Quantum Hall effect: Difference between revisions

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{{Redirect|Gaussian integration|the integral of a Gaussian function|Gaussian integral}}
== Camisas Hollister Feminina  e como eu esperava ==


In [[numerical analysis]], a '''quadrature rule''' is an approximation of the [[integral|definite integral]] of a [[function (mathematics)|function]], usually stated as a [[weighted sum]] of function values at specified points within the domain of integration.
Se você possui uma lista de e-mail dos assinantes do boletim de notícias ou outras pessoas que optaram por receber ofertas por e-mail a partir de você, envie um e-mail dizendo-lhes sobre o [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=92-Camisas-Hollister-Feminina Camisas Hollister Feminina] nosso website, e não hesite em usar algum texto do nosso site em seu email. <br><br>Em seguida, localize a opção Desativar. Isso funciona em alguns casos, mas não deve nossos militares recrutar o nosso melhor e mais brilhante? Por que não podemos controlar o mundo com satélites e aviões teleguiados e espiões e preservar a vida humana? Áreas hostis podem ser bombardeado com mísseis de cruzeiro de longe. <br><br>É bater a sujeira e poluição de poros que você ganhou obter se só scrup [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=1-Air-Force-Sapatilhas Air Force Sapatilhas] em uma direção. Pete senta com seu sogro, Tom, quem sabe Pete foi preterido para uma promoção. Seja notificado sempre que seus favoritos publicaram coisas novas. Em qualquer caso, a TPG não poderia ser beneficiado por saber se houve ou não foram licitantes adicionais durante o goshop inicial. <br><br>Cada casino jogo online tem algum tipo de bônus promocional para atrair jogadores para jogar no seu casino online. Eu tive que esperar a minha vez de banho. Quando um JSP é solicitada pela primeira vez ou quando o webapp inicia, o servlet container irá compilar o arquivo JSP em uma classe estender HttpServlet e usá-lo durante a vida do webapp. <br><br>Kool Aid cara es mas talentoso Opaco Garrafa D Ensolarado. Julgam-se cheio de bom senso, pois se acham cheios webcams Travestis viver livre da [http://www.serramel.com/Connections/contador.asp?ad=61-Timberland-Botas-Castanhas Timberland Botas Castanhas] honestidade. Em primeiro lugar, o CEO da Associated Press afirma apreensão do governo de registros telefônicos AP era "tão ampla e tão secreto", entre outros fatores ", que era um ato inconstitucional", acrescentando que ele já tinha tido um efeito inibidor sobre newsgathering e liberdade de imprensa. <br><br>BMW E39 Rádio Instalação em BMW 5 SeriesDocking foi inevitavelmente adiada, e como eu esperava, a estação local começou [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=73-Óculos-De-Sol-Oakley-Feminino Óculos De Sol Oakley Feminino] a tocar Jovem do Gigante "My Body". Nevo amelantico. Washington, tinha dito que feito o que fizeram sem rompimento União ou separação. <br><br>Na primeira, Emma não era apaixonado por Jessie, quando eles se encontraram pela primeira vez no episódio, New York, New Nanny. Fundador e CEO Rodrigo Veloso. Você acha que eu iria deixá-lo ir para a casa suja. Bloqueio de sites pornográficos automaticamente não é 100% eficaz, mas você pode aumentar sua barra de privacidade, diminuir sua barra de sites confiáveis, e aumentar a sua barra de sites restritos. <br><br>" É uma maneira de lidar com a perda. A mente eo corpo PEÇAS abrandar. Ela realmente é uma loucura que não seria igual no estado em Heroeswiki com SArmy. Como levantar emocionalmente saudável Crianças se sente como o culminar de uma vida de trabalho e de aprendizagem.<ul>
(See [[numerical integration]] for more on [[quadrature (mathematics)|quadrature]] rules.)
 
An ''n''-point '''Gaussian quadrature rule''', named after [[Carl Friedrich Gauss]], is a quadrature rule constructed to yield an exact result for [[polynomial]]s of degree 2''n'' − 1 or less by a suitable choice of the points ''x''<sub>''i''</sub> and weights ''w''<sub>''i''</sub> for ''i'' = 1,...,''n''.
  <li>[http://www.xq8yl.com/forum.php?mod=viewthread&tid=354132&fromuid=30075 http://www.xq8yl.com/forum.php?mod=viewthread&tid=354132&fromuid=30075]</li>
The domain of integration for such a rule is conventionally taken as [−1, 1],
 
so the rule is stated as
  <li>[http://audeladeleau.free.fr/spip.php?article11/ http://audeladeleau.free.fr/spip.php?article11/]</li>
 
  <li>[http://www.garanhunsnegocios.com/index.php?page=item&id=54370 http://www.garanhunsnegocios.com/index.php?page=item&id=54370]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum17545052 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum17545052]</li>
 
  <li>[http://www.vlpa.org/Forum/default.aspx?g=posts&t=436972 http://www.vlpa.org/Forum/default.aspx?g=posts&t=436972]</li>
 
</ul>


:<math>\int_{-1}^1 f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i).</math>
== Nike Blazer Mid Leopard  mais e mais popular. ==


Gaussian quadrature as above will only produce accurate results if the function ''f''(''x'') is well approximated by a polynomial function within the range [-1,1]. The method is not, for example, suitable for functions with [[singularity (math)|singularities]]. However, if the integrated function can be written as
Em terceiro lugar, DRL forja e mantém parcerias com organizações, governos e instituições multilaterais comprometidos com os direitos humanos. Microsoft, Xbox, Xbox 360, Xbox logos ao vivo, eo Xbox são marcas comerciais do grupo de empresas Microsoft e são usados [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=58-Nike-Blazer-Mid-Leopard Nike Blazer Mid Leopard] ​​sob licença da Microsoft. <br><br>A partir dos cinco anos de General Rafael Reyes no início do século XX e da criação do Bureau Central de Lazzaretti, houve um aumento na legislação para estabelecer medidas de isolamento estritas para o controle da hanseníase. [2]. Ele cuspiu com freqüência (um pouco muitas vezes ao dia, em oposição a um monte, não projétil), que foi diagnosticado como refluxo suave. <br><br>Se você pensar em colocar uma citação em sua página, por favor, confira. Pega-se do vento, nevando como um louco. Ele atualiza seus diretórios no momento em que novas adições ao seu site. De ESTA forma ayudara um sacar del camino de las preguntas Raras, asegur de [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=51-Oakley-Oculos-De-Grau Oakley Oculos De Grau] Opaco haya qu Antes de conocerse en persona. <br><br>Na sociedade, agora, a maioria das pessoas têm iPads que têm conexão [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=14-Camisa-Polo-Ralph-Lauren-Feminina Camisa Polo Ralph Lauren Feminina] com a web e aplicações para celulares. Wikinvest 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012. Eu não sabia que o BPA perigo nesse momento. Por último, mas não menos importante, também estamos fazendo um segundo local para rockinworld. <br><br>Meu namorado é francês e quando ele sugeriu para nós para ir para Paris eu estava animado, mas também com medo. Às vezes, temos que esperar para o que queremos e, por vezes, não sempre conseguimos o que queremos. Eu recomendo. É fácil de dizer como devemos agir quando nos deparamos com trilhas, mas a verdade é que é difícil quando estamos a um de frente para ele. <br><br>Eu realmente gosto de como nós podemos agora ter uma idéia real para a recolha e ver como o uso das cores vai. Ele deve absolutamente nada para obter avanço enquanto você não deve ser empregar para ajudá-lo a fazer o seu pénis maior. ". Agora, sapatos MBT, mais e mais popular. <br><br>Jeff tenta apagar o fogo enquanto um Britta desorientado corre para a cozinha para pegar água para ajudá-lo. Agora, você começa a contar a sua PDC sobre o seu novo computador que é "não" no seu domínio, manualmente. Em palavras simples, um véu welldesigned pode [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=48-Polo-Lacoste-Estados-Unidos Polo Lacoste Estados Unidos] realmente fazer uma grande diferença quando se trata de representar a personalidade da noiva com um sotaque eficaz. <br><br>Também em todos os níveis 10, você ganha acesso a usar uma runa nível superior. Existem programas que seguem um calendário e aqueles que os programas don que permitem a aceleração e programas que permitem um ritmo mais lento grau académico tradicional.<ul>
<math>f(x) = \omega(x) g(x)\,</math>, <!--- Do not delete "\,": It improves the formula display in certain browsers. --->
 
