Mathematical induction: Difference between revisions

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In [[propositional calculus|propositional logic]], '''''modus ponendo ponens''''' ([[Latin]] for "the way that affirms by affirming"; often abbreviated to '''MP''' or '''''modus ponens'''''<ref>{{cite book | last=Stone | first=Jon R. | year=1996 | title=Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language | publisher=London, UK: Routledge: 60.}}</ref><ref>Copi and Cohen</ref><ref>Hurley</ref><ref>Moore and Parker</ref>) or '''implication elimination''' is a [[validity|valid]], simple [[argument form]] and [[rule of inference]].<ref>Enderton 2001:110</ref> It can be summarized as "''P'' implies ''Q''; ''P'' is asserted to be true, so therefore ''Q'' must be true." The history of ''modus ponens'' goes back to antiquity.<ref>[[Susanne Bobzien]] (2002). The Development of Modus Ponens in Antiquity, ''Phronesis'' 47.</ref>


While ''modus ponens'' is one of the most commonly used concepts in logic it must not be mistaken for a logical law; rather, it is one of the accepted mechanisms for the construction of deductive proofs that includes the "rule of definition" and the "rule of substitution".<ref>Alfred Tarski 1946:47. Also Enderton 2001:110ff.</ref> ''Modus ponens'' allows one to eliminate a [[material conditional|conditional statement]] from a [[formal proof|logical proof or argument]] (the antecedents) and thereby not carry these antecedents forward in an ever-lengthening string of symbols; for this reason modus ponens is sometimes called the '''rule of detachment'''.<ref>Tarski 1946:47</ref> Enderton, for example, observes that "modus ponens can produce shorter formulas from longer ones",<ref>Enderton 2001:111</ref> and Russell observes that "the process of the inference cannot be reduced to symbols. Its sole record is the occurrence of ⊦q [the consequent] . . . an inference is the dropping of a true premise; it is the dissolution of an implication".<ref>Whitehead and Russell 1927:9</ref>
Aber in der Regel sehen wir keinen Zusammenhang zwischen Website Änderungen und Panda. Jeder Standort Aktien gemeinsamen Code, so dass wir in der Lage, radikale Veränderungen auf einer Website vs nicht auf einem anderen testen.   Une premire au Qubec! La Ville de Montréal ouvre ses Donnes sur Internet 28 octobre 2011 Jocelyn Bourbonnais Open Data und die Stadt Montreal Deena Yanofsky Koordinator und Verbindungs ​​Bibliothekar W. Hitschfeld Geographic Information Centre, was offene Daten? n Open Data ist eine Praxis, die maschinenlesbaren Daten frei durch Verfügung von Portalen, Metadaten und Suchwerkzeuge für die Wiederverwendung von Regierungen, Bürger, ehrenamtlichen Organisationen und der Privatwirtschaft in neue und unerwartete Möglichkeiten macht. <br><br>Hey, wenn du uns tun könnte einen Gefallen, wenn ich eine andere Suche aus dem Weg, bekomme ich zum Mittagessen zu [http://www.ferotech.ch/highslide/graphics/outlines/define.asp?r=10-Ray-Ban-Sonnenbrillen-Online-Shop Ray Ban Sonnenbrillen Online Shop] gehen. 5 Investigates Chandler gebeten, wenn es um Menschen in Zustimmung zur Such Trick. Reid könnte auch entscheiden, in Eagles-Quarterback Michael Vick, der von den Eagles freigesetzt werden können, zu bringen. Vick ist auf machen über 15.000.000 $ in dieser Saison und hatte darauf hingewiesen, er ist nicht bereit, seinen Vertrag zu restrukturieren. <br><br>VT Burlington Gratis Gannett Co. Inc. Viele Technologien konvergieren, dies zu ermöglichen. Es ist fantastisch, aber es ist immer noch ein Stiefkind rothaarige in vielen Browsern, und die Werkzeuge, unterstützen es nicht gut für Websites. Die dreizehnte Bomber geflogen von Lt Aber so was? ) Perfektion, wie in dem Essay erwähnt, einfach einstimmenden Modell-und Daten gemeint. Ich bin nicht da, wo man lesen, dass der Artikel besagt, dass. <br><br>Sie hatten Spaß. Aber, wie ich [http://www.ferotech.ch/highslide/graphics/outlines/define.asp?r=74-Ray-Ban-Sonnenbrillen-Zürich Ray Ban Sonnenbrillen Zürich] behauptet, vor, das Modell würde ich zu konstruieren, um die Optionen zu bewerten würde wahrscheinlich ganz anders verkaufen, Chris zu sein, in seiner Form und den zugrunde gelegten Annahmen. Regionale Gewinner werden am 20. März bekannt gegeben werden, mit [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=14-Nike-Free-5.0-Womens Nike Free 5.0 Womens] dem Gesamtpreis über die diesjährigen Preisträger in der Zentrale Motorcodes 'am Ende des Monats übergeben. <br><br>All diese Dinge können helfen, festzustellen, Ihre Gewohnheiten Bieter, wenn Ihre Website ist die Schifffahrt und halten Bieter durch Werbung. Ein gutes Skript sollten Sie bieten Werkzeuge für diese Datenanalyse Punkten. Wir werden wahrscheinlich geben es eher ein Versuch in ein paar Wochen .. Ich liebe diese Arbeit. <br><br>Seine Augen Make-up [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=85-Michael-Kors-Jet-Set-Saffiano Michael Kors Jet Set Saffiano] war wie gewohnt. Zu Beginn des 21. Das Ergebnis ist eine optimierte Suchsystem, das unsere Besucher lieben. "Kristin Bogumil, Multi-Kanal-Digital-ManagerFounded 1935 AAP ist die nationale Nachrichtenagentur von Australien. Das Schild sagt Dead End. Erstens ist das Schreiben nicht leicht.<ul>
 
