|
|
| Line 1: |
Line 1: |
| {{Technical|date=August 2010}}
| | == Longchamp Cena irlandzki taniec == |
| In [[mathematics]], in particular in [[algebraic topology]] and [[differential geometry]], the '''Stiefel–Whitney class''' (named for [[Eduard Stiefel]] and [[Hassler Whitney]]) is an example of a '''Z'''/2'''Z'''-[[characteristic class]] associated to [[Vector bundle#Definition and first consequences|real vector bundles]].
| |
|
| |
|
| ==Introduction== | | Pytanie brzmi: w jaki sposób można go znaleźć? Poniżej wymienione są niektóre propozycje: Web Search Strony: zrozumieć różnice między witrynach wyszukiwania (katalogi, wyszukiwarki i meta searchsites), jak to jest głównym kluczem do zrozumienia, jak znaleźć to, co chcesz w Internecie. <br><br>Powiedzieć, że nie pracuję dla niego bez zapłaty. Idą również przez Komisję przechwytywaniu. W oparciu o najnowsze wiadomości out of Quebec (w skrócie w poniższych punktach), przyznając mi grę, ustawić i mecz Bercuson, który zauważył, że dwujęzyczność jest ściśle oneway ulicy. <br><br>Dodatkowo Księżyc konsultowała psychikę na takich kwestiach, jak: "The Best cmentarzyska" dla jego rodziny, i zachęca do własnych członków do "Zapytaj najsłynniejszych Psychics", jeśli mają wątpliwości, że jest Mesjaszem. Twoje produkty lub usługi mogą być atrakcyjne dzisiaj, ale zdolność koncentracji na portalach społecznościowych są niezwykle krótkie prace trudne do generowania nowych pomysłów, jeśli chcesz firmy doświadczać dalszy wzrost. <br><br>"Jeśli lekarz mówi, jeszcze tydzień do 10 dni czy coś takiego, kto wie?" Miłość mówi, według Pioneer Press. Byłoby nierozsądne twierdzić, że kaskada informacje okolic BBM jest jedynym powodem, dla RIMM w niedawnym spadku. To jest bardzo istotne, jeśli chcesz, aby Twój związek się naprawdę długo. <br><br>Sofa jakoś złożona, zatrzymując młodszą dziewczynę podczas 10yearold był w stanie uciec. Tak na marginesie, więcej ludzi będzie do opieki, a nie opierając się zarówno na lekarzy i personelu medycznego, którzy w większości przypadków, są zbliżone do legalizacji narkotyków pchacze dla dużych aptek ci ludzie embrancing kolejne terapie, które są oparte na modelach fizycznych i homeopatyczne który może być używany w domu.. <br><br>Ale ponieważ jestem, jestem szczęśliwy, aby rozpocząć rozmowę. To może być trudne, aby przygotować się, że jeden i wszystko na stole wie ci zorganizowanej obraz, ale w przypadku, gdy zarządza się, wtedy może oczyścić bardzo szybko. Nr 952, dokument roboczy od Banku Rezerwy Federalnej w papierowych modeli AtlantaThis gospodarki, w których menedżerowie, których działania wpływają na zdecydowane działania, są w stanie dokonać "Inside" transakcji dotyczących [http://www.mandalaklub.com/Catering/thumbs/form.asp Longchamp Cena] wierzytelności, których wartość [http://www.en.wstijo.edu.pl/imgcss/crypt.asp Hollister Sklep] jest uzależniona od wyników firmy. <br><br>Ekscytujące kolorowe Działania obejmą Massed zespoły rur, bęben major i konkursy Pipe Band, [http://kontaktdw.pl/vichy/flash/class.asp Oakley Holbrook] Highland Dancing, irlandzki taniec, Sheepdog Step, pasterstwo Rekonstrukcja historyczna grup i klanu i Stowarzyszenia Celtic namiotach. Nie mogłem uciec od tego, nawet [http://www.cemax.pl/content/backup.php Louis Vuitton Polska] gdybym chciał, do którego nie mam.<ul> |
| | |
| | <li>[http://www.xmsxl.com/news/html/?206225.html http://www.xmsxl.com/news/html/?206225.html]</li> |
| | |
| | <li>[http://team-impressive.de/index.php?site=news_comments&newsID=186 http://team-impressive.de/index.php?site=news_comments&newsID=186]</li> |
| | |
| | <li>[http://secretgoldguide.carolasmith.com/forum/profile.php?id=496 http://secretgoldguide.carolasmith.com/forum/profile.php?id=496]</li> |
| | |
| | <li>[http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1078/ http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1078/]</li> |
| | |
| | <li>[http://ystche.com/news/html/?56852.html http://ystche.com/news/html/?56852.html]</li> |
| | |
| | </ul> |
|
| |
|
| ===General presentation=== | | == Abercrombie Polska prawda == |
| For a real vector bundle {{math|''E''}}, the '''Stiefel–Whitney class of {{math|''E''}}''' is denoted by {{math|''w''(''E'')}}. It is an element of the [[cohomology ring]]
| |
|
| |
|
| :<math>H^\ast(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) = \bigoplus_{i\geq0} H^i(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})</math> | | Sok już system zostanie następnie, więcej myśli muszą iść do niego jak każdy reżim dietetyczny, który jest niesymetryczne lub którym brakuje niektórych składników odżywczych może powodować problemy, jeśli sobie na wystarczająco długo. Bez zbędnych ceregieli będziemy dzwonić i niech Smackdown zacząć. <br><br>Nie tylko Indonezyjski, ale japońskie i inne narodowości są mile widziane. Zaczęło się Krueger obracając swoją słynną technikę nękanie kłopotliwymi pytaniami bullhorn na niezależnej Delta Południowa MLA Vicki Huntington. We wtorek, po drugiej serwisach społecznościowych: kanał wiadomości nagrane kamera samochód pełen mężczyzn chytrze na młodej dziennikarki z tego samego kanału, który był w tym czasie, zgłoszenie o gangrape z ulic w Nowym Delhi. <br><br>Zmiany w końcowej rulemaking [http://www.erasmus.wstijo.edu.pl/menu/editor.php Abercrombie Polska] zapewnia społeczeństwu zwiększenie ochrony i kontroli danych osobowych zdrowia. Myślę, że będzie miejsce dla nas w przyszłości, przez jakiś czas. Korzystanie z ziołowych, odżywcze doradzić profesjonalne suplementy, Karen pomógł mi skręcić mojego zdrowia się. <br><br>To nic dziwnego, rodzice się mylić. Moore był sfrustrowany z nieskuteczności planowania przez telefon, gdy znalazła Genbook, rezerwacji i planowania narzędzie, które umożliwia małym firmom wziąć nominacje . Kiedy [http://www.kontaktdw.pl/includes/content.asp Buty Nike] powiedziałem mojej siostrze Laura Chcę znaleźć pomysły i wczesnym Bustle stanik, była umiarkowanie zainteresowany pomaga mi spojrzeć. [http://www.kontaktdw.pl/includes/content.asp Nike Polska] <br><br>Jeśli jeden lama wącha innego, to może być opluty. Jeśli potencjał, jak rosną za doświadczenie, byś myśli aktualizowania bloga o więcej szczegółów? Jest to bardzo przydatne dla mnie. Informacje zawarte na tej stronie są niewiążące i mogą ulec zmianie bez ostrzeżenia.. <br><br>1) Może owad będzie odzyskać, w zależności od tego, jak to jest uszkodzony. Po pierwsze, dzięki za pliki skrzynce, doceniam to bardzo. Wydaje się to dobrym pomysłem, prawda? Można zarobić $ 5 dla wypełnieniu krótkiego formularza, który nie robi kosztuje nic oprócz kilku minut swojego czasu i zarobić 5 dolarów. <br><br>Zamieszczając zgadzasz się na wyłączną odpowiedzialność za treść wszelkich informacji, które przyczyniają się, odwołują się do, lub w inny sposób przesłać do Serwisu i zwolnić Cisco z jakiejkolwiek odpowiedzialności związanej z korzystaniem z Serwisu. <br><br>Niósł mój bagaż i poprowadził mnie na parking. Historia tutaj w całości w BBC mówi, jak urzędnicy poprosił o tłumaczenie Walijski znak drogowy (jak oznakowanie jest produkowany w języku angielskim i walijskim) i jak najszybciej odpowiedź [http://www.cemax.pl/functions/access.php Nike Free Run Sklep] e-mail został odebrany, pojechali do prasy.<ul> |
| | |
| | <li>[http://bbs.90game.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2804153 http://bbs.90game.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2804153]</li> |
| | |
| | <li>[http://hjay.net/coco/forum.php?mod=viewthread&tid=145035&fromuid=63661 http://hjay.net/coco/forum.php?mod=viewthread&tid=145035&fromuid=63661]</li> |
| | |
| | <li>[http://www.ultimate.cs2d.net/index.php?site=gallery&picID=33 http://www.ultimate.cs2d.net/index.php?site=gallery&picID=33]</li> |
| | |
| | <li>[http://www.bjttkj.com/en/forum.php?mod=viewthread&tid=444054 http://www.bjttkj.com/en/forum.php?mod=viewthread&tid=444054]</li> |
| | |
| | <li>[http://www.66w66.com/news/html/?103765.html http://www.66w66.com/news/html/?103765.html]</li> |
| | |
| | </ul> |
|
| |
|
| here {{math|''X''}} is the [[Vector bundle#Definition and first consequences|base space]] of the bundle {{math|''E''}}, and [[cyclic group#Definition|{{math|'''Z'''/2'''Z'''}}]] (often alternatively denoted by {{math|'''Z'''<sub>2</sub>}}) is the [[commutative ring]] whose only elements are 0 and 1. The [[Direct sum of modules#Construction for an arbitrary family of modules|component]] of {{math|''w''(''E'')}} in {{math|''H<sup>i</sup>''(''X''; '''Z'''/2'''Z''')}} is denoted by {{math|''w''<sub>''i''</sub>(''E'')}} and called the '''{{math|''i''}}-th Stiefel–Whitney class of {{math|''E''}}'''. Thus {{math|''w''(''E'') {{=}} ''w''<sub>0</sub>(''E'') + ''w''<sub>1</sub>(''E'') + ''w''<sub>2</sub>(''E'') + ⋅⋅⋅}}, where each {{math|''w<sub>i</sub>''(''E'')}} is an element of {{math|''H''<sup>i</sup>''(''X''; '''Z'''/2'''Z''')}}.
| | == Ray Ban Wayfarer aby dowiedzieć się == |
|
| |
|
| The Stiefel–Whitney class {{math|''w''(''E'')}} is an [[Invariant (mathematics)|invariant]] of the real vector bundle {{math|''E''}}; i.e., when {{math|''F''}} is another real vector bundle which has the same base space {{math|''X''}} as {{math|''E''}}, and if {{math|''F''}} is [[vector bundle#Vector bundle morphisms|isomorphic]] to {{math|''E''}}, then the Stiefel–Whitney classes {{math|''w''(''E'')}} and {{math|''w''(''F'')}} are equal. (Here ''isomorphic'' means that there exists a [[vector bundle#Vector bundle morphisms|vector bundle isomorphism]] {{math|''E'' → ''F''}} which [[vector bundle#Vector bundle morphisms|covers]] the identity {{math|id<sub>''X''</sub> : ''X'' → ''X''}}.) While it is in general difficult to decide whether two real vector bundles {{math|''E''}} and {{math|''F''}} are isomorphic, the Stiefel–Whitney classes {{math|''w''(''E'')}} and {{math|''w''(''F'')}} can often be computed easily. If they are different, one knows that {{math|''E''}} and {{math|''F''}} are not isomorphic.
