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| {{About||the 2012 film|Perfect Number (film)}}
| | == schwarzer Pfeffer Nike Air Max 90 Infrared == |
| In [[number theory]], a '''perfect number''' is a [[positive integer]] that is equal to the sum of its proper positive [[divisor]]s, that is, the sum of its positive divisors excluding the number itself (also known as its [[aliquot sum]]). Equivalently, a perfect number is a number that is half the sum of all of its positive divisors (including itself) i.e. [[divisor function|σ<sub>1</sub>]](''n'') = 2''n''.
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| This definition is ancient, appearing as early as [[Euclid's Elements]] (VII.22) where it is called ''τέλειος αριθμός'' (''perfect'', ''ideal'', or ''complete number''). Euclid also proved a formation rule (IX.36) whereby <math>p(p+1)/2</math> is an even perfect number whenever <math>p</math> is what is now called a [[Mersenne prime]]. Much later, [[Euler]] proved that all even perfect numbers are of this form.
| | Ein unglaublich innovative Funktion es hat, ist die "Entfernung zu entleeren 'Attribute der anzeigt, wie weit können wir mit all dem versorgt Benzin in den tank.Beats luxuriöse Innenausstattung machen ihre Passagier wirklich das Gefühl, entspannt zu gehen. Ein paar von den Innenräumen sind Schminkspiegel, elektronische Ausstellungstageskilometerzähler, Gepäck nach Hause, Sonnenblende, [http://www.mcaviglia.ch/test/pageflip/test/session.asp?a=9-Nike-Air-Max-90-Infrared Nike Air Max 90 Infrared] digitale Uhr, Drehzahlmesser, Eingang und hinteren Kabine Lampen einen Blendschutz Innenseite Rückspiegel, verstellbare Lenkkraft, 60:40 teilbare Rücksitzplätzen bietet komfortable . <br><br>Die Tinten, die zum Drucken verwendet werden, [http://www.mcaviglia.ch/test/pageflip/test/session.asp?a=91-Nike-Air-Max-87-Weiß-Rot-Blau-Herren-Laufschuhe Nike Air Max 87 Weiß Rot Blau Herren Laufschuhe] sind [http://www.ferotech.ch/highslide/graphics/outlines/define.asp?r=101-Ray-Ban-2014 Ray Ban 2014] phthalate Tinten. Der Hang-Tag, die zu dieser schlanke Tank angebracht ist, kann gepflanzt werden. Diese 2012 Foto von Anne D vorgesehen zeigt ihr auf der rechten Seite mit ihrer Schwester Donna in der Mitte und Mutter Marie auf der linken Seite in Rüdesheim, Deutschland, an einem Port Anruf machten sie während der Einnahme eine Rhein-Kreuzfahrt zusammen. Als ich jung war, lernte ich viel über die Reise von meiner Mutter. <br><br>Dies ist die Liste der Top-Performer aus dem Buch Lebensmittel, die Krebs-Kampf von Dr. Richard Bliveau, Rosenkohl, Brokkoli, Blumenkohl, Kohl, Knoblauch, Zwiebeln, Spinat, Kresse, Leinsamen, Tomatenmark (und gekochte Tomaten), Kurkuma , schwarzer Pfeffer, frische Beeren (blau, schwarz und Himbeeