|
|
| Line 1: |
Line 1: |
| In [[functional analysis]] and related areas of [[mathematics]] a '''polar topology''', '''topology of <math>\mathcal{A}</math>-convergence''' or '''topology of uniform convergence on the sets of''' <math>\mathcal{A}</math> is a method to define [[locally convex topology|locally convex topologies]] on the [[vector space]]s of a [[dual pair]].
| | == 江蘭の専門職 == |
|
| |
|
| == Definitions ==
| | 余裕がないことはできますか？ '<br><br>玄Xiがアップ眉をひそめ、緑色の粒子を、見た。<br><br>「風水ゆう、あなたは、攻撃を受けて、この緑の粒子が気づいていないではなく、さらに場所の筋肉を動かしていませんでした。」玄Xiは疑わしい（キス小説ネットワーク [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_1.php クリスチャンルブタン 店舗 東京] - [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_11.php クリスチャンルブタン 取扱店] メンバーの手）外を見る混乱の場所を。<br><br>ゆう黄も、このに留意した。<br>さらに悪い防衛を<br>が、その後、強い地上攻撃により、少なくとも飛ぶヒット？しかし、たとえグリーン粒子の位置はbudgedていません。残念ながら...... Xiのゆう黄とどの江蘭セクターを理解するための神秘的で強力な場所。<br>彼らの攻撃を<br>？<br><br>でも10倍悪くはその後、江蘭部門は簡単に攻撃を持ち上げることができる。<br><br>ウッドウッドウッド<br><br>江蘭の専門職 [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_1.php クリスチャンルブタン メンズ]。<br><br>秦Yuは静かな栽培にまだあるが、今秦Yuは、ほぼ200年練習してきた、とさえ赤ちゃん子牛が、4天使レルムにも息の練習で、まだ秦ゆうで練習することができる [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_7.php クリスチャンルブタン 銀座]。<br>魂へ<br>魂第三層 [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_12.php クリスチャンルブタン 値段]。<br><br>秦Yuはあります |
| | | 相关的主题文章： |
| Let <math>(X,Y,\langle , \rangle)</math> be a [[dual pair]] <math>(X,Y,\langle , \rangle)</math> of [[vector space]]s <math>X</math> and <math>Y</math> over the (same) field <math>\mathbb{F}</math> of [[real number|real]] or [[complex numbers|complex]] numbers.
| | <ul> |
| | | |
| A set <math>A\subseteq X</math> is said to be ''bounded'' in <math>X</math> with respect to <math>Y</math>, if for each element <math>y\in Y</math> the set of values <math>\{\langle x,y\rangle; x\in A\}</math> is bounded in <math>\mathbb F</math>:
| | <li>[http://www.glynncountyfiredept.org/cgi-bin/guestbook/guestbook.cgi http://www.glynncountyfiredept.org/cgi-bin/guestbook/guestbook.cgi]</li> |
| :<math>
| | |
| \forall y\in Y\qquad \sup_{x\in A}|\langle x,y\rangle|<\infty.
| | <li>[http://www.hbjmjlg.cn/bbs/home.php?mod=space&uid=263163 http://www.hbjmjlg.cn/bbs/home.php?mod=space&uid=263163]</li> |
| </math>
| | |
| This condition is equivalent to the requirement that the polar <math>A^\circ</math> of the set <math>A</math> in <math>Y</math>
| | <li>[http://www.will-company.jp/pagoda/cgi/bbs2/epad/epad.cgi http://www.will-company.jp/pagoda/cgi/bbs2/epad/epad.cgi]</li> |
| :<math>
| | |
| A^\circ=\{ y\in Y:\quad \sup_{x\in A}|\langle x,y\rangle|\le 1\}
| | </ul> |
| </math>
| |
| is an absorbent set in <math>Y</math>, i.e.
| |
| :<math>
| |
| \bigcup_{\lambda\in{\mathbb F}}\lambda\cdot A^\circ=Y.
| |
| </math>
| |
| | |
| Let now <math>\mathcal{A}</math> be a family of bounded sets in <math>X</math> (with respect to <math>Y</math>) with the following properties:
| |
| * each point <math>x</math> of <math>X</math> belongs to some set <math>A\in{\mathcal A}</math>
| |
| : <math>
| |
| \forall x\in X\qquad \exists A\in {\mathcal A}\qquad x\in A,
| |
| </math>
| |
| * each two sets <math>A\in{\mathcal A}</math> and <math>B\in{\mathcal A}</math> are contained in some set <math>C\in{\mathcal A}</math>:
| |
| : <math>
| |
| \forall A,B\in {\mathcal A}\qquad \exists C\in {\mathcal A}\qquad A\cup B\subseteq C,
| |
| </math>
| |
| * <math>{\mathcal A}</math> is closed under the operation of multiplication by scalars:
| |
| : <math>
| |
| \forall A\in {\mathcal A}\qquad \forall\lambda\in{\mathbb F}\qquad \lambda\cdot A\in {\mathcal A}.