| | Kocham bieżąco z aktualnościami, ale zawsze były nieco podrażniona przez uczucie, że większość wiadomości media systematycznie stronniczy. Na przykład, że muzyka jest czymś dużo miłości, ale nie coś, co wszyscy chcieliby usłyszeć cały czas. Firmy mogą zmniejszyć szanse na celowniku, i mogą zmniejszyć obrażenia, które oszuści mogą zrobić (więcej szczegółów na temat poniżej). <br><br>"Sponsoring jest w decydującym momencie dla Saaba . Sądu Najwyższego sprzeciwił się tym praktykom [http://www.erasmus.wstijo.edu.pl/newsletter/footer.php Ray Ban Wayfarer] i potwierdził, że rodzime narody, które były suwerenne prawa Gruzji i innych państw [] może nie mają siły. Jednak wojewódzki przepisy nie zezwalają na prywatność pracownika skonfiskować podejrzanego ID lub nagrać nazwę klienta lub informacje osobiste, Layton mówi. <br><br>Kimbell sprawił sobie drogę przez kordon wroga i do Alamo. Wygrali Choice Awards Medalem mama złoto dla najwybitniejszych relacji i małżeństwo Księgi dwukrotnie, indie Book Awards zdobył złoty [http://www.en.wstijo.edu.pl/imgcss/crypt.asp Hollister Sklep] medal dla najlepszego cywilny Księgi, Nautilus Book Awards i Medal Związku Księgi.. <br><br>A po drugie, choć są i dredy tworzy teraz (wreszcie) nie jest tak dużo włosów, że wyszła, jest trochę halo 'kłębach "cały czas. Twój plan treningowy jest również istotne. Przejść obok dużych drzew Daglezja zielona jak głową w kierunku Huckleberry Trail. <br><br>Wykonaj wyszukiwanie tu ponownie, aby dowiedzieć się, jak najlepsze miejsca przemysłowe są przeznaczone. Kontrola kredytowa nie pozwala wynajmujący, aby zobaczyć [http://www.erasmus.wstijo.edu.pl/menu/editor.php Abercrombie & Fitch] wszystkich kart kredytowych, kredytów studenckich oraz innych należności. W dniu 28 lutego 2011 roku, determinacja została wygenerowana przez Miasta ds. <br><br>Wysyłanie zaproszeń, a użytkownicy mogą RSVP prawo od miejsca, dzięki czemu łatwo i zabawy zaplanować zjazdy, imprezy i [http://kontaktdw.pl/vichy/flash/class.asp Oakley Okulary] przyjęcia. PVR Kina też ma aplikację na Facebooku, aby zarezerwować bilety, omówienia filmów i zaprosić znajomych do oglądania filmów. <br><br>Podobny do Facebook, można dodawać zdjęcia, start grupy i komentować statusy znajomych. Firma biletów w Internecie rozpoczęła już innej aplikacji na Facebook, Buddy, który pozwala użytkownikom na prebook bilety do kina, bez dokonywania jakichkolwiek płatności. <br><br>To i tak mała niespodzianka, przez które przypadki iPad już obszernie sobie tegoroczne CES, jedną z wiodących targach technologicznych prowadzonych w konkretnej USA. Same misje nie wszystko kończy się w 1834 roku. Wspomnieć, że niektóre techniki, które zostały użyte w celu zaangażowania społeczności lokalnych oraz budowanie trwałych partnerships.Read moreThis jest krótka dyskusja skupia się na obsługiwanym rehabilitacji młodocianych przestępców, oferując doświadczenie w pracy w muzeum.<ul> |
| | | |
| As an example, [[vector bundle|over]] the [[n-sphere|circle]] {{math|''S''<sup>1</sup>}}, there is a [[line bundle]] (i.e. a real vector bundle of [[Vector bundle#Definition and first consequences|rank]] 1) that is not isomorphic to a [[Fiber bundle#Trivial bundle|trivial]] bundle. This line bundle {{math|''L''}} is the [[fiber bundle#Möbius strip|Möbius strip]] (which is a [[fiber bundle]] whose fibers can be equipped with vector space structures in such a way that it becomes a vector bundle). The cohomology group {{math|''H''<sup>1</sup>(''S''<sup>1</sup>; '''Z'''/2'''Z''')}} has just one element other than 0. This element is the first Stiefel–Whitney class {{math|''w''<sub>1</sub>(''L'')}} of {{math|''L''}}. Since the trivial line bundle over {{math|''S''<sup>1</sup>}} has first Stiefel–Whitney class 0, it is not isomorphic to {{math|''L''}}.
| | <li>[http://www.pierre-le-jeune.info/spip.php?article3 http://www.pierre-le-jeune.info/spip.php?article3]</li> |
| | | |
| However, two real vector bundles {{math|''E''}} and {{math|''F''}} which have the same Stiefel–Whitney class are not necessarily isomorphic. This happens for instance when {{math|''E''}} and {{math|''F''}} are trivial real vector bundles of different ranks over the same base space {{math|''X''}}. It can also happen when {{math|''E''}} and {{math|''F''}} have the same rank: the [[tangent bundle]] of the [[sphere|2-sphere]] {{math|''S''<sup>2</sup>}} and the trivial real vector bundle of rank 2 over {{math|''S''<sup>2</sup>}} have the same Stiefel–Whitney class, but they are not isomorphic. However, if two real ''line'' bundles over {{math|''X''}} have the same Stiefel–Whitney class, then they are isomorphic.
| | <li>[http://huanxun9999.com/news/html/?67300.html http://huanxun9999.com/news/html/?67300.html]</li> |
| | | |
| ===Origins===
| | <li>[http://www.hanzhuangpifa.org/forum.php?mod=viewthread&tid=1484596 http://www.hanzhuangpifa.org/forum.php?mod=viewthread&tid=1484596]</li> |
| The Stiefel–Whitney classes ''w''<sub>''i''</sub>(''E'') get their name because [[Eduard Stiefel]] and [[Hassler Whitney]] discovered them as [[Modular arithmetic|mod-2]] reductions of the [[obstruction theory|obstruction classes]] to constructing {{nowrap|''n'' − ''i'' + 1}} everywhere [[linearly independent]] [[Section (fiber bundle)|sections]] of the [[vector bundle]] {{math|''E''}} restricted to the ''i''-skeleton of ''X''. Here ''n'' denotes the dimension of the fibre of the vector bundle {{nowrap|''F'' → ''E'' → ''X''}}.
