|
|
| (One intermediate revision by one other user not shown) |
| Line 1: |
Line 1: |
| In [[numerical linear algebra]], a '''Givens rotation''' is a [[Rotation (mathematics)|rotation]] in the plane spanned by two coordinates axes. Givens rotations are named after [[Wallace Givens]], who introduced them to numerical analysts in the 1950s while he was working at [[Argonne National Laboratory]].
| |
|
| |
|
| == Matrix representation ==
| |
|
| |
|
| A Givens rotation is represented by a [[matrix (mathematics)|matrix]] of the form
| | Med detta tankar, borde det flanera utan anger att, när nytt spel gör det led åt kasino gaming scenen, det åt oss att uttrycka det sin frekvens. Vårt företag inneha alltid varit en pionjär inom Las Vegas kvällen villig streck [http://Www.Squidoo.com/search/results?q=casino+kalas casino kalas] uthyrningsverksamhet när det att hava dessa nya gällande webben casino video game tillgängliga för sina kunder att njuta itu, innan annan inom södra Kalifornien marknaden. Tveklöst 1 itu verkligt "förmåner" Las Vegas night on line casino entertainment group att klara av testa nya kungen internet casino-mode spel pågår bruten deras debut gällande kasino gaming scenen intill någon senare dag.<br><br>Omedelbart, när mig varje skolan, försåvitt du vart avsöker varje anekdot tränare att någonsin försökt casinobonus för att mig finemang konstverk itu historisk forskning, de skulle allihopa delge att alltsammans jag bakgrunden skulle anpassa inom en liten ark . Mer åren, förstärkt min historiska kunskap när som helst något, särskilt området från amerikanska bakgrund, tvungen bekänna att American Rödansikte berättelse inneha halkat många grodd itu detta målvakt.<br><br>Konkurrensen marigt, det är därför dom flesta itu de casino online webbplatserna bidra casino 2014 bonus, därborta casino nya spelare sign-up bonusar därför att handla deras preliminära insättning.<br><br>Det kan finnas vissa verklighet inom denna förslag. Det finns oerhört flera spekulationer samt teorier försåvitt ursprunget från roulette. Ändock direkt de från teorierna mot 1 populära , Frankrike. Europa tros begynnelse varenda ett av berömda kasino video lek när såsom helst världen. Förut någon färsk lirare är det enastående att innehava ett kognition om hurdan spelas och vilka typer bruten strategier någonsin utnyttjas kungen . finns det ingenting bestyrkande bevis villig att . Det är att anta att anledningen hurså från metoderna helst utnyttjas segra gällande roulette hade varit denna befinner sig absolut lätt alldenstund det varenda platsen utfördes inom.<br><br>När äger avgjort vilken sport vill använda det steget klöver kungen ditt konto. flesta bookmakers Godtaga större kreditkort värdering. Dessa ett par indikator delge eder om att det förvissad webbplats ni behöver bekymra någon 1 stjäla din identitet. Det behöver beakta de fästa alternativ. Avsyna att skärmen insättning https i URL: en och det bör existens av en spärra båda topp korrekt alternativt topp även fortsättningsvis över din webbläsare.<br><br>plikt dryfta veta att hemmet inneha innerligt blaffig plus denna jätte- att hitta hurdan herre hantera din bankrulle. Tillsammans korrekt klokt beräknande, kan ni slå leverantören inom Baccarat. Det här känt såsom sporten i kings. Eftersom dess och kategori, Baccarat normalt tillhöra topp 10 online video lockton.<br><br>erbjuder även någon exklusiv gratifikation. tillfällen ett 7 dagar definitivt Slots kommer att överrumpla lirare med speciella bonusar. erbjuder samt flera bonusar stäv översta tre insättningar du åstadkommer. Var grundlig och betänka nyttan från deras 15% 25 icke credit score foto nya casinobonus. Det finns brett selektion från absoluta Slots bonusar därför att locka dig till deras sajt för att bifoga till $1300 börjar absolut gratis $10 enbart därför att notera dig.<br><br>Ackurat samma insatser, ackurat synonym processer, fason, samtliga delar av skrivbordet är lättare pro någon individ att Visa därför dom absolut representativt kungen samtliga områden. En äkta ett casino 2014 spelades på just samma taktik.<br><br>Sheriff Gaming är likaså extra efterfrågad online slots webbplatser. Såsom erbjuder en fullkomlig mängd nya casino slots video spel. Betsoft Gaming, det ett rutt pro klipsk nya casino slots video spel både vackra att leka.