where ''g''(''x'') is approximately polynomial, and ''ω''(''x'') is known{{how|date=January 2014}}, then there are alternative weights <math>w_i'</math> such that
  <li>[http://www.games-mag.de/forum/viewtopic.php?f=21&t=403 http://www.games-mag.de/forum/viewtopic.php?f=21&t=403]</li>
 
  <li>[http://www.136361.com/thread-104584-1-1.html http://www.136361.com/thread-104584-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://bbs.whxx.mhedu.sh.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1129934 http://bbs.whxx.mhedu.sh.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1129934]</li>
 
  <li>[http://jz.eeeqi.com/news/html/?144976.html http://jz.eeeqi.com/news/html/?144976.html]</li>
 
  <li>[http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/ http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/]</li>
 
</ul>


:<math>\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \int_{-1}^1 \omega(x) g(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i' g(x_i).</math>
== Ray Ban Aviator Sizes ==


Common weighting functions include
Stratheck Caravan Park oferece ótimo lazer e entretenimento também. Então, logicamente, para aumentar page rank do seu site, você precisa [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=117-Ray-Ban-Aviator-Sizes Ray Ban Aviator Sizes] de ter o maior número de sites com links para seu site possível. Esta é uma outra sensação que eles podem ter que se acostumar. <br><br>Isso pode ajudá-lo a definir [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=4-Oakley-Radar-Preço Oakley Radar Preço] as suas opções. Eu estava recebendo 20 Mbps para baixo e 3 Mbps no meu velho modem Linksys DOCSIS 2.0, no entanto, que foi o auge quando a transferência começou, então seria desaparecer.. Eu como dentes de leão, courants silvestres, pinhões e outras plantas silvestres comestíveis regularmente. <br><br>Os cookies podem ser apagados do seu disco rígido ou você pode configurar seu navegador para que ele rejeite cookies. Junto com isso, você obter sua permissão clube principal, bancos, cartões de crédito clínicos, dois um cartão. Temos algum software que nós haven sido capaz de instalar ainda. <br><br>Film "Wiatr od czasu wschodu. 3. 2 O aluno serviço do Backup Exec não pode iniciar erro 1068 Canaã e sob para atender Departamento de Ações recebidas por Dee. No entanto, se você ama a [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=97-Polo-Ralph-Lauren-Portugal-Lojas Polo Ralph Lauren Portugal Lojas] vida e quer ir com tudo para vivê-la plenamente, esta abordagem tradicional é de não muita utilidade para você. <br><br>Se você área capaz de se comunicar com alguém que atualmente é membro do que o site que eles podem provavelmente dirigi-lo na direção certa. Os cientistas vão tentar transformar essa energia em eletricidade. Então tornou-se possível a construção de resistores e capacitores no circuito [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=37-Uggs-Portugal-Onde-Comprar Uggs Portugal Onde Comprar] por meios fotográficos (Rogers, 142). <br><br>Uma maneira de encontrar as palavras-chave é através do olhar para seus produtos e serviços vendidos. É um capítulo incrível, cheio de fazer isso e fazer isso e crescer, ser um homem, pensamentos mistos, sentimentos confusos e medo. PL JEST DARMOWY??? Czy NIE Trzeba ZA NIEGO PACI?? . <br><br>O número de artigos que você escreve desafiadoramente desempenha um fator para a quantidade de tráfego que você estará enviando para o seu site. (Ser capaz de ajustar-se estes níveis é uma das poucas vantagens de não ter um homem de som.). Bata a manteiga eo açúcar com uma batedeira. <br><br>ArticleTrader Mensagem plugin para o Wordpress. Windows XP Pro SP3 Original Genuine Serial Chave 100% genuíno testado! SERIAL INCLUSO Como:. "Kutadgu Bilig, Yusuf tem Hacib Zauj aplik pré Android 14. Lá eles se conheçam as identidades formais e primárias do outro. <br><br>Este tipo de bagagem é usado principalmente para viagens curtas. Não há necessidade de esperar enquanto um conjunto de gráficos é postado, enviado por fax ou até mesmo por e-mail e impresso, você pode vê-los instantaneamente. Todos esses benefícios promover ereções rápidas, poderosas e fortes nos machos cura o problema da impotência.<ul>
<math>\omega(x)=1/\sqrt{1-x^2}\,</math> <!-- Do not delete "\,": it improves the display of the formula on certain browsers. --->
 
([[Chebyshev–Gauss quadrature|Chebyshev–Gauss]]) and <math>\omega(x)=e^{-x^2}</math> ([[Gauss–Hermite quadrature|Gauss–Hermite]]).
  <li>[http://220.194.55.213:8086/forum.php?mod=viewthread&tid=817538 http://220.194.55.213:8086/forum.php?mod=viewthread&tid=817538]</li>
 
  <li>[http://www.liudehua.com/forum.php?mod=viewthread&tid=27355 http://www.liudehua.com/forum.php?mod=viewthread&tid=27355]</li>
 
  <li>[http://seekheart.com/forum.php?mod=viewthread&tid=36010 http://seekheart.com/forum.php?mod=viewthread&tid=36010]</li>
 
  <li>[http://site.wisceo.com/news/html/?46994.html http://site.wisceo.com/news/html/?46994.html]</li>
 
  <li>[http://www.cnljjf.com/news/html/?15441.html http://www.cnljjf.com/news/html/?15441.html]</li>
 
</ul>


It can be shown (see Press, et al., or Stoer and Bulirsch) that the evaluation points are just the [[root of a function|root]]s of a [[polynomial]] belonging to a class of [[orthogonal polynomials]].
== Polos Lacoste Em seguida ==