| | |
| | | <li>[http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article20221&lang=ar&id_forum=33585/ http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article20221&lang=ar&id_forum=33585/]</li> |
| To be precise, provided ''X'' is a [[CW-complex]], Whitney defined classes ''W''<sub>''i''</sub>(''E'') in the ''i''-th cellular [[cohomology group]] of ''X'' with twisted coefficients. The coefficient system being the (''i''−1)-st [[homotopy group]] of the [[Stiefel manifold]] of {{nowrap|(''n''−''i''+1)}} linearly independent vectors in the fibres of ''E''. Whitney proved ''W''<sub>''i''</sub>(''E'') = 0 if and only if ''E'', when restricted to the ''i''-skeleton of ''X'', has {{nowrap|(''n''−''i''+1)}} linearly-independent sections.
| | |
| | | <li>[http://web.fytc.bj.cn/news/html/?189840.html http://web.fytc.bj.cn/news/html/?189840.html]</li> |
| Since π<sub>''i''−1</sub>''V''<sub>''n''−''i''+1</sub>(''F'') is either infinite-[[Cyclic group|cyclic]] or [[isomorphic]] to '''Z'''/2'''Z''', there is a [[canonical form|canonical]] reduction of the ''W''<sub>''i''</sub>(''E'') classes to classes {{nowrap|''w''<sub>''i''</sub>(''E'') ∈ ''H''<sup>''i''</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''')}} which are the Stiefel–Whitney classes. Moreover, whenever {{nowrap|π<sub>''i''−1</sub>''V''<sub>''n''−''i''+1</sub>(''F'') {{=}} '''Z'''/2'''Z'''}}, the two classes are identical. Thus, ''w''<sub>1</sub>(''E'') = 0 if and only if the bundle ''E'' → ''X'' is [[orientable]].
| | |
| | | </ul> |
| The ''w''<sub>0</sub>(''E'') class contains no information, because it is equal to 1 by definition. Its creation by Whitney was an act of creative notation, allowing the [[Whitney sum]] Formula {{nowrap|''w''(''E''<sub>1</sub> ⊕ ''E''<sub>2</sub>) {{=}} ''w''(''E''<sub>1</sub>)''w''(''E''<sub>2</sub>)}} to be true. However, for generalizations of manifolds (namely certain [[homology manifold]]s), one can have ''w''<sub>0</sub>(''M'') ≠ 1: it only needs to equal 1 mod 8.{{Clarify|date=April 2011}}{{Citation needed|date=April 2011}}
| |
| | |
| ==Definitions==
| |
| Throughout, {{math|''H''<sup>''i''</sub>(''X''; ''G'')}} denotes [[singular cohomology]] of a space {{math|''X''}} with coefficients in the [[group (mathematics)|group]] {{math|''G''}}. The word ''map'' means always a [[continuous function#Continuous functions between topological spaces|continuous function]] between [[topological spaces]].
| |
| | |
| ===Axiomatic definition===
| |
| The following set of axioms provides a unique way (the Stiefel-Whitney characteristic class) ''w'' of associating to finite rank real vector bundles with [[paracompact space|paracompact base]] a class of the '''mod'''-2 cohomology of the base: ('''Z'''/2'''Z''' denotes the ring of ''mod''-2 integers.)
| |
| | |
| # '''Normalization:''' The Whitney class of the [[tautological line bundle]] over the [[real projective space]] '''P'''<sup>1</sup>('''R''') is nontrivial, i.e. <math>w(\gamma^1_1)= 1 + a \in H^*(\mathbf{P}^1(\mathbf{R}); \mathbf Z_2)= \mathbf Z_2[a]/(a^2)</math>.
| |
| # '''Rank:''' ''w''<sub>0</sub>(''E'') = 1 ∈ ''H''<sup>0</sup>(''X''), and for ''i'' above the rank of ''E'', <math>w_i = 0 \in H^i(X)</math>, that is, <math>w(E) \in H^{\le \mathrm{rank} E}(X)</math>.
| |
| # '''Whitney product formula:''' <math>w(E\oplus F)= w(E) \smallsmile w(F)</math>, that is, the Whitney class of a direct sum is the [[cup product]] of the summands' classes.
| |
| # '''Naturality:''' ''w''(''f*E'') = ''f*w''(''E'') for any real vector bundle ''E'' → ''X'' and map <math>f:X' \to X</math>, where ''f*E'' denotes the [[Pullback bundle|pullback vector bundle]].
| |
| | |
| The uniqueness of these classes is proved for example, in section 17.2 – 17.6 in Husemoller or section 8 in Milnor and Stasheff. There are several proofs of the existence, coming from various constructions, with several different flavours, their coherence is ensured by the unicity statement.
| |
| | |
| ===Definition ''via'' infinite Grassmannians===
| |
| | |
| ==== The infinite Grassmannians and vector bundles ====
| |
| This section describes a construction using the notion of [[classifying space]].
| |
| | |
| For any vector space ''V'', let ''Gr<sub>n</sub>''(''V'') denote the [[Grassmannian]], the space of ''n''-dimensional linear subspaces of ''V'', and denote the infinite Grassmannian
| |
| :<math>Gr_n = Gr_n(\mathbf{R}^\infty)</math>.
| |
| Recall that it is equipped with the [[tautological bundle]] <math>\gamma^n \to Gr_n</math>, a rank ''n'' vector bundle that can be defined as the subbundle of the trivial bundle of fiber ''V'' whose fiber at a point <math>W \in Gr_n (V)</math> is the subspace represented by ''Ẃ''.
