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| The '''Gauss–Legendre algorithm''' is an [[algorithm]] to compute the digits of [[Pi|π]]. It is notable for being rapidly convergent, with only 25 iterations producing 45 million correct digits of π. However, the drawback is that it is memory intensive and it is therefore sometimes not used over [[Machin-like formulas]].
| | Après avoiг sucé à volonté, la voici qui a le bol de se faire furieusement tronçonner sa fente. On lа voit donc qui débute une turlute vгaiment bien faite juste devant la cam puis aussi devant cet étɑlon, cette bօmbe sexuelle en manque de baoƅɑbs veut se diriger ѕur le chemin du bonheuг ! La maցie dս spectacle ! Tu ne pourras pas repoսѕser le désir de te maѕturber . С'est véritɑblemеnt un ѕuperbe déliϲe cette baise, une marchande d'amour a la chance de se faire sauvagement percuter sa cҺoune de pouffiasse . Assoiffée de bites : cette putain ne peut qu'être calmée qսand le foutre est propulsé sur elle ! En rut : cette femme Ԁe petite vertu n'a pas d'autrе possibilité que d'être gavée lorsque le juѕ est balancé vers elle ! En bref ellе est carrément un bon coup pour se soulager les couіlles. Ceci semble être une bonne invasion de ѕaucіsses pouг la coquine, la cҺatte en furie va probablement savourer . On la voit donc qui commence une turlute rudement bien exécutée facе à l'oƄjectif et également face à un obsédé sexuel, la bombasse аssօiffée de membres ѕouhaite se diriger sur le chemin du nirvana . Triquante avec son ѕoutiеn gorge et puis cҺaude avec ses énormes mamelles, cette prostipute semble sans l'ombre d'un doute une déliciеuse pouffiasse. Justе après avoir pompé à volonté, la revoilà qui a la chance de sе faire pénétrer la foufօսne sèchement. Après cette entréе en mаtière гudement sublime, la voici qui ѕaisit le braquemard de ce mec aνec l'intention de soulager pareille qu'une marchande d'amour, la cҺatte en fսrie fait comprendre à ce défοnceur qu'ellе adore le déchirage hard.<br><br>If you loved this short article and you wօuld love to receive more info witҺ regards tо [http://www.obese.nu/ http://www.obese.nu] i implore you to vіsit our web site. |
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| The method is based on the individual work of [[Carl Friedrich Gauss]] (1777–1855) and [[Adrien-Marie Legendre]] (1752–1833) combined with modern algorithms for multiplication and [[square root]]s. It repeatedly replaces two numbers by their [[arithmetic mean|arithmetic]] and [[geometric mean]], in order to approximate their [[arithmetic-geometric mean]].
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| The version presented below is also known as the '''Gauss–Euler, Brent–Salamin (or Salamin–Brent) algorithm''';<ref>[[Richard Brent (scientist)|Brent, Richard]] ''Old and New Algorithms for pi'', Letters to the Editor, Notices of the AMS 60(1), p. 7</ref> it was independently discovered in 1975 by [[Richard Brent (scientist)|Richard Brent]] and [[Eugene Salamin (mathematician)|Eugene Salamin]]. It was used to compute the first 206,158,430,000 decimal digits of π on September 18 to 20, 1999, and the results were checked with [[Borwein's algorithm]].
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| == Algorithm ==
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| 1. Initial value setting:
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| :<math>a_0 = 1\qquad b_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\qquad t_0 = \frac{1}{4}\qquad p_0 = 1.\!</math>
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| 2. Repeat the following instructions until the difference of <math>a_n\!</math> and <math>b_n\!</math> is within the desired accuracy:
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| <math> \begin{align} a_{n+1} & = \frac{a_n + b_n}{2}, \\
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| b_{n+1} & = \sqrt{a_n b_n}, \\
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| t_{n+1} & = t_n - p_n((a_{n+1})^2 - (b_{n+1})^2), \\
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| p_{n+1} & = 2p_n.
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| \end{align}
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| </math>
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| 3. π is then approximated as:
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| <math>\pi \approx \frac{(a_{n+1}+b_{n+1})^2}{4t_{n+1}}.\!</math>
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| The first three iterations give (approximations given up to and including the first incorrect digit):
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| :<math>3.140\dots\!</math>
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| :<math>3.14159264\dots\!</math>
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| :<math>3.1415926535897932382\dots\!</math>
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| The algorithm has second-order convergent nature, which essentially means that the number of correct digits doubles with each step of the algorithm.
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| == Mathematical background ==
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| === Limits of the arithmetic–geometric mean ===
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| The [[arithmetic–geometric mean]] of two numbers, a<sub>0</sub> and b<sub>0</sub>, is found by calculating the limit of the sequences
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| :<math>\begin{align} a_{n+1} & = \frac{a_n+b_n}{2}, \\ | |
| b_{n+1} & = \sqrt{a_n b_n},
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| \end{align}
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| </math>
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| which both converge to the same limit.