<br><br>BGNP erbjuder dig allihopa fängslande fängslande på line kasino därtill poker lockton absolut därborta kan försöka din glädje. Du kan samt lite se nya casino videospel som kommit ut under tiden. Så, kan pröva videospel såsom betfair poker, PartyPoker. skulle assistera dig att haja samt du kan gestalta inte med besvär. Du kan samt få veta om siktet på andra kungen casino video lockton. kan samt knalla segrar jackpots överväga uppsjö från rikedomar bo. Innan för att något casino alternativt poker video game, är det jätte- betydelsefull att för att anvisningen från samt även inöva belöning delen fager. framåt exakt du kan erhålla klöver.<br><br>att förbättra varje cirkulära. Kontrollera-upphöja dom villig floppen, flip, river när ni bevara ledande-par-mycket bästa-kicker befinner sig en innerligt beprövad teknik nDet finns 3 banka ett poker bot: . Känna igen bot, tvenne. Kontrollera-ökning det vanligtvis, tre. De största bristerna dessa program att dom tycker föregående tur betting aktivitet inom sina beslutsförfaranden, odla kan hålla näpsa dom förut bonus satsningar gällande omgångar när ni sköta någon solid näve.<br><br>If you liked this information and you would like to receive additional info regarding [http://www.alimacau.com/groups/four-ways-nya-internet-svenska-casino-can-drive-you-bankrupt-fast/ nya online casino] kindly go to our web site. |
| | |
| :<math>G(i, j, \theta) =
| |
| \begin{bmatrix} 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
| |
| \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\
| |
| 0 & \cdots & c & \cdots & -s & \cdots & 0 \\
| |
| \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\
| |
| 0 & \cdots & s & \cdots & c & \cdots & 0 \\
| |
| \vdots & & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\
| |
| 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| | |
| where ''c'' = cos(''θ'') and ''s'' = sin(''θ'') appear at the intersections ''i''th and ''j''th rows and columns. That is, the non-zero elements of Givens matrix is given by:
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| g_{k\, k} &{}= 1 \qquad \text{for} \ k \ne i,\,j\\ | |
| g_{i\, i} &{}= c \\
| |
| g_{j\, j} &{}= c \\ | |
| g_{j\, i} &{}= -s \\ | |
| g_{i\, j} &{}= s \qquad \text{for} \ i > j | |
| \end{align}</math> (sign of sine switches for j > i)
| |
| | |
| The product ''G''(''i'',''j'',θ)'''x''' represents a counterclockwise rotation
| |
| of the vector '''x''' in the (''i'',''j'') plane of θ radians, hence the name Givens rotation.
| |
| | |
| The main use of Givens rotations in [[numerical linear algebra]] is to introduce zeros in vectors or matrices.
| |
| This effect can, for example, be employed for computing the [[QR decomposition]] of a matrix. One advantage over [[Householder transformation]]s is that they can easily be parallelised, and another is that often for very sparse matrices they have a lower operation count.
| |
| | |
| == Stable calculation ==
| |
| When a Givens rotation matrix, ''G''(''i'',''j'',θ), multiplies another matrix, ''A'', from the left, ''GA'', only rows ''i'' and ''j'' of ''A'' are affected. Thus we restrict attention to the following problem. Given ''a'' and ''b'', find ''c'' = cos θ and ''s'' = sin θ such that
| |
| :<math> \begin{bmatrix} c & -s \\ s & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \\ 0 \end{bmatrix} . </math>
| |
| Explicit calculation of θ is rarely necessary or desirable. Instead we directly seek ''c'', ''s'', and ''r''. An obvious solution would be
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| r &{}\larr \sqrt{a^2 + b^2} \\ | |
| c &{}\larr a / r \\ | |
| s &{}\larr -b / r. | |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| However, the computation for ''r'' may [[arithmetic overflow|overflow]] or underflow. An alternative formulation avoiding this problem {{harv|Golub|Van Loan|1996|loc=§5.1.8}} is implemented as the [[hypot]] function in many programming languages .
| |
| | |
| Furthermore, as {{harvtxt|Anderson|2000}} discovered in improving [[LAPACK]], a previously overlooked numerical consideration is continuity. To achieve this, we require ''r'' to be positive.
| |
| | |
| if (b = 0) then {c ← copysign(1,a); s ← 0; r ← abs(a)} | |
| else if (a = 0) then {c ← 0; s ← -copysign(1,b); r ← abs(b)} | |
| else if (abs(b) > abs(a)) then | |
| t ← a/b
| |
| u ← copysign(sqrt(1+t*t),b)
| |
| s ← -1/u
| |
| c ← -s*t
| |
| r ← b*u
| |
| else | |
| t ← b/a
| |
| u ← copysign(sqrt(1+t*t),a)
| |
| c ← 1/u
| |
| s ← -c*t
| |
| r ← a*u
| |
| | |
| This is written in terms of the [[IEEE 754]] <tt>copysign(x,y)</tt> function, which provides a safe and cheap way to copy the sign of <tt>y</tt> to <tt>x</tt>. If that is not available, <tt>|x|*sgn(y)</tt>, using the [[sign function]], is an alternative.
| |
| | |
| == Triangularization ==
| |
| Given the following 3x3 Matrix, perform two iterations of the Given's Rotation to bring the matrix to an upper [[Triangular matrix]] in order to compute the [[QR decomposition]].
| |
| | |
| :<math> A =
| |
| \begin{bmatrix} 6 & 5 & 0 \\
| |
| 5 & 1 & 4 \\
| |
| 0 & 4 & 3 \\
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| | |
| In order to form the desired matrix, we must zero elements (2,1) and (3,2). We first select element (2,1) to zero. Using a rotation matrix of:
| |
| :<math>G_{1} =
| |
| \begin{bmatrix} c & -s & 0 \\
| |
| s & c & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 1 \\
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| | |
| We have the following matrix multiplication:
| |
| :<math>\begin{bmatrix} c & -s & 0 \\
| |
| s & c & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 1 \\
| |
| \end{bmatrix}
| |
| \begin{bmatrix} 6 & 5 & 0 \\
| |
| 5 & 1 & 4 \\
| |
| 0 & 4 & 3 \\
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| Where:
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| r &{}= \sqrt{6^2 + 5^2} = 7.8102 \\ | |
| c &{}= 6 / r = 0.7682\\ | |
| s &{}= -5 / r = -0.6402 | |
| \end{align}
| |
| </math>
| |
| | |
| Plugging in these values for c and s and performing the matrix multiplication above yields a new A of:
| |
| :<math>A =\begin{bmatrix} 7.8102 & 4.4813 & 2.5607 \\
| |
| 0 & -2.4327 & 3.0729 \\
| |
| 0 & 4 & 3 \\
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| | |
| We now want to zero element (3,2) to finish off the process. Using the same idea as before, we have a rotation matrix of:
| |
| :<math>G_{2} =
| |
| \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\
| |
| 0 & c & -s \\
| |
| 0 & s & c \\
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| | |
| We are presented with the following matrix multiplication:
| |
| :<math>\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\
| |
| 0 & c & -s \\
| |
| 0 & s & c \\
| |
| \end{bmatrix}
| |
| \begin{bmatrix} 7.8102 & 4.4813 & 2.5607 \\
| |
| 0 & -2.4327 & 3.0729 \\
| |
| 0 & 4 & 3 \\
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| | |
| Where:
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| r &{}= \sqrt{(-2.4327)^2 + 4^2} = 4.6817 \\ | |
| c &{}= -2.4327 / r = -0.5196 \\ | |
| s &{}= -4 / r = -0.8544 | |
| \end{align}
| |
| </math>
| |
| Plugging in these values for c and s and performing the multiplications gives us a new matrix of:
| |
| :<math>R =
| |
| \begin{bmatrix} 7.8102 & 4.4813 & 2.5607 \\
| |
| 0 & 4.6817 & 0.9664 \\
| |
| 0 & 0 & -4.1843 \\
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| | |
| This new matrix R is the upper triangular matrix needed to perform an iteration of the [[QR decomposition]]. Q is now formed using the transpose of the rotation matrices in the following manner:
| |
| | |
| :<math>Q = G_{1}^T * G_{2}^T
| |
| </math>
| |
| | |
| Performing this matrix multiplication yields:
| |
| :<math>Q =
| |
| \begin{bmatrix} 0.7682 & 0.3327 & 0.5470 \\
| |
| 0.6402 & -0.3992 & -0.6564 \\
| |
| 0 & 0.8544 & -0.5196 \\
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| | |
| This completes two iterations of the Givens Rotation and calculating the [[QR decomposition]] can now be done.
| |
| | |
| ==Givens rotations in Clifford Algebras==
| |
| | |
| In [[Clifford algebras]] and its child structures like [[geometric algebra]] rotations are represented by bivectors. Givens rotations are represented by the external product of the basis vectors. Given any pair of basis vectors <math>e_i, e_j</math> Givens rotations bivectors are:
| |
| | |
| <math>B_{ij}=e_i\wedge e_j</math> | |
| | |
| Their action on any vector is written :
| |
| | |
| <math>v=e^{-(\theta/2)(e_i \wedge e_j)}u e^{(\theta/2)(e_i \wedge e_j)}</math>
| |
| | |
| where :
| |
| | |
| <math>e^{(\theta/2)(e_i \wedge e_j)}= \cos(\theta/2)+ \sin(\theta/2) e_i \wedge e_j</math>
| |
| | |
| ==Dimension 3==
| |
| :See also [[Euler angles]]
| |
| | |
| There are three Givens rotations in dimension 3:
| |
| | |
| :<math>\begin{align} \\
| |
| R_X(\theta) =
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| 1 & 0 & 0 \\
| |
| 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\
| |
| 0 & \sin \theta & \cos \theta
| |
| \end{bmatrix}
| |
| \end{align}
| |
| </math>
| |
| | |
| Note: The <math>R_Y(\theta)</math> matrix immediately below is __not__ a Givens rotation. The <math>R_Y(\theta)</math> matrix immediately below respects the right-hand rule ... and is this usual matrix one sees in Computer Graphics; however, a Givens rotation is simply a matrix as defined in the [[#Matrix_representation|Matrix representation]] section above and does not necessarily respect the right-hand rule. This section should be considered suspect.
| |
| | |
| :<math>\begin{align} \\
| |
| R_Y(\theta) =
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| \cos \theta & 0 & \sin \theta \\
| |
| 0 & 1 & 0 \\
| |
| -\sin \theta & 0 & \cos \theta
| |
| \end{bmatrix}
| |
| \end{align}
| |
| </math>
| |
| | |
| Note: The actual Givens rotation matrix for <math>R_Y(\theta)</math> would be:
| |
| | |
| :<math>\begin{align} \\
| |
| R_Y(\theta) =
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\
| |
| 0 & 1 & 0 \\
| |
| \sin \theta & 0 & \cos \theta
| |
| \end{bmatrix}
| |
| \end{align}
| |
| </math>
| |
| | |
| :<math>\begin{align} \\
| |
| R_Z(\theta) =
| |
| \begin{bmatrix}
| |
| \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
| |
| \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 1
| |
| \end{bmatrix}
| |
| \end{align}
| |
| </math>
| |
| | |
| Given that they are [[endomorphism]]s they can be composed with each other as many times as desired, keeping in mind that ''g'' ∘ ''f'' ≠ ''f'' ∘ ''g''.
| |
| | |
| These three '''Givens rotations''' [[Function composition#Rotation composition|composed]] can generate any rotation matrix. This means that they can [[transformation (geometry)|transform]] the basis of the space to any other [[Cartesian coordinate system|frame]] in the space.
| |
| | |
| When rotations are performed in the right order, the values of the rotation angles of the final frame will be equal to the [[Euler angles]] of the final frame in the corresponding convention. For example, an operator <math>R = R_Y(\theta_3).R_X(\theta_2).R_Z(\theta_1)</math> transforms the basis of the space into a frame with angles roll, pitch and yaw <math>YPR = (\theta_3,\theta_2,\theta_1)</math> in the [[Euler angles#Tait–Bryan angles|Tait-Bryan convention]] z-x-y (convention in which the line of nodes is perpendicular to z and Y axes, also named Y-X’-Z’’).
| |
| | |
| For the same reason, any [[rotation matrix]] in 3D can be decomposed in a product of three of these [[Rotation operator (vector space)|rotations]].
| |
| | |
| The meaning of the composition of two Givens rotations g∘f is an operator that transforms vectors first by f and then by g, being f and g rotations about one axis of basis of the space. This is similar to the [[Euler angles#Euler angles as composition of extrinsic rotations|extrinsic rotation equivalence]] for Euler angles.
| |
| | |
| ===Table of composed rotations===
| |
| | |
| The following table shows the three Givens rotations equivalent to the different Euler angles conventions using extrinsic composition (composition of rotations about the basis axes) of [[Active and passive transformation|active rotations]] and the right-handed rule for the positive sign of the angles.
| |
| | |
| The notation has been simplified in such a way that c1 means cos(θ<sub>1</sub>) and s2 means sin(θ<sub>2</sub>). The subindexes of the angles are the order in which they are applied using '''extrinsic''' composition (1 for intrinsic rotation, 2 for nutation, 3 for precession)
| |
| | |
| As rotations are applied just in the opposite order of the [[Euler angles#Table of composed rotations|Euler angles table of rotations]], this table is the same but swapping indexes 1 and 3 in the angles associated with the corresponding entry. An entry like zxy means to apply first the y rotation, then x, and finally z, in the basis axes.
| |
| | |
| All the compositions assume the right hand convention for the matrices that are multiplied, yielding the following results<ref>[http://www.aeroengineering.info/eulermatrix.html Rotation matrix multiplication tool]</ref>
| |
| | |
| :{| class="wikitable" style="background-color:white;font-weight:bold"
| |
| |-
| |
| !xzx
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_2 & - c_1 s_2 & s_1 s_2 \\ | |
| c_3 s_2 & c_3 c_2 c_1 - s_3 s_1 & - c_2 c_3 s_1 - c_1 s_3 \\ | |
| s_2 s_3 & c_3 s_1 + c_1 c_2 s_3 & c_3 c_1 - c_2 s_3 s_1
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| !xzy
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_2 c_3 & - c_3 s_2 c_1 + s_3 s_1 & c_3 s_2 s_1 + s_3 c_1 \\
| |
| s_2 & c_1 c_2 & - c_2 s_1 \\
| |
| - s_3 c_2 & s_3 s_2 c_1+c_3 s_1 & -s_3 s_2 s_1 + c_3 c_1
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| |-
| |
| !xyx
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_2 & s_1 s_2 & c_1 s_2 \\
| |
| s_2 s_3 & c_3 c_1 - c_2 s_3 s_1 & - c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 \\
| |
| -c_3 s_2 & c_3 c_2 s_1 + c_1 s_3 & c_3 c_2 c_1 - s_3 s_1
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| !xyz
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_3 c_2 & -s_3 c_1 + c_3 s_2 s_1 & s_3 s_1 + c_3 s_2 c_1 \\
| |
| s_3 c_2 & c_3 c_1 + s_3 s_2 s_1 & -c_3 s_1 + s_3 s_2 c_1 \\
| |
| -s_2 & c_2 s_1 & c_2 c_1
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| |-
| |
| !yxy
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_3 c_1 - c_2 s_3 s_1 & s_2 s_3 & c_3 s_1 + s_3 c_2 c_1 \\ | |
| s_1 s_2 & c_2 & - c_1 s_2 \\ | |
| -c_2 c_3 s_1 - c_1 s_3 & c_3 s_2 & c_3 c_2 c_1 - s_3 s_1
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| !yxz
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_3 c_1-s_3 s_2 s_1 & -s_3 c_2 & c_3 s_1+s_3 s_2 c_1 \\
| |
| s_3 c_1+c_3 s_2 s_1 & c_3 c_2 & s_3 s_1-c_3 s_2 c_1 \\
| |
| -c_2 s_1 & s_2 & c_2 c_1
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| |-
| |
| !yxy
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_3 c_2 c_1 - s_3 s_1 & - c_3 s_2 & c_2 c_3 s_1 + c_1 s_3 \\
| |
| c_1 s_2 & c_2 & s_1 s_2 \\ | |
| -c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 & s_2 s_3 & c_3 c_1 - c_2 s_3 s_1 | |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| !yzx
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_2 c_1 & -s_2 & c_2 s_1 \\
| |
| c_3 s_2 c_1+s_3 s_1 & c_3 c_2 & c_3 s_2 s_1-s_3 c_1 \\
| |
| s_3 s_2 c_1-c_3 s_1 & s_3 c_2 & s_3 s_2 s_1+c_3 c_1
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| |-
