Human sex ratio: Difference between revisions

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In [[mathematical logic]] and [[set theory]], an '''ordinal collapsing function''' (or '''projection function''') is a technique for defining ([[Ordinal notation|notations]] for) certain [[Recursive ordinal|recursive]] [[large countable ordinal]]s, whose principle is to give names to certain ordinals much larger than the one being defined, perhaps even [[Large cardinal property|large cardinals]] (though they can be replaced with [[Large countable ordinal#Beyond admissible ordinals|recursively large ordinals]] at the cost of extra technical difficulty), and then “collapse” them down to a system of notations for the sought-after ordinal. For this reason, ordinal collapsing functions are described as an [[Impredicativity|impredicative]] manner of naming ordinals.
== Abercrombie Outlet Schweiz 62 ==


The details of the definition of ordinal collapsing functions vary, and get more complicated as greater ordinals are being defined, but the typical idea is that whenever the notation system “runs out of fuel” and cannot name a certain ordinal, a much larger ordinal is brought “from above” to give a name to that critical point. An example of how this works will be detailed below, for an ordinal collapsing function defining the [[Bachmann-Howard ordinal]] (i.e., defining a system of notations up to the Bachmann-Howard ordinal).
Großes Werkzeug, dieser Beitrag hat sich für ein ruhiges gewesen, während jetzt, damit ich mich, ob einer dieser drei Dienste hat diese Server-IP für das Senden zu viele Pings Greylist? Ich weiß, dass viele der Websites, die Pings von einigen der größeren Pinger akzeptieren wie Pingoat Pingler bekommen, dass auch wenn es vielleicht noch geben sie die für die Ping-Antwort. Ive erhielt eine Website, die auf dem gleichen Konzept wie die beiden eben [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Outlet Schweiz] genannten i genannt PingNinja verbessern versucht. Um zu umgehen, dass ich schon mit ihm zu drehen zwischen einem Pool von IP-Adressen auf dem Server. So weit, so gut. Ich war auch in der Lage zu beschleunigen den gesamten Prozess, wenn mehrere Dienste Pingen wenn ich don haben die Fähigkeit, mehrere URLs anpingen wie du (Es wird nur Ping eine URL zu einem Zeitpunkt) zu tun. Sorry für die Mini-selfpromotion, fühlen Sie sich frei, diesen Teil aus / nofollow es geschnitten, aber ich neugierig, ob Sie eine Änderung in der Art, wie die Server reagieren auf Pings auf dieser Seite gesendet bemerkt. <br><br>Parteien mit Menüs rund um Tee gebaut waren anscheinend der letzte Schrei in der New York kulturellen Klima, in dem Beitrag schrieb, und war so unter den Prominenten auf beiden Seiten des Teiches seit der Herrschaft von Königin Victoria gewesen. Obwohl Tee-Partys nicht mehr Routine Einträge auf den meisten unserer sozialen Kalender, sie als Neuheit weiter, in der Regel mit einem Nicken auf die historische Periode, in der der Brauch gediehen und oft als eine Spendenaktion für einen guten Zweck. <br><br>Natürlich ist die aktuelle Iteration Romney vermutlich findet diese Offensive. Immerhin glaubt Präsident Obama erfolgreiche Unternehmen sind das Ergebnis von Eigeninitiative und öffentliche Institutionen, und Romney verbrachte fast die gesamte letzte Woche argumentiert, dass ein solcher Glaube ist "fremd", ein Angriff auf Erfolg, Nachweis des Radikalismus, [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Store Zürich] und ein Versuch, zu verunglimpfen <br><br>Der Verkäufer, Alan Maultiere, 62, kaufte das Grundstück mit seinen exwife im Jahr 2000 für rund $ 400.000. Seitdem eines der Bäder renoviert wurde, ein drittes Badezimmer legen, ein walkinwardrobe [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Tasche] im Schlafzimmer installiert, ein Regenwasserablauf in gesetzt und [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run] die Außenseite des Hauses gemalt. "Wir sind wirklich mit der Reaktion des Marktes begeistert, das ist sicher", sagte Maultiere. <br><br>Als Konsumsteuer die GST ist, dass es trifft die Armen überproportional, aber das kann durch Kredite wie GST Rabatte bundes und Rabatte provinziell zu Hause Heizung ausgeglichen werden. Diese Flexibilität sollte attraktiv Fürsprecher für die Armen sein. Umweltschützer sollten hardpressed werden, um gegen eine Steuer auf den Verbrauch argumentieren als das Niveau der Produktion von Waren ist im Zusammenhang mit Umweltbelastungen.<ul>
 
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  <li>[http://bbs.leheer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=43871&fromuid=59849 http://bbs.leheer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=43871&fromuid=59849]</li>
 
  <li>[http://www.metransparent.com/spip.php?article21662&lang=ar&id_forum=37102/ http://www.metransparent.com/spip.php?article21662&lang=ar&id_forum=37102/]</li>
 
  <li>[http://www.hastenich.com/drachenreiter/thread.php?threadid=1241549&sid= http://www.hastenich.com/drachenreiter/thread.php?threadid=1241549&sid=]</li>
 
  <li>[http://mjkcos.egloos.com/3391465/ http://mjkcos.egloos.com/3391465/]</li>
 
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The use and definition of ordinal collapsing functions is inextricably intertwined with the theory of [[ordinal analysis]], since the large countable ordinals defined and denoted by a given collapse are used to describe the ordinal-theoretic strength of certain [[formal system]]s, typically<ref name="Rathjen-survey">Rathjen, 1995 (Bull. Symbolic Logic)</ref><ref name="Kahle">Kahle, 2002 (Synthese)</ref> subsystems of [[second-order arithmetic|analysis]] (such as those seen in the light of [[reverse mathematics]]), extensions of [[Kripke-Platek set theory]], [[Errett Bishop|Bishop]]-style systems of [[Constructivism (mathematics)|constructive mathematics]] or [[Per Martin-Löf|Martin-Löf]]-style systems of [[intuitionistic type theory]].
== Nike Schuhe Daily Beast ==


Ordinal collapsing functions are typically denoted using some variation of the Greek letter <math>\psi</math> ([[Psi (letter)|psi]]).
Jeder Tag, den wir leben unser Leben ist so mit einer "analytischen Art der Aufmerksamkeit" (Daily Beast) sind wir immer betont darüber Tests, die Arbeit und die Entscheidungen, die wir konfrontiert mit dem Alltag konzentriert. Dies kann so ermüdend und macht unser Bedürfnis nach Natur sogar noch größer. Der Artikel besagt, dass "Umgang mit der Natur verschiebt den Geist zu einer entspannten und passiven Modus, so dass die mehr analytische Kräfte, um sich wieder herzustellen." (Daily Beast).<br><br>Herr Bleijie die diese geschaffen Kosten und Formalitäten für die Ereignisse, die er als "im Wesentlichen eine Gruppe von Müttern und Vätern immer [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Schuhe] zusammen versuchen, Geld für ihre Schule zu erhöhen P ist wichtig, um die Verantwortlichkeit im Interesse der Gemeinschaft zu erhalten, aber ich denke es ist auch wichtig, beschrieben <br><br>Wenn Sie gerade erst anfangen, in Ihrem Unternehmen, können Sie nicht über ein großes Budget, um auf Dinge wie Marketing und Werbung ausgeben. Dies bedeutet, dass, wenn Sie für den besten Blog-Site für kleine Unternehmen, die Sie benötigen, um Ihre Aufmerksamkeit auf diejenigen, die keine oder nur [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run Schweiz] minimale Gebühren Gebühren an allen aufladen konzentrieren zu suchen. <br><br>Pferd Cumshot Anal Verschraubungen Dick in einer Box-Video Wie man eine Strickleiter zu machen Las Vegas Strip-Clubs Kirche inuyasha Zitrone asiatischen catfights Lecken Erotische Massage atlanta Amatur Partnersuche, Dating-Websites Online-Dating Lucy Pinder oben ohne asiatische Homosexuell Sex Dolly Parton Nackt Harley babes Männer im Schlüpfer Latina anal Karate Hose Babes täglich Pferd hing Jocks Intime Teen Chat Channel 69 News Creampie Frauen Mädchen pinkeln im Stehen Hot schwangere Mädchen Papa tragen Täglich Domina Adult-Video-Sites Titten Video Genitalwarzen-Entferner Preiswert Dessous Certified rechtliche Krankenschwester Berater Feminisierung Demütigung Ficken [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Salzburg] Dungeon Boyz zu Männern Homosexuell männlich mpegs Girls Gone Wild unzensierte Daddy Yankee Amateur Stripper lateinischen [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max Schweiz] Könige Calvin Klein männliche Models Erwachsene anime inuyasha Zeichnungen von Dick Film Galerien zusammen Porno Britany spears sex tape Flirt Chat Gothic Teen Schlampen Debella Freunden hot mom Gebildete Pussy Erotische Dienstleistungen Gezeichnet<br><br>In der Zwischenzeit eine Gruppe von Konkurrenten haben sich auf König Elizabello II gekuppelt, während Bluegilly verspottet ihn sagen, dass er jetzt ungeschützt dem der König erwidert zurück zu Bluegilly mit einer Drohung von seiner eigenen. Das Publikum ist jetzt sehr neugierig, was als nächstes passieren wird, da sie über die Macht der Elizabello Schläge gehört haben, und sie beschließen, wegzulaufen, wenn er beginnt, bereitet sich auf Schlag.<ul>
 
  <li>[http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/&quot;/ http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/&quot;/]</li>
 
  <li>[http://thomassankara.net/spip.php?article878&lang=itcon&date=2015-07&tri=date_time/ http://thomassankara.net/spip.php?article878&lang=itcon&date=2015-07&tri=date_time/]</li>
 
  <li>[http://www.sunyo1688.cn/news/html/?550160.html http://www.sunyo1688.cn/news/html/?550160.html]</li>
 
  <li>[http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468 http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468]</li>
 
  <li>[http://414300.net/news/html/?453829.html http://414300.net/news/html/?453829.html]</li>
 
</ul>


== An example leading up to the Bachmann-Howard ordinal ==
== Nike Shoes  Inc. ==
The choice of the ordinal collapsing function given as example below imitates greatly the system introduced by Buchholz<ref name="Buchholz">Buchholz, 1986 (Ann. Pure Appl. Logic)</ref> but is limited to collapsing one cardinal for clarity of exposition.  More on the relation between this example and Buchholz's system will be said [[#Going beyond the Bachmann-Howard ordinal|below]].


=== Definition ===
AINonline ist eine Veröffentlichung von The Convention Nachrichten Co., Inc., 214 Franklin Avenue, Midland Park, NJ 07432. Vervielfältigung im [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Shoes] Ganzen oder in Teilen ist ohne Erlaubnis von The Convention Nachrichten Co., Inc., ist streng verboten. Das Übereinkommen Nachrichten Co., Inc., veröffentlicht Aviation International News, AINalerts, AIN Defense Perspektive, AIN Air Transport Perspektive, AINmxReports, Business Jet Traveler, BJTwaypoints, Dubai Airshow News EBACE Convention Nachrichten, Farnborough Airshow Nachrichten, HAI Convention Nachrichten, MEBA <br><br>Bitte auch abonnieren und / oder auf meiner verschiedenen Ernährung, Gesundheit, Kultur-oder Mediensäulen wie die Sacramento Ernährung Examiner Spalte, Sacramento Gesunde Trends Examiner Spalte, die Sacramento Ganzheitliche Family Health-Prüfer, der Sacramento Medien Kultur Examiner, und mein nationalen Spalten : National Healthy Trends Examiner Spalte, National Senior Examiner Gesundheit Säule und der National-Kinderernährung Examiner Spalte.<br><br>James Bond trug eine Rolex Omega doesn wollen Sie das wissen, aber das Original James Bond zu sehen war eine Rolex Submariner. Schöpfer Ian Fleming schrieb, dass Bond trug die Uhr, während Sean Connery in der Rolle schwang seine Submariner stolz. Zahlreiche Schauspieler, Prominente und Politiker haben auch dafür bekannt, Rolex Männer. Präsidenten (und auch sonst) im 20. Jahrhundert bekannt waren, um die Uhr zu tragen. Das Tragen einer Rolex und mit diesen Menschen und Persönlichkeiten verbunden sind, können kaum als etwas, was Sie vermeiden wollen, beschrieben werden.<br><br>Beachten Sie, dass Motoren mehr Wert auf Webseiten, die Sie verlinken auf qualitativ hochwertigen Inhalten zu suchen. Suchmaschinen verwenden Sie die Links auf einer Website neben einer Vielzahl von anderen Faktoren zu beurteilen, ob die Seite ist Spam ist oder nicht. Spam Webseiten verlinken Regel zu anderen Spam-Websites in der Erwägung, hochwertigen Websites verlinken, um anderen hochwertigen Websites. Als solcher, durch die Verknüpfung sorgfältig aus, um hochwertige Websites in Ihrer Nische, können Sie in der Tat verbessern Sie Ihre Suchmaschinen-Ranking.<br><br>Nach dem Zweiten Weltkrieg nahmen die Olympischen Spiele auf eine größere politische Bedeutung als Beteiligung kam zu politischen Anerkennung und Legitimität zu symbolisieren. Deutschland und Japan wurden wegen ihrer Kriegs Rollen nicht nach London eingeladen, während die Sowjetunion eingeladen, aber nicht erschienen. Nach Großbritannien die Verantwortung, um die Sportler ernähren zu begrenzen, wurde vereinbart, dass sich die Teilnehmer [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max 90] ihr eigenes Essen mitbringen. Keine neuen Anlagen wurden gebaut, aber Wembley-Stadion hatte den Krieg überlebt und erwies sich als ausreichend. Die männlichen Athleten wurden in einem Militärlager in Uxbridge und die Frauen am Southlands College in domitories untergebracht untergebracht. Die Spiele in London 1948 waren die ersten, im Fernsehen gezeigt werden, [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Store Zürich] obwohl nur sehr wenige Menschen in Großbritannien noch im Besitz Sets. Obwohl es war viel darüber diskutiert worden, ob nicht für die Olympischen Spiele 1948 zu halten, drehte [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Schweiz] sie sich zu großen populären Erfolg.<ul>
Let <math>\Omega</math> stand for the [[first uncountable ordinal]] <math>\omega_1</math>, or, in fact, any ordinal which is (an <math>\varepsilon</math>-number and) guaranteed to be greater than all the [[countable ordinal]]s which will be constructed (for example, the [[Church-Kleene ordinal]] is adequate for our purposes; but we will work with <math>\omega_1</math> because it allows the convenient use of the word ''countable'' in the definitions).
 
  <li>[http://www.tc139.cn/news/html/?231717.html http://www.tc139.cn/news/html/?231717.html]</li>
 
  <li>[http://pandprealtors.com/index.php?page=item&id=654154 http://pandprealtors.com/index.php?page=item&id=654154]</li>
 
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  <li>[http://lizbaby.com/news/html/?40967.html http://lizbaby.com/news/html/?40967.html]</li>
 
  <li>[http://www.garanhunsnegocios.com/index.php?page=item&id=76734 http://www.garanhunsnegocios.com/index.php?page=item&id=76734]</li>
 
</ul>


We define a function <math>\psi</math> (which will be [[Monotonic function|non-decreasing]] and [[Continuous function|continuous]]), taking an arbitrary ordinal <math>\alpha</math> to a countable ordinal <math>\psi(\alpha)</math>, recursively on <math>\alpha</math>, as follows:
== Louis Vuitton Salzburg  es der festlichen Jahreszeit ==


:Assume <math>\psi(\beta)</math> has been defined for all <math>\beta<\alpha</math>, and we wish to define <math>\psi(\alpha)</math>.
Gleichzeitig anderswo auf dem Schiff beginnt die guten Captain Kirk, Anzeichen von Schwäche zu zeigen, seiner Fähigkeit, Aufträge und Befehle, die so genannte geben offenbar zu verlieren 'Macht der Entscheidung.' Mit Hilfe von Mr.. Es kann schwierig sein, sich vorzustellen, dass ein Buch [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Salzburg] so reich in der Wissenschaft kann auch ein page turner, aber dies ein schwer zu abgesetzt ist. <br><br>Und dann kam die Broschüre aus Oregon (wo das Ding versucht), die Broschüre mit dem Titel 'Warum sollte Salz leiden?' und es gab mehr Mühe .. Sie sind nicht wieder aufgeladen. Kette in Kalifornien (im Gegensatz zu 300 neue in Texas). Ich mag die Single. <br><br>Anrufe auf 070-Nummern kosten bis zu 77p/min [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max Schweiz] und 09 Nummern kosten bis zu 255p/min. Schalheit ist eine psychische Ermüdung durch oft Sorgen zu machen oder zu nahe Aufmerksamkeit auf Tennis, und nicht genug Vielfalt des Denkens.. Wir würden immer übereinander auf der Straße laufen hier und da. <br><br>Nachdem ich ihn in einer geschlossenen psychiatrischen Abteilung tatsächlichen Holz retraint als 'Utica Krippe' bekannt ist, durch Vater war wieder aus. Entfernt einige Fälle von Schutt in bestimmten Rennen, einschließlich der aus dem Karton the Drain-Rennen. <br><br>Rosen nicht im Fall angeklagt, aber der Vorschlag, in einem Regierungsdokument, das ein Reporter könnte der Spionage für einen Eingriff in sein Routinemeldungen ist beispiellos und hat viele Journalisten und Bürgerrechtler alarmiert ... Denn so lange es nicht zu einem Fall zu machen, ihre Hierarchie einfach das Gesetz festgelegt .. <br><br>Wenn Schmerzsignale können durch die winzige elektrische Schocks aus dem TENS Gerät blockiert werden kann, dann wird das Gehirn weniger Signale von der Quelle erhalten der Schmerz ... Lefkove und [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Günstig] Curtin sind Dreharbeiten für eine Ende Februar / Anfang März Öffnung .. <br><br>In einem Bett in der Ecke des Raumes, ihr kleiner Junge liegt krank. Unsere aktuellen nationalen Kampagne ist zu 100% übernehmen Respekt, wo die Studenten in Australien arbeiten, um eine Welt, die auf der Achtung erstellen.. Und bevor ich dich verlassen, du wirst feststellen, dass mir und Uncle Sam sind ein in der gleichen .. <br><br>'Obwohl die Quanten von Anfällen erhöht hat, unserer Meinung nach nur 1 bis 2 Prozent des [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Schweiz] Gesamt Schmuggel widerspiegelt', sagte ein Geheimdienstoffizier Umsatz in Mumbai, der nicht genannt werden wollte.. CJ öffnet ein Auge und sagt: 'Du bist gefeuert!'. <br><br>The Buzz Punktzahl war 19 am Montag, was einem Rückgang von 45 Punkten. TORONTO Ach, es der festlichen Jahreszeit, und das bedeutet, Beisammensein mit Familie und Freunden Händeschütteln, Umarmungen und Küsse auszutauschen, Vorbereitung und gemeinsame Mahlzeiten.<ul>
 
  <li>[http://www.shaffaf.net/spip.php?article929&lang=ar&id_forum=27372/ http://www.shaffaf.net/spip.php?article929&lang=ar&id_forum=27372/]</li>
 
  <li>[http://recit.cscapitale.qc.ca/~clj/prof/spip.php?article22 http://recit.cscapitale.qc.ca/~clj/prof/spip.php?article22]</li>
 
  <li>[http://loonf.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1650342 http://loonf.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1650342]</li>
 
  <li>[http://www.mimispeed.com/news/html/?83039.html http://www.mimispeed.com/news/html/?83039.html]</li>
 
  <li>[http://pppppirn.com/news/html/?268828.html http://pppppirn.com/news/html/?268828.html]</li>
 
</ul>


:Let <math>C(\alpha)</math> be the set of ordinals generated starting from <math>0</math>, <math>1</math>, <math>\omega</math> and <math>\Omega</math> by recursively applying the following functions: ordinal [[Ordinal arithmetic|addition, multiplication and exponentiation]] and the function <math>\psi\upharpoonright_\alpha</math>, i.e., the restriction of <math>\psi</math> to ordinals <math>\beta<\alpha</math>. (Formally, we define <math>C(\alpha)_0 = \{0,1,\omega,\Omega\}</math> and inductively <math>C(\alpha)_{n+1} = C(\alpha)_n \cup \{\beta_1+\beta_2,\beta_1\beta_2,{\beta_1}^{\beta_2}: \beta_1,\beta_2\in C(\alpha)_n\} \cup \{\psi(\beta): \beta\in C(\alpha)_n \land \beta<\alpha\}</math> for all natural numbers <math>n</math> and we let <math>C(\alpha)</math> be the union of the <math>C(\alpha)_n</math> for all <math>n</math>.)
== Nike Shoes bekam ich diese überwältigende dachte mir ==


:Then <math>\psi(\alpha)</math> is defined as the smallest ordinal not belonging to <math>C(\alpha)</math>.
Taranga. [26] Andere Nationen, darunter Kenia, Australien, Neuseeland, Indien, Seychellen, Sri Lanka, und mehrere Karibikstaaten, nahm an der Bake Beleuchtung. Sie sind nirgendwo. So möchten Sie Ihre Soldaten am Leben halten wollen. 7 TWEETSTop Georgia Demokrat kämpft To Prove Obamacare Kann Deep South Widerstand 240 TWEETSview Überwindung mehr. <br><br>Wann beginnen die Menschen ins Gefängnis zu gehen, werden die Leute aufhören, es zu tun,? . [49] Die [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Shoes] Schwierigkeiten mit dem Steinbruch-Prozess, verbunden mit komplizierten Transportlogistik, verzögerte Lieferung der Stein, der damit verzögerten Bau des Denkmals. <br><br>Unmittelbar nach der Eingabe des Ortes, bekam ich diese überwältigende dachte mir: "Oh nein, das ist entweder zu der beste Essen überhaupt ODER schlimmsten überhaupt. Ich habe mehrere Websites, so weit ausgelegt. Dezember Bühne erklärt. Citizenship and Immigration [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Schweiz] Canada, die kanadische Regierung Immigration Department, ermöglicht auch die Provinz Quebec, um Einwanderer zu wählen. <br><br>Er lud eine Pistole, feuerte einen Schuss in den Boden und dann erschossen Studenten, die vor ihm standen. Was mich jetzt inspirieren: Weit entfernte Ziele (träumen von einer Reise nach Bhutan und [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max] Bangladesch), Lern ​​Espaol, und [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Wien] die Farbe orange (Ich habe vor kurzem entdeckte ich es tragen kann, und bin jetzt offiziell besessen).. <br><br>Klicken Sie hier um unsere Menüs für York Restaurants oder Lancaster Restaurants anzeigen. Wir haben eine Reise für Januar geplant, Kolumbien, und als Teil unserer Reiseroute werden wir von Kaffee Land reisen nach Cartagena. Shoppers Drug Mart Corp (OTCPK: SHDMF), 42%. <br><br>Gesamt-Phosphor, Chlorophyll a und Secchi Scheibe Tiefe (. Es gab ales in den Kauf billige zithromax Studien, aber das war quinidinesee Polydaktylie kristallinen jede Kakerlake über workare Wirkung auf Selbstmord entgegenzuwirken. Wir verwenden MobileMe für uns und andere Familienmitglieder. <br><br>Cobro inmediato Gefangenen el inicio de cialis online mexico agosto a la (s) 1626Loran Unterscheiden procesos cialis online mexico envejecimiento.Programa Nacional de Inmunizaciones, 1988. Facing entwickelt tödlicher Feinde und die brutalen Elemente können Isaac wählen, um ein Team, nicht nur für sein eigenes Überleben, sondern auch für die von der Menschheit. <br><br>Der Titel dieses Artikels meine Aufmerksamkeit erregte. Sobald Sie experimentieren mit der Befugnis, Waffen und Umwelt-Elemente zu starten, Dishonored erstaunliche Flexibilität zeigt seine Sachen. Einige Forscher warnen auch davor, das Telefon in Bereichen mit schwachem Signal, da Telefone emittieren elektromagnetische Strahlung während dieser Zeit.<ul>
 
  <li>[http://www.dakedakedu.com/home.php?mod=spacecp&ac=blog&blogid= http://www.dakedakedu.com/home.php?mod=spacecp&ac=blog&blogid=]</li>
 
  <li>[http://www.shaffaf.net/spip.php?article929&lang=ar&id_forum=27372/ http://www.shaffaf.net/spip.php?article929&lang=ar&id_forum=27372/]</li>
 
  <li>[http://www.emil86.fr/spip.php?article1/ http://www.emil86.fr/spip.php?article1/]</li>
 
  <li>[http://bbs.gzpca.org/forum.php?mod=viewthread&tid=59760&fromuid=12120 http://bbs.gzpca.org/forum.php?mod=viewthread&tid=59760&fromuid=12120]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article303/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article303/]</li>
 
</ul>


In a more concise (although more obscure) way:
== Nike Free Run  nicht auf die Vorschau ==
:<math>\psi(\alpha)</math> is the smallest ordinal which cannot be expressed from <math>0</math>, <math>1</math>, <math>\omega</math> and <math>\Omega</math> using sums, products, exponentials, and the <math>\psi</math> function itself (to previously constructed ordinals less than <math>\alpha</math>).


Here is an attempt to explain the motivation for the definition of <math>\psi</math> in intuitive terms: since the usual operations of addition, multiplication and exponentiation are not sufficient to designate ordinals very far, we attempt to systematically create new names for ordinals by taking the first one which does not have a name yet, and whenever we run out of names, rather than invent them in an ''ad hoc'' fashion or using [[Cantor's diagonal argument|diagonal schemes]], we seek them in the ordinals far beyond the ones we are constructing (beyond <math>\Omega</math>, that is); so we give names to uncountable ordinals and, since in the end the list of names is necessarily countable, <math>\psi</math> will “collapse” them to countable ordinals.
Seit seiner unberechenbaren ob es ein [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run] Dreibett-oder Einzelfeuerball, immer tauchen, um den rathians links. Ich denke, [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Wien] das ist Teil des Vereins. Es billig. So vergessen die Diäten, die großartige Arbeit. 5, wahren Chancen . Ich bin sicher, GoogleDrive und iCloud und Dropbox haben ähnliche Regeln. <br><br>Nach Wachter Abkehr von der Band im Jahr 2006, die Leto-Brüder und Milievi weiter als Trio mit zusätzlichen Touren Mitglieder, [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free 5.0] darunter Tim Kelleher am Bass .. 3. Als Sorten werden auf mehr Hektar in der kommerziellen Produktion gewachsen ist, wird ein besseres Verständnis der Winterhärte folgen .. <br><br>Ich persönlich war einer der Mitarbeiter Botschafter Rice bekannt. Ich habe alle Arten von Blistex versucht, ich mag es nicht. [/ Quote]. Auf der Internet-Appl. Ist ein Eigentümer berechtigt, die hinter einem Angebot auf eine Ausschreibung und bestimmen, ob es kompatibel mit [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run Schweiz] den Bedingungen der Ausschreibung ist, eingereicht aussehen, auch wenn auf der stellen das Angebot ist kompatibel? Und wenn der Eigentümer dies tut, und bestimmt, dass das Angebot ist nicht kompatibel ist, kann der Besitzer dann disqualifizieren das Angebot? . <br><br>Hurrikane Katrina und Rita, [10] und die menschenfreundliche Antwort auf 9/11 Angriffe [11] AIP-Ratings haben großen Belichtungs aus dem Kongress und den Medien erhalten, besonders AIP Auftritt auf der Titelseite der Washington Post, [12] . Mit Englisch ist meine Muttersprache habe ich studiert und sprechen kann, Koreanisch und Japanisch, und ich bin derzeit die Bekämpfung Russian so (hoffentlich dieses Bit in der russischen zeigt sich, nicht auf die Vorschau) Psn princejericho 50/50 Kampf-Manipulator "Build . <br><br>Dies ist eine großartige Gelegenheit, um den Administrator zu zeigen, warum Sie der beste Kandidat für Stipendien sind. Die vorgeschlagene Regelung, die auf über 600 Gemeinden der First Nations, definiert als "Indian Bands" unter dem Indian Act, 2 gilt eine gesetzliche Grundlage für die Erstellung und Veröffentlichung von First Nations "geprüften Konzernabschluss und der Vergütung, einschließlich der Gehälter und Kosten . <br><br>Sie erzählte, wo sie suchen, die do und Don und wie viel Sie erwarten können, zu machen. Werden Ashish InfraCON Pvt Ltd Handhabung des gesamten Arbeits. Das Personal war sehr angenehm und beherbergte uns im Grunde auf einer täglichen Basis, wie wir waren nicht sicher, wie lange die Reparatur dauern würde .. <br><br>Sie werden auch warnen vor Wechselwirkungen mit anderen Medikamenten, wie zB die verminderte Wirksamkeit von Cisplatin .. Ohne eine offensive proc die manakette werden sich weit weniger Schaden an Gegnern, nicht um die Heilung Vorteil der Sol erwähnen wird nicht so groß, da a) es wird nicht sehr oft auszulösen (manakette die haben nur selten die Geschwindigkeit, um einen Gegner zu verdoppeln) und b) wird es nicht geben, viel Heilung, da der manakette nicht zu tun haben sehr viel Schaden..<ul>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum24674002 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum24674002]</li>
 
  <li>[http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468 http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468]</li>
 
  <li>[http://453300.biz/thread-919244-1-1.html http://453300.biz/thread-919244-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article303/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article303/]</li>
 
  <li>[http://www.mariettakaramanli.fr/spip.php?article647/ http://www.mariettakaramanli.fr/spip.php?article647/]</li>
 
</ul>


=== Computation of values of <math>\psi</math> ===
== Nike Air Max  dass er in Wochen gewesen ==
To clarify how the function <math>\psi</math> is able to produce notations for certain ordinals, we now compute its first values.


==== Predicative start ====
Ich schreibe ein Stipendium für ein Studienprojekt, von denen ein Teil Bereichs die Entwicklung einer kleinen Website. 1. Ihr Schreiben ist wirklich überzeugend, und das ist vielleicht, warum ich die Mühe gemacht, um meinen,. Die Suche nach der [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max] wahren Liebe kann für viele Menschen ziemlich hart sein, aber ein weibliches Management Supervisor aus einer ziemlich bekannten Werbeagentur in San Francisco scheint zu denken, Geld hilft.. <br><br>Sie hatten keinen Grund, die US-Regierung vor Ort in Benghazi, die maßgeblich an der Verzinkung der islamistischen Aufstand, um die Gaddafi-Regierung zu stürzen, beginnend zumindest ab März 2011 und unter der Aufsicht des verstorbenen Christopher Stevens gewesen war anzugreifen.. <br><br>Und wieder folgte er, dass bis heute Abend." Die Leafs Sieg war [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Outlet] umso beeindruckender durch die Tatsache, ihre jungen Formation war [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free 5.0] unten ein paar gute Männer, mit einem Top- vier Verteidiger (Mark Fraser) und Zentrum (Tyler Bozak) mit Verletzungen erlitten (oder verstärkt) in diesem series.Bozak war die größte Überraschung, als trotz Eingabe der Playoffs Pflege ein Verdacht auf Schulterverletzung, er fast 22 Minuten im Freitag-Spiel angemeldet hatte 5-Sieg in Boston und tatsächlich führte Toronto nach vorne in Eis Zeit in der series.He nahm sich sogar die pregame Skate am Sonntag, konnte aber den Puck, die nicht gut für seine Verfügbarkeit für Montag Game 7.Without ihm verheißt, Griff der Minuten fiel vor allem auf die Schlange gebissen Duo von Mikhail Grabovski und Kadri, der für keine Tore und zwei Assists in den ersten fünf Spiele-Serie nach Abschluss der regulären Saison Eis cold.Both in bewunderns Umdrehungen setzen in Spiel 6 jedoch Zentrierung Trainer kombiniert hatte Randy Carlyle provisorischen Linien, die von der Zeit in den letzten paar games.Kadri ändern schien, war auf dem Eis [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Outlet] für beide Leafs Ziele und in der Offensive in der Regel mehr beteiligt, dass er in Wochen gewesen, und Grabowski hatte eine Hand in Herunterfahren Krejci entlang mit Phaneuf.But, über die fehlenden Spieler, die Leafs wurden ebenfalls mit viel Körper knallte mit Phaneuf Chef unter denen, auch wenn er nicht gar zu einer injury.After Anmeldung einige der größten und härtesten Minuten in die zugeben, Liga während der Saison, hat seine Eiszeit unten gewesen und sein Spiel manchmal ungewohnt aus dieser Serie, auch abgesehen von diesem katastrophalen Prise in Spiel 4.But Phaneuf hat den Job getan Gesamt vor allem in diesen letzten zwei entscheidenden Spiele bekommen, zu binden, die .<ul>
First consider <math>C(0)</math>. It contains ordinals <math>0</math>, <math>1</math>, <math>2</math>, <math>3</math>, <math>\omega</math>, <math>\omega+1</math>, <math>\omega+2</math>, <math>\omega2</math>, <math>\omega3</math>, <math>\omega^2</math>, <math>\omega^3</math>, <math>\omega^\omega</math>, <math>\omega^{\omega^\omega}</math> and so on. It also contains such ordinals as <math>\Omega</math>, <math>\Omega+1</math>, <math>\Omega\omega</math>, <math>\Omega^\Omega</math>. The first ordinal which it does not contain is [[Epsilon nought|<math>\varepsilon_0</math>]] (which is the limit of <math>\omega</math>, <math>\omega^\omega</math>, <math>\omega^{\omega^\omega}</math> and so on &mdash; less than <math>\Omega</math> by assumption). The upper bound of the ordinals it contains is <math>\varepsilon_{\Omega+1}</math> (the limit of <math>\Omega</math>, <math>\Omega^\Omega</math>, <math>\Omega^{\Omega^\Omega}</math> and so on), but that is not so important. This shows that <math>\psi(0) = \varepsilon_0</math>.
 
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  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum24677634 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum24677634]</li>
 
  <li>[http://danengyili.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1011545&fromuid=173696 http://danengyili.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1011545&fromuid=173696]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum23604325 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum23604325]</li>
 
  <li>[http://www.dellbj.net/news/html/?812649.html http://www.dellbj.net/news/html/?812649.html]</li>
 
  </ul>


Similarly, <math>C(1)</math> contains the ordinals which can be formed from <math>0</math>, <math>1</math>, <math>\omega</math>, <math>\Omega</math> and this time also <math>\varepsilon_0</math>, using addition, multiplication and exponentiation. This contains all the ordinals up to <math>\varepsilon_1</math> but not the latter, so <math>\psi(1) = \varepsilon_1</math>.  In this manner, we prove that <math>\psi(\alpha) = \varepsilon_\alpha</math> inductively on <math>\alpha</math>: the proof works, however, only as long as <math>\alpha<\varepsilon_\alpha</math>.  We therefore have:
== Louis Vuitton Salzburg  dass das Unternehmen keine . ==


:<math>\psi(\alpha) = \varepsilon_\alpha = \phi_1(\alpha)</math> for all <math>\alpha\leq\zeta_0</math>, where <math>\zeta_0 = \phi_2(0)</math> is the smallest fixed point of <math>\alpha \mapsto \varepsilon_\alpha</math>.
Sie lieben es, soziale Medien nutzen, um in Kontakt mit uns auf. Während der Flick Presseveranstaltung am Montag, wurde Yahoo CEO Marissa Mayer über die eingeschränkte Inhalte auf Tumblr gefragt und sie ohne zu zögern geantwortet, dass das Unternehmen keine . <br><br>Meine Väter Zwillingsschwestern, wo beide an der Sternenstaub, die Nacht und danke Gott, [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Salzburg] beide stiegen aus reletivley unversehrt.. Sijbom erklärt: "Wir haben drei verschiedene Seiten für einen unserer Versicherungsprodukte, die jeweils mit unterschiedlichen Einzelheiten, einschließlich einer anderen Standard Zitat Wir zufällig ausgewählt, welche Seite für jeden Kunden zu präsentieren, wie sie angekommen, und maßen die Wechselwirkungen mit den Seiten durch SpeedTrap. <br><br>Es braucht die richtige Landschaftsbau. Sie müssen bis zu Informationen für Ihre Website zu datieren. Körpergewebe in der Regel bekommen in Verletzungen beschädigt, und im Falle von schweren Verkehrstoten diese Gewebe nicht leicht Neuausrichtung verursacht starke Schmerzen und die Einschränkung Körper [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Günstig] Moment. <br><br>Geschäfts Adcptiun. Die meisten Eltern (71%), ergab die Umfrage, glauben Handys helfen, den Überblick über ihre Kinder. Eine rechte Schläger, die einen Ruf, ein mürrischer, verstockt Schlagmann in der Lage, die Falte für längere Zeit zu besetzen entwickelt, machte Goud seiner erstklassigen Debüt in der Saison 199.495 für seinen Heimatstaat Karnataka aber verschoben Treue zu Eisenbahnen, die er für ein vertreten . <br><br>Los trastornos musculoesquelticos debido al trabajo (WMSD, por sus SIGLAS ingls en) Sohn causados ​​por actividades y condiciones relacionadas con trabajos propios de la construccin, como levantar objetos, realizar movimientos repetitivos y trabajar en espacios muy reducidos. <br><br>Nette Love Poems Geben Sie mir einen Hinweis. Geben Sie einfach einfachen Zugriff auf Ihre täglichen Beiträge und Ihre Kunden leicht in [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max Schweiz] der Lage, immer auf dem Laufenden über Ihre Produkte und Geschäfts sein ... Feiere ich 25 Jahre in der professionellen Beauty-Branche. <br><br>Er hat von Kopiermaterialien aus dem Internet und paraphrasiert in seine Bücher und Vorträge vorgeworfen. Baby-Bay ähnlich wie eBay ist eine Website, wo Mitglieder können unerwünschte Baby-Kleidung und Waren zu handeln.. ADSL-chan 2 =? TV3 Irland war das erste unabhängige Fernsehsender in Irland, vollständig durch Einnahmen aus der Werbung finanziert. <br><br>Treten Sie sorgfältig, liebe Eltern. Ich will meine beste Freundin, aber nicht wir alle. BTW auch, wenn es diffamierende (und ich habe keine Ahnung, ob es oder nicht) durch Entsendung es hier oben offen selbst zu öffnen, um auch von Gallagher verklagt, und Gallagher eher [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Zürich] trigger happy, wenn es um die Gerichte kommt, angeblich.<ul>
 
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  <li>[http://www.52jiaoyou.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1030554&fromuid=59805 http://www.52jiaoyou.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1030554&fromuid=59805]</li>
 
  <li>[http://elec.newroomschat.com/spip.php?article30/ http://elec.newroomschat.com/spip.php?article30/]</li>
 
  <li>[http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article15378/ http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article15378/]</li>
 
  <li>[http://mariettakaramanli.fr/spip.php?article385/ http://mariettakaramanli.fr/spip.php?article385/]</li>
 
</ul>


(Here, the <math>\phi</math> functions are the [[Veblen function]]s defined starting with <math>\phi_1(\alpha) = \varepsilon_\alpha</math>.)
== Abercrombie Schweiz  wo es gesünderen Lebensmitteln ==


Now <math>\psi(\zeta_0) = \zeta_0</math> but <math>\psi(\zeta_0+1)</math> is no larger, since <math>\zeta_0</math> cannot be constructed using finite applications of <math>\phi_1\colon \alpha\mapsto\varepsilon_\alpha</math> and thus never belongs to a <math>C(\alpha)</math> set for <math>\alpha\leq\Omega</math>, and the function <math>\psi</math> remains “stuck” at <math>\zeta_0</math> for some time:
So können Patienten ihre Eisenmangel durch die Einnahme von eisenhaltigen Lebensmitteln wie Fleisch anzugehen und grünes Blattgemüse. Dieser allmähliche Übergang kann zunächst auf Widerstand stieß vor allem, wenn sie zu dem Einschlafen verwendet, während das Saugen sondern setzen ihr zurück in den Schlaf in der Krippe, wenn sie schläfrig, aber noch wach wird ihr helfen, lernen, schlief auf ihre eigene in der Zukunft fallen.<br><br>Mit zwei etablierten und drei Herausforderer, gibt es ein echtes Rennen und Kandidaten haben die Straße getroffen, Cafés, Bibliotheken, Schulen Vorstandssitzungen und Fahrgemeinschaft Linien bekommen ihre Nachrichten über .. In beiden die Führung bis zum Interview und in der Zeit zwischen hat die Stiftung auf dem vorderen Fuß mit Nachrichten die sich auf die guten Werke der Livestrong in seinem eigenen [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Schweiz] Recht gewesen ..<br><br>Vergangenen Monat, Italien und Deutschland warf die Idee der Eröffnung 'Aufnahmezentren' innerhalb Libyen Asylanträge zu bearbeiten und zu fliegen abgelehnte Asylbewerber zurück in ihr Herkunftsland und anderen afrikanischen Ländern des Nahen Ostens. Im Jahr 2013 gibt es bereits mehrere Implementierungen Frau, aber fast alle sind [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Outlet] in CeeLanguage geschrieben, und die meisten sind ziemlich haarig.<br><br>Wie gut es braucht, um aus der Kälte isoliert werden, hängt von Ihrem Klima. Ryschkow fügt. Für die ersten 10 Wochen Training, führen zwei bis drei Sätze von acht bis 12 Wiederholungen pro Übung; Danach können Sie auf der Grundlage Ihrer Fortschritt anzupassen. Sie kann auch nicht mit den Referenten viel tun, wenn Sie Lautsprecher regelmäßig verwenden wie ich.<br><br>Zweitens, jedes Mal eine Mannschaft hat guten Ruf haben oder mehr [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Wien] Tore in den letzten Spielen erzeugt dann gibt es Chancen, es wird wieder den Erfolg zu wiederholen. Dies, weil es regelmäßig Zucker. Der Agent kehrte am Nachmittag in seinen Stiefeln schütteln. Machen Sie Pausen an [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Zürich] Raststätten, wo es gesünderen Lebensmitteln, oder bringen Sie eine gesunde Mahlzeit mit Ihnen.<br><br>Schließlich, bevor Sie eine Anwendung für ein Darlehen zu machen, sollten Sie zufrieden damit, wie und wann Sie die Fähigkeit, sie zurückzuzahlen sind. Sie (nachdem auch zuvor eine Affäre mit ihm) versucht das Kennwort auf seine E-Mail-Konto und siehe da gab es etwa fünf Frauen, die er auf seine Freundin mit Betrug.<br><br>Hinzufügen von Gewicht und Flexibilität Ausbildung nach den Wechseljahren kann zur Stärkung der Knochen und die Gesamt Körper Ton .. Die genauesten Werkzeuge zur Verfügung, um die Körperzusammensetzung zu beurteilen sind DEXA-Technologie, gefolgt von Unterwasser-Wiegen. Administrative Registrierungsdateninformationen auf altersspezifische Mortalität und Todesursachen von Todesbescheinigungen durch das Ministerium für Gesundheit und dem Instituto Nacional de Estadstica y Geografa zusammengestellt.<ul>
 
  <li>[http://www.juegosetnicos.com.ar/spip.php?article86&lang=zh/ http://www.juegosetnicos.com.ar/spip.php?article86&lang=zh/]</li>
 
  <li>[http://elec.newroomschat.com/spip.php?article30/ http://elec.newroomschat.com/spip.php?article30/]</li>
 
  <li>[http://uuzazuk9.egloos.com/905877/ http://uuzazuk9.egloos.com/905877/]</li>
 
  <li>[http://yaoxm.net/forum.php?mod=viewthread&tid=2131327 http://yaoxm.net/forum.php?mod=viewthread&tid=2131327]</li>
 
  <li>[http://rklin.com/forum.php?mod=viewthread&tid=362698 http://rklin.com/forum.php?mod=viewthread&tid=362698]</li>
 
</ul>


:<math>\psi(\alpha) = \zeta_0</math> for all <math>\zeta_0 \leq \alpha \leq \Omega</math>.
== Abercrombie Zürich  und Wände. In einer großen ==


==== First impredicative values ====
Wesentlichen ist der Himmel die Grenze. Anscheinend ist der Wärme in Nummer 3 ist ausreichend, um Auslassventil Ausfall im Laufe der Zeit verursachen, da die Messingventilführungen tragen. Mr. Dazu gehören Funktionen wie Fechten, Belag, und Wände. In einer großen, langfristigen Studie der schwedischen Frauen, fanden die Forscher, dass die Kalziumzufuhr von mehr als 1400 mg pro Tag wurde mit einer höheren Sterberaten verbunden. Ozeane, Meere und Seen haben die Fähigkeit, sich natürlich sauber, aber sie sind nicht in der Lage, schnell genug zu tun, um menschliche Abfälle decken ... <br><br>Sie sagte: siehe Musik. Es wurde von meiner Archäologe Vater, der so brillant brachte er sich selbst zu sprechen und zu lesen war Russisch entlehnt. Wenn Sie dazu neigen, etwa 400 Kalorien pro Stunde auf dem Crosstrainer [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Zürich] zu brennen, müssen Sie für eine halbe Stunde trainieren, um Ihre tägliche Ziel zu erreichen.. <br><br>Zum Beispiel die Standardportionsgrößen für Obst und Gemüse sind ein Medium, Obst, 1 Tasse rohes Blattgemüse oder 1/2 Tasse bis roh oder gekocht Gemüse oder Obst zu schneiden. Seinen Namen darauf und ließ ihn in Sachen packen es. Für das zweite Album, wenn Sie versprechen, die Hälfte jetzt und die Hälfte, wenn er fertig ist das Album, es ist alles Soße.. <br><br>Die letzten fünf Begriffe in Tabelle 1 wurden nur verwendet werden, wenn es keine besondere Erwähnung von denen Getränke konsumiert wurden. Und, fügt sie hinzu, immer gut, Fragen zu stellen .. Das Verfallsdatum wird in der Regel als die Zeit der Cookie ersten Erstellung, sowie eine Anzahl von Sekunden, durch [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run Schweiz] den Programmierer, der den Code für das Cookie geschrieben bestimmt gerettet werden.. <br><br>Weiterer Punkt zu beachten ist, wie gut Sie an der Arbeit an Autos sind. Diese Beschreibung klingt verdächtig nach den Anhängern der 100% erneuerbare Energien .. O versucht, machen sich besser fühlen Pille mit der Erklärung, dass jeder nimmt diese Nacktbilder .. <br><br>Essen die richtige Nahrung zum richtigen Zeitpunkt reduziert die unangenehmen Symptome [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Schweiz] dieser Verdauungsstörung gemeinhin als Magen-Grippe .. Von Vesper, kämpft 007 gegen das Verlangen, seine nächste Mission persönlich zu machen Verraten bekannt. Der Stil ist Absicht. <br><br>Ich habe ein Portfolio erstellt mit dem e-Buch-Erstellung Service, der sehr leicht zu lesen ist und sieht [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free 5.0] sehr gut gemacht. Viele Männer rasieren sich die Köpfe, während Frauen oft, indem sie ihre Haare kurz und Kauf Perücken, während sie immer noch gut fühlen vorzubereiten. Galopp in den Himmel, aber nicht das Gefühl weniger als auch nur die geringste kalt ...<ul>
Again, <math>\psi(\Omega) = \zeta_0</math>. However, when we come to computing <math>\psi(\Omega+1)</math>, something has changed: since <math>\Omega</math> was (“artificially”) added to all the <math>C(\alpha)</math>, we are permitted to take the value <math>\psi(\Omega) = \zeta_0</math> in the process. So <math>C(\Omega+1)</math> contains all ordinals which can be built from <math>0</math>, <math>1</math>, <math>\omega</math>, <math>\Omega</math>, the <math>\phi_1\colon\alpha\mapsto\varepsilon_\alpha</math> function ''up to <math>\zeta_0</math>'' and this time also <math>\zeta_0</math> itself, using addition, multiplication and exponentiation. The smallest ordinal not in <math>C(\Omega+1)</math> is <math>\varepsilon_{\zeta_0+1}</math> (the smallest <math>\varepsilon</math>-number after <math>\zeta_0</math>).
 
  <li>[http://pusijia2.113238.cn2008.net/forum.php?mod=viewthread&tid=127141 http://pusijia2.113238.cn2008.net/forum.php?mod=viewthread&tid=127141]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1893/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1893/]</li>
 
  <li>[http://nbn3975.egloos.com/1074630/ http://nbn3975.egloos.com/1074630/]</li>
 
  <li>[http://4187.n.uuuke.com/news/html/?82108.html http://4187.n.uuuke.com/news/html/?82108.html]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1893/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1893/]</li>
 
</ul>


We say that the definition <math>\psi(\Omega) = \zeta_0</math> and the next values of the function <math>\psi</math> such as <math>\psi(\Omega+1) = \varepsilon_{\zeta_0+1}</math> are [[Impredicativity|impredicative]] because they use ordinals (here, <math>\Omega</math>) greater than the ones which are being defined (here, <math>\zeta_0</math>).
== Nike Free Run  dass einige der Menschen ==


==== Values of <math>\psi</math> up to the Feferman-Schütte ordinal ====
Wenn Sie über Diabetes auf, zum Beispiel, werden Sie eine Reihe von Artikeln, sowie Nachrichten über die Krankheit zu bekommen. Keine Herausforderung ist drängender. Was auf dem Spiel stehen nicht demokratische Werte oder republikanische Werte, sondern amerikanische Werte. <br><br>Das Kunststoffteil ist schalenförmig, so dass, wenn richtig getragen wird es von der Kurve zurück und ich fühle es nicht. Er wird immer wieder als einer der größten Rapper aller Zeiten rangiert. Im vergangenen Jahrzehnt jedoch, Journalisten auf der ganzen Welt haben begonnen, ihre eigene Anfälligkeit für emotionale Trauma auf dem Schlachtfeld zu bestätigen, inmitten der Zerstörung von 9/11, oder im Wohnzimmer einer trauernden Mutter für einen toten Sohn.. <br><br>Unterkörper Stabilisatoren sind die Quadrizeps, Sartorius und Tensor fasciae latae .. HM Stühle GMC Fitness-, Platten üben. Anleitung von Betreuungspersonen [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run] müssen klar und einheitlich sein, aber ausreichend Zeit und Gelegenheit für die Einhaltung [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max] .. <br><br>Dann habe ich meine Frau Schwamm mich mit dem heißesten Wasser ich stehen kann. 245 $) als die erste Wahl. Passivmitglieder sind nicht Gegenstand Selbstständigkeit Steuer .. Im Oktober 1975, nach der Inszenierung ein Gegenputsch, der Brigade Mitarbeiter erwarb neue Führung der Moderaten mit Tommy Westen, der als Chef des Stabes. [53] Diese Männer hatten die 'Falken' Offiziere, die für eine 'große genannt gestürzt schieben ', was eine Zunahme der gewalttätigen Übergriffen, früher im gleichen Monat soll. [54] In der Tat war die UVF hinter den Tod von sieben Zivilisten in einer Reihe von Angriffen am 2. <br><br>Nach dem fünften Tauchgang hatte er einen Vorsprung von 0,15. Es ist zu früh, um mit Sicherheit sagen, aber ich bezweifle, das war ein Putschversuch, der den Abfall aus einem großen Teil der militärischen Befehl erfordert hätte. Er hat es versäumt, schlug .300 in nur einer seiner 14 Spielzeiten in voller MLB, jetzt der Besitz eines Schlagdurchschnitt .320 Karriere.. <br><br>Ziellinie ist eine größten und führenden Einzelhändler für Sportbekleidung und bietet die beste Auswahl an Marken-Schuhe, Bekleidung und Accessoires aus [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Zürich] den meisten führenden Marken der Welt. Ich denke, dass einige der Menschen, die zuschlagen werden jeden Vorschlag zur Verringerung der Staubildung (nicht zum Stadtzentrum Verschmutzung zu nennen) sind wahrscheinlich die gleichen Leute, die über die Einwanderung 'stop Einwanderung lautesten sollte, mehr Menschen in nicht lassen, Großbritannien nicht genug Platz für [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Schweiz] sie, wir können es sich nicht leisten, Einwanderer Schleif dieses Land zum Stillstand. ' etc etc..<ul>
The fact that <math>\psi(\Omega+\alpha) = \varepsilon_{\zeta_0+\alpha}</math> remains true for all <math>\alpha \leq \zeta_1 = \phi_2(1)</math> (note, in particular, that <math>\psi(\Omega+\zeta_0) = \varepsilon_{\zeta_0 2}</math>: but since now the ordinal <math>\zeta_0</math> has been constructed there is nothing to prevent from going beyond this). However, at <math>\zeta_1 = \phi_2(1)</math> (the first fixed point of <math>\alpha\mapsto \varepsilon_\alpha</math> beyond <math>\zeta_0</math>), the construction stops again, because <math>\zeta_1</math> cannot be constructed from smaller ordinals and <math>\zeta_0</math> by finitely applying the <math>\varepsilon</math> function. So we have <math>\psi(\Omega 2) = \zeta_1</math>.
 
  <li>[http://devils.euweb.cz/index.php?site=news_comments&newsID=10 http://devils.euweb.cz/index.php?site=news_comments&newsID=10]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum24006926 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum24006926]</li>
 
  <li>[http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/&quot;/ http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/&quot;/]</li>
 
  <li>[http://cups.reen-esports.de/index.php?site=guestbook http://cups.reen-esports.de/index.php?site=guestbook]</li>
 
  <li>[http://chengpin.ying-wen.com/news/html/?63889.html http://chengpin.ying-wen.com/news/html/?63889.html]</li>
 
  </ul>


The same reasoning shows that <math>\psi(\Omega(1+\alpha)) = \phi_2(\alpha)</math> for all <math>\alpha\leq\phi_3(0)</math>, where <math>\phi_2</math> enumerates the fixed points of <math>\phi_1\colon\alpha\mapsto\varepsilon_\alpha</math> and <math>\phi_3(0)</math> is the first fixed point of <math>\phi_2</math>. We then have <math>\psi(\Omega^2) = \phi_3(0)</math>.
== Louis Vuitton Outlet wie wichtig es ist ==


Again, we can see that <math>\psi(\Omega^\alpha) = \phi_{1+\alpha}(0)</math> for some time: this remains true until the first fixed point <math>\Gamma_0</math> of <math>\alpha \mapsto \phi_\alpha(0)</math>, which is the [[Feferman-Schütte ordinal]]. Thus, <math>\psi(\Omega^\Omega) = \Gamma_0</math> is the Feferman-Schütte ordinal.
Small Business Administration bietet keine Zuschüsse zu starten oder zu erweitern kleinen Unternehmen, obwohl es bieten eine [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Outlet] Vielzahl von Kredit-Programme. Armstrong weist dieses Charakterisierung und sagte, er lässt die Marken er erfolgreich hält, wie TechCrunch und Huffington Post, arbeiten ohne Störung und wird nur in den Unkraut, wenn er glaubt, dass die Dinge nicht gut gehen. 'Ich habe zu tun, was ich denke, ist Recht ', sagt er.<br><br>Allerdings sind diese Berichtssysteme nicht effektiv unerwünschte Ereignisse zu erkennen. Wir fanden, dass das 2 Meter lange Kabel ist ideal für Notebooks / Ultrabooks und die längere 5-m-Kabel ist ideal für Desktop-Anwender. Dazu kommt, obwohl Atheisten neigen säkularen Philosophien wie Humanismus, Naturalismus und Materialismus, gibt es niemanden, Ideologie oder eine Reihe von Verhaltensweisen, die alle Atheisten zu halten ..<br><br>Wir haben alle bis zu dieser Ohrhörer tragen unterzeichnet, eine zukünftige Gestaltung der neuen Medien, die unser Bewusstsein in kleine Würfel schneiden wird. Es könnte Bereiche Ihrer Gesundheit, die vernachlässigt fühlen, und wenn ja, was sind [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free 5.0] sie? Stellen Sie sich bildlich setzen zu diesen Bereichen, so dass sie die Aufmerksamkeit und Fürsorge, die sie verdienen.<br><br>Nehmen Sie eine sinnvolle Körperhaltung, die Ihnen die auf Augenhöhe mit Ihrem Kind. Ein selbstbewusster Mensch weiß dies. Dadurch können Sitzungen oft Überstunden führen, wie gut und wichtig, Gegenstände auf die Tagesordnung können nicht einmal Zeit haben, angesprochen werden. Ich kann nicht genug betonen, wie wichtig es ist, tatsächlich schreiben Sie Ihre Ziele.<br><br>Im vergangenen Jahr hat der gemeinsame des nationalen Kapitalanleihe eine Größe von 10000000000 € erreicht. [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Tasche] Andere Begründungen für den Atheismus Bereich [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Zürich] von der philosophischen zur sozialen dem historischen. Ein kurzer Blick auf die Schöpfung als in der Bibel beschrieben. Schließlich bin ich interessiert an Episoden der Gewalt, die nach Computer Grenzen gesetzt sind, wie ich über die Amokläufe an der Columbine geschrieben auftreten ..<br><br>Oder lassen Sie den Teufel tun ihre Arbeit. Die Exponate angezeigt viele interaktive Publikumslieblinge, wie eine Atombombe Desaktivators; ein Raketenwerfer, ein Spion Höhle und eine Hängezeit Stimulator .. Es gibt keine Kleiderordnung. Die PCC auch angekündigt, sein Ziel zu Gefängnisaufstände als einen Weg, um die Regierung zu demoralisieren und zu zerstören, um den CRP verwenden ..<br><br>'Das', sagt Armstrong, 'ist ein Upgrade für uns.' Armstrong ist besonders überschwänglich über HuffPo Gründer Arianna Huffington, die er fordert eine 'Weltklasse-Unternehmer.' Sie bewegt sich, mir zu sagen: 'Ich liebe Tim.' Er lobt sie für Geschäftssinn, Ehrgeiz, und ihre Fähigkeit, Partnerschaft Angebote rund um die Welt, einschließlich HuffPo Filialen in Europa, Asien und Südamerika zu machen.<ul>
 
  <li>[http://yjzfzzw.gov.cn/E_GuestBook.asp http://yjzfzzw.gov.cn/E_GuestBook.asp]</li>
 
  <li>[http://www.ovnprod.com/spip.php?article24/ http://www.ovnprod.com/spip.php?article24/]</li>
 
  <li>[http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468 http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468]</li>
 
  <li>[http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article171/ http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article171/]</li>
 
  <li>[http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13 http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13]</li>
 
</ul>


==== Beyond the Feferman-Schütte ordinal ====
== Nike Schweiz musste spielen aufholen. Willst du mir sagen ==
We have <math>\psi(\Omega^\Omega+\Omega^\alpha) = \phi_{\Gamma_0+\alpha}(0)</math> for all <math>\alpha\leq\Gamma_1</math> where <math>\Gamma_1</math> is the next fixed point of <math>\alpha \mapsto \phi_\alpha(0)</math>.  So, if <math>\alpha\mapsto\Gamma_\alpha</math> enumerates the fixed points in question (which can also be noted <math>\phi(1,0,\alpha)</math> using the many-valued Veblen functions) we have <math>\psi(\Omega^\Omega(1+\alpha)) = \Gamma_\alpha</math>, until the first fixed point <math>\phi(1,1,0)</math> of the <math>\alpha\mapsto\Gamma_\alpha</math> itself, which will be <math>\psi(\Omega^{\Omega+1})</math> (and the first fixed point <math>\phi(2,0,0)</math> of the <math>\alpha \mapsto \phi(1,\alpha,0)</math> functions will be <math>\psi(\Omega^{\Omega2})</math>).  In this manner:
* <math>\psi(\Omega^{\Omega^2})</math> is the [[Ackermann ordinal]] (the range of the notation <math>\phi(\alpha,\beta,\gamma)</math> defined predicatively),
* <math>\psi(\Omega^{\Omega^\omega})</math> is the [[small Veblen ordinal|&ldquo;small&rdquo; Veblen ordinal]] (the range of the notations <math>\phi(\ldots)</math> predicatively using finitely many variables),
* <math>\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})</math> is the [[large Veblen ordinal|&ldquo;large&rdquo; Veblen ordinal]] (the range of the notations <math>\phi(\ldots)</math> predicatively using transfinitely-but-predicatively-many variables),
* the limit <math>\psi(\varepsilon_{\Omega+1})</math> of <math>\psi(\Omega)</math>, <math>\psi(\Omega^\Omega)</math>, <math>\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})</math>, etc., is the [[Bachmann-Howard ordinal]]: after this our function <math>\psi</math> is constant, and we can go no further with the definition we have given.


=== Ordinal notations up to the Bachmann-Howard ordinal ===
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We now explain more systematically how the <math>\psi</math> function defines notations for ordinals up to the Bachmann-Howard ordinal.
 
  <li>[http://www.answers.tw/node/8#comment-5467618 http://www.answers.tw/node/8#comment-5467618]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1279/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1279/]</li>
 
  <li>[http://www.achicourtautrement.fr/spip.php?article451/ http://www.achicourtautrement.fr/spip.php?article451/]</li>
 
  <li>[http://ciarcr.org/spip.php?article310/ http://ciarcr.org/spip.php?article310/]</li>
 
  <li>[http://www.observatoiredesreligions.fr/spip.php?article11 http://www.observatoiredesreligions.fr/spip.php?article11]</li>
 
</ul>


==== A note about base representations ====
== Nike Shoes Hausknechte und andere erforderlich. ==
Recall that if <math>\delta</math> is an ordinal which is a power of <math>\omega</math> (for example <math>\omega</math> itself, or <math>\varepsilon_0</math>, or <math>\Omega</math>), any ordinal <math>\alpha</math> can be uniquely expressed in the form <math>\delta^{\beta_1}\gamma_1 + \ldots + \delta^{\beta_k}\gamma_k</math>, where <math>k</math> is a natural number, <math>\gamma_1,\ldots,\gamma_k</math> are non-zero ordinals less than <math>\delta</math>, and <math>\beta_1 > \beta_2 > \cdots > \beta_k</math> are ordinal numbers (we allow <math>\beta_k=0</math>). This “base <math>\delta</math> representation” is an obvious generalization of the [[Ordinal arithmetic#Cantor normal form|Cantor normal form]] (which is the case <math>\delta=\omega</math>).  Of course, it may quite well be that the expression is uninteresting, i.e., <math>\alpha = \delta^\alpha</math>, but in any other case the <math>\beta_i</math> must all be less than <math>\alpha</math>; it may also be the case that the expression is trivial (i.e., <math>\alpha<\delta</math>, in which case <math>k\leq 1</math> and <math>\gamma_1 = \alpha</math>).


If <math>\alpha</math> is an ordinal less than <math>\varepsilon_{\Omega+1}</math>, then its base <math>\Omega</math> representation has coefficients <math>\gamma_i<\Omega</math> (by definition) and exponents <math>\beta_i<\alpha</math> (because of the assumption <math>\alpha < \varepsilon_{\Omega+1}</math>): hence one can rewrite these exponents in base <math>\Omega</math> and repeat the operation until the process terminates (any decreasing sequence of ordinals is finite).  We call the resulting expression the ''iterated base <math>\Omega</math> representation'' of <math>\alpha</math> and the various coefficients involved (including as exponents) the ''pieces'' of the representation (they are all <math><\Omega</math>), or, for short, the <math>\Omega</math>-pieces of <math>\alpha</math>.
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==== Some properties of <math>\psi</math> ====
  <li>[http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=4103622 http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=4103622]</li>
* The function <math>\psi</math> is non-decreasing and continuous (this is more or less obvious from its definition).
 
* If <math>\psi(\alpha) = \psi(\beta)</math> with <math>\beta<\alpha</math> then necessarily <math>C(\alpha) = C(\beta)</math>. Indeed, no ordinal <math>\beta'</math> with <math>\beta\leq\beta'<\alpha</math> can belong to <math>C(\alpha)</math> (otherwise its image by <math>\psi</math>, which is <math>\psi(\alpha)</math> would belong to <math>C(\alpha)</math> &mdash; impossible); so <math>C(\beta)</math> is closed by everything under which <math>C(\alpha)</math> is the closure, so they are equal.
  <li>[http://cgi.www5f.biglobe.ne.jp/mica-style/bbs/aska.cgi http://cgi.www5f.biglobe.ne.jp/mica-style/bbs/aska.cgi]</li>
* Any value <math>\gamma=\psi(\alpha)</math> taken by <math>\psi</math> is an <math>\varepsilon</math>-number (i.e., a fixed point of <math>\beta\mapsto\omega^\beta</math>).  Indeed, if it were not, then by writing it in [[Ordinal arithmetic#Cantor normal form|Cantor normal form]], it could be expressed using sums, products and exponentiation from elements less than it, hence in <math>C(\alpha)</math>, so it would be in <math>C(\alpha)</math>, a contradiction.
 
* Lemma: Assume <math>\delta</math> is an <math>\varepsilon</math>-number and <math>\alpha</math> an ordinal such that <math>\psi(\beta)<\delta</math> for all <math>\beta<\alpha</math>: then the <math>\Omega</math>-pieces (defined [[#A note about base representations|above]]) of any element of <math>C(\alpha)</math> are less than <math>\delta</math>. Indeed, let <math>C'</math> be the set of ordinals all of whose <math>\Omega</math>-pieces are  less than <math>\delta</math>.  Then <math>C'</math> is closed under addition, multiplication and exponentiation (because <math>\delta</math> is an <math>\varepsilon</math>-number, so ordinals less than it are closed under addition, multiplication and exponentiation). And <math>C'</math> also contains every <math>\psi(\beta)</math> for <math>\beta<\alpha</math> by assumption, and it  contains <math>0</math>, <math>1</math>, <math>\omega</math>, <math>\Omega</math>.  So <math>C'\supseteq C(\alpha)</math>, which was to be shown.
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1970/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1970/]</li>
* Under the hypothesis of the previous lemma, <math>\psi(\alpha) \leq \delta</math> (indeed, the lemma shows that <math>\delta \not\in C(\alpha)</math>).
 
* Any <math>\varepsilon</math>-number less than some element in the range of <math>\psi</math> is itself in the range of <math>\psi</math> (that is, <math>\psi</math> omits no <math>\varepsilon</math>-number).  Indeed: if <math>\delta</math> is an <math>\varepsilon</math>-number not greater than the range of <math>\psi</math>, let <math>\alpha</math> be the least upper bound of the <math>\beta</math> such that <math>\psi(\beta)<\delta</math>: then by the above we have <math>\psi(\alpha)\leq\delta</math>, but <math>\psi(\alpha)<\delta</math> would contradict the fact that <math>\alpha</math> is the ''least'' upper bound &mdash; so <math>\psi(\alpha)=\delta</math>.
  <li>[http://ciarcr.org/spip.php?article310/ http://ciarcr.org/spip.php?article310/]</li>
* Whenever <math>\psi(\alpha) = \delta</math>, the set <math>C(\alpha)</math> consists exactly of those ordinals <math>\gamma</math> (less than <math>\varepsilon_{\Omega+1}</math>) all of whose <math>\Omega</math>-pieces are less than <math>\delta</math>. Indeed, we know that all ordinals less than <math>\delta</math>, hence all ordinals (less than <math>\varepsilon_{\Omega+1}</math>) whose <math>\Omega</math>-pieces are less than <math>\delta</math>, are in <math>C(\alpha)</math>.  Conversely, if we assume <math>\psi(\beta) < \delta</math> for all <math>\beta<\alpha</math> (in other words if <math>\alpha</math> is the least possible with <math>\psi(\alpha)=\delta</math>), the lemma gives the desired property. On the other hand, if <math>\psi(\alpha) = \psi(\beta)</math> for some <math>\beta<\alpha</math>, then we have already remarked <math>C(\alpha) = C(\beta)</math> and we can replace <math>\alpha</math> by the least possible with <math>\psi(\alpha)=\delta</math>.
 
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum25048093 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum25048093]</li>
==== The ordinal notation ====
 
Using the facts above, we can define a (canonical) ordinal notation for every <math>\gamma</math> less than the Bachmann-Howard ordinal.  We do this by induction on <math>\gamma</math>.
  </ul>
 
If <math>\gamma</math> is less than <math>\varepsilon_0</math>, we use the iterated Cantor normal form of <math>\gamma</math>. Otherwise, there exists a largest <math>\varepsilon</math>-number <math>\delta</math> less or equal to <math>\gamma</math> (this is because the set of <math>\varepsilon</math>-numbers is closed): if <math>\delta<\gamma</math> then by induction we have defined a notation for <math>\delta</math> and the base <math>\delta</math> representation of <math>\gamma</math> gives one for <math>\gamma</math>, so we are finished.
 
It remains to deal with the case where <math>\gamma=\delta</math> is an <math>\varepsilon</math>-number: we have argued that, in this case, we can write <math>\delta = \psi(\alpha)</math> for some (possibly uncountable) ordinal <math>\alpha<\varepsilon_{\Omega+1}</math>: let <math>\alpha</math> be the ''greatest'' possible such ordinal (which exists since <math>\psi</math> is continuous). We use the iterated base <math>\Omega</math> representation of <math>\alpha</math>: it remains to show that every piece of this representation is less than <math>\delta</math> (so we have already defined a notation for it).  If this is ''not'' the case then, by the properties we have shown, <math>C(\alpha)</math> does not contain <math>\alpha</math>; but then <math>C(\alpha+1)=C(\alpha)</math> (they are closed under the same operations, since the value of <math>\psi</math> at <math>\alpha</math> can never be taken), so <math>\psi(\alpha+1)=\psi(\alpha)=\delta</math>, contradicting the maximality of <math>\alpha</math>.
 
'''Note''': Actually, we have defined canonical notations not just for ordinals below the Bachmann-Howard ordinal but also for certain uncountable ordinals, namely those whose <math>\Omega</math>-pieces are less than the Bachmann-Howard ordinal (viz.: write them in iterated base <math>\Omega</math> representation and use the canonical representation for every piece).  This canonical notation is used for arguments of the <math>\psi</math> function (which may be uncountable).
 
==== Examples ====
For ordinals less than <math>\varepsilon_0 = \psi(0)</math>, the canonical ordinal notation defined coincides with the iterated Cantor normal form (by definition).
 
For ordinals less than <math>\varepsilon_1 = \psi(1)</math>, the notation coincides with iterated base <math>\varepsilon_0</math> notation (the pieces being themselves written in iterated Cantor normal form): e.g., <math>\omega^{\omega^{\varepsilon_0+\omega}}</math> will be written <math>{\varepsilon_0}^{\omega^\omega}</math>, or, more accurately, <math>\psi(0)^{\omega^\omega}</math>. For ordinals less than <math>\varepsilon_2 = \psi(2)</math>, we similarly write in iterated base <math>\varepsilon_1</math> and then write the pieces in iterated base <math>\varepsilon_0</math> (and write the pieces of ''that'' in iterated Cantor normal form): so <math>\omega^{\omega^{\varepsilon_1+\varepsilon_0+1}}</math> is written <math>{\varepsilon_1}^{\varepsilon_0\omega}</math>, or, more accurately, <math>\psi(1)^{\psi(0)\,\omega}</math>. Thus, up to <math>\zeta_0 = \psi(\Omega)</math>, we always use the largest possible <math>\varepsilon</math>-number base which gives a non-trivial representation.
 
Beyond this, we may need to express ordinals beyond <math>\Omega</math>: this is always done in iterated <math>\Omega</math>-base, and the pieces themselves need to be expressed using the largest possible <math>\varepsilon</math>-number base which gives a non-trivial representation.
 
Note that while <math>\psi(\varepsilon_{\Omega+1})</math> is equal to the Bachmann-Howard ordinal, this is not a “canonical notation” in the sense we have defined (canonical notations are defined only for ordinals ''less'' than the Bachmann-Howard ordinal).
 
==== Conditions for canonicalness ====
The notations thus defined have the property that whenever they nest <math>\psi</math> functions, the arguments of the “inner” <math>\psi</math> function are always less than those of the “outer” one (this is a consequence of the fact that the <math>\Omega</math>-pieces of <math>\alpha</math>, where <math>\alpha</math> is the largest possible such that <math>\psi(\alpha)=\delta</math> for some <math>\varepsilon</math>-number <math>\delta</math>, are all less than <math>\delta</math>, as we have shown above). For example, <math>\psi(\psi(\Omega)+1)</math> does not occur as a notation: it is a well-defined expression (and it is equal to <math>\psi(\Omega) = \zeta_0</math> since <math>\psi</math> is constant between <math>\zeta_0</math> and <math>\Omega</math>), but it is not a notation produced by the inductive algorithm we have outlined.
 
Canonicalness can be checked recursively: an expression is canonical if and only if it is either the iterated Cantor normal form of an ordinal less than <math>\varepsilon_0</math>, or an iterated base <math>\delta</math> representation all of whose pieces are canonical, for some <math>\delta=\psi(\alpha)</math> where <math>\alpha</math> is itself written in iterated base <math>\Omega</math> representation all of whose pieces are canonical and less than <math>\delta</math>.  The order is checked by lexicographic verification at all levels (keeping in mind that <math>\Omega</math> is greater than any expression obtained by <math>\psi</math>, and for canonical values the greater <math>\psi</math> always trumps the lesser or even arbitrary sums, products and exponentials of the lesser).
 
For example, <math>\psi(\Omega^{\omega+1}\,\psi(\Omega) + \psi(\Omega^\omega)^{\psi(\Omega^2)}42)^{\psi(1729)\,\omega}</math> is a canonical notation for an ordinal which is less than the Feferman-Schütte ordinal: it can be written using the Veblen functions as <math>\phi_1(\phi_{\omega+1}(\phi_2(0)) + \phi_\omega(0)^{\phi_3(0)}42)^{\phi_1(1729)\,\omega}</math>.
 
Concerning the order, one might point out that <math>\psi(\Omega^\Omega)</math> (the Feferman-Schütte ordinal) is much more than <math>\psi(\Omega^{\psi(\Omega)}) = \phi_{\phi_2(0)}(0)</math> (because <math>\Omega</math> is greater than <math>\psi</math> of anything), and <math>\psi(\Omega^{\psi(\Omega)}) = \phi_{\phi_2(0)}(0)</math> is itself much more than <math>\psi(\Omega)^{\psi(\Omega)} = \phi_2(0)^{\phi_2(0)}</math> (because <math>\Omega^{\psi(\Omega)}</math> is greater than <math>\Omega</math>, so any sum-product-or-exponential expression involving <math>\psi(\Omega)</math> and smaller value will remain less than <math>\psi(\Omega^\Omega)</math>). In fact, <math>\psi(\Omega)^{\psi(\Omega)}</math> is already less than <math>\psi(\Omega+1)</math>.
 
=== Standard sequences for ordinal notations ===
{{main|Fundamental sequence (ordinals)}}
To witness the fact that we have defined notations for ordinals below the Bachmann-Howard ordinal (which are all of countable [[cofinality]]), we might define standard sequences converging to any one of them (provided it is a limit ordinal, of course).  Actually we will define canonical sequences for certain uncountable ordinals, too, namely the uncountable ordinals of ''countable'' cofinality (if we are to hope to define a sequence converging to them…) which are representable (that is, all of whose <math>\Omega</math>-pieces are less than the Bachmann-Howard ordinal).
 
The following rules are more or less obvious, except for the last:
* First, get rid of the (iterated) base <math>\delta</math> representations: to define a standard sequence converging to <math>\alpha = \delta^{\beta_1}\gamma_1 + \cdots + \delta^{\beta_k}\gamma_k</math>, where <math>\delta</math> is either <math>\omega</math> or <math>\psi(\cdots)</math> (or <math>\Omega</math>, but see below):
** if <math>k</math> is zero then <math>\alpha=0</math> and there is nothing to be done;
** if <math>\beta_k</math> is zero and <math>\gamma_k</math> is successor, then <math>\alpha</math> is successor and there is nothing to be done;
** if <math>\gamma_k</math> is limit, take the standard sequence converging to <math>\gamma_k</math> and replace <math>\gamma_k</math> in the expression by the elements of that sequence;
** if <math>\gamma_k</math> is successor and <math>\beta_k</math> is limit, rewrite the last term <math>\delta^{\beta_k}\gamma_k</math> as <math>\delta^{\beta_k}(\gamma_k-1) + \delta^{\beta_k}</math> and replace the exponent <math>\beta_k</math> in the last term by the elements of the fundamental sequence converging to it;
** if <math>\gamma_k</math> is successor and <math>\beta_k</math> is also, rewrite the last term <math>\delta^{\beta_k}\gamma_k</math> as <math>\delta^{\beta_k}(\gamma_k-1) + \delta^{\beta_k-1}\delta</math> and replace the last <math>\delta</math> in this expression by the elements of the fundamental sequence converging to it.
* If <math>\delta</math> is <math>\omega</math>, then take the obvious <math>0</math>, <math>1</math>, <math>2</math>, <math>3</math>… as the fundamental sequence for <math>\delta</math>.
* If <math>\delta = \psi(0)</math> then take as fundamental sequence for <math>\delta</math> the sequence <math>\omega</math>, <math>\omega^\omega</math>, <math>\omega^{\omega^\omega}</math>…
* If <math>\delta = \psi(\alpha+1)</math> then take as fundamental sequence for <math>\delta</math> the sequence <math>\psi(\alpha)</math>, <math>\psi(\alpha)^{\psi(\alpha)}</math>, <math>\psi(\alpha)^{\psi(\alpha)^{\psi(\alpha)}}</math>…
* If <math>\delta = \psi(\alpha)</math> where <math>\alpha</math> is a limit ordinal of ''countable'' cofinality, define the standard sequence for <math>\delta</math> to be obtained by applying <math>\psi</math> to the standard sequence for <math>\alpha</math> (recall that <math>\psi</math> is continuous, here).
* It remains to handle the case where <math>\delta = \psi(\alpha)</math> with <math>\alpha</math> an ordinal of ''uncountable'' cofinality (e.g., <math>\Omega</math> itself). Obviously it doesn't make sense to define a sequence converging to <math>\alpha</math> in this case; however, what we can define is a sequence converging to some <math>\rho<\alpha</math> with countable cofinality and such that <math>\psi</math> is constant between <math>\rho</math> and <math>\alpha</math>. This <math>\rho</math> will be the first fixed point of a certain (continuous and non-decreasing) function <math>\xi\mapsto h(\psi(\xi))</math>. To find it, apply the same rules (from the base <math>\Omega</math> representation of <math>\alpha</math>) as to find the canonical sequence of <math>\alpha</math>, except that whenever a sequence converging to <math>\Omega</math> is called for (something which cannot exist), replace the <math>\Omega</math> in question, in the expression of <math>\alpha = h(\Omega)</math>, by a <math>\psi(\xi)</math> (where <math>\xi</math> is a variable) and perform a repeated iteration (starting from <math>0</math>, say) of the function <math>\xi\mapsto h(\psi(\xi))</math>: this gives a sequence <math>0</math>, <math>h(\psi(0))</math>, <math>h(\psi(h(\psi(0))))</math>… tending to <math>\rho</math>, and the canonical sequence for <math>\psi(\alpha) = \psi(\rho)</math> is <math>\psi(0)</math>, <math>\psi(h(\psi(0)))</math>, <math>\psi(h(\psi(h(\psi(0)))))</math>…  (The examples below should make this clearer.)
 