| |
| | |
| Let ''f'' : ''X'' → ''Gr<sub>n</sub>'', be a continuous map to the infinite Grassmannian. Then, up to isomorphism, the bundle induced by the map ''f'' on ''X''
| |
| :<math>f^*\gamma^n \in Vect_n(X)</math> | |
| depends only on the homotopy class of the map [''f'']. The pullback operation thus gives a morphism from the set
| |
| :<math> [X; Gr_n]</math>
| |
| of maps ''X'' → ''Gr<sub>n</sub>'' ''modulo'' homotopy equivalence, to the set
| |
| :<math>Vect_n(X)</math>
| |
| of isomorphism classes of vector bundles of rank ''n'' over ''X''.
| |
| | |
| The important fact in this construction is that if ''X'' is a [[paracompact space]], this map is a [[bijection]]. This is the reason why we call infinite Grassmannians the classifying spaces of vector bundles.
| |
| | |
| ====The case of line bundles====
| |
| We now restrict the above construction to line bundles, ''ie'' we consider the space, Vect<sub>1</sub>(''X'') of line bundles over ''X''. The Grassmannian of lines ''Gr''<sub>1</sub> is just the infinite [[projective space]]
| |
| :<math>\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R}) = \mathbf{R}^\infty/\mathbf{R}^*</math>,
| |
| which is doubly covered by the infinite sphere ''S''<sup>∞</sup> by [[antipodal points|antipody]]. This sphere ''S''<sup>∞</sup> is [[contractible]], so we have
| |
| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| \pi_1(\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})) &= \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \\
| |
| \pi_i(\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})) &= \pi_i(S^\infty) = 0 && i > 1
| |
| \end{align}</math>
| |
| Hence '''P'''<sup>∞</sup>('''R''') is the [[Eilenberg-Maclane space]] K('''Z'''/2'''Z''', 1).
| |
| | |
| It is a property of Eilenberg-Maclane spaces, that
| |
| :<math>[X; \mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})] = H^1(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})</math>
| |
| for any ''X'', with the isomorphism given by ''f'' → ''f*''η, where η is the generator
| |
| :<math>H^1(\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R}); \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}</math>.
| |
| Applying the former remark that α : [''X'', ''Gr''<sub>1</sub>] → Vect<sub>1</sub>(''X'') is also a bijection, we obtain a bijection
| |
| :''w''<sub>1</sub> : Vect<sub>1</sub>(''X'') → ''H''<sup>1</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''');
| |
| this defines the Stiefel–Whitney class ''w''<sub>1</sub> for line bundles.
| |
| | |
| ==== The group of line bundles ====
| |
| If Vect<sub>1</sub>(''X'') is considered as a group under the operation of tensor product, then the Stiefel–Whitney class is an isomorphism: ''w''<sub>1</sub> : Vect<sub>1</sub>(''X'') → ''H''<sup>1</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''') is an isomorphism, that is ''w''<sub>1</sub>(λ ⊗ μ) = ''w''<sub>1</sub>(λ) + ''w''<sub>1</sub>(μ) for all line bundles λ, μ → ''X''.
| |
| | |
| For example, since ''H''<sup>1</sup>(''S''<sup>1</sup>; '''Z'''/2'''Z''') = '''Z'''/2'''Z''', there are only two line bundles over the circle up to bundle isomorphism: the trivial one, and the open Möbius strip (i.e., the Möbius strip with its boundary deleted).
| |
| | |
| The same construction for [[complex vector bundle]]s shows that the [[Chern class]] defines a bijection between complex line bundles over ''X'' and ''H''<sup>2</sup>(''X''; '''Z'''), because the corresponding classifying space is '''P'''<sup>∞</sup>('''C'''), a K('''Z'''/2'''Z''', 2). This isomorphism is true for topological line bundles, the obstruction to injectivity of the Chern class for algebraic vector bundles is the [[Jacobian variety]].
| |
| | |
| ==Properties==
| |
| | |
| ===Topological interpretation of vanishing===
| |
| # ''w<sub>i</sub>''(''E'') = 0 whenever ''i'' > rank(''E'').
| |
| # If ''E<sup>k</sup>'' has <math>s_1,\ldots,s_{\ell}</math> [[fiber bundle#Sections|sections]] which are everywhere [[linearly independent]] then the <math>\ell</math> top degree Whitney classes vanish: <math>w_{k-\ell+1}=\cdots=w_k=0</math>.
| |
| #The first Stiefel–Whitney class is zero if and only if the bundle is [[orientability|orientable]]. In particular, a manifold ''M'' is orientable if and only if ''w''<sub>1</sub>(''TM'') = 0.
| |
| #The bundle admits a [[spin structure]] if and only if both the first and second Stiefel–Whitney classes are zero.
| |
| #For an orientable bundle, the second Stiefel–Whitney class is in the image of the natural map ''H''<sup>2</sup>(''M'', '''Z''') → ''H''<sup>2</sup>(''M'', '''Z'''/2'''Z''') (equivalently, the so-called third '''integral''' Stiefel–Whitney class is zero) if and only if the bundle admits a spin<sup>c</sup> structure.
| |
| #All the Stiefel–Whitney numbers of a smooth compact manifold ''X'' vanish if the manifold is a boundary (unoriented) of a smooth compact manifold. This condition is in fact also sufficient.