== Gauss–Legendre quadrature == <!-- The section "Other forms of Gaussian quadrature" below links to this section -->
Embora os momentos sombrios do filme são poucos, eles estão bem colocados. Nós acabou de voltar há duas semanas. Ou apenas prazer homicida simples insano em sangria aleatória. Não há toalhas rendadas ou conversas suaves aqui, mas eminentemente agradáveis. <br><br>En el caso de los productos de Consumo, slo se admitirn los envases não Abiertos y con sus precintos de seguridad intactos. Use sempre luvas e aplicar vaselina para sua linha fina para proteger sua pele .. Eles sinalizam que o nosso novo modelo de produção Kia Soul está pronta para desafiar as convenções e oferecer aos compradores um 'mundo de possibilidades" para expressar sua personalidade. <br><br>Em seguida, o piloto tem a papelada para terminar, pegue o ônibus ou táxi para o hotel, check-in, comer e pegar um pouco de sono, que corta a sério para o período de descanso obrigatório ... Início da VOLVO World Match Play Championship, o par 72, de 18 buracos no Finca Cortesin Hotel e Spa resort é 6.800 metros de comprimento, com mais de 100 bancas, e é considerado como um dos melhores da Espanha. <br><br>Sobre o InventorEvelyn nasceu e foi criado em Inverell. As opções avançadas de gráficos em O Senhor dos Anéis Online são mais do que abundante. Durante [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=281-Polos-Lacoste Polos Lacoste] o inverno ártico, a camada de gelo que cobre o continente fica ainda maior. Em breve, você vai aprender a apreciá-lo e certamente irá perdê-lo se você não tem que bebida refrescante em qualquer dia! . <br><br>Ela também provoca um aumento da massa muscular devido aos efeitos anabólicos da testosterona, a ponto de que a testosterona sintética muitas vezes é tomado por pessoas que desejam [http://www.serramel.com/Connections/contador.asp?ad=101-Sapatilhas-Timberland-Olx Sapatilhas Timberland Olx] aumentar a sua massa muscular acentuada. É nestes dias as taxas de bilhetes de vôo são menos caros em comparação com outros dias da semana. <br><br>Em Mombaça, no Quénia, os visitantes podem ficar [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=48-Polo-Lacoste-Estados-Unidos Polo Lacoste Estados Unidos] para uma a oito semanas o ensino de Inglês e ajudando a melhorar a vida de jovens quenianos em uma das áreas mais pobres do país. Eu, pessoalmente, adoro e odeio tanto Star Wars e Star Trek. Eu não conseguia entender isso. <br><br>Eu imprimi os modelos de forma simples e nós fizemos a coloração juntos, mas ela ainda tinha problemas para se lembrar dos termos chineses, [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=190-Camisa-Polo-Ralph-Lauren-Masculina Camisa Polo Ralph Lauren Masculina] mesmo quando eu passei os materiais com ela nos últimos dias. Quando você tem uma agenda de coisas para fazer, será mais fácil para ver se há tempo de folga para mais nada que precisa ser feito durante o dia. <br><br>Anguilla. Os distintos painéis triangulares da qual o arquiteto Norman Foster formaram a fachada são altamente eficientes, com 20 por cento menos do que o aço edifícios mais convencionais, mas isso é quase irrelevante. Basta colocar. Com a capacidade de fazer centenas de cópias de si mesmo e de suas técnicas ninja Naruto poderia cobrir uma pequena cidade em nenhum momento e entrar e sair de casas em um flash sem deixar vestígios.<ul>
[[File:Legendrepolynomials6.svg|thumb|Graphs of Legendre polynomials (up to ''n'' = 5)]]
 
For the simplest integration problem stated above, i.e. with <math>\omega(x)=1</math>,
  <li>[http://xiquzhijia.gotoip2.com/forum.php?mod=viewthread&tid=79911&fromuid=26914 http://xiquzhijia.gotoip2.com/forum.php?mod=viewthread&tid=79911&fromuid=26914]</li>
the associated polynomials are [[Legendre polynomials]], ''P''<sub>''n''</sub>(''x''), and the method is usually known as Gauss–Legendre quadrature. With the ''n''<sup>th</sup> polynomial normalized to give ''P''<sub>''n''</sub>(1)&nbsp;= 1, the ''i''<sup>''th''</sup> Gauss node, ''x''<sub>''i''</sub>, is the ''i''<sup>''th''</sup> root of ''P''<sub>''n''</sub>; its weight is given by {{Harv|Abramowitz|Stegun|1972|loc=p.&nbsp;887}}
 
:<math> w_i = \frac{2}{\left( 1-x_i^2 \right) [P'_n(x_i)]^2}. \,\!</math>
  <li>[http://palevo.com/gallery/displayimage.php?pid=1026/index.php?/index.php/index.php http://palevo.com/gallery/displayimage.php?pid=1026/index.php?/index.php/index.php]</li>
Some low-order rules for solving the integration problem are listed below.
 
  <li>[http://www.chinaiprlaw.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=249529 http://www.chinaiprlaw.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=249529]</li>
 
  <li>[http://www.jxzdjx.com/bbs/showtopic-192789.aspx http://www.jxzdjx.com/bbs/showtopic-192789.aspx]</li>
 
  <li>[http://team-impressive.de/index.php?site=news_comments&newsID=186 http://team-impressive.de/index.php?site=news_comments&newsID=186]</li>
 
</ul>


{| class="wikitable" style="margin:auto; background:white;"
== Ralph Lauren Colombo Lisboa A beetsaster ==
! Number of points, ''n'' !! Points, ''x''<sub>''i'' !! Weights, ''w''<sub>''i''</sub>
|- align="center"
| 1 || 0 || 2
|- align="center"
| 2 || <math>\pm \sqrt{1/3}</math> || 1
|- align="center"
| rowspan="2" | 3 || 0 || <sup>8</sup>⁄<sub>9</sub>
|- align="center"
| <math>\pm\sqrt{3/5}</math> || <sup>5</sup>⁄<sub>9</sub>
|- align="center"
| rowspan="2" | 4 || <math>\pm\sqrt{\Big( 3 - 2\sqrt{6/5} \Big)/7}</math> || <math>\tfrac{18+\sqrt{30}}{36}</math>
|- align="center"
| <math>\pm\sqrt{\Big( 3 + 2\sqrt{6/5} \Big)/7}</math> || <math>\tfrac{18-\sqrt{30}}{36}</math>
|- align="center"
| rowspan="3" | 5 || 0 || <sup>128</sup>⁄<sub>225</sub>
|- align="center"
| <math>\pm\tfrac13\sqrt{5-2\sqrt{10/7}}</math> || <math>\tfrac{322+13\sqrt{70}}{900}</math>
|- align="center"
| <math>\pm\tfrac13\sqrt{5+2\sqrt{10/7}}</math> || <math>\tfrac{322-13\sqrt{70}}{900}</math>
|}