| |
| </math>
| |
| Then the seminorms of the form
| |
| :<math> | |
| \|y\|_A=\sup_{x\in A}|\langle x,y\rangle|,\qquad A\in{\mathcal A},
| |
| </math>
| |
| define a Hausdorff locally convex topology on <math>Y</math> which is called the '''polar topology'''<ref>{{harvtxt|A.P.Robertson, W.Robertson|1964|loc=III.2}}</ref> on <math>Y</math> generated by the family of sets <math>{\mathcal A}</math>. The sets
| |
| : <math> | |
| U_{B}=\{x\in V:\quad \|\varphi\|_B<1\},\qquad B\in {\mathcal B},
| |
| </math>
| |
| form a local base of this topology. A net of elements <math>y_i\in Y</math> tends to an element <math>y\in Y</math> in this topology if and only if
| |
| : <math>
| |
| \forall A\in{\mathcal A}\qquad \|y_i-y\|_A = \sup_{x\in A} |\langle x,y_i\rangle-\langle x,y\rangle|\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}0.
| |
| </math>
| |
| Because of this the polar topology is often called the topology of [[uniform convergence]] on the sets of <math>\mathcal{A}</math>. The semi norm <math>\|y\|_A</math> is the [[gauge (mathematics)|gauge]] of the polar set <math>A^\circ</math>.
| |
| | |
| == Examples == | |
| | |
| * if <math>\mathcal A</math> is the family of all bounded sets in <math>X</math> then the polar topology on <math>Y</math> coincides with the [[Strong topology (polar topology)|strong topology]],
| |
| * if <math>\mathcal A</math> is the family of all finite sets in <math>X</math> then the polar topology on <math>Y</math> coincides with the [[weak topology]],
| |
| * the topology of an arbitrary [[locally convex space]] <math>X</math> can be described as the polar topology defined on <math>X</math> by the family <math>\mathcal A</math> of all equicontinuous sets <math>A\subseteq X'</math> in the [[dual space]] <math>X'</math>.<ref>In other words, <math>A\in{\mathcal A}</math> iff <math>A\subseteq X'</math> and there is a neighbourhood of zero <math>U\subseteq X</math> such that <math>\sup_{x\in U, f\in A}|f(x)|<\infty</math></ref>
| |
| | |
| == See also ==
| |
| | |
| * [[Dual topology|Topology consistent with the duality]].
| |
| | |
| == Notes ==
| |
| | |
| {{Reflist}}
| |
| | |
| == References ==
| |
| | |
| * {{cite book
| |
| | last1 = Robertson
| |
| | first1 = A.P.
| |
| | last2 = Robertson
| |
| | first2 = W.
| |
| <!-- | authorlink = A.P.Robertson, W.Robertson --> | |
| | year = 1964
| |
| | title = Topological vector spaces | |
| | series=
| |
| | volume=
| |
| | publisher = Cambridge University Press
| |
| | location =
| |
| | isbn =
| |
| }}
| |
| | |
| * {{cite book
| |
| | last = Schaefer
| |
| | first = Helmuth H.
| |
| <!-- | authorlink = Helmuth Schaefer --> | |
| | year = 1966
| |
| | title = Topological vector spaces
| |
| | series=
| |
| | volume=
| |
| | publisher = The MacMillan Company
| |
| | location = New York
| |
| | isbn = 0-387-98726-6
| |
| }}
| |
| | |
| {{Functional Analysis}}
| |
| | |
| [[Category:Topology of function spaces]]
| |
江蘭の専門職
余裕がないことはできますか？ '
玄Xiがアップ眉をひそめ、緑色の粒子を、見た。
「風水ゆう、あなたは、攻撃を受けて、この緑の粒子が気づいていないではなく、さらに場所の筋肉を動かしていませんでした。」玄Xiは疑わしい（キス小説ネットワーク クリスチャンルブタン 店舗 東京 - クリスチャンルブタン 取扱店 メンバーの手）外を見る混乱の場所を。
ゆう黄も、このに留意した。
さらに悪い防衛を
が、その後、強い地上攻撃により、少なくとも飛ぶヒット？しかし、たとえグリーン粒子の位置はbudgedていません。残念ながら...... Xiのゆう黄とどの江蘭セクターを理解するための神秘的で強力な場所。
彼らの攻撃を
？
でも10倍悪くはその後、江蘭部門は簡単に攻撃を持ち上げることができる。
ウッドウッドウッド
江蘭の専門職 クリスチャンルブタン メンズ。
秦Yuは静かな栽培にまだあるが、今秦Yuは、ほぼ200年練習してきた、とさえ赤ちゃん子牛が、4天使レルムにも息の練習で、まだ秦ゆうで練習することができる クリスチャンルブタン 銀座。
魂へ
魂第三層 クリスチャンルブタン 値段。
秦Yuはあります
相关的主题文章：