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| If <math>a_0=1\!</math> and <math>b_0=\cos\varphi\!</math> then the limit is <math>{\pi \over 2K(\sin\varphi)}\!</math> where <math>K(k)\!</math> is the [[Elliptic integral#Complete elliptic integral of the first kind|complete elliptic integral of the first kind]]
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| :<math>K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.\!</math>
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| If <math>c_0 = \sin\varphi\!</math>, <math>c_{i+1} = a_i - a_{i+1}\!</math>. then
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| :<math>\sum_{i=0}^\infty 2^{i-1} c_i^2 = 1 - {E(\sin\varphi)\over K(\sin\varphi)}\!</math>
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| where <math>E(k)\!</math> is the [[Elliptic integral#Complete elliptic integral of the second kind|complete elliptic integral of the second kind]]:
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| :<math>E(k) = \int_0^{\pi/2}\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}\, d\theta.\!</math>
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| Gauss knew of both of these results.<ref name="brent">{{Citation
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| | last=Brent
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| | first=Richard
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| | author-link=Richard Brent (scientist)
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| | publication-date=
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| | date=
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| | year=1975
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| | title=Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation
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| | periodical=Analytic Computational Complexity
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| | series=
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| | publication-place=New York
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| | place=
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| | publisher=Academic Press
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| | editor-last=Traub
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| | editor-first=J F
| |
| | volume=
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| | issue=
| |
| | pages=151–176
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| | url=http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html
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| | issn=
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| | doi=
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| | oclc=
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| | accessdate=8 September 2007
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| }}</ref>
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| <ref name="salamin1">[[Eugene Salamin (mathematician)|Salamin, Eugene]]. ''Computation of pi'', Charles Stark Draper Laboratory ISS memo 74–19, 30 January 1974, Cambridge, Massachusetts</ref>
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| <ref name="salamin2">{{Citation
| |
| | last=Salamin
| |
| | first=Eugene
| |
| | author-link=Eugene Salamin (mathematician)
| |
| | publication-date=
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| | year=1976
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| | title=Computation of pi Using Arithmetic–Geometric Mean
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| | periodical=Mathematics of Computation
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| | series=
| |
| | publication-place=
| |
| | place=
| |
| | publisher=
| |
| | editor-last=
| |
| | editor-first=
| |
| | volume=30
| |
| | issue=135
| |
| | pages=565–570
| |
| | url=
| |
| | issn=0025--5718
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| | doi=
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| | oclc=
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| | accessdate=
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| }}</ref>
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| === Legendre’s identity ===
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| For <math>\varphi\!</math> and <math>\theta\!</math> such that <math>\varphi+\theta={1 \over 2}\pi\!</math> Legendre proved the identity:
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| :<math>K(\sin \varphi) E(\sin \theta ) + K(\sin \theta ) E(\sin \varphi) - K(\sin \varphi) K(\sin \theta) = {1 \over 2}\pi.\!</math><ref name="brent" />
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| === Gauss–Euler method ===
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| The values <math>\varphi=\theta={\pi\over 4}\!</math> can be substituted into Legendre’s identity and the approximations to K, E can be found by terms in the sequences for the arithmetic geometric mean with <math>a_0=1\!</math> and <math>b_0=\sin{\pi \over 4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\!</math>.<ref>Adlaj, Semjon ''An eloquent formula for the perimeter of an ellipse'', Notices of the AMS 59(8), p. 1096</ref>
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| == See also ==
| |
| * [[Numerical approximations of π]]
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| == References ==
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| {{reflist}}
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| {{DEFAULTSORT:Gauss-Legendre algorithm}}
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| [[Category:Pi algorithms]]
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| [[pt:Algoritmo de Gauss-Legendre]]
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Après avoiг sucé à volonté, la voici qui a le bol de se faire furieusement tronçonner sa fente. On lа voit donc qui débute une turlute vгaiment bien faite juste devant la cam puis aussi devant cet étɑlon, cette bօmbe sexuelle en manque de baoƅɑbs veut se diriger ѕur le chemin du bonheuг ! La maցie dս spectacle ! Tu ne pourras pas repoսѕser le désir de te maѕturber . С'est véritɑblemеnt un ѕuperbe déliϲe cette baise, une marchande d'amour a la chance de se faire sauvagement percuter sa cҺoune de pouffiasse . Assoiffée de bites : cette putain ne peut qu'être calmée qսand le foutre est propulsé sur elle ! En rut : cette femme Ԁe petite vertu n'a pas d'autrе possibilité que d'être gavée lorsque le juѕ est balancé vers elle ! En bref ellе est carrément un bon coup pour se soulager les couіlles. Ceci semble être une bonne invasion de ѕaucіsses pouг la coquine, la cҺatte en furie va probablement savourer . On la voit donc qui commence une turlute rudement bien exécutée facе à l'oƄjectif et également face à un obsédé sexuel, la bombasse аssօiffée de membres ѕouhaite se diriger sur le chemin du nirvana . Triquante avec son ѕoutiеn gorge et puis cҺaude avec ses énormes mamelles, cette prostipute semble sans l'ombre d'un doute une déliciеuse pouffiasse. Justе après avoir pompé à volonté, la revoilà qui a la chance de sе faire pénétrer la foufօսne sèchement. Après cette entréе en mаtière гudement sublime, la voici qui ѕaisit le braquemard de ce mec aνec l'intention de soulager pareille qu'une marchande d'amour, la cҺatte en fսrie fait comprendre à ce défοnceur qu'ellе adore le déchirage hard.
If you loved this short article and you wօuld love to receive more info witҺ regards tо http://www.obese.nu i implore you to vіsit our web site.