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A justification for the "trust in inference is the belief that if the two former assertions [the antecedents] are not in error, the final assertion [the consequent] is not in error".<ref>Whitehead and Russell 1927:9</ref> In other words: if one [[statement (logic)|statement]] or [[proposition]] [[material conditional|implies]] a second one, and the first statement or proposition is true, then the second one is also true. If ''P'' implies ''Q'' and  ''P'' is true, then ''Q'' is true.<ref>{{cite book | last=Jago | first=Mark | title=Formal Logic | publisher=[http://www.humanities-ebooks.co.uk/ Humanities-Ebooks LLP] |year= 2007 |isbn=978-1-84760-041-7 }}</ref> An example is:
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''Modus ponens'' can be stated formally as:
  <li>[http://www.jamiatou.com/spip.php?article21 http://www.jamiatou.com/spip.php?article21]</li>
 
 
:<math>\frac{P \to Q,\; P}{\therefore Q}</math>
  <li>[http://60.191.126.74:2222/dengpin/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=401943 http://60.191.126.74:2222/dengpin/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=401943]</li>
 
 
where the rule is that whenever an instance of "''P'' → ''Q''" and "''P''" appear by themselves on lines of a logical proof, ''Q'' can validly be placed on a subsequent line; furthermore, the premise ''P'' and the implication "dissolves", their only trace being the symbol ''Q'' that is retained for use later e.g. in a more complex deduction.
  <li>[http://test.bpmn.info/forum/read.php?1,280357 http://test.bpmn.info/forum/read.php?1,280357]</li>
 
 
It is closely related to another valid form of argument, ''[[modus tollens]]''. Both have apparently similar but invalid forms such as [[affirming the consequent]], [[denying the antecedent]], and [[evidence of absence]]. [[Constructive dilemma]] is the [[Logical disjunction|disjunctive]] version of modus ponens. [[Hypothetical syllogism]] is closely related to modus ponens and sometimes thought of as "double modus ponens."
</ul>
 
== Formal notation ==
 
The ''modus ponens'' rule may be written in [[sequent]] notation:
:<math>P \to Q,\; P\;\; \vdash\;\; Q</math>
 
where ⊦ is a [[metalogic]]al symbol meaning that ''Q'' is a [[syntactic consequence]] of ''P'' → ''Q'' and ''P'' in some [[formal system|logical system]];
 
or as the statement of a truth-functional [[Tautology (logic)|tautology]] or [[theorem]] of propositional logic:
 
:<math>((P \to Q) \land P) \to Q</math>
 
where ''P'', and ''Q'' are propositions expressed in some logical system.
 
== Explanation ==
 
The argument form has two premises (hypothesis). The first premise is the "if–then" or [[Logical conditional|conditional]] claim, namely that ''P'' implies ''Q''. The second premise is that ''P'', the [[Antecedent (logic)|antecedent]] of the conditional claim, is true. From these two premises it can be logically concluded that ''Q'', the [[consequent]] of the conditional claim, must be true as well. In [[artificial intelligence]], ''modus ponens'' is often called [[forward chaining]].
 
An example of an argument that fits the form ''modus ponens'':
 
:If today is Tuesday, then John will go to work.
:Today is Tuesday.
:Therefore, John will go to work.
 