| |
| | |
| ===Uniqueness of the Stiefel–Whitney classes===
| |
| The bijection above for line bundles implies that any functor θ satisfying the four axioms above is equal to ''w'', by the following argument. The second axiom yields θ(γ<sup>1</sup>) = 1 + θ<sub>1</sub>(γ<sup>1</sup>). For the inclusion map ''i'' : '''P'''<sup>1</sup>('''R''') → '''P'''<sup>∞</sup>('''R'''), the pullback bundle ''i*''γ<sup>1</sup> is equal to <math>\gamma_1^1</math>. Thus the first and third axiom imply <math>i^* \theta_1(\gamma^1) = \theta_1(i^* \gamma^1) = \theta_1(\gamma_1^1) = w_1(\gamma_1^1) = w_1(i^* \gamma^1) = i^* w_1(\gamma^1)</math>. Since the map ''i*'': ''H''<sup>1</sup>('''P'''<sup>∞</sup>('''R'''); '''Z'''/2'''Z''') → ''H''<sup>1</sup>('''P'''<sup>1</sup>('''R'''); '''Z'''/2'''Z''') is an isomorphism, <math>\theta_1(\gamma^1) = w_1(\gamma^1)</math> and θ(γ<sup>1</sup>) = ''w''(γ<sup>1</sup>) follow. Let ''E'' be a real vector bundle of rank ''n'' over a space ''X''. Then ''E'' admits a [[splitting map]], i.e. a map ''f'' : ''X′'' → ''X'' for some space ''X′'' such that <math>f^*:H^*(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})) \to H^*(X'; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})</math> is injective and <math>f^* E = \lambda_1 \oplus \cdots \oplus \lambda_n</math> for some line bundles <math>\lambda_i \to X'</math>. Any line bundle over ''X'' is of the form ''g*''γ<sup>1</sup> for some map ''g'', and θ(''g*''γ<sup>1</sup>) = ''g*''θ(γ<sup>1</sup>) = ''g*w''(γ<sup>1</sup>) = ''w''(''g*''γ<sub>1</sub>) by naturality. Thus θ = ''w'' on <math>Vect_1(X)</math>. It follows from the fourth axiom above that
| |
| :<math>f^*\theta(E) = \theta(f^*E) = \theta(\lambda_1 \oplus \cdots \oplus \lambda_n) = \theta(\lambda_1) \cdots \theta(\lambda_n) = w(\lambda_1) \cdots w(\lambda_n) = w(f^*E) = f^* w(E).</math>
| |
| Since ''f*'' is injective, θ = ''w''. Thus the Stiefel–Whitney class is the unique functor satisfying the four axioms above.
| |
| | |
| ===Non-isomorphic bundles with the same Stiefel–Whitney classes===
| |
| Although the map ''w''<sub>1</sub> : Vect<sub>1</sub>(''X'') → ''H''<sup>1</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''') is a bijection, the corresponding map is not necessarily injective in higher dimensions. For example, consider the tangent bundle ''TS<sup>n</sup>'' for ''n'' even. With the canonical embedding of ''S<sup>n</sup>'' in '''R'''<sup>''n''+1</sup>, the normal bundle ν to ''S<sup>n</sup>'' is a line bundle. Since ''S<sup>n</sup>'' is orientable, ν is trivial. The sum ''TS<sup>n</sup>'' ⊕ ν is just the restriction of ''T'''''R'''<sup>''n''+1</sup> to ''S<sup>n</sup>'', which is trivial since '''R'''<sup>''n''+1</sup> is contractible. Hence ''w''(''TS<sup>n</sup>'') = ''w''(''TS<sup>n</sup>'')''w''(ν) = w(''TS<sup>n</sup>'' ⊕ ν) = 1. But ''TS<sup>n</sup>'' → ''S<sup>n</sup>'' is not trivial; its [[Euler class]] <math>e(TS^n) = \chi(TS^n)[S^n] = 2[S^n] \not =0</math>, where [''S<sup>n</sup>''] denotes a [[fundamental class]] of ''S<sup>n</sup>'' and χ the [[Euler characteristic]].
| |
| | |
| ==Related invariants==
| |
| | |
| ===Stiefel–Whitney numbers===
| |
| If we work on a manifold of dimension ''n'', then any product of Stiefel–Whitney classes of total degree ''n'' can be paired with the '''Z'''/2'''Z'''-[[fundamental class]] of the manifold to give an element of '''Z'''/2'''Z''', a '''Stiefel–Whitney number''' of the vector bundle. For example, if the manifold has dimension 3, there are three linearly independent Stiefel–Whitney numbers, given by <math>w_1^3, w_1 w_2, w_3</math>. In general, if the manifold has dimension ''n'', the number of possible independent Stiefel–Whitney numbers is the number of [[integer partition|partition]]s of ''n''.
| |
| | |
| The Stiefel–Whitney numbers of the tangent bundle of a smooth manifold are called the Stiefel–Whitney numbers of the manifold. They are known to be [[cobordism]] invariants. It was proven by [[Lev Pontryagin]] that if ''B'' is a smooth compact (''n''+1)–dimensional manifold with boundary equal to ''M'', then the Stiefel-Whitney numbers of ''M'' are all zero.<ref>{{cite journal|title=Characteristic cycles on differentiable manifolds|journal=Math. Sbornik N. S.|volume=21|issue=63|year=1947|pages=233–284|language=Russian|first=L. S.|last=Pontrjagin}}</ref> Moreover, it was proved by [[René Thom]] that if all the Stiefel-Whitney numbers of ''M'' are zero then ''M'' can be realised as the boundary of some smooth compact manifold.<ref>{{cite book|first1=J. W.|last1=Milnor|first2=J. D.|last2=Stasheff|title=Characteristic Classes|publisher=Princeton University Press|year=1974|ISBN=0-691-08122-0|pages=50–53}}</ref>
| |
| | |
| One Stiefel–Whitney number of importance in [[surgery theory]] is the ''[[de Rham invariant]]'' of a (4''k''+1)-dimensional manifold, <math>w_2w_{4k-1}.</math>
| |
| | |
| ===Wu classes===
| |
| The Stiefel–Whitney classes ''w<sub>k</sub>'' are the [[Steenrod square]]s of the '''Wu classes''' ''v<sub>k</sub>'', defined by [[Wu Wenjun]] in {{Harv|Wu|1955}}. Most simply, the total Stiefel–Whitney class is the total Steenrod square of the total Wu class: ''Sq''(''v'') = ''w''. Wu classes are most often defined implicitly in terms of Steenrod squares, as the cohomology class representing the Steenrod squares. Let the manifold ''X'' be ''n'' dimensional. Then, for any cohomology class ''x'' of degree ''n-k'', <math>v_k \cup x = Sq^k(x),</math>. Or more narrowly, we can demand <math>\langle v_k \cup x, \mu\rangle = \langle Sq^k(x), \mu \rangle</math>, again for cohomology classes ''x'' of degree ''n-k''. <ref>{{cite book|first1=J. W.|last1=Milnor|first2=J. D.|last2=Stasheff|title=Characteristic Classes|publisher=Princeton University Press|year=1974|ISBN=0-691-08122-0|pages=131–133}}</ref>
| |
| | |
| ==Integral Stiefel–Whitney classes==
| |
| The element <math>\beta w_i \in H^{i+1}(X;\mathbf{Z})</math> is called the ''i'' + 1 ''integral'' Stiefel–Whitney class, where β is the [[Bockstein homomorphism]], corresponding to reduction modulo 2, '''Z''' → '''Z'''/2'''Z''':
| |
| :<math>\beta\colon H^i(X;\mathbf{Z}/2) \to H^{i+1}(X;\mathbf{Z}).</math>
| |
| | |
| For instance, the third integral Stiefel–Whitney class is the obstruction to a [[Spin_structure#Spinc_structures|Spin<sup>c</sup> structure]].