== Change of interval ==
A beetsaster: Uma vez eu tentei fazer bolo de veludo vermelho com beterraba ralada nele. Tudo sobre tentativa e erro e como um proprietário escola de artes marciais experientes, aqui estão três fecha eu usei que eu não recomendaria. Conselho cor: A maneira mais simples de evocar verão é substituir as trevas com a luz por isso, como fizemos (ao transformar este quarto para Cathy, um dos nossos temas favoritos Colin e Justin Início Heist) e alcançar o pincel. <br><br>Eu ficaria feliz em ficar no Umi [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=17-Ralph-Lauren-Colombo-Lisboa Ralph Lauren Colombo Lisboa] Hotel novamente. No início, este vai se sentir estranho, mas o melhor é encontrar uma zona de conforto nesta posição imediatamente. Aceitamos que [http://www.serramel.com/Connections/contador.asp?ad=108-Timberland-Shop-Europe Timberland Shop Europe] a Sra. Cada paciente deve falar com um médico em cada ocasião antes de ser emitido mediante receita médica. <br><br>No entanto, ativistas dos direitos gays e sindicalistas também montado protestos em apoio das duas mulheres e uma série de outros casais gays que são devido a . Os condomínios em Brickell são, porém, ainda muito razoáveis ​​em comparação com os condomínios localizados em Miami Beach. <br><br>Eles vão continuar a apelar para as pessoas em mais de um sentido: decorações para uma coroa de flores, coberturas em uma pizza, esculpida em uma obra de arte, ou simplesmente apreciado como um doce, doces sugarcoated. Isto irá permitir que mais de oxigenação do sangue e aumenta a sua capacidade pulmonar. <br><br>E eu tenho jogado [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=137-Camisa-Fred-Perry Camisa Fred Perry] o Dance Central e é uma tonelada de divertimento. Descubra o seu mais recente Notícias e Eventos aqui. Eu dirigi por que os brinquedos R EUA! A minha namorada e eu estávamos dirigindo sobre a Old Navy para pegar Lego Rock Band, que saiu correndo antes que chegou até nós e me fez realmente louco, e vimos policiais e pessoas jogando críquete e outros enfeites. <br><br>Mesmo alguns abrigos gato nos Estados Unidos não vai adotar a gatos pretos antes de Halloween e algumas semanas depois. 4. Para uma família de quatro a refeição custa € 75, mas que foi de 4 pratos principais, 4 sobremesas, duas bebidas para crianças e uma garrafa de vinho de modo bastante comparável com uma refeição em família no Reino Unido.. <br><br>As suas soluções de marketing de ajudar os comerciantes aumentarem os seus lucros. Situado no condado de Polk ao sudoeste de Orlando entre Kissimmee e Winter Haven, Davenport constitui área da região metropolitana de LakelandWinter Haven. 6. Em anos anteriores, falando em CFC e HDC eu passava dias na criação do esboço, horas em projetar slides e estresse demais sobre a apresentação de uma palestra. <br><br>Para um monte de gente da cidade, isso pode ser um pensamento terrível, mas para um menino que cresce Cree, tio Henry caça bem-sucedida não era só uma questão de honra, significando que ele agora possuía as habilidades necessárias para prosperar no Norte, mas foi [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=17-Oculos-De-Sol-Ray-Ban-Wayfarer Oculos De Sol Ray Ban Wayfarer] também um .<ul>
An integral over [''a'', ''b''] must be changed into an integral over [−1, 1] before applying the Gaussian quadrature rule. This change of interval can be done in the following way:
 
  <li>[http://www.bjttkj.com/en/forum.php?mod=viewthread&tid=789935 http://www.bjttkj.com/en/forum.php?mod=viewthread&tid=789935]</li>
 
  <li>[http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1 http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum17540135 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum17540135]</li>
 
  <li>[http://chaos-minecraft.crystal-serv.com/forum/viewtopic.php?f=18&t=776701 http://chaos-minecraft.crystal-serv.com/forum/viewtopic.php?f=18&t=776701]</li>
 
  <li>[http://www.zgtea.cn/thread-903963-1-1.html http://www.zgtea.cn/thread-903963-1-1.html]</li>
 
</ul>


:<math>
== Botas Ugg Stardoll  os negócios mais benéficos ==
\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}z
+ \frac{a+b}{2}\right)\,dz.
</math>


Applying the Gaussian quadrature rule then results in the following approximation:
Outra coisa é que quando você está avaliando um bom na saída eletrônica de internet de varejo, procure lojas virtuais que são constantemente atualizados, mantendo uptodate com os produtos mais recentes, os negócios mais benéficos, e [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=26-Botas-Ugg-Stardoll Botas Ugg Stardoll] informações úteis sobre produtos e serviços. <br><br>Eles podem até mesmo ser instalado de uma forma que está escondido da vista. Mas nós provavelmente tem um monte de fãs de hóquei que assistem a NHL muito especialmente por causa da Anze [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=68-Oakley-Radar Oakley Radar] Kopitar. Com edifícios destrutíveis, em vez de ir em torno de um edifício apenas um buraco através de uma parede e vá para a direita completamente. <br><br>Incluem saúde relacionados, internet, casa, finanças, literatura, viagens e muito mais, por [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=52-Ugg-Preço Ugg Preço] isso meus textos será principalmente sobre eles. Temos várias maneiras investidores serão pagos de volta: A. As belas praias de areia estão [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=97-Polo-Ralph-Lauren-Portugal-Lojas Polo Ralph Lauren Portugal Lojas] entre os melhores do mundo, tornando-se particularmente gosto é o sol, o mar, ser. <br><br>Outra é que algumas pessoas têm problemas de segurança RL que as impedem de utilizar o seu ID RL juntamente com informações sobre si mesmos que podem colocá-los em risco. Com muitas pessoas migrando para sites da Web, selfservice, o número de empregos disponíveis, que agentes de viagens está em declínio. <br><br>E ainda mais importante é que, trabalhando em algo que fosse divertido eu realmente gostei de estudar e aguarda com expectativa a cada dia. Um amigo da família faz com que um pouco de dinheiro, mas sempre leva um velho burro Touro. Ele acrescentou que os proprietários da unidade são mais propensos a receber um maior nível de renda através da participação no programa de aluguel hotel em vez de tentar alugar o condomínio se. <br><br>Os especialistas em SEO recomenda principalmente a backlinking, colocando os links de sites sobre os diferentes domínios com fileiras alto da página. Ter 280 conexões, mas quantas vezes eu me sento com as pessoas e construir relacionamentos significativos, a fim de que eles vão sair de seu caminho quando eu precisar dele, ou vice-versa? Não que muitas vezes. <br><br>Deus abençoe esses pais pobres, espero que eles não são muito duros consigo mesmos ou uns aos outros. Ele ainda não está claro para qualquer das atividades de campo, mas isso deve vir como nenhuma surpresa neste momento da sua reabilitação. Ela muda tudo o que um pouquinho quando eu vejo Mary responder. <br><br>Anuncie-lo dentro de seus artigos, blogs e sites de mídia social. Eles me dão uma carta azul, então eu agendada para outra entrevista. P. Bem feito para a realização de Staffordshire esta exposição e graças a Carol. Estes dias muitos vendedores se deslocar de um mercado para outro à procura de mercados nacionais de cinco dias.<ul>
 
 
:<math>
   <li>[http://www.h5ne.com/en/forum.php?mod=viewthread&tid=211168 http://www.h5ne.com/en/forum.php?mod=viewthread&tid=211168]</li>
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}z_i + \frac{a+b}{2}\right).
 
