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| [[Image:Dense subgraph.png|thumb|An example of a graph <math> G </math> with density <math> d_G=1.375 </math> and it's densest subgraph induced by the vertices <math> b,c,d,e </math> and <math> h </math> in red with density <math> 1.4 </math>]]
| | Hello, I'm Clinton, a 23 year old from Boda Glasbruk, Sweden.<br>My hobbies include (but are not limited to) Geocaching, Model Aircraft Hobbies and watching 2 Broke Girls.<br>xunjie 不変62,88ランド/ kgの価格を維持する61,42ランド/キロで引けた。 |
| | | あなたは出勤でもできる逛街しも着て出かけたが、 |
| In [[computer science]] the notion of highly connected subgraphs appears frequently. This notion can be formalized as follows. Let <math> G=(E,V) </math> be an [[undirected graph]] and let <math> S=(E_S,V_S)</math> be a [[Glossary of graph theory#Subgraphs|subgraph]] of <math> G </math>. Then the ''density'' of <math> S </math> is defined to be <math> d_S = {|E_S|\over|V_S|} </math>.
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| The densest subgraph problem is that of finding a subgraph of maximum density. In 1984, [[Andrew V. Goldberg]] developed a polynomial time algorithm to find the maximum density subgraph using a [[max flow]] technique.
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| ==Densest <math> k </math> subgraph==
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| There are many variations on the densest subgraph problem. There is the densest <math> k </math> subgraph problem, where the objective is to find the maximum density subgraph on exactly <math> k </math> vertices. This problem is known to be NP-Hard by a reduction from the [[clique problem]]. The densest <math> k </math> subgraph problem is NP-Complete even in planar graphs by a reduction from the connected vertex cover problem on planar graphs with maximum degree 4. There does not exist a [[polynomial-time approximation scheme]] (PTAS) for the densest <math> k </math> subgraph problem this is by a reduction from the Minimum Distance of Code problem.
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| ==Densest at most <math> k </math> subgraph==
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| The objective of the densest at most <math> k </math> problem is to find the maximum density subgraph on at most <math> k </math> vertices. Anderson and Chellapilla showed that if there exists an <math> \alpha </math> approximation for this problem then that will lead to an <math> \Theta(\alpha ^2) </math> approximation for the densest <math> k </math> subgraph problem.
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| ==Densest at least <math> k </math> subgraph==
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| The densest at least <math> k </math> problem is defined similarly to the densest at most <math> k </math> subgraph problem. There is a 2-approximation due to Anderson. But the complexity of this problem is still unknown.
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| ==References==
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| {{refbegin|colwidth=30em}}
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| *{{citation
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| | last = Goldberg | first = A. V.
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| | journal = Technical report
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| | title = Finding a maximum density subgraph
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| | year = 1984}}.
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| *{{citation
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| | last1 = Feige | first1 = U.| authorlink1 = Uriel Feige | last2 = Kortsarz | first2 = G. |last3 = Peleg| first3 = D. | authorlink3 = David Peleg (computer scientist)
| |
| | journal = [[Algorithmica]]
| |
| | pages = 410–421
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| | title = The dense k-subgraph problem
| |
| | volume = 29
| |
| | year = 1997}}.
| |
| *{{citation
| |
| | last1 = Keil | first1 = J. | last2 = Brecht | first2 = T.
| |
| | journal = The Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing
| |
| | pages = 155–159
| |
| | title = The complexity of clustering in planar graphs
| |
| | volume = 9
| |
| | year = 1991}}.
| |
| *{{citation
| |
| | last = Khot | first = S. | authorlink = Subhash Khot
| |
| | journal = [[SIAM Journal on Computing]]
| |
| | pages = 1025–1071
| |
| | title = Ruling out PTAS for graph min-bisection, dense k-subgraph, and bipartite clique
| |
| | volume = 36
| |
| | year = 2006}}.
| |
| *{{citation
| |
| | last1 = Anderson | first1 = R. | last2 = Chellapilla | first2 = K.
| |
| | journal = WAW
| |
| | pages = 25–36
| |
| | title = Finding dense subgraphs with size bounds
| |
| | year = 2009}}.
| |
| *{{citation
| |
| | last = Anderson | first = R.
| |
| | journal = CoRR
| |
| | title = Finding large and small dense subgraphs
| |
| | year = 2007}}.
| |
| *{{citation
| |
| | last1 = Khuller | first1 = S. | last2 = Saha | first2 = B.
| |
| | journal = The International Colloquium on Automata, Languages and Programming
| |
| | title = On finding dense subgraphs
| |
| | year = 2009}}.
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| {{refend}}
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| [[Category:Graph theory]]
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Hello, I'm Clinton, a 23 year old from Boda Glasbruk, Sweden.
My hobbies include (but are not limited to) Geocaching, Model Aircraft Hobbies and watching 2 Broke Girls.
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