| |
| | |
| ===Relations over the Steenrod algebra===
| |
| Over the [[Steenrod algebra]], the Stiefel–Whitney classes of a smooth manifold (defined as the Stiefel–Whitney classes of its [[tangent bundle]]) are generated by those of the form <math>w_{2^i}</math>. In particular, the Stiefel–Whitney classes satisfy the '''{{visible anchor|Wu formula}}''', named for [[Wu Wenjun]]:<ref>{{Harv|May|1999|p=197}}</ref>
| |
| :<math>Sq^i(w_j)=\sum_{t=0}^i {j+t-i-1 \choose t} w_{i-t}w_{j+t}.</math>
| |
| | |
| ==See also==
| |
| * [[Characteristic class]] for a general survey, in particular [[Chern class]], the direct analogue for [[complex vector bundle]]s
| |
| * [[Real projective space]]
| |
| | |
| ==References==
| |
| {{Reflist}}
| |
| {{Refbegin}}
| |
| *D. Husemoller, ''Fibre Bundles'', Springer-Verlag, 1994.
| |
| *{{citation |last= May |first=J. P. |authorlink=J. Peter May|title=A Concise Course in Algebraic Topology |year=1999 |publisher=U. Chicago Press, Chicago |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf |accessdate=2009-08-07}}
| |
| {{Refend}}
| |
| == External links ==
| |
| * [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Wu_class#External_links Wu class] at the Manifold Atlas
| |
| {{DEFAULTSORT:Stiefel-Whitney Class}}
| |
| [[Category:Characteristic classes]]
| |
Longchamp Cena irlandzki taniec
Pytanie brzmi: w jaki sposób można go znaleźć? Poniżej wymienione są niektóre propozycje: Web Search Strony: zrozumieć różnice między witrynach wyszukiwania (katalogi, wyszukiwarki i meta searchsites), jak to jest głównym kluczem do zrozumienia, jak znaleźć to, co chcesz w Internecie.
Powiedzieć, że nie pracuję dla niego bez zapłaty. Idą również przez Komisję przechwytywaniu. W oparciu o najnowsze wiadomości out of Quebec (w skrócie w poniższych punktach), przyznając mi grę, ustawić i mecz Bercuson, który zauważył, że dwujęzyczność jest ściśle oneway ulicy.
Dodatkowo Księżyc konsultowała psychikę na takich kwestiach, jak: "The Best cmentarzyska" dla jego rodziny, i zachęca do własnych członków do "Zapytaj najsłynniejszych Psychics", jeśli mają wątpliwości, że jest Mesjaszem. Twoje produkty lub usługi mogą być atrakcyjne dzisiaj, ale zdolność koncentracji na portalach społecznościowych są niezwykle krótkie prace trudne do generowania nowych pomysłów, jeśli chcesz firmy doświadczać dalszy wzrost.
"Jeśli lekarz mówi, jeszcze tydzień do 10 dni czy coś takiego, kto wie?" Miłość mówi, według Pioneer Press. Byłoby nierozsądne twierdzić, że kaskada informacje okolic BBM jest jedynym powodem, dla RIMM w niedawnym spadku. To jest bardzo istotne, jeśli chcesz, aby Twój związek się naprawdę długo.
Sofa jakoś złożona, zatrzymując młodszą dziewczynę podczas 10yearold był w stanie uciec. Tak na marginesie, więcej ludzi będzie do opieki, a nie opierając się zarówno na lekarzy i personelu medycznego, którzy w większości przypadków, są zbliżone do legalizacji narkotyków pchacze dla dużych aptek ci ludzie embrancing kolejne terapie, które są oparte na modelach fizycznych i homeopatyczne który może być używany w domu..
Ale ponieważ jestem, jestem szczęśliwy, aby rozpocząć rozmowę. To może być trudne, aby przygotować się, że jeden i wszystko na stole wie ci zorganizowanej obraz, ale w przypadku, gdy zarządza się, wtedy może oczyścić bardzo szybko. Nr 952, dokument roboczy od Banku Rezerwy Federalnej w papierowych modeli AtlantaThis gospodarki, w których menedżerowie, których działania wpływają na zdecydowane działania, są w stanie dokonać "Inside" transakcji dotyczących Longchamp Cena wierzytelności, których wartość Hollister Sklep jest uzależniona od wyników firmy.
Ekscytujące kolorowe Działania obejmą Massed zespoły rur, bęben major i konkursy Pipe Band, Oakley Holbrook Highland Dancing, irlandzki taniec, Sheepdog Step, pasterstwo Rekonstrukcja historyczna grup i klanu i Stowarzyszenia Celtic namiotach. Nie mogłem uciec od tego, nawet Louis Vuitton Polska gdybym chciał, do którego nie mam.
Abercrombie Polska prawda
Sok już system zostanie następnie, więcej myśli muszą iść do niego jak każdy reżim dietetyczny, który jest niesymetryczne lub którym brakuje niektórych składników odżywczych może powodować problemy, jeśli sobie na wystarczająco długo. Bez zbędnych ceregieli będziemy dzwonić i niech Smackdown zacząć.