Here are some examples for the last (and most interesting) case:
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega)</math> is: <math>\psi(0)</math>, <math>\psi(\psi(0))</math>, <math>\psi(\psi(\psi(0)))</math>…  This indeed converges to <math>\rho = \psi(\Omega) = \zeta_0</math> after which <math>\psi</math> is constant until <math>\Omega</math>.
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega 2)</math> is: <math>\psi(0)</math>, <math>\psi(\Omega+\psi(0))</math>, <math>\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(0)))</math>…  This indeed converges to the value of <math>\psi</math> at <math>\rho = \Omega + \psi(\Omega 2) = \Omega + \zeta_1</math> after which <math>\psi</math> is constant until <math>\Omega 2</math>.
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega^2)</math> is: <math>\psi(0)</math>, <math>\psi(\Omega\psi(0))</math>, <math>\psi(\Omega\psi(\Omega\psi(0)))</math>…  This converges to the value of <math>\psi</math> at <math>\rho = \Omega \psi(\Omega^2)</math>.
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega^2 3 + \Omega)</math> is <math>\psi(0)</math>, <math>\psi(\Omega^2 3 + \psi(0))</math>, <math>\psi(\Omega^2 3 + \psi(\Omega^2 3 + \psi(0)))</math>…  This converges to the value of <math>\psi</math> at <math>\rho = \Omega^2 3 + \psi(\Omega^2 3 + \Omega)</math>.
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega^\Omega)</math> is: <math>\psi(0)</math>, <math>\psi(\Omega^{\psi(0)})</math>, <math>\psi(\Omega^{\psi(\Omega^{\psi(0)})})</math>…  This converges to the value of <math>\psi</math> at <math>\rho = \Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}</math>.
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega^\Omega 3)</math> is: <math>\psi(0)</math>, <math>\psi(\Omega^\Omega 2+\Omega^{\psi(0)})</math>, <math>\psi(\Omega^\Omega 2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega 2+\Omega^{\psi(0)})})</math>…  This converges to the value of <math>\psi</math> at <math>\rho = \Omega^\Omega 2 + \Omega^{\psi(\Omega^\Omega 3)}</math>.
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega^{\Omega+1})</math> is: <math>\psi(0)</math>, <math>\psi(\Omega^\Omega \psi(0))</math>, <math>\psi(\Omega^\Omega \psi(\Omega^\Omega \psi(0)))</math>…  This converges to the value of <math>\psi</math> at <math>\rho = \Omega^\Omega \psi(\Omega^{\Omega+1})</math>.
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega^{\Omega^2+\Omega 3})</math> is: <math>\psi(0)</math>, <math>\psi(\Omega^{\Omega^2+\Omega 2+\psi(0)})</math>, <math>\psi(\Omega^{\Omega^2+\Omega 2+\psi(\Omega^{\Omega^2+\Omega 2+\psi(0)})})</math>…
 
Here are some examples of the other cases:
* The canonical sequence for <math>\omega^2</math> is: <math>0</math>, <math>\omega</math>, <math>\omega 2</math>, <math>\omega 3</math>…
* The canonical sequence for <math>\psi(\omega^\omega)</math> is: <math>\psi(1)</math>, <math>\psi(\omega)</math>, <math>\psi(\omega^2)</math>, <math>\psi(\omega^3)</math>…
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega)^\omega</math> is: <math>1</math>, <math>\psi(\Omega)</math>, <math>\psi(\Omega)^2</math>, <math>\psi(\Omega)^3</math>…
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega+1)</math> is: <math>\psi(\Omega)</math>, <math>\psi(\Omega)^{\psi(\Omega)}</math>, <math>\psi(\Omega)^{\psi(\Omega)^{\psi(\Omega)}}</math>…
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega+\omega)</math> is: <math>\psi(\Omega)</math>, <math>\psi(\Omega+1)</math>, <math>\psi(\Omega+2)</math>, <math>\psi(\Omega+3)</math>…
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega\omega)</math> is: <math>\psi(0)</math>, <math>\psi(\Omega)</math>, <math>\psi(\Omega 2)</math>, <math>\psi(\Omega 3)</math>…
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega^\omega)</math> is: <math>\psi(1)</math>, <math>\psi(\Omega)</math>, <math>\psi(\Omega^2)</math>, <math>\psi(\Omega^3)</math>…
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega^{\psi(0)})</math> is: <math>\psi(\Omega^\omega)</math>, <math>\psi(\Omega^{\omega^\omega})</math>, <math>\psi(\Omega^{\omega^{\omega^\omega}})</math>… (this is derived from the fundamental sequence for <math>\psi(0)</math>).
* The canonical sequence for <math>\psi(\Omega^{\psi(\Omega)})</math> is: <math>\psi(\Omega^{\psi(0)})</math>, <math>\psi(\Omega^{\psi(\psi(0))})</math>, <math>\psi(\Omega^{\psi(\psi(\psi(0)))})</math>… (this is derived from the fundamental sequence for <math>\psi(\Omega)</math>, which was given above).
 
Even though the Bachmann-Howard ordinal <math>\psi(\varepsilon_{\Omega+1})</math> itself has no canonical notation, it is also useful to define a canonical sequence for it: this is <math>\psi(\Omega)</math>, <math>\psi(\Omega^\Omega)</math>, <math>\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})</math>…
 
=== A terminating process ===
Start with any ordinal less or equal to the Bachmann-Howard ordinal, and repeat the following process so long as it is not zero:
* if the ordinal is a successor, subtract one (that is, replace it with its predecessor),
* if it is a limit, replace it by some element of the canonical sequence defined for it.
Then it is true that this process always terminates (as any decreasing sequence of ordinals is finite); however, like (but even more so than for) the [[Goodstein's theorem|hydra game]]:
# it can take a ''very'' long time to terminate,
# the proof of termination may be out of reach of certain weak systems of arithmetic.
 
To give some flavor of what the process feels like, here are some steps of it: starting from <math>\psi(\Omega^{\Omega^\omega})</math> (the small Veblen ordinal), we might go down to <math>\psi(\Omega^{\Omega^3})</math>, from there down to <math>\psi(\Omega^{\Omega^2 \psi(0)})</math>, then <math>\psi(\Omega^{\Omega^2 \omega^\omega})</math> then <math>\psi(\Omega^{\Omega^2 \omega^3})</math> then <math>\psi(\Omega^{\Omega^2 \omega^2 7})</math> then <math>\psi(\Omega^{\Omega^2 (\omega^2 6 + \omega)})</math> then <math>\psi(\Omega^{\Omega^2 (\omega^2 6 + 1)})</math> then <math>\psi(\Omega^{\Omega^2 \omega^2 6 + \Omega \psi(\Omega^{\Omega^2 \omega^2 6 + \Omega \psi(0)})})</math> and so on.  It appears as though the expressions are getting more and more complicated whereas, in fact, the ordinals always decrease.
 
Concerning the first statement, one could introduce, for any ordinal <math>\alpha</math> less or equal to the Bachmann-Howard ordinal <math>\psi(\varepsilon_{\Omega+1})</math>, the integer function <math>f_\alpha(n)</math> which counts the number of steps of the process before termination if one always selects the <math>n</math>'th element from the canonical sequence.  Then <math>f_\alpha</math> can be a very fast growing function: already <math>f_{\omega^\omega}(n)</math> is essentially <math>n^n</math>, the function <math>f_{\psi(\Omega^\omega)}(n)</math> is comparable with the [[Ackermann function]] <math>A(n,n)</math>, and <math>f_{\psi(\varepsilon_{\Omega+1})}(n)</math> is quite unimaginable.
 
Concerning the second statement, a precise version is given by [[ordinal analysis]]: for example, [[Kripke-Platek set theory]] can prove<ref name="Rathjen-slides-part3">Rathjen, 2005 (Fischbachau slides)</ref> that the process terminates for any given <math>\alpha</math> less than the Bachmann-Howard ordinal, but it cannot do this uniformly, i.e., it cannot prove the termination starting from the Bachmann-Howard ordinal. Some theories like [[Peano arithmetic]] are limited by much smaller ordinals (<math>\varepsilon_0</math> in the case of Peano arithmetic).
 
== Variations on the example ==
 
=== Making the function ''less'' powerful ===
It is instructive (although not exactly useful) to make <math>\psi</math> less powerful.
 
If we alter the definition of <math>\psi</math> above to omit exponentiation from the repertoire from which <math>C(\alpha)</math> is constructed, then we get <math>\psi(0) = \omega^\omega</math> (as this is the smallest ordinal which cannot be constructed from <math>0</math>, <math>1</math> and <math>\omega</math> using addition and multiplication only), then <math>\psi(1) = \omega^{\omega^2}</math> and similarly <math>\psi(\omega) = \omega^{\omega^\omega}</math>, <math>\psi(\psi(0)) = \omega^{\omega^{\omega^\omega}}</math> until we come to a fixed point which is then our <math>\psi(\Omega) = \varepsilon_0</math>. We then have <math>\psi(\Omega+1) = {\varepsilon_0}^\omega</math> and so on until <math>\psi(\Omega 2) = \varepsilon_1</math>. Since multiplication of <math>\Omega</math>'s is permitted, we can still form <math>\psi(\Omega^2) = \phi_2(0)</math> and <math>\psi(\Omega^3) = \phi_3(0)</math> and so on, but our construction ends there as there is no way to get at or beyond <math>\Omega^\omega</math>: so the range of this weakened system of notation is <math>\psi(\Omega^\omega) = \phi_\omega(0)</math> (the value of <math>\psi(\Omega^\omega)</math> is the same in our weaker system as in our original system, except that now we cannot go beyond it).  This does not even go as far as the Feferman-Schütte ordinal.
 
If we alter the definition of <math>\psi</math> yet some more to allow only addition as a primitive for construction, we get <math>\psi(0) = \omega^2</math> and <math>\psi(1) = \omega^3</math> and so on until <math>\psi(\psi(0)) = \omega^{\omega^2}</math> and still <math>\psi(\Omega) = \varepsilon_0</math>. This time, <math>\psi(\Omega+1) = \varepsilon_0 \omega</math> and so on until <math>\psi(\Omega 2) = \varepsilon_1</math> and similarly <math>\psi(\Omega 3) = \varepsilon_2</math>.  But this time we can go no further: since we can only add <math>\Omega</math>'s, the range of our system is <math>\psi(\Omega\omega) = \varepsilon_\omega = \phi_1(\omega)</math>.
 
In both cases, we find that the limitation on the weakened <math>\psi</math> function comes not so much from the operations allowed on the ''countable'' ordinals as on the ''uncountable'' ordinals we allow ourselves to denote.
 
=== Going beyond the Bachmann-Howard ordinal ===
We know that <math>\psi(\varepsilon_{\Omega+1})</math> is the Bachmann-Howard ordinal. The reason why <math>\psi(\varepsilon_{\Omega+1}+1)</math> is no larger, with our definitions, is that there is no notation for <math>\varepsilon_{\Omega+1}</math> (it does not belong to <math>C(\alpha)</math> for any <math>\alpha</math>, it is always the least upper bound of it). One could try to add the <math>\varepsilon</math> function (or the Veblen functions of so-many-variables) to the allowed primitives beyond addition, multiplication and exponentiation, but that does not get us very far.  To create more systematic notations for countable ordinals, we need more systematic notations for uncountable ordinals: we cannot use the <math>\psi</math> function itself because it only yields countable ordinals (e.g., <math>\psi(\Omega+1)</math> is, <math>\varepsilon_{\phi_2(0)+1}</math>, certainly not <math>\varepsilon_{\Omega+1}</math>), so the idea is to mimic its definition as follows:
 
:Let <math>\psi_1(\alpha)</math> be the smallest ordinal which cannot be expressed from all countable ordinals, <math>\Omega</math> and <math>\Omega_2</math> using sums, products, exponentials, and the <math>\psi_1</math> function itself (to previously constructed ordinals less than <math>\alpha</math>).
 
Here, <math>\Omega_2</math> is a new ordinal guaranteed to be greater than all the ordinals which will be constructed using <math>\psi_1</math>: again, letting <math>\Omega = \omega_1</math> and <math>\Omega_2 = \omega_2</math> works.
 
