Arrangement of hyperplanes: Difference between revisions

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{{Refimprove|date=September 2010}}
== E signori Occhiali Da Vista Gucci ==
[[Image:Euler AxisAngle.png|thumb|right|A rotation represented by an Euler axis and angle.]]


In [[geometry]], '''Euler's rotation theorem''' states that, in [[three-dimensional space]], any displacement of a rigid body such that a point on the rigid body remains fixed, is equivalent to a single rotation about some axis that runs through the fixed point. It also means that the composition of two rotations is also a rotation. Therefore the set of rotations has a structure known as a ''[[Rotation group SO(3)|rotation group]]''.
SANDRA: Spara lui! Sparagli! DISPATCHER: Sandra, stare in auto. SANDRA: Spara lui! LIZ HAYES: fanno sparare finalmente uccidere Travis. Compagna di vita di Sandra e [http://www.ilmercantedisogni.it/Slide/small/form.asp Occhiali Da Vista Gucci] pet era morto e il suo amico Charlie giacevano senza vita. SANDRA: Che altro potevo dire? Voglio dire, potrei dire di più? Lo amavo, ma l'amavo troppo. <br><br>Dopo Aiyana è spostata fuori con i suoi amici a cercare nuove attrazioni sul pavimento, Paes torna indietro e dice: 'Più a lungo la tengo lontano dal bar, meglio è!' Egli ricorda storie di ubriachi 16enni in negozi di giocattoli nella sua città natale ora Mumbai al, a volte inevitabile, bere cultura all'estero.<br><br>E signori, consente di scendere a qualche matematica. Il camion etanolo era un T35. Io sto per essere corretti, ma penso che la capacità massima di un T35 è di 3500 kg (3,5 tonnellate). Stando così le cose, The Herald afferma che il camion stava trasportando 45.000 [http://www.entecerma.it/Templates/AspInc/base.asp Tiffany Anelli] lites di etanolo. Ho appena controllato il peso di etanolo e ha scoperto che 1 litro di etanolo è 789 grammi (0.789 kg). Con un carico di 45 mila litri, è stato un disastro che stava per accadere, perché 45000 litri di etanolo pesano 35 505 kg, 505 kg [http://www.lipinutragen.it/Templates/Stili/list.asp Nike Air Max 2013] di sopra del limite consentito. Stando così le cose, un viaggio Chisumbanje Harare era troppo lungo. Immaginate che cosa sarebbe stato se il camion era scoppiato un pneumatico, per esempio, Mutare. Polizia, Batai vakuru ve Verde carburante.<br><br>Molti combattenti sono rimasti leccarsi le ferite dopo una notte selvaggia di combattimenti, tra cui Uriah Hall, che si avvicinò a corto di scorecard dei giudici contro John Howard (leggi qui). E Mauricio Rua, che ha lasciato cadere il suo secondo subito dopo essere stato costretto a toccare per Chael Sonnen in un round (evidenzia qui).<br><br>Egli sostiene di non essere troppo impressionato da Liverpool e capitano dell'Inghilterra Steven Gerrard, che tra l'altro ha superato Bobby Charlton settimana scorsa Inghilterra caps, scrivendo: 'Sono uno dei pochi che si sentiva Gerrard non era un top, top player quando Scholes. e Keane erano nella nostra squadra Gerrard raramente ha avuto un calcio contro di noi '.<br><br>Ma Nido è gestito in altre società, sostenendo che la sua tecnologia è stata violando. In particolare, è stato in un groviglio legale con Honeywell per qualche tempo, con quel gigante tecnologico sostenendo nel febbraio 2012 che Nest violato sette dei suoi brevetti riguardanti il ​​controllo dell'interfaccia utente e altre funzioni avanzate. Tra le tecnologie Honeywell ha detto Nest violato erano quelli che si occupano di programmazione di un termostato ponendo domande degli utenti come la temperatura che vogliono nella loro casa mentre sono via. Nest lottato e [http://www.lipinutragen.it/Templates/Stili/list.asp Nike Air Max 2014] ha intenzione di difendersi contro Honeywell in tribunale.<ul>
 
  <li>[http://bbs.gzlnews.gov.cn.s2.znnet.cn/home.php?mod=space&uid=136511 http://bbs.gzlnews.gov.cn.s2.znnet.cn/home.php?mod=space&uid=136511]</li>
 
  <li>[http://www.ty2013.com/news/html/?71011.html http://www.ty2013.com/news/html/?71011.html]</li>
 
  <li>[http://sunshinegrocerystore.com/news/html/?267049.html http://sunshinegrocerystore.com/news/html/?267049.html]</li>
 
  <li>[http://www.pierre-le-jeune.info/spip.php?article3 http://www.pierre-le-jeune.info/spip.php?article3]</li>
 
</ul>


The theorem is named after [[Leonhard Euler]], who proved it in 1775 by an elementary geometric argument. The axis of rotation is known as an '''Euler axis''', typically represented by a [[unit vector]] <math>\mathbf{\hat{e}}</math>. The extension of the theorem to [[kinematics]] yields the concept of [[instant axis of rotation]].
== e un raider  Tiffany Orecchini ==