</math>
  <li>[http://kimkane.com/kimsforum/read.php?4,11210 http://kimkane.com/kimsforum/read.php?4,11210]</li>
 
 
== Other forms ==
  <li>[http://childgo.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=170386 http://childgo.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=170386]</li>
 
 
The integration problem can be expressed in a slightly more general way by introducing a positive [[weight function]] ω into the integrand,
  <li>[http://earningforum4u.com/viewtopic.php?f=28&t=9218 http://earningforum4u.com/viewtopic.php?f=28&t=9218]</li>
and allowing an interval other than [−1, 1].
 
That is, the problem is to calculate
  <li>[http://vapewikipedia.org/index.php?title=User:Rjydvncd#Ugg_Pre.C3.A7o_Eua_pero_cuando_ste_se_descompone http://vapewikipedia.org/index.php?title=User:Rjydvncd#Ugg_Pre.C3.A7o_Eua_pero_cuando_ste_se_descompone]</li>
 
 
:<math> \int_a^b \omega(x)\,f(x)\,dx </math>
</ul>
 
for some choices of ''a'', ''b'', and ω.
For ''a'' = −1, ''b'' = 1, and ω(''x'') = 1,
the problem is the same as that considered above.
Other choices lead to other integration rules.
Some of these are tabulated below.
Equation numbers are given for [[Abramowitz and Stegun]] (A & S).
 
{| class="wikitable" style="margin:auto; background:white;"
! Interval !! ω(''x'') !! Orthogonal polynomials !! A & S !! For more information, see ...
|- align="center"
| [−1, 1]            || <math>1\,</math> || [[Legendre polynomials]] || 25.4.29 || Section ''[[#Gauss–Legendre quadrature|Gauss–Legendre quadrature]]'', above
|- align="center"
| (−1, 1)            || <math>(1-x)^\alpha (1+x)^\beta,\quad \alpha, \beta > -1\,</math> || [[Jacobi polynomials]] || 25.4.33 (<math>\beta=0</math>) || [[Gauss–Jacobi quadrature]]
|- align="center"
| (−1, 1)            || <math>\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> || [[Chebyshev polynomials]] (first kind) || 25.4.38 || [[Chebyshev–Gauss quadrature]]
|- align="center"
| [−1, 1]            || <math>\sqrt{1 - x^2}</math> || Chebyshev polynomials (second kind) || 25.4.40 || [[Chebyshev–Gauss quadrature]]
|- align="center"
| [0, ∞)        || <math> e^{-x}\, </math> || [[Laguerre polynomials]] || 25.4.45 || [[Gauss–Laguerre quadrature]]
|- align="center"
| [0, ∞)        || <math> x^\alpha e^{-x}\, </math> || Generalized [[Laguerre polynomials]] ||  || [[Gauss–Laguerre quadrature]]
|- align="center"
| (−∞, ∞) || <math> e^{-x^2} </math> || [[Hermite polynomials]] || 25.4.46 || [[Gauss–Hermite quadrature]]
|}
 
=== Fundamental theorem ===
Let <math>p_n</math> be a nontrivial polynomial of degree ''n'' such that
 
:<math>
\int_a^b \omega(x) \, x^k p_n(x) \, dx = 0, \quad \text{for all }k=0,1,\ldots,n-1.
</math>
 
If we pick the ''n'' nodes ''x''<sub>''i''</sub> to be the zeros of ''p''<sub>''n''</sub>, then there exist ''n'' weights ''w''<sub>''i''</sub> which make the Gauss-quadrature computed integral exact for all polynomials <math>h(x)</math> of degree 2''n'' − 1 or less. Furthermore, all these nodes ''x''<sub>''i''</sub> will lie in the open interval (''a'', ''b'') {{harv|Stoer|Bulirsch|2002|pp=172–175}}.
 
The polynomial <math>p_n</math> is said to be an orthogonal polynomial of degree ''n'' associated to the weight function <math>\omega (x)</math>. It is unique up to a constant normalization factor. The idea underlying the proof is that, because of its sufficiently low degree, <math>h(x)</math> can be divided by <math>p_n(x)</math> to produce a quotient <math>q(x)</math> of degree strictly lower than ''n'', and a remainder <math>r(x)</math> of still lower degree, so that both will be orthogonal to <math>p_n(x)</math>, by the defining property of <math>p_n(x)</math>. Thus
:<math> \int_a^b \omega(x)\,h(x)\,dx = \int_a^b \omega(x)\,r(x)\,dx. </math>
Because of the choice of nodes ''x''<sub>''i''</sub>, the corresponding relation
:<math>\sum_{i=1}^n w_i h(x_i) = \sum_{i=1}^n w_i r(x_i)</math>
holds also. The exactness of the computed integral for <math>h(x)</math> then follows from corresponding exactness for polynomials of degree only ''n'' or less (as is <math>r(x)</math>).
 
====General formula for the weights ====
The weights can be expressed as
:<math>w_{i} = \frac{a_{n}}{a_{n-1}}\frac{\int_{a}^{b}\omega(x)p_{n-1}(x)^{2}dx}{p'_{n}(x_{i})p_{n-1}(x_{i})}</math>  (1)
where <math>a_{k}</math> is the coefficient of <math>x^{k}</math> in <math>p_{k}(x)</math>. To prove this, note that using [[Lagrange interpolation]] one can express <math>r(x)</math> in terms of <math>r(x_{i})</math> as
:<math>r(x) = \sum_{i=1}^{n}r(x_{i})\prod_{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}</math>
because r(x) has degree less than n and is thus fixed by the values it attains at n different points. Multiplying both sides by <math>\omega(x)</math> and integrating from a to b yields
:<math>\int_{a}^{b}\omega(x)r(x)dx= \sum_{i=1}^{n}r(x_{i})\int_{a}^{b}\omega(x)\prod_{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}dx</math>
The weights <math>w_{i}</math> are thus given by
:<math>w_{i} = \int_{a}^{b}\omega(x)\prod_{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}dx</math>
This integral expression for <math>w_{i}</math> can be expressed in terms of the orthogonal polynomials <math>p_{n}(x)</math> and <math>p_{n+1}(x)</math> as follows.
 