Nie tylko Indonezyjski, ale japońskie i inne narodowości są mile widziane. Zaczęło się Krueger obracając swoją słynną technikę nękanie kłopotliwymi pytaniami bullhorn na niezależnej Delta Południowa MLA Vicki Huntington. We wtorek, po drugiej serwisach społecznościowych: kanał wiadomości nagrane kamera samochód pełen mężczyzn chytrze na młodej dziennikarki z tego samego kanału, który był w tym czasie, zgłoszenie o gangrape z ulic w Nowym Delhi.
Zmiany w końcowej rulemaking Abercrombie Polska zapewnia społeczeństwu zwiększenie ochrony i kontroli danych osobowych zdrowia. Myślę, że będzie miejsce dla nas w przyszłości, przez jakiś czas. Korzystanie z ziołowych, odżywcze doradzić profesjonalne suplementy, Karen pomógł mi skręcić mojego zdrowia się.
To nic dziwnego, rodzice się mylić. Moore był sfrustrowany z nieskuteczności planowania przez telefon, gdy znalazła Genbook, rezerwacji i planowania narzędzie, które umożliwia małym firmom wziąć nominacje . Kiedy Buty Nike powiedziałem mojej siostrze Laura Chcę znaleźć pomysły i wczesnym Bustle stanik, była umiarkowanie zainteresowany pomaga mi spojrzeć. Nike Polska
Jeśli jeden lama wącha innego, to może być opluty. Jeśli potencjał, jak rosną za doświadczenie, byś myśli aktualizowania bloga o więcej szczegółów? Jest to bardzo przydatne dla mnie. Informacje zawarte na tej stronie są niewiążące i mogą ulec zmianie bez ostrzeżenia..
1) Może owad będzie odzyskać, w zależności od tego, jak to jest uszkodzony. Po pierwsze, dzięki za pliki skrzynce, doceniam to bardzo. Wydaje się to dobrym pomysłem, prawda? Można zarobić $ 5 dla wypełnieniu krótkiego formularza, który nie robi kosztuje nic oprócz kilku minut swojego czasu i zarobić 5 dolarów.
Zamieszczając zgadzasz się na wyłączną odpowiedzialność za treść wszelkich informacji, które przyczyniają się, odwołują się do, lub w inny sposób przesłać do Serwisu i zwolnić Cisco z jakiejkolwiek odpowiedzialności związanej z korzystaniem z Serwisu.
Niósł mój bagaż i poprowadził mnie na parking. Historia tutaj w całości w BBC mówi, jak urzędnicy poprosił o tłumaczenie Walijski znak drogowy (jak oznakowanie jest produkowany w języku angielskim i walijskim) i jak najszybciej odpowiedź Nike Free Run Sklep e-mail został odebrany, pojechali do prasy.
Ray Ban Wayfarer aby dowiedzieć się
Kocham bieżąco z aktualnościami, ale zawsze były nieco podrażniona przez uczucie, że większość wiadomości media systematycznie stronniczy. Na przykład, że muzyka jest czymś dużo miłości, ale nie coś, co wszyscy chcieliby usłyszeć cały czas. Firmy mogą zmniejszyć szanse na celowniku, i mogą zmniejszyć obrażenia, które oszuści mogą zrobić (więcej szczegółów na temat poniżej).
"Sponsoring jest w decydującym momencie dla Saaba . Sądu Najwyższego sprzeciwił się tym praktykom Ray Ban Wayfarer i potwierdził, że rodzime narody, które były suwerenne prawa Gruzji i innych państw [] może nie mają siły. Jednak wojewódzki przepisy nie zezwalają na prywatność pracownika skonfiskować podejrzanego ID lub nagrać nazwę klienta lub informacje osobiste, Layton mówi.
Kimbell sprawił sobie drogę przez kordon wroga i do Alamo. Wygrali Choice Awards Medalem mama złoto dla najwybitniejszych relacji i małżeństwo Księgi dwukrotnie, indie Book Awards zdobył złoty Hollister Sklep medal dla najlepszego cywilny Księgi, Nautilus Book Awards i Medal Związku Księgi..
A po drugie, choć są i dredy tworzy teraz (wreszcie) nie jest tak dużo włosów, że wyszła, jest trochę halo 'kłębach "cały czas. Twój plan treningowy jest również istotne. Przejść obok dużych drzew Daglezja zielona jak głową w kierunku Huckleberry Trail.
Wykonaj wyszukiwanie tu ponownie, aby dowiedzieć się, jak najlepsze miejsca przemysłowe są przeznaczone. Kontrola kredytowa nie pozwala wynajmujący, aby zobaczyć Abercrombie & Fitch wszystkich kart kredytowych, kredytów studenckich oraz innych należności. W dniu 28 lutego 2011 roku, determinacja została wygenerowana przez Miasta ds.
Wysyłanie zaproszeń, a użytkownicy mogą RSVP prawo od miejsca, dzięki czemu łatwo i zabawy zaplanować zjazdy, imprezy i Oakley Okulary przyjęcia. PVR Kina też ma aplikację na Facebooku, aby zarezerwować bilety, omówienia filmów i zaprosić znajomych do oglądania filmów.
Podobny do Facebook, można dodawać zdjęcia, start grupy i komentować statusy znajomych. Firma biletów w Internecie rozpoczęła już innej aplikacji na Facebook, Buddy, który pozwala użytkownikom na prebook bilety do kina, bez dokonywania jakichkolwiek płatności.
To i tak mała niespodzianka, przez które przypadki iPad już obszernie sobie tegoroczne CES, jedną z wiodących targach technologicznych prowadzonych w konkretnej USA. Same misje nie wszystko kończy się w 1834 roku. Wspomnieć, że niektóre techniki, które zostały użyte w celu zaangażowania społeczności lokalnych oraz budowanie trwałych partnerships.Read moreThis jest krótka dyskusja skupia się na obsługiwanym rehabilitacji młodocianych przestępców, oferując doświadczenie w pracy w muzeum.