In linear algebra terms, the theorem states that, in 3D space, any two Cartesian coordinate systems with a common origin are related by a rotation about some fixed axis. This also means that the product of two rotation matrices is again a rotation matrix and that for a non-identity [[rotation matrix]] it must happen that: one of its [[eigenvalues]] is 1 and the other two are -1, or it has only one real [[eigenvalue]] which is equal to unity. The [[eigenvector]] corresponding to this eigenvalue is the axis of rotation connecting the two systems.
Causey: sì. Tuttavia, ciò che nel vostro blog non può essere quello che ti piace. Per la instructable approfondita, roba buona :) Sono stato per modding mio Nerf / [http://www.entecerma.it/Templates/AspInc/base.asp Tiffany Orecchini] s per un po ', e [http://www.ilmercantedisogni.it/Popups/fold.asp Pandora Milano] io sono andato e rimosso i restrittori aerei da due cani sciolti, uno spettro, una lucciola, e un raider ( così come un mazzo di quelli non di marca nerf pure). <br><br>Obama ha offerto una vasta difesa dei programmi di sorveglianza rivelate nel corso degli ultimi sei mesi dopo che un sistema ex analista della NSA divulgate materiali classificati. O se tale IP è già sulla vostra LAN, in genere il 192.168.1.1 è il router gateway. <br><br>Congestione nasale nella rinite allergica è causata da un blocco del passaggio nasale da muco, così come a causa di edema del passaggio nasale interna. 'Per il nostro business, l'accesso al capitale è la cosa fondamentale. In onore della ricorrenza, il ministro degli Affari delle Donne ha ospitato i bianco camelia premi presso il Parlamento. <br><br>Ma aiutanti della campagna dicono di pensare sta camminando la linea giusta sostenendo sindacati senza apparire eccessivamente grato [http://www.entecerma.it/FCKeditor/editor/css/back.asp Beats By Dr Dre Italia] a loro.. L'attenzione del gruppo politico di Obama sul deficit solleva la domanda: Ma chi è questo ipotetico elettore medio termine che era appoggiato al GOP a causa delle preoccupazioni di deficit, ma voterà [http://www.ilmercantedisogni.it/Slide/small/form.asp Gucci Occhiali] democratico se solo il Congresso rifila una legge di spesa da, diciamo, 250 miliardi dollari fino a 80 miliardi dollari? La maggior parte degli elettori e la maggior parte dei giornalisti, del resto non possono indovinare entro pochi centinaia di miliardi ciò che il deficit di bilancio è, e avrebbero difficoltà a mettere una figura del dollaro sulle ultime offerte di lavoro proposta di legge. <br><br>A 109 pagina non classificati sezione del report rilasciato al pubblico di Domenica stabilito l'ampio piano per gli Stati Uniti per rinforzare le sue forze nella regione. L'importanza dell'educazione della prima infanzia. Invece di cercare di correggere i loro errori, punire i colpevoli, consentendo alle agenzie di fare il loro lavoro, il Primo Ministro e il suo team stanno cercando di indebolire non solo le agenzie di sondaggio ma stanno anche cercando di mettere in guardia e demoralizzare loro ', il leader del Bjp presunto.. <br><br>L'uomo che ha realizzato Dio nel 1993, il 3 guerra mondiale, quando avverrà e Nostradamus previsione. Sistemi elettrici di distribuzione sono costituiti principalmente da gruppi di cablaggi, morsetti e connettori e moduli di controllo, comprese le scatole di derivazione e scatole di fusibili.<ul>
 
  <li>[http://www.suranbindery.com/node/634085 http://www.suranbindery.com/node/634085]</li>
 
  <li>[http://rybnik360.pl/spip.php?article1&archives=2013-03-01/ http://rybnik360.pl/spip.php?article1&archives=2013-03-01/]</li>
 
  <li>[http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1895/ http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1895/]</li>
 
  <li>[http://www.dzghome.com/forum.php?mod=viewthread&tid=103117 http://www.dzghome.com/forum.php?mod=viewthread&tid=103117]</li>
 
</ul>


==Euler's theorem (1776)==
== allora è l'intera nazione che sarà il perdente Scarpe Mbt ==
[[Image:rotationtheorem.svg|right|thumb|240px|Construction showing the theorem for a rotated sphere whose Euler angles are [ψ,θ,φ]. Frame in blue is attached to the fixed sphere. Frame in red is fixed to the rotated sphere. The line of nodes N determines the point A of the theorem. The arcs ''Aa'' and ''Aα'' must be equal]]
Euler states the theorem as follows:<ref>Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20, 1776, pp. 189–207 (E478)</ref>