We can write
:<math>\prod_{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x-x_{j}\right) = \frac{\prod_{1\leq j\leq n} \left(x - x_{j}\right)}{x-x_{i}} = \frac{p_{n}(x)}{a_{n}\left(x-x_{i}\right)}</math>
where <math>a_{n}</math> is the coefficient of <math>x^{n}</math> in <math>p_{n}(x)</math>. Taking the limit of x to <math>x_{i}</math> yields using L'Hôpital's rule
:<math>\prod_{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x_{i}-x_{j}\right) = \frac{p'_{n}(x_{i})}{a_{n}}</math>
We can thus write the integral expression for the weights as
:<math>w_{i} = \frac{1}{p'_{n}(x_{i})}\int_{a}^{b}\omega(x)\frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}}dx</math>  (2)
 
In the integrand, writing
:<math>\frac{1}{x-x_{i}} = \frac{1-\left(\frac{x}{x_{i}}\right)^{k}}{x-x_{i}} + \left(\frac{x}{x_{i}}\right)^{k} \frac{1}{x-x_{i}}</math> 
yields
:<math>\int_{a}^{b}\omega(x)\frac{x^{k}p_{n}(x)}{x-x_{i}}dx= x_{i}^{k}\int_{a}^{b}\omega(x)\frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}}dx</math>
provided <math>k\leq n</math>, because <math>\frac{1-\left(\frac{x}{x_{i}}\right)^{k}}{x-x_{i}} </math> is a polynomial of degree k-1 which is then orthogonal to <math>p_{n}(x)</math>. So, if q(x) is a polynomial of at most nth degree we have
:<math>\int_{a}^{b}\omega(x)\frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}}dx=\frac{1}{q(x_{i})}\int_{a}^{b}\omega(x)\frac{q(x)p_{n}(x)}{x-x_{i}}dx </math> 
We can evaluate the integral on the right hand side for <math>q(x) = p_{n-1}(x)</math> as follows. Because <math>\frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}}</math> is a polynomial of degree n-1, we have
:<math>\frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}} = a_{n}x^{n-1} + s(x)</math>
where s(x) is a polynomial of degree <math>n-2</math>. Since <math>s(x)</math> is orthogonal to <math>p_{n-1}(x)</math> we have
:<math>\int_{a}^{b}\omega(x)\frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}}dx=\frac{a_{n}}{p_{n-1}(x_{i})}\int_{a}^{b}\omega(x)p_{n-1}(x)x^{n-1}dx </math>
We can then write
:<math>x^{n-1} = \left(x^{n-1} - \frac{p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}\right) + \frac{p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}</math>
The term in the brackets is a polynomial of degree <math>n-2</math>, which is therefore orthogonal to <math>p_{n-1}(x)</math>. The integral can thus be written as
:<math>\int_{a}^{b}\omega(x)\frac{p_{n}(x)}{x-x_{i}}dx=\frac{a_{n}}{a_{n-1}p_{n-1}(x_{i})}\int_{a}^{b}\omega(x)p_{n-1}(x)^{2}dx </math>
According to Eq. (2), the weights are obtained by dividing this by <math>p'_{n}(x_{i})</math> and that yields the expression in Eq. (1).
 
====Proof that the weights are positive====
Consider the following polynomial of degree 2n-2
:<math>f(x) = \prod_{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}(x-x_{j})^{2}</math>
where as above the <math>x_{j}</math> are the roots of the polynomial <math>p_{n}(x)</math>. Since the degree of f(x) is less than 2n-1, the Gaussian quadrature formula involving the weights and nodes obtained from <math>p_{n}(x)</math> applies. Since <math>f(x_{j})=0</math> for j not equal to i, we have
:<math>\int_{a}^{b}\omega(x)f(x)=\sum_{j=1}^{N}w_{j}f(x_{j}) = w_{i} f(x_{i}).</math>
Since both <math>\omega(x)</math> and f(x) are non-negative functions, it follows that <math>w_{i}>0</math>.
 
=== Computation of Gaussian quadrature rules ===
For computing the nodes <math>x_i</math> and weights <math>w_i</math> of Gaussian quadrature rules, the fundamental tool is the three-term recurrence relation satisfied by the set of orthogonal polynomials associated to the corresponding weight function.  For ''n'' points, these nodes and weights can be computed in ''O''(''n''<sup>2</sup>) operations by an algorithm derived by Gautschi (1968).
 
==== Gautschi's theorem ====
Gautschi's theorem (Gautschi, 1968) states that orthogonal polynomials <math>p_r</math> with <math>(p_r,p_s)=0</math> for <math>r\ne s</math> for a scalar product <math>( , )</math> to be specified later, degree<math>(p_r)=r</math> and leading coefficient one (i.e. [[monic polynomial|monic]] orthogonal polynomials) satisfy the recurrence relation
:<math>p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_r(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)\ldots-a_{r,0}p_0(x)</math>
for <math>r=0,1,\ldots,n-1</math> where <math>n</math> is the maximal degree which can be taken to
be infinity, and where <math>a_{r,s}=(xp_r,p_s)/(p_s,p_s)</math>. First of all, it is obvious that the polynomials defined by the recurrence relation starting with <math>p_0(x)=1</math> have leading coefficient one and correct degree. Given the starting point by <math>p_0</math>, the orthogonality of <math>p_r</math> can be shown by induction. For <math>r=s=0</math> one has
:<math>(p_1,p_0)=((x-a_{0,0}p_0,p_0)=(xp_0,p_0)-a_{0,0}(p_0,p_0)=(xp_0,p_0)-(xp_0,p_0)=0.</math>
Now if <math>p_0,p_1,\ldots,p_r</math> are orthogonal, then also <math>p_{r+1}</math>, because in
:<math>(p_{r+1},p_s)=(xp_r,p_s)-a_{r,r}(p_r,p_s)-a_{r,r-1}(p_{r-1},p_s)\ldots-a_{r,0}(p_0,p_s)</math>
all scalar products vanish except for the first one and the one where <math>p_s</math> meets the same
orthogonal polynom. Therefore,
:<math>(p_{r+1},p_s)=(xp_r,p_s)-a_{r,s}(p_s,p_s)=(xp_r,p_s)-(xp_r,p_s)=0.</math>
However, if the scalar product satisfies <math>(xf,g)=(f,xg)</math> (which is the case for Gaussian quadrature), the recurrence relation reduces to a three-term recurrence relation: For <math>s\le r-1</math>, <math>xp_s</math> is a polynomial of degree less or equal to <math>r-1</math>. On the other hand, <math>p_r</math> is orthogonal to every polynomial of degree less or equal to <math>r-1</math>. Therefore, one has <math>(xp_r,p_s)=(p_r,xp_s)=0</math> and <math>a_{r,s}=0</math> for <math>s<r-1</math>. The recurrence relation then simplifies to <math>p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_r(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)</math> or
:<math>p_{r+1}(x)=(x-a_r)p_r(x)-b_rp_{r-1}(x)</math>
(with the convention <math>p_{-1}(x)\equiv 0</math>) where
:<math>a_r:=\frac{(xp_r,p_r)}{(p_r,p_r)},\qquad
b_r:=\frac{(xp_r,p_{r-1})}{(p_{r-1},p_{r-1})}=\frac{(p_r,p_r)}{(p_{r-1},p_{r-1})}</math>
(the last because of <math>(xp_r,p_{r-1})=(p_r,xp_{r-1})=(p_r,p_r)</math>, since <math>xp_{r-1}</math> differs from <math>p_r</math> by a degree less than <math>r</math>).
 