| |
| !zyz
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_3 c_2 c_1 - s_3 s_1 & - c_2 s_1 c_3 - c_1 s_3 & c_3 s_2 \\
| |
| c_3 s_1 + c_1 c_2 s_3 & c_3 c_1 - c_2 s_3 s_1 & s_2 s_3 \\
| |
| -c_1 s_2 & s_1 s_2 & c_2 | |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| !zyx
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_2 c_1 & -c_2 s_1 & s_2 \\ | |
| s_3 s_2 c_1+c_3 s_1 & -s_3 s_2 s_1+c_3 c_1 & -s_3 c_2 \\ | |
| -c_3 s_2 c_1+s_3 s_1 & c_3 s_2 s_1+s_3 c_1 & c_3 c_2
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| |-
| |
| !zxz
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_3 c_1 - c_2 s_1 s_3 & - c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 & s_2 s_3 \\
| |
| c_2 c_3 s_1 + c_1 s_3 & c_3 c_2 c_1 - s_3 s_1 & - c_3 s_2 \\
| |
| s_1 s_2 & c_1 s_2 & c_2
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| !zxy
| |
| |<math>\begin{bmatrix}
| |
| c_3 c_1+s_3 s_2 s_1 & -c_3 s_1+s_3 s_2 c_1 & s_3 c_2 \\ | |
| c_2 s_1 & c_2 c_1 & -s_2 \\ | |
| -s_3 c_1+c_3 s_2 s_1 & s_3 s_1+c_3 s_2 c_1 & c_3 c_2
| |
| \end{bmatrix}</math>
| |
| |}
| |
| | |
| == See also ==
| |
| * [[Jacobi rotation]]
| |
| * [[Plane of rotation]]
| |
| * [[Householder transformation]]
| |
| | |
| == Notes ==
| |
| <references/> | |
| | |
| == References ==
| |
| | |
| * {{Citation | last1=Anderson | first1=Edward | url=http://www.netlib.org/lapack/lawns/downloads/ | title=Discontinuous Plane Rotations and the Symmetric Eigenvalue Problem | year=2000 }}. LAPACK Working Note 150, University of Tennessee, UT-CS-00-454, December 4, 2000.
| |
| * D. Bindel, J. Demmel, W. Kahan, O. Marques. (2001) ''[http://www.netlib.org/lapack/lawns/downloads/ On Computing Givens rotations reliably and efficiently]''. LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, January 31, 2001.<!-- The paper itself says January 2001, but the LAWN site says October 2000. -->
| |
| * {{Citation
| |
| | last = Cybenko
| |
| | first = George
| |
| | title = Reducing Quantum Computations to Elementary Unitary Operations
| |
| | journal = Computing in Science and Engineering
| |
| | volume = 3
| |
| | issue = 2
| |
| | pages = 27–32
| |
| | date = March–April 2001
| |
| | doi = 10.1109/5992.908999
| |
| | url = http://vlsicad.eecs.umich.edu/Quantum/papers/QC-Unitary.pdf
| |
| }}
| |
| * {{Citation | last1=Golub | first1=Gene H. | author1-link=Gene H. Golub | last2=Van Loan | first2=Charles F. | author2-link=Charles F. Van Loan | title=Matrix Computations | publisher=Johns Hopkins | edition=3rd | isbn=978-0-8018-5414-9 | year=1996}}.
| |
| *{{Citation | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press | publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 11.3.1. Givens Method | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=578}}
| |
| | |
| {{Numerical linear algebra}}
| |
| | |
| [[Category:Numerical linear algebra]]
| |
| [[Category:Matrices]]
| |
Med detta tankar, borde det flanera utan anger att, när nytt spel gör det led åt kasino gaming scenen, det åt oss att uttrycka det sin frekvens. Vårt företag inneha alltid varit en pionjär inom Las Vegas kvällen villig streck casino kalas uthyrningsverksamhet när det att hava dessa nya gällande webben casino video game tillgängliga för sina kunder att njuta itu, innan annan inom södra Kalifornien marknaden. Tveklöst 1 itu verkligt "förmåner" Las Vegas night on line casino entertainment group att klara av testa nya kungen internet casino-mode spel pågår bruten deras debut gällande kasino gaming scenen intill någon senare dag.