This argument is valid, but this has no bearing on whether any of the statements in the argument are [[Truth|true]]; for ''modus ponens'' to be a sound argument, the premises must be true for any true instances of the conclusion. An [[Logical argument|argument]] can be valid but nonetheless [[Soundness|unsound]] if one or more premises are false; if an argument is valid ''and'' all the premises are true, then the argument is sound. For example, John might be going to work on Wednesday. In this case, the reasoning for John's going to work (because it is Wednesday) is unsound. The argument is not only sound on Tuesdays (when John goes to work), but valid on every day of the week. A [[propositional logic|propositional]] argument using ''modus ponens'' is said to be [[deductive logic|deductive]].
 
In single-conclusion [[sequent calculus|sequent calculi]], ''modus ponens'' is the Cut rule. The [[cut-elimination theorem]] for a calculus says that every proof involving Cut can be transformed (generally, by a constructive method) into a proof without Cut, and hence that Cut is [[admissible rule|admissible]].
 
The [[Curry–Howard correspondence]] between proofs and programs relates ''modus ponens'' to [[function application]]: if ''f'' is a function of type ''P'' → ''Q'' and ''x'' is of type ''P'', then ''f x'' is of type ''Q''.
 
== Relation to Modus Tollens ==
Any Modus Ponens rule can be proved using a Modus Tollens rule and transposition.
:The proof is as follows.
:1. P → Q
:2. P /∴ Q
:3.~Q → ~P 1 Transposition
:4.~~P    2 Double Negation
:5.~~Q    3,4 Modus Tollens
:6.         5 Double Negation
 
==Justification via truth table==
The validity of ''modus ponens'' in classical two-valued logic can be clearly demonstrated by use of a [[truth table]].
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
|+ ''' '''
|-
! style="width:15%" | ''p''
! style="width:15%" | ''q''
! style="width:15%" | ''p'' → ''q''
|-  
| bgcolor=#FFFF00 | T
| bgcolor=#00FF00 | T
| bgcolor=#00FFFF | T
|- style="color:gray"
| bgcolor=#FFFF00 | T || F || F
|- style="color:gray"
| F || T
| bgcolor=#00FFFF | T
|- style="color:gray"
| F || F
| bgcolor=#00FFFF | T
|}
<br>
In instances of ''modus ponens'' we assume as premises that ''p'' → ''q'' is true and ''p'' is true. Only one line of the truth table—the first—satisfies these two conditions (''p''  and ''p'' → ''q''). On this line, ''q'' is also true. Therefore, whenever ''p'' → ''q'' is true and ''p'' is true, ''q'' must also be true.
 
==See also==
*[[What the Tortoise Said to Achilles]]
*[[Condensed detachment]]
 
== References ==
{{Reflist}}
 
== Sources ==
*Alfred Tarski 1946 ''Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences'' 2nd Edition, reprinted by Dover Publications, Mineola NY. ISBN 0-486-28462-X (pbk).
*[[Alfred North Whitehead]] and [[Bertrand Russell]] 1927 ''Principia Mathematica to *56 (Second Edition)'' paperback edition 1962, Cambridge at the University Press, London UK. No ISBN, no LCCCN.
*Herbert B. Enderton, 2001, ''A Mathematical Introduction to Logic Second Edition'', Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3.
 
== External links ==
*{{springer|title=Modus ponens|id=p/m064570}}
*{{PhilPapers|search|modus_ponens}}
* ''[http://mathworld.wolfram.com/ModusPonens.html Modus ponens]'' at Wolfram MathWorld
 
{{DEFAULTSORT:Modus Ponens}}
[[Category:Rules of inference]]
[[Category:Latin logical phrases]]
[[Category:Theorems in propositional logic]]
[[Category:Classical logic]]

Latest revision as of 21:07, 28 December 2014

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B ComplexHolford besagt, dass B-Vitamine sind für psychische Gesundheit sehr wichtig, weil sie die Katalysatoren, die Neurotransmitter im Gehirn auszugleichen helfen, und es gibt eine Menge Beweise, die Depression zu Vitaminmangel, besonders Vitamin B6, B1 und Folsäure B. Hass darauf hin, dass B-Vitamine arbeiten zusammen und nimmt Air Max 97 eine hohe Dosis könnte man zu einem Mangel an einer anderen führen, daher empfiehlt er, dass Sie ein B-Komplex-Ergänzung zu nehmen, um sich mit einer guten Balance der B-Vitamine liefern. Es sollte nicht als Ersatz für Monster Beats Studio professionelle medizinische Beratung, Diagnose oder Behandlung verwendet werden.

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