==== The Golub-Welsch algorithm ====
The three-term recurrence relation can be written in the matrix form <math>J\tilde{P}=x\tilde{P}</math>
where <math>\tilde{P}=[p_0(x),p_1(x),...,p_{n-1}(x)]^{T}</math> and <math>J</math> is the so-called Jacobi matrix:
:<math>
\mathbf{J}=\left(
\begin{array}{llllll}
a_0      & 1      & 0      & \ldots  & \ldots  & \ldots\\
b_1      & a_1    & 1      & 0      & \ldots  & \ldots \\
0        & b_2    & a_2   & 1      & 0      & \ldots \\
0  & \ldots  & \ldots & \ldots  & \ldots  & 0 \\
\ldots  & \ldots  & 0 & b_{n-2}  & a_{n-2}  & 1 \\
\ldots  & \ldots  & \ldots & 0  & b_{n-1}  & a_{n-1}
\end{array}
\right).
</math>
The zeros <math>x_j</math> of the polynomials up to degree <math>n</math> which are used as nodes for the Gaussian quadrature can be found by computing the eigenvalues of this [[tridiagonal matrix]]. This procedure is known as ''Golub–Welsch algorithm''.
 
For computing the weights and nodes, it is preferable to consider the symmetric tridiagonal matrix <math>\mathcal{J}</math> with elements <math>\mathcal{J}_{i,i}=J_{i,i}=a_{i-1},\, i=1,\ldots,n</math> and <math>\mathcal{J}_{i-1,i}=\mathcal{J}_{i,i-1}=\sqrt{J_{i,i-1}J_{i-1,i}}=\sqrt{b_{i-1}},\, i=2,\ldots,n.</math>
<math>\mathbf{J}</math> and <math>\mathcal{J}</math> are [[similar matrices]] and therefore have the same eigenvalues (the nodes). The weights can be computed from the corresponding eigenvectors: If <math>\phi^{(j)}</math> is a normalized eigenvector (i.e., an eigenvector with euclidean norm equal to one) associated to the eigenvalue <math>x_j</math>, the corresponding weight can be computed from
the first component of this eigenvector, namely:
 
:<math>
w_j=\mu_0 \left(\phi_1^{(j)}\right)^2
</math>
 
where <math>\mu_0</math> is the integral of the weight function
 
:<math>
\mu_0=\int_a^b \omega(x) dx.
</math>
 
See, for instance, {{harv|Gil|Segura|Temme|2007}} for further details.
 
There are alternative methods for obtaining the same weights and nodes in ''O''(''n'') operations using the Prüfer Transform.
 
=== Error estimates ===
 
The error of a Gaussian quadrature rule can be stated as follows {{harv|Stoer|Bulirsch|2002|loc=Thm&nbsp;3.6.24}}.
For an integrand which has 2''n'' continuous derivatives,
 
:<math> \int_a^b \omega(x)\,f(x)\,dx - \sum_{i=1}^n w_i\,f(x_i)
= \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \, (p_n,p_n) </math>
 
for some ξ in (''a'', ''b''), where ''p''<sub>''n''</sub> is the monic (i.e. the leading coefficient is 1) orthogonal polynomial of degree ''n'' and where
 
:<math> (f,g) = \int_a^b \omega(x) f(x) g(x) \, dx . \,\!</math>
 
In the important special case of ω(''x'')&nbsp;= 1, we have the error estimate {{Harv|Kahaner|Moler|Nash|1989|loc=&sect;5.2}}
 
:<math> \frac{(b-a)^{2n+1} (n!)^4}{(2n+1)[(2n)!]^3} f^{(2n)} (\xi) , \qquad a < \xi < b . \,\!</math>
 
Stoer and Bulirsch remark that this error estimate is inconvenient in practice,
since it may be difficult to estimate the order 2''n'' derivative,
and furthermore the actual error may be much less than a bound established by the derivative.
Another approach is to use two Gaussian quadrature rules of different orders,
and to estimate the error as the difference between the two results.
For this purpose, Gauss–Kronrod quadrature rules can be useful.
 
Important consequence of the above equation is that Gaussian quadrature of order ''n'' is accurate for all polynomials up to degree 2''n''–1.
 
=== Gauss–Kronrod rules ===
{{main|Gauss–Kronrod quadrature formula}}
 
If the interval [''a'', ''b''] is subdivided,
the Gauss evaluation points of the new subintervals never coincide with the previous evaluation points (except at zero for odd numbers),
and thus the integrand must be evaluated at every point.
''Gauss–Kronrod rules'' are extensions of Gauss quadrature rules generated by adding <math>n+1</math> points to an <math>n</math>-point rule in such a way that the resulting rule is of order <math>3n+1</math>.
This allows for computing higher-order estimates while re-using the function values of a lower-order estimate.
The difference between a Gauss quadrature rule and its Kronrod extension are often used as an estimate of the approximation error.
 
=== Gauss–Lobatto rules ===
Also known as '''Lobatto quadrature''' {{Harv|Abramowitz|Stegun|1972|loc=p.&nbsp;888}}, named after Dutch mathematician [[Rehuel Lobatto]].
 
It is similar to Gaussian quadrature with the following differences:
# The integration points include the end points of the integration interval.
# It is accurate for polynomials up to degree 2''n''–3, where ''n'' is the number of integration points.
 
Lobatto quadrature of function ''f''(''x'') on interval [–1, +1]:
:<math>
    \int_{-1}^1 {f(x) \, dx} =
    \frac {2} {n(n-1)}[f(1) + f(-1)] +
        \sum_{i = 2} ^{n-1} {w_i f(x_i)} + R_n.
</math>
 
Abscissas: <math>x_i</math> is the <math>(i-1)</math><sup>st</sup> zero of <math>P'_{n-1}(x)</math>.
 