<blockquote>
Ho visto distintamente tutto il fosso al Bastione di Santa Maria sulla sinistra, e lungo una buona parte della controscarpa del volto di sinistra proprio del rivellino. I strapazzate immediatamente alla cima del rivellino a cercare la strada per la violazione centro, avendo avuto nessun ordine di attaccare nessuno in particolare; e sulla sommità del parapetto del corretto faccia sinistra è stato colpito da [http://www.rifugiamoci.it/ImgCatalogo/Animazione/menu.asp Scarpe Mbt] una palla di moschetto sull'osso del ginocchio destro, e arrotolato sulla faccia sinistra del rivellino in tre o quattro metri d'acqua. Proprio mentre cadevo, lo scarico di un pezzo campo dal fianco di Santa Maria passò vicino a me, appuntito, molto probabilmente, alla testa di Tlie Stormers Divisione 4, che potrebbe in questo momento sono state facendo il loro primo tentativo di scendere la controscarpa fronte La Trinidad.. <br><br>Gentleman è il reggae DJ che può contenere il proprio con Sean Paul. Olli Banjo è un nuovo ed energico rapper che mi ricorda Elephant Man. Kool Savas è un tedesco turco che è un thuggish [http://www.rifugiamoci.it/ImgCatalogo/home/mail.asp Louis Vuitton Milano] MC simile a DMX, ma senza tutto il dramma teatrale off. 'Si ottiene per iniziare a pulire mentre io scavare un buco impressionante, mentre [http://www.rifugiamoci.it/ImgCatalogo/home/mail.asp Louis Vuitton Roma] io sto cercando di pagare 400 mila dollari dopo dollari di tasse per inviare le nostre ragazze al college. Mio reddito è sceso di quasi la metà. Mia pratica è in pezzi, e hai una soluzione basata su quello che è probabilmente l'anno più grande della mia carriera. <br><br>Ottimizzazione dei motori di ricerca è solo un elemento di una intera campagna di marketing digitale, ma è sicuramente uno dei più importanti. Poiché la successione degli aggiornamenti algoritmo scosso il settore web ultimamente, giocare e vincere la partita SEO è adesso considerato uno sforzo più intricato da giocatori meno abili. Ma le aziende più brillanti, esperti di marketing e web master rimangono imperterriti. <br><br>Scribdgives un libero, piattaforma online dove opera scritta può essere visto e caricato. Gli utenti possono pubblicare, scoprire e discutere di scritti e documenti originali. Ogni giorno, le persone si identificano e sharedocuments su Scribd. E 'stato eletto due mesi dopo. Verso la conclusione di quel discorso tipicamente eloquente, Kennedy disse: 'Se io non perda sui veri problemi, tornerò al mio posto in Senato, soddisfatto che avevo fatto del mio meglio e sono stato abbastanza giudicati. Ma se questa elezione è deciso sulla base [http://www.ilmercantedisogni.it/Slide/small/form.asp Gucci Occhiali] del fatto che 40 milioni di americani hanno perso la possibilità di essere presidente il giorno in cui furono battezzati, allora è l'intera nazione che sarà il perdente, agli occhi dei cattolici e non cattolici di tutto il mondo, agli occhi della storia, e agli occhi del nostro popolo.<ul>
'''Theorema.'''
 
Quomodocunque sphaera circa centrum suum conuertatur, semper assignari potest diameter,
  <li>[http://www.y255.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1115212 http://www.y255.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1115212]</li>
cuius directio in situ translato conueniat cum situ initiali.
 
</blockquote>
  <li>[http://galleri.kjerringoy.no/displayimage.php?album=155&pos=46 http://galleri.kjerringoy.no/displayimage.php?album=155&pos=46]</li>
 
  <li>[http://metransparent.nfrance.com/~k1001/spip.php?article8359&lang=ar&id_forum=8701/ http://metransparent.nfrance.com/~k1001/spip.php?article8359&lang=ar&id_forum=8701/]</li>
 
  <li>[http://cs.dbwhcb.com/forum.php?mod=viewthread&tid=820641 http://cs.dbwhcb.com/forum.php?mod=viewthread&tid=820641]</li>
 
</ul>


or (in English):
== Molti testimoni secondari Pandora Italia ==
:''When a sphere is moved around its centre it is always possible to find a diameter whose direction in the displaced position is the same as in the initial position.''


