abs/funct-an/9608002 arXiv preprint])
*''Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators'', by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp.&nbsp;163–197, 2002. {{doi|10.1155/S1110757X02110102}} (available [http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/S1110757X02110102&e=cta online] or as the [http://arxiv.org/abs/hep-th/0003126 arXiv preprint])
*''Fractional differentiation by neocortical pyramidal neurons'', by Brian N Lundstrom, Matthew H Higgs, William J Spain & Adrienne L Fairhall, Nature Neuroscience, vol. 11 (11), pp.&nbsp;1335 – 1342, 2008. {{doi|10.1038/nn.2212}} ([http://www.nature.com/neuro/journal/v11/n11/abs/nn.2212.html abstract])
*''Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models'', by Ahmed E., A.M.A. El-Sayed, H.A.A. El-Saka. 2007. Jour. Math. Anal. Appl. 325,452.
*{{cite journal | last= Kober | first= Hermann | title= On fractional integrals and derivatives | journal= The Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series) | volume= 11 | issue= 1 | pages= 193–211 | year= 1940 | doi= 10.1093/qmath/os-11.1.193 | ref= harv}}
*{{cite journal | last= Erdélyi | first= Arthur | authorlink= Arthur Erdélyi | title= On some functional transformations | journal= Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino | volume= 10 | pages= 217–234 | year= 1950–51 | mr= 0047818 | ref= harv}}
*[http://mechatronics.ece.usu.edu/foc/wcica2010tw/Recent%20History%20of%20Fractional%20Calculus-typeset.pdf Recent history of fractional calculus] by J.T. Machado, V. Kiryakova, F. Mainardi,
 
==External links==
*[http://mathworld.wolfram.com/FractionalDifferentialEquation.html Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation."] From [[MathWorld]] &mdash; A Wolfram Web Resource.
*[http://mathworld.wolfram.com/FractionalCalculus.html MathWorld - Fractional calculus]
*[http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivative.html MathWorld - Fractional derivative]
*[http://www.mathpages.com/home/kmath616/kmath616.htm Fractional Calculus] at MathPages
*Specialized journal: [http://www.diogenes.bg/fcaa/ Fractional Calculus and Applied Analysis]
*Specialized journal: [http://fde.ele-math.com/ Fractional Differential Equations (FDE)]
*Specialized journal: [http://www.nonlinearscience.com/journal_2218-3892.php Communications in Fractional Calculus] (ISSN 2218-3892)
*[http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html www.nasatech.com]
*[http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html unr.edu] (Broken Link)
*[http://www.tuke.sk/podlubny/fc_resources.html Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. ]
*[http://www.gigahedron.de GigaHedron - Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc. ]
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*[http://www.fracalmo.org/ Fractional Calculus Modelling]
*[http://www.xuru.org/fc/TOC.asp Introductory Notes on Fractional Calculus]
*[http://www.laas.fr/gt-opd/opdrd-en/index.html.en Pseudodifferential operators and diffusive representation in modeling, control and signal]
*[http://www.ismm.ac.cn/ismmlink/PLFD/index.html Power Law & Fractional Dynamics]
*[http://cronetoolbox.ims-bordeaux.fr The CRONE (R) Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable]
*[http://gonitsora.com/introduction-to-fractional-derivatives/ Introduction to fractional derivatives]
 
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