Weights:
:<math>
    w_i = \frac{2}{n(n-1)[P_{n-1}(x_i)]^2} \quad (x_i \ne \pm 1).
</math>
 
Remainder:
<math>
    R_n = \frac
        {- n (n-1)^3 2^{2n-1} [(n-2)!]^4}
        {(2n-1) [(2n-2)!]^3}
        f^{(2n-2)}(\xi), \quad (-1 < \xi < 1)
</math>
 
Some of the weights are:
 
{| class="wikitable" style="margin:auto; background:white;"
! Number of points, ''n'' !! Points, ''x''<sub>''i'' !! Weights, ''w''<sub>''i''</sub>
|- align="center"
| rowspan="2" | <math>3</math> || <math>0</math> || <math>\frac{4}{3}</math>
|- align="center"
| <math>\pm 1</math> || <math>\frac{1}{3}</math>
|- align="center"
| rowspan="2" | <math>4</math> || <math>\pm \sqrt{\frac {1} {5}}</math> || <math>\frac{5}{6}</math>
|- align="center"
| <math>\pm 1</math> || <math>\frac{1}{6}</math>
|- align="center"
| rowspan="3" | <math>5</math> || <math>0</math> || <math>\frac{32}{45}</math>
|- align="center"
| <math>\pm\sqrt{\frac {3} {7}}</math> || <math>\frac{49}{90}</math>
|- align="center"
| <math>\pm 1</math> || <math>\frac{1}{10}</math>
|}
 
==See also==
*[[Euler–Maclaurin formula]]
*[[Clenshaw–Curtis quadrature]]
 
== References ==
* {{AS ref| 25.4, Integration }}
*{{cite journal|first1=Donald G. |last1=Anderson
|title=Gaussian quadrature formulae for int_0^1 -ln(x)f(x) dx
|year=1965 | volume=19 | number=91 | pages=477–481 | journal=Math. Comp.
}}
* {{citation| title = Calculation of Gauss Quadrature Rules | journal = Mathematics of Computation |first=Gene H. |last=Golub |authorlink=Gene Golub| first2= John H. |last2= Welsch|volume= 23| issue= 106 |year= 1969|pages=221–230| jstor = 2004418| doi = 10.1090/S0025-5718-69-99647-1
}}
*{{cite article|first1=Walter | last1=Gautschi
|title=Construction of Gauss–Christoffel Quadrature Formulas
|journal= Math. Comp. | year=1968
| volume=22 | issue= 102
| pages=251–270
|doi=10.1090/S0025-5718-1968-0228171-0 | mr=0228171
}}
*{{cite article|first1=Walter | last1=Gautschi
|title=On the construction of Gaussian quadrature rules from modified moments
|journal= Math. Comp. | year=1970 | volume=24 | pages=245–260
|doi=10.1090/S0025-5718-1970-0285117-6  | mr=0285177
}}
* {{ cite article | first1=R. | last1=Piessens | title=Gaussian quadrature formulas for the numerical integration of Bromwich's integral and the inversion of the laplace transform
|year=1971 | volume=5 | number=1 | journal= J. Eng. Math. | pages=1–9
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* {{cite article|first1=Bernard | last1=Danloy | title=Numerical construction of Gaussian quadrature formulas for int_0^1 (-log x) x^alpha f(x) dx and int_0^infty E_m(x) f(x) dx | journal = Math. Comp. | year=1973
|volume=27 | number=124 | pages=861–869 | doi= 10.1090/S0025-5718-1973-0331730-X |mr=0331730}}
* {{citation | last1=Kahaner | first1=David | last2=Moler | first2=Cleve | author2-link=Cleve Moler | last3=Nash | first3=Stephen | title=Numerical Methods and Software | year=1989 | publisher=[[Prentice-Hall]] | isbn=978-0-13-627258-8 }}
*{{cite journal | first1=Robin P. | last1=Sagar
|title=A Gaussian quadrature for the calculation of generalized Fermi-Dirac integrals
|year=1991 | journal=Comp. Phys. Commun. | volume=66 | pages=271–275 |number=2-3
|doi=10.1016/0010-4655(91)90076-W }}
*{{cite journal | first1=E. | last1=Yakimiw| title=Accurate computation of weights in classical Gauss-Christoffel quadrature rules
|year=1996 | journal=J. Comp. Phys. | volume=129 | pages=406–430| bibcode=1996JCoPh.129..406Y |doi=10.1006/jcph.1996.0258}}
* {{citation | first1=Dirk P. |last1=Laurie
|title=Accurate recovery of recursion coefficients from Gaussian quadrature formulas
|year=1999 | volume=112 | number=1-2 | pages=165–180
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* {{ cite journal| first1=Dirk P. | last1=Laurie
|title=Computation of Gauss-type quadrature formulas
|year=2001 | pages=201–217 | volume=127 | number=1-2 | journal=J. Comp. Appl. Math. | doi=10.1016/S0377-0427(00)00506-9 }}
* {{citation | last1=Stoer | first1=Josef | last2=Bulirsch | first2=Roland | year=2002 | title=Introduction to Numerical Analysis | edition=3rd | publisher=[[Springer-Verlag|Springer]] | isbn=978-0-387-95452-3<!-- 0-387-95452-X --> }}.
* {{dlmf | title=§3.5(v): Gauss Quadrature | id=3.5.v | last=Temme | first=Nico M.}}
* {{Citation |last1=Press|first1=WH|last2=Teukolsky|first2=SA|last3=Vetterling|first3=WT|last4=Flannery|first4=BP|year=2007|title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing|edition=3rd|publisher=Cambridge University Press| publication-place=New York|isbn=978-0-521-88068-8|chapter=Section 4.6. Gaussian Quadratures and Orthogonal Polynomials|chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=179}}
* {{citation | last1=Gil | first1=Amparo | last2=Segura | first2=Javier |last3=Temme | first3=Nico M. | chapter=&sect;5.3: Gauss quadrature| title=Numerical Methods for Special Functions | year=2007 | publisher=SIAM | isbn=978-0-89871-634-4 }}
* {{cite web | first1=R. J. |last1= Mathar | title=Gaussian quadrature of the integrals int_{-infty}^infty f(x) dx / cosh(x)
|url=http://vixra.org/abs/1303.0038 |year =2013}}
 
== External links ==
* {{springer|title=Gauss quadrature formula|id=p/g043510}}
* [http://www.alglib.net/integral/gq/ ALGLIB] contains a collection of algorithms for numerical integration (in C# / C++ / Delphi / Visual Basic / etc.)
* [http://www.gnu.org/software/gsl/ GNU Scientific Library] — includes [[C (programming language)|C]] version of [[QUADPACK]] algorithms (see also [[GNU Scientific Library]])
*[http://ans.hsh.no/home/skk/Publications/Lobatto/PRIMUS_KHATTRI.pdf  From Lobatto Quadrature to the Euler constant e]
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/gauss_quadrature.html Gaussian Quadrature Rule of Integration – Notes, PPT, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcad] at ''Holistic Numerical Methods Institute''
* {{MathWorld|id=Legendre-GaussQuadrature|title=Legendre-Gauss Quadrature}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GaussianQuadrature/ Gaussian Quadrature] by Chris Maes and Anton Antonov, [[Wolfram Demonstrations Project]].
* [http://pomax.github.io/bezierinfo/legendre-gauss.html Tabulated weights and abscissae with Mathematica source code], high precision (16 and 256 decimal places) Legendre-Gaussian quadrature weights and abscissas, for ''n''=2 through ''n''=64, with Mathematica source code.
* [http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/math_src/arbitrary_weight_rule/arbitrary_weight_rule.html Mathematica source code distributed under the GNU LGPL] for abscissas and weights generation for arbitrary weighting functions W(x), integration domains and precisions.
 
[[Category:Numerical integration (quadrature)]]

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