To prove this, Euler considers a great circle on the sphere
Molti testimoni secondari, o persone che [http://www.ilmercantedisogni.it/Popups/fold.asp Pandora Italia] hanno osservato il flash e conseguenze, erano facilmente individuabili e ha affermato di conoscere qualcuno che era un testimone primario, o conosci qualcuno che ha conosciuto un testimone primario, ma non un solo tentativo è riuscita a coordinare il contatto diretto con qualsiasi tale individuo. Di [http://www.ilmercantedisogni.it/Slide/small/form.asp Occhiali Da Vista Gucci] conseguenza, nessuna foto, video o anche resoconti di prima mano sono stati ottenuti a partire dal momento del luglio [http://www.rifugiamoci.it/ImgCatalogo/home/mail.asp Louis Vuitton Roma] 2004, di ogni presunto UFO, luogo dello schianto, i veicoli della NASA, gli agenti dell'FBI disperdenti folle o di tali situazioni o eventi precedentemente rivendicato simili.<br><br>Tra i più vocale è stato LeBron James, che ha vinto il premio di MVP della NBA quattro delle ultime cinque stagioni. Dichiarando 'ol amico otterrà ciò che sta venendo a lui!' un apparente riferimento al sospetto James ha espresso il dolore che provava, come un giovane padre stesso, offrendo sostegno al suo amico.<br><br>Canada spende 5 miliardi di dollari all'anno in aiuti esteri. Al contrario spende 8.000 milioni dollari in programmi aborigeni. Se First Nations pretendere di essere trattati come nazioni, piuttosto che borghi, villaggi e città, poi lasciate dare loro aiuti stranieri piuttosto che cadere su $ 13,000 per aborigeni ogni anno, come il governo federale fa ora.<br><br>Tuo arrotolata stuoia di yoga inserisce nel vostro bagif si contano una estremità spuntava fuori della cerniera come 'raccordo'. Questo microfibra e tappeto di gomma naturale è la stessa dimensione versioni standard, ma ripiega in un rettangolo ordinato metà delle dimensioni di un foglio di carta per stampanti. Meglio ancora, il tappeto pesa solo un chilo, quindi non dovrete mai lasciare di nuovo a casa.<br><br>Alla domanda sul cicatrice, Tevez ha detto, è stata un'esperienza che definisce mi ha segnato per tutta la vita. Non avrò la chirurgia plastica. Tu o mi prendi come sono o non fare. Lo stesso vale per i denti. Non voglio cambiare il mio modo. Ammirevole, è la parola penso che cercando.<br><br>Un'altra nota impressionante di competenza di Ovechkin questa stagione? Sedici dei suoi 25 gol sono venuti su strada. I Canadiens hanno perso difensore Alexei Emelin per il resto della stagione con un legamento del ginocchio tagliuzzato sostenuta quando ha preso una corsa al grande ala Boston Milan Lucic Sabato sera. Era un po 'come guardare un SUV cercare di prendere un autocarro con cassone ribaltabile. Scadenza commerciale pickup Davis Drewiske pattinato con Andrei Markov in pratica Lunedi. Scommetto Raphael Diaz giocherà con Markov quando torna. Diaz, che [http://www.lipinutragen.it/Templates/Stili/list.asp Nike Air Max 2013] è stato con una commozione cerebrale, pattinato di nuovo Lunedi e sembra che potrebbe tornare per il BUZZ playoff '<ul>
and the great circle to which it is transported by the movement.
 
These two circles intersect in two (opposite) points
  <li>[http://netburst.org/index.php?site=polls&pollID=3 http://netburst.org/index.php?site=polls&pollID=3]</li>
of which one, say ''A'', is chosen.
 
This point lies on the initial circle and
  <li>[http://www.haina263.com/home.php?mod=space&uid=80531&do=blog&quickforward=1&id=805622 http://www.haina263.com/home.php?mod=space&uid=80531&do=blog&quickforward=1&id=805622]</li>
thus is transported to a point ''a'' on the second circle.
 
On the other hand, ''A'' lies also on the translated circle,
  <li>[http://hablaameno.com/index.php/ http://hablaameno.com/index.php/]</li>
and thus corresponds to a point ''α'' on the initial circle. Notice that the arc ''aA'' must be equal to the arc ''Aα''.
 
 
  <li>[http://nttu.2taitung.net/dis06/forum.php?mod=viewthread&tid=573581 http://nttu.2taitung.net/dis06/forum.php?mod=viewthread&tid=573581]</li>
Now Euler needs to construct point ''O'' in the surface of the sphere that is in the same position in reference to the arcs ''aA'' and ''αA''. If such a point exists then:
 
 
</ul>
*it is necessary, that the distances ''OA'' and ''Oa'' are equal to each other; the arcs ''Oa'' and ''OA'' must be equal,
*it is necessary that the angles ''OaA'' and ''OAα'' are equal.
 
Now Euler points out that the angles ''OAa'' and ''OaA'' must also be equal, since ''Oa'' and ''OA'' have the same length.  Thus ''OAa'' and ''OAα'' are equal, proving ''O'' lies on the angle bisecting ''αAa''.  To provide a complete construction for ''O'', we need only note that the arc ''aO'' may also be constructed such that ''AaO'' is the same as ''αAO''. This completes the proof.
 
[[Image:Eulerrotation.svg|200px|left|thumb|Euler original drawing]]
 
Euler provides a further construction that might be easier in practice. He proposes two planes:
 
*the symmetry plane of the angle ''αAa'' (which passes through the centre ''C'' of the sphere), and
*the symmetry plane of the arc ''Aa'' (which also passes through ''C'').
 
'''Proposition'''. These two planes intersect in a diameter. This diameter is the one we are looking for.
 
'''Proof'''. Let's call ''O'' to any of the endpoints (there are two) of this diameter over the sphere surface. Since ''αA'' is mapped on ''Aa'' and the triangles have the same angles, it follows that the triangle ''OαA'' is transported onto the triangle ''OAa''. Therefore the point O has to remain fixed under the movement.
 