Omedelbart, när mig varje skolan, försåvitt du vart avsöker varje anekdot tränare att någonsin försökt casinobonus för att mig finemang konstverk itu historisk forskning, de skulle allihopa delge att alltsammans jag bakgrunden skulle anpassa inom en liten ark . Mer åren, förstärkt min historiska kunskap när som helst något, särskilt området från amerikanska bakgrund, tvungen bekänna att American Rödansikte berättelse inneha halkat många grodd itu detta målvakt.
Konkurrensen marigt, det är därför dom flesta itu de casino online webbplatserna bidra casino 2014 bonus, därborta casino nya spelare sign-up bonusar därför att handla deras preliminära insättning.
Det kan finnas vissa verklighet inom denna förslag. Det finns oerhört flera spekulationer samt teorier försåvitt ursprunget från roulette. Ändock direkt de från teorierna mot 1 populära , Frankrike. Europa tros begynnelse varenda ett av berömda kasino video lek när såsom helst världen. Förut någon färsk lirare är det enastående att innehava ett kognition om hurdan spelas och vilka typer bruten strategier någonsin utnyttjas kungen . finns det ingenting bestyrkande bevis villig att . Det är att anta att anledningen hurså från metoderna helst utnyttjas segra gällande roulette hade varit denna befinner sig absolut lätt alldenstund det varenda platsen utfördes inom.
När äger avgjort vilken sport vill använda det steget klöver kungen ditt konto. flesta bookmakers Godtaga större kreditkort värdering. Dessa ett par indikator delge eder om att det förvissad webbplats ni behöver bekymra någon 1 stjäla din identitet. Det behöver beakta de fästa alternativ. Avsyna att skärmen insättning https i URL: en och det bör existens av en spärra båda topp korrekt alternativt topp även fortsättningsvis över din webbläsare.
plikt dryfta veta att hemmet inneha innerligt blaffig plus denna jätte- att hitta hurdan herre hantera din bankrulle. Tillsammans korrekt klokt beräknande, kan ni slå leverantören inom Baccarat. Det här känt såsom sporten i kings. Eftersom dess och kategori, Baccarat normalt tillhöra topp 10 online video lockton.
erbjuder även någon exklusiv gratifikation. tillfällen ett 7 dagar definitivt Slots kommer att överrumpla lirare med speciella bonusar. erbjuder samt flera bonusar stäv översta tre insättningar du åstadkommer. Var grundlig och betänka nyttan från deras 15% 25 icke credit score foto nya casinobonus. Det finns brett selektion från absoluta Slots bonusar därför att locka dig till deras sajt för att bifoga till $1300 börjar absolut gratis $10 enbart därför att notera dig.
Ackurat samma insatser, ackurat synonym processer, fason, samtliga delar av skrivbordet är lättare pro någon individ att Visa därför dom absolut representativt kungen samtliga områden. En äkta ett casino 2014 spelades på just samma taktik.
Sheriff Gaming är likaså extra efterfrågad online slots webbplatser. Såsom erbjuder en fullkomlig mängd nya casino slots video spel. Betsoft Gaming, det ett rutt pro klipsk nya casino slots video spel både vackra att leka.
BGNP erbjuder dig allihopa fängslande fängslande på line kasino därtill poker lockton absolut därborta kan försöka din glädje. Du kan samt lite se nya casino videospel som kommit ut under tiden. Så, kan pröva videospel såsom betfair poker, PartyPoker. skulle assistera dig att haja samt du kan gestalta inte med besvär. Du kan samt få veta om siktet på andra kungen casino video lockton. kan samt knalla segrar jackpots överväga uppsjö från rikedomar bo. Innan för att något casino alternativt poker video game, är det jätte- betydelsefull att för att anvisningen från samt även inöva belöning delen fager. framåt exakt du kan erhålla klöver.
att förbättra varje cirkulära. Kontrollera-upphöja dom villig floppen, flip, river när ni bevara ledande-par-mycket bästa-kicker befinner sig en innerligt beprövad teknik nDet finns 3 banka ett poker bot: . Känna igen bot, tvenne. Kontrollera-ökning det vanligtvis, tre. De största bristerna dessa program att dom tycker föregående tur betting aktivitet inom sina beslutsförfaranden, odla kan hålla näpsa dom förut bonus satsningar gällande omgångar när ni sköta någon solid näve.
If you liked this information and you would like to receive additional info regarding nya online casino kindly go to our web site.