For example, <math>\psi_1(0) = \varepsilon_{\Omega+1}</math>, and more generally <math>\psi_1(\alpha) = \varepsilon_{\Omega+1+\alpha}</math> for all countable ordinals and even beyond (<math>\psi_1(\Omega) = \varepsilon_{\Omega 2}</math> and <math>\psi_1(\psi_1(0)) = \varepsilon_{\Omega+\varepsilon_{\Omega+1}}</math>): this holds up to the first fixed point <math>\zeta_{\Omega+1}</math> beyond <math>\Omega</math> of the <math>\xi\mapsto\varepsilon_\xi</math> function, which is the limit of <math>\psi_1(0)</math>, <math>\psi_1(\psi_1(0))</math> and so forth. Beyond this, we have <math>\psi_1(\alpha) = \zeta_{\Omega+1}</math> and this remains true until <math>\Omega_2</math>: exactly as was the case for <math>\psi(\Omega)</math>, we have <math>\psi_1(\Omega_2) = \zeta_{\Omega+1}</math> and <math>\psi_1(\Omega_2+1) = \varepsilon_{\zeta_{\Omega+1}+1}</math>.
 
The <math>\psi_1</math> function gives us a system of notations (''assuming'' we can somehow write down all countable ordinals!) for the uncountable ordinals below <math>\psi_1(\varepsilon_{\Omega_2+1})</math>, which is the limit of <math>\psi_1(\Omega_2)</math>, <math>\psi_1({\Omega_2}^{\Omega_2})</math> and so forth.
 
Now we can reinject these notations in the original <math>\psi</math> function, modified as follows:
:<math>\psi(\alpha)</math> is the smallest ordinal which cannot be expressed from <math>0</math>, <math>1</math>, <math>\omega</math>, <math>\Omega</math> and <math>\Omega_2</math> using sums, products, exponentials, the <math>\psi_1</math> function, and the <math>\psi</math> function itself (to previously constructed ordinals less than <math>\alpha</math>).
 
This modified function <math>\psi</math> coincides with the previous one up to (and including) <math>\psi(\psi_1(0))</math> &mdash; which is the Bachmann-Howard ordinal.  But now we can get beyond this, and <math>\psi(\psi_1(0)+1)</math> is <math>\varepsilon_{\psi(\psi_1(0))+1}</math> (the next <math>\varepsilon</math>-number after the Bachmann-Howard ordinal).  We have made our system ''doubly'' impredicative: to create notations for countable ordinals we use notations for certain ordinals between <math>\Omega</math> and <math>\Omega_2</math> which are themselves defined using certain ordinals beyond <math>\Omega_2</math>.
 
A variation on this scheme, which makes little difference when using just two (or finitely many) collapsing functions, but becomes important for infinitely many of them, is to define
:<math>\psi(\alpha)</math> is the smallest ordinal which cannot be expressed from <math>0</math>, <math>1</math>, <math>\omega</math>, <math>\Omega</math> and <math>\Omega_2</math> using sums, products, exponentials, and the <math>\psi_1</math> and <math>\psi</math> function (to previously constructed ordinals less than <math>\alpha</math>).
i.e., allow the use of <math>\psi_1</math> only for arguments less than <math>\alpha</math> itself.  With this definition, we must write <math>\psi(\Omega_2)</math> instead of <math>\psi(\psi_1(\Omega_2))</math> (although it is still also equal to <math>\psi(\psi_1(\Omega_2)) = \psi(\zeta_{\Omega+1})</math>, of course, but it is now constant until <math>\Omega_2</math>).  This change is inessential because, intuitively speaking, the <math>\psi_1</math> function collapses the nameable ordinals beyond <math>\Omega_2</math> below the latter so it matters little whether <math>\psi</math> is invoked directly on the ordinals beyond <math>\Omega_2</math> or on their image by <math>\psi_1</math>.  But it makes it possible to define <math>\psi</math> and <math>\psi_1</math> by ''simultaneous'' (rather than “downward”) induction, and this is important if we are to use infinitely many collapsing functions.
 
Indeed, there is no reason to stop at two levels: using <math>\omega+1</math> new cardinals in this way, <math>\Omega_1,\Omega_2,\ldots,\Omega_\omega</math>, we get a system essentially equivalent to that introduced by Buchholz,<ref name="Buchholz"/> the inessential difference being that since Buchholz uses <math>\omega+1</math> ordinals from the start, he does not need to allow multiplication or exponentiation; also, Buchholz does not introduce the numbers <math>1</math> or <math>\omega</math> in the system as they will also be produced by the <math>\psi</math> functions: this makes the entire scheme much more elegant and more concise to define, albeit more difficult to understand. This system is also sensibly equivalent to the earlier (and much more difficult to grasp) “ordinal diagrams” of Takeuti<ref>Takeuti, 1967 (Ann. Math.)</ref> and <math>\theta</math> functions of Feferman: their range is the same (<math>\psi_0(\varepsilon_{\Omega_\omega+1})</math>, which could be called the Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal, and which describes the [[ordinal analysis|strength]] of [[Second-order arithmetic#Stronger systems|<math>\Pi^1_1</math>-comprehension]] plus [[bar induction]]).
 
=== A "normal" variant ===
Most definitions of ordinal collapsing functions found in the recent literature differ from the ones we have given in one technical but important way which makes them technically more convenient although intuitively less transparent.  We now explain this.
 
The following definition (by induction on <math>\alpha</math>) is completely equivalent to that of the function <math>\psi</math> [[#Definition|above]]:
 
:Let <math>C(\alpha,\beta)</math> be the set of ordinals generated starting from <math>0</math>, <math>1</math>, <math>\omega</math>, <math>\Omega</math> and all ordinals less than <math>\beta</math> by recursively applying the following functions: ordinal addition, multiplication and exponentiation, and the function <math>\psi\upharpoonright_\alpha</math>. Then <math>\psi(\alpha)</math> is defined as the smallest ordinal <math>\rho</math> such that <math>C(\alpha,\rho) \cap \Omega = \rho</math>.
 
(This is equivalent, because if <math>\sigma</math> is the smallest ordinal not in <math>C(\alpha,0)</math>, which is how we originally defined <math>\psi(\alpha)</math>, then it is also the smallest ordinal not in <math>C(\alpha,0) = C(\alpha,\sigma)</math>, and furthermore the properties we described of <math>\psi</math> imply that no ordinal between <math>\sigma</math> inclusive and <math>\Omega</math> exclusive belongs to <math>C(\alpha,\sigma)</math>.)
 
We can now make a change to the definition which makes it subtly different:
 
:Let <math>\tilde C(\alpha,\beta)</math> be the set of ordinals generated starting from <math>0</math>, <math>1</math>, <math>\omega</math>, <math>\Omega</math> and all ordinals less than <math>\beta</math> by recursively applying the following functions: ordinal addition, multiplication and exponentiation, and the function <math>\tilde\psi\upharpoonright_\alpha</math>. Then <math>\tilde\psi(\alpha)</math> is defined as the smallest ordinal <math>\rho</math> such that <math>\tilde C(\alpha,\rho) \cap \Omega = \rho</math> and <math>\alpha \in \tilde C(\alpha,\rho)</math>.
 
The first values of <math>\tilde\psi</math> coincide with those of <math>\psi</math>: namely, for all <math>\alpha<\zeta_0</math> where <math>\zeta_0 = \varphi_2(0)</math>, we have <math>\tilde\psi(\alpha) = \psi(\alpha)</math> because the additional clause <math>\alpha \in \tilde C(\alpha,\rho)</math> is always satisfied.  But at this point the functions start to differ: while the function <math>\psi</math> gets “stuck” at <math>\zeta_0</math> for all <math>\zeta_0 \leq \alpha \leq \Omega</math>, the function <math>\tilde\psi</math> satisfies <math>\tilde\psi(\zeta_0) = \varepsilon_{\zeta_0+1}</math> because the new condition <math>\alpha \in \tilde C(\alpha,\rho)</math> imposes <math>\tilde\psi(\zeta_0) > \zeta_0</math>. On the other hand, we still have <math>\tilde\psi(\Omega) = \zeta_0</math> (because <math>\Omega \in C(\alpha,\rho)</math> for all <math>\rho</math> so the extra condition does not come in play). Note in particular that <math>\tilde\psi</math>, unlike <math>\psi</math>, is not monotonic, nor is it continuous.
 
Despite these changes, the <math>\tilde\psi</math> function also defines a system of ordinal notations up to the Bachmann-Howard ordinal: the notations, and the conditions for canonicalness, are slightly different (for example, <math>\psi(\Omega+1+\alpha) = \tilde\psi(\tilde\psi(\Omega)+\alpha)</math> for all <math>\alpha</math> less than the common value <math>\psi(\Omega2) = \tilde\psi(\Omega+1)</math>).
 
== Collapsing large cardinals ==
As noted in the introduction, the use and definition of ordinal collapsing functions is strongly connected with the theory of [[ordinal analysis]], so the collapse of this or that large cardinal must be mentioned simultaneously with the theory for which it provides a proof-theoretic analysis.
 
* Gerhard Jäger and Wolfram Pohlers<ref>Jäger & Pohlers, 1983 (Bayer. Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. Sitzungsber.)</ref> described the collapse of an [[inaccessible cardinal]] to describe the ordinal-theoretic strength of Kripke-Platek set theory augmented by the recursive inaccessibility of the class of ordinals ('''KPi'''), which is also proof-theoretically equivalent<ref name="Rathjen-survey"/> to <math>\Delta^1_2</math>-comprehension plus [[bar induction]].  Roughly speaking, this collapse can be obtained by adding the <math>\alpha \mapsto \Omega_\alpha</math> function itself to the list of constructions to which the <math>C(\cdot)</math> collapsing system applies.
* Michael Rathjen<ref>Rathjen, 1991 (Arch. Math. Logic)</ref> then described the collapse of a [[Mahlo cardinal]] to describe the ordinal-theoretic strength of Kripke-Platek set theory augmented by the recursive mahloness of the class of ordinals ('''KPM''').
* The same author<ref>Rathjen, 1994 (Ann. Pure Appl. Logic)</ref> later described the collapse of a [[weakly compact cardinal]] to describe the ordinal-theoretic strength of Kripke-Platek set theory augmented by certain [[reflection principle]]s (concentrating on the case of <math>\Pi_3</math>-reflection). Very roughly speaking, this proceeds by introducing the first cardinal <math>\Xi(\alpha)</math> which is <math>\alpha</math>-hyper-Mahlo and adding the <math>\alpha \mapsto \Xi(\alpha)</math> function itself to the collapsing system.
* Even more recently, the same author has begun<ref>Rathjen, 2005 (Arch. Math. Logic)</ref> the investigation of the collapse of yet larger cardinals, with the ultimate goal of achieving an ordinal analysis of <math>\Pi^1_2</math>-comprehension (which is proof-theoretically equivalent to the augmentation of Kripke-Platek by <math>\Sigma_1</math>-separation).
 
== Notes ==
<references/>
 
== References ==
* {{cite journal | last=Takeuti | first=Gaisi | authorlink=Gaisi Takeuti | title=Consistency proofs of subsystems of classical analysis | journal=Annals of Mathematics | volume=86 | year=1967 | pages=299&ndash;348 | doi=10.2307/1970691 | issue=2 | publisher=Annals of Mathematics | jstor=1970691 }}
* {{cite journal | last=Jäger | first=Gerhard | coauthors=Pohlers, Wolfram | title=Eine beweistheoretische Untersuchung von (<math>\Delta^1_2</math>-CA)+(BI) und verwandter Systeme | journal=Bayerische Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse Sitzungsberichte | volume=1982 | year=1983 | pages=1&ndash;28 }}
* {{cite journal | last=Buchholz | first=Wilfried | title=A New System of Proof-Theoretic Ordinal Notations | journal=Annals of Pure and Applied Logic | volume=32 | year=1986 | pages=195&ndash;207 | doi=10.1016/0168-0072(86)90052-7 }}
* {{cite journal | last=Rathjen | first=Michael | title=Proof-theoretic analysis of KPM | journal=Archive for Mathematical Logic | volume=30 | year=1991 | pages=377&ndash;403 | doi=10.1007/BF01621475 | issue=5–6 }}
* {{cite journal | last=Rathjen | first=Michael | title=Proof theory of reflection | journal=Annals of Pure and Applied Logic | volume=68 | year=1994 | pages=181&ndash;224 | url=http://www.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/ehab.pdf | doi=10.1016/0168-0072(94)90074-4 | issue=2 }}
* {{cite journal | last=Rathjen | first=Michael | title=Recent Advances in Ordinal Analysis: <math>\Pi^1_2</math>-CA and Related Systems | journal=The Bulletin of Symbolic Logic | volume=1 | year=1995 | pages=468&ndash;485 | url=http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0104/0104-004.ps | doi=10.2307/421132 | jstor=421132 | issue=4 | publisher=Association for Symbolic Logic}}
* {{cite journal | last=Kahle | first=Reinhard | title=Mathematical proof theory in the light of ordinal analysis | journal=Synthese | volume=133 | year=2002 | pages=237&ndash;255 | doi=10.1023/A:1020892011851 }}
* {{cite journal | last=Rathjen | first=Michael | title=An ordinal analysis of stability | journal=Archive for Mathematical Logic | volume=44 | year=2005 | pages=1&ndash;62 | url=http://www.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/NSTAB.ps | doi=10.1007/s00153-004-0226-2 }}
* {{cite web | url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~aehlig/EST/rathjen4.pdf | title=Proof Theory: Part III, Kripke-Platek Set Theory | accessdate=2008-04-17 | last=Rathjen | first=Michael | date=August 2005 }} (slides of a talk given at Fischbachau)
 
[[Category:Ordinal numbers]]

Latest revision as of 17:48, 7 January 2015

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