'''Corollaries'''
This also shows that the rotation of the sphere can be seen
as two consecutive reflections about the two planes described above.
Points in a mirror plane are invariant under reflection,
and hence the points on their intersection (a line: the axis of rotation) are invariant under both the reflections,
and hence under the rotation.
 
Another simple way to find the rotation axis is by considering the plane on which the points ''α'', ''A'', ''a'' lie. The rotation axis is obviously orthogonal to this plane, and passes through the center ''C'' of the sphere.
 
Given that for a rigid body any movement that leaves an axis invariant is a rotation, this also proves that any arbitrary composition of rotations is equivalent to a single rotation around a new axis.
 
==Matrix proof==
A spatial rotation is a linear map in one-to-one correspondence with a 3×3 [[rotation matrix]] '''R''' that transforms a coordinate vector '''x''' into '''X''', that is '''Rx'''&nbsp;=&nbsp;'''X'''.  Therefore, another version of Euler's theorem is that for every rotation '''R''', there is a vector '''n''' for which '''Rn'''&nbsp;=&nbsp;'''n'''.  The line μ'''n'''  is the rotation axis of '''R'''.
 
A rotation matrix has the fundamental property that its inverse is its transpose, that is
:<math>
\mathbf{R}^\mathrm{T}\mathbf{R} = \mathbf{R}\mathbf{R}^\mathrm{T} = \mathbf{I},
</math>
where '''I''' is the 3×3 identity matrix and superscript T indicates the transposed matrix.  
 
Compute the determinant of this relation to find that a rotation matrix has [[determinant]] ±1.   In particular,
:<math>
1=\det(\mathbf{I})=\det(\mathbf{R}^\mathrm{T}\mathbf{R}) = \det(\mathbf{R}^\mathrm{T})\det(\mathbf{R})
= \det(\mathbf{R})^2 \quad\Longrightarrow \quad \det(\mathbf{R}) = \pm 1.
</math>
A rotation matrix with determinant +1 is a proper rotation, and one with a negative determinant −1 is an ''improper rotation'', that is a reflection combined with a proper rotation.
 
It will now be shown  that a rotation matrix '''R''' has at least one invariant vector '''n''', i.e., '''R'''&nbsp;'''n'''&nbsp;=&nbsp;'''n'''.  Because this requires that ('''R'''&nbsp;−&nbsp;'''I''')'''n'''&nbsp;=&nbsp;0, we see that the vector '''n''' must be an [[eigenvector]] of the matrix '''R'''  with  eigenvalue λ = 1.  Thus, this is equivalent to showing that det('''R'''&nbsp;−&nbsp;'''I''')&nbsp;=&nbsp;0.
 
Use the two relations:
:<math>
\det(-\mathbf{R}) =  - \det(\mathbf{R})
\quad\hbox{and}\quad\det(\mathbf{R}^{-1} ) = 1,
</math>
to compute
:<math>
\begin{align}
\det(\mathbf{R} - \mathbf{I}) =& \det\big((\mathbf{R} - \mathbf{I})^{\mathrm{T}}\big)
=\det\big((\mathbf{R}^{\mathrm{T}} - \mathbf{I})\big)
= \det\big((\mathbf{R}^{-1} - \mathbf{I})\big) = \det\big(-\mathbf{R}^{-1} (\mathbf{R} - \mathbf{I}) \big) \\
=&  -  \det(\mathbf{R}^{-1} ) \; \det(\mathbf{R} - \mathbf{I})
= - \det(\mathbf{R} - \mathbf{I})\quad \Longrightarrow\quad  \det(\mathbf{R} - \mathbf{I}) = 0.
\end{align}
</math>
This shows that λ = 1 is a root (solution) of the [[secular equation]], that is,
:<math>
\det(\mathbf{R} - \lambda \mathbf{I}) = 0\quad \hbox{for}\quad \lambda=1.
</math>
In other words, the matrix '''R''' − '''I''' is singular and has a non-zero [[Kernel (matrix)|kernel]], that is, there is at least one non-zero vector, say '''n''', for which
:<math>
(\mathbf{R} - \mathbf{I}) \mathbf{n} = \mathbf{0} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{R}\mathbf{n} =  \mathbf{n}.
</math>
The line μ'''n''' for real μ is invariant under '''R''', i.e., μ'''n'''  is a rotation axis. This proves Euler's theorem.
 
==Equivalence of an orthogonal matrix to a rotation matrix==
Two matrices (representing linear maps) are said to be equivalent if there is a change of basis that makes one equal to the other. A proper [[orthogonal matrix]] is always equivalent (in this sense) to either the following matrix or to its vertical reflection:
:<math>
\mathbf{R} \sim
\begin{pmatrix}
\cos\phi  & -\sin\phi  & 0 \\
\sin\phi  & \cos\phi  & 0 \\
0  & 0  & 1\\
\end{pmatrix}, \qquad 0\le \phi \le 2\pi.
</math>
 
Then, any orthogonal matrix is either a rotation or an [[improper rotation]]. A general orthogonal matrix has only one real eigenvalue, either +1 or&nbsp;−1. When it is +1 the matrix is a rotation. When −1, the matrix is an improper rotation.
 
If '''R''' has more than one invariant vector then <math>\phi = 0</math> and  '''R''' = '''I'''. ''Any'' vector is an invariant vector of '''I'''.
 
===Excursion into matrix theory===
In order to prove the previous equation some facts from matrix theory must be recalled.
 
An ''m''×''m'' matrix '''A''' has ''m'' orthogonal eigenvectors if and only if '''A''' is [[normal operator|normal]], that is, if '''A'''<sup>†</sup>'''A''' = '''AA'''<sup>†</sup>.<ref>The dagger symbol † stands for [[complex conjugation]] followed by transposition. For real matrices complex conjugation does nothing and daggering a real matrix is the same as transposing it.</ref> This result is equivalent to stating that
normal matrices can be brought to diagonal form by a unitary similarity transformation:
:<math>
\mathbf{A}\mathbf{U} = \mathbf{U}\; \mathrm{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)\quad \Longleftrightarrow\quad
\mathbf{U}^\dagger \mathbf{A}\mathbf{U} = \operatorname{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_m),
</math>
and '''U''' is unitary, that is,
:<math>
\mathbf{U}^\dagger = \mathbf{U}^{-1}.
</math>
The eigenvalues α<sub>1</sub>, ..., α<sub>m</sub> are roots of the secular equation. If the matrix '''A''' happens to be unitary (and note that unitary matrices are normal), then
:<math>
\left(\mathbf{U}^\dagger\mathbf{A} \mathbf{U}\right)^\dagger = \mathrm{diag}(\alpha^*_1,\ldots,\alpha^*_m) =
\mathbf{U}^\dagger\mathbf{A}^{-1} \mathbf{U} = \mathrm{diag}(1/\alpha_1,\ldots,1/\alpha_m)
</math>
and it follows that the eigenvalues of a unitary matrix are on the unit circle in the complex plane:
:<math>
\alpha^*_k = 1/\alpha_k \quad\Longleftrightarrow \alpha^*_k\alpha_k = |\alpha_k|^2 = 1,\qquad k=1,\ldots,m.
</math>
Also an orthogonal (real unitary) matrix has eigenvalues on the unit circle in the complex plane. Moreover, since its secular equation (an ''m''th order polynomial in λ) has real coefficients, it follows that its roots appear in complex conjugate pairs, that is, if α is a root then so is α<sup>∗</sup>. There are 3 roots, thus at least one of them must be purely real (+1 or -1).
 
After recollection of these general facts from matrix theory, we return to the rotation matrix '''R'''. It follows from its realness and orthogonality that we can find a U such that:
:<math>
\mathbf{R} \mathbf{U} = \mathbf{U}
\begin{pmatrix}
e^{i\phi} & 0          & 0  \\
0        & e^{-i\phi}  & 0  \\
0        &      0      & \pm 1 \\
\end{pmatrix}
</math>
If a matrix '''U''' can be found that gives the above form, and there is only one purely real component and it is -1, then we define R to be an improper rotation. Let us only consider the case, then, of matrices R that are proper rotations (the third eigenvalue is just 1). The third column of the 3×3 matrix '''U''' will then be equal to the invariant vector '''n'''.
Writing '''u'''<sub>1</sub> and '''u'''<sub>2</sub> for the first two columns of '''U''', this equation gives
:<math>
\mathbf{R}\mathbf{u}_1 = e^{i\phi}\, \mathbf{u}_1 \quad\hbox{and}\quad  \mathbf{R}\mathbf{u}_2 = e^{-i\phi}\, \mathbf{u}_2.
</math>
If '''u'''<sub>1</sub> has eigenvalue 1, then φ= 0 and '''u'''<sub>2</sub> has also eigenvalue 1, which implies that in that case '''R''' = '''E'''.
 
Finally, the matrix equation is transformed by means of a unitary matrix,
:<math>
\mathbf{R} \mathbf{U}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{i}{\sqrt{2}}  & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{-i}{\sqrt{2}}  & 0 \\
0  & 0  & 1\\
\end{pmatrix}
= \mathbf{U}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{i}{\sqrt{2}}  & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{-i}{\sqrt{2}}  & 0 \\
0  & 0  & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{1}{\sqrt{2}}  & 0 \\
\frac{-i}{\sqrt{2}}  & \frac{i}{\sqrt{2}}  & 0 \\
0  & 0  & 1\\
\end{pmatrix}
}_{=\;\mathbf{I}}
\begin{pmatrix}
e^{i\phi} & 0          & 0  \\
0        & e^{-i\phi}  & 0  \\
0        &     0      & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{i}{\sqrt{2}}  & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{-i}{\sqrt{2}}  & 0 \\
0  & 0  & 1\\
\end{pmatrix}
</math>
which gives
:<math>
\mathbf{U'}^\dagger \mathbf{R} \mathbf{U'} = \begin{pmatrix}
\cos\phi  & -\sin\phi  & 0 \\
\sin\phi  & \cos\phi  & 0 \\
0  & 0  & 1\\
\end{pmatrix}
\quad\text{ with }\quad \mathbf{U'}
= \mathbf{U}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{i}{\sqrt{2}}  & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{-i}{\sqrt{2}}  & 0 \\
0  & 0  &  1\\
\end{pmatrix} .
</math>
The columns of '''U'''′ are orthonormal. The third column is still '''n''', the other two columns are perpendicular to '''n'''. We can now see how our definition of improper rotation corresponds with the geometric interpretation: an improper rotation is a non-180 degree rotation around an axis (here, the axis corresponding to the 3rd coordinate) and a reflection on a plane perpendicular to that axis. If we only restrict ourselves to matrices with determinant 1, we can thus see that they must be proper rotations. This result implies that any orthogonal matrix '''R''' corresponding to a proper rotation is equivalent to a rotation over an angle φ around an axis '''n'''.
 
==Equivalence classes==
It is of interest to remark that the [[trace (mathematics)|trace]] (sum of diagonal elements) of the real rotation matrix given above is 1 + 2cosφ. Since a trace is invariant under an orthogonal matrix transformation:
:<math>
\mathrm{Tr}[\mathbf{A} \mathbf{R} \mathbf{A}^\mathrm{T}] =
\mathrm{Tr}[ \mathbf{R} \mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{A}] = \mathrm{Tr}[\mathbf{R}]\quad\text{ with }\quad \mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{A}^{-1},
</math>
it follows that all matrices that are equivalent to '''R''' by an orthogonal matrix transformation have the same trace. The matrix transformation is clearly an [[equivalence relation]], that is, all equivalent matrices form an equivalence class. In fact, all proper rotation 3×3 rotation matrices form a [[group (mathematics)|group]], usually denoted by SO(3) (the special orthogonal group in 3 dimensions) and all matrices with the same trace form an equivalence class in this group.
Elements of such an equivalence class share their rotation angle, but all rotations are around different axes. If '''n''' is an eigenvector of '''R''' with eigenvalue 1, then '''An''' is an eigenvector of '''ARA'''<sup>T</sup>, also with eigenvalue 1. Unless '''A''' = '''E''', '''n''' and '''An''' are different.
 
==Applications==
===Generators of rotations===
{{Main|Rotation matrix|Rotation group SO(3)|Infinitesimal transformation}}
 
Suppose we specify an axis of rotation by a unit vector [''x'', ''y'', ''z'']&nbsp;, and suppose we have an [[Infinitesimal rotation|infinitely small rotation]] of angle Δθ&nbsp; about that vector. Expanding the rotation matrix as an infinite addition, and taking the first order approach, the rotation matrix Δ''R''&nbsp; is represented as:
 
: <math>
\Delta R =
  \begin{bmatrix}
  1&0&0\\
  0&1&0\\
  0&0&1
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
  0 & z&-y\\
  -z& 0& x\\
  y &-x& 0
  \end{bmatrix}\,\Delta \theta
= \mathbf{I}+\mathbf{A}\,\Delta \theta.
</math>
 
A finite rotation through angle θ about this axis may be seen as a succession of small rotations about the same axis. Approximating Δθ&nbsp; as θ/''N'' where ''N''&nbsp; is a large number, a rotation of θ about the axis may be represented as:
 
:<math>
R =\left(\mathbf{1}+\frac{\mathbf{A}\theta}{N}\right)^N
\approx e^{\mathbf{A}\theta}.</math>
 
It can be seen that Euler's theorem essentially states that <u>all</u> rotations may be represented in this form. The product <math>\mathbf{A}\theta</math> is the "generator" of the particular rotation, being the vector (''x'',''y'',''z'') associated with the matrix A. This shows that the rotation matrix and the [[axis-angle]] format are related by the exponential function.
 
Analysis is often easier in terms of these generators, rather than the full rotation matrix. Analysis in terms of the generators is known as the [[Lie algebra]] of the rotation group.
 
===Quaternions===
{{Main|Rotation operator (vector space)|Quaternions and spatial rotation}}
 
It follows from Euler's theorem that the relative orientation of any pair of coordinate systems may be specified by a set of three independent numbers. Sometimes a redundant fourth number is added to simplify operations with quaternion algebra. Three of these numbers are the direction cosines that orient the eigenvector. The fourth is the angle about the eigenvector that separates the two sets of coordinates. Such a set of four numbers is called a '''[[quaternion]]'''.
 
While the quaternion as described above, does not involve [[complex number]]s, if quaternions are used to describe two successive rotations, they must be combined using the non-commutative [[quaternion]] algebra derived by [[William Rowan Hamilton]] through the use of imaginary numbers.
 
Rotation calculation via quaternions has come to replace the use of [[direction cosines]] in aerospace applications through their reduction of the required calculations, and their ability to minimize [[round-off error]]s.  Also, in [[computer graphics]] the ability to perform spherical interpolation between quaternions with relative ease is of value.
 
==Generalizations==
In higher dimensions, any rigid motion that preserve a point in dimension 2''n'' or 2''n''+1 is a composition of at most ''n'' rotations in orthogonal [[plane of rotation|planes of rotation]], though these planes need not be uniquely determined, and a rigid motion may fix multiple axes.
 
[[File:Pure screw.svg|thumb|A screw motion.]]
A rigid motion in 3 dimensions that does not necessarily fix a point is a "screw motion". This is because a composition of a rotation with a translation perpendicular to the axis is a rotation about a parallel axis, while composition with a translation parallel to the axis yields a screw motion; see [[screw axis]]. This gives rise to [[screw theory]].
 
==See also==
* [[Euler angles]]
* [[Euler–Rodrigues parameters]]
* [[Rotation formalisms in three dimensions]]
* [[Rotation operator (vector space)]]
* [[Angular velocity]]
* [[Rotation around a fixed axis]]
 
==Notes==
<references />
 
==References==
:{{Citizendium|title=Euler's theorem (rotation)}}
* {{Cite journal|year=2009|title=A Disorienting Look at Euler's Theorem on the Axis of a Rotation|journal=American Mathematical Monthly|volume=116|issue=10|pages=892–209|first1=Bob |last1=Palais |first2=Richard |last2=Palais |first3=Stephen |last3=Rodi}}
* Euler's theorem and its proof are contained in paragraphs 24–26 of the appendix (''Additamentum''. pp.&nbsp;201–203) of L. Eulero ''(Leonhard Euler)'', ''Formulae generales pro translatione quacunque corporum rigidorum'' (General formulas for the translation of arbitrary rigid bodies), presented to the St. Petersburg Academy on October 9, 1775, and first published in Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20, 1776, pp.&nbsp;189–207 (E478) and was reprinted in ''Theoria motus corporum rigidorum'', ed. nova, 1790, pp.&nbsp;449–460 (E478a) and later in his collected works  ''Opera Omnia'', Series 2, Volume 9, pp.&nbsp;84–98.
 
==External links==
*Euler's original treatise in ''The Euler Archive'': entry on [http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E478.html E478], first publication 1976 ([http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E478.pdf pdf])
*[http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e478tr.pdf Euler's original text (in Latin) and English translation] (by Johan Sten)
 
{{DEFAULTSORT:Euler's Rotation Theorem}}
[[Category:Euclidean symmetries]]
[[Category:Theorems in geometry]]
[[Category:Rotation in three dimensions]]

Latest revision as of 11:47, 26 December 2014

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Egli sostiene di non essere troppo impressionato da Liverpool e capitano dell'Inghilterra Steven Gerrard, che tra l'altro ha superato Bobby Charlton settimana scorsa Inghilterra caps, scrivendo: 'Sono uno dei pochi che si sentiva Gerrard non era un top, top player quando Scholes. e Keane erano nella nostra squadra Gerrard raramente ha avuto un calcio contro di noi '.

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Canada spende 5 miliardi di dollari all'anno in aiuti esteri. Al contrario spende 8.000 milioni dollari in programmi aborigeni. Se First Nations pretendere di essere trattati come nazioni, piuttosto che borghi, villaggi e città, poi lasciate dare loro aiuti stranieri piuttosto che cadere su $ 13,000 per aborigeni ogni anno, come il governo federale fa ora.

Tuo arrotolata stuoia di yoga inserisce nel vostro bagif si contano una estremità spuntava fuori della cerniera come 'raccordo'. Questo microfibra e tappeto di gomma naturale è la stessa dimensione versioni standard, ma ripiega in un rettangolo ordinato metà delle dimensioni di un foglio di carta per stampanti. Meglio ancora, il tappeto pesa solo un chilo, quindi non dovrete mai lasciare di nuovo a casa.

Alla domanda sul cicatrice, Tevez ha detto, è stata un'esperienza che definisce mi ha segnato per tutta la vita. Non avrò la chirurgia plastica. Tu o mi prendi come sono o non fare. Lo stesso vale per i denti. Non voglio cambiare il mio modo. Ammirevole, è la parola penso che cercando.

Un'altra nota impressionante di competenza di Ovechkin questa stagione? Sedici dei suoi 25 gol sono venuti su strada. I Canadiens hanno perso difensore Alexei Emelin per il resto della stagione con un legamento del ginocchio tagliuzzato sostenuta quando ha preso una corsa al grande ala Boston Milan Lucic Sabato sera. Era un po 'come guardare un SUV cercare di prendere un autocarro con cassone ribaltabile. Scadenza commerciale pickup Davis Drewiske pattinato con Andrei Markov in pratica Lunedi. Scommetto Raphael Diaz giocherà con Markov quando torna. Diaz, che Nike Air Max 2013 è stato con una commozione cerebrale, pattinato di nuovo Lunedi e sembra che potrebbe tornare per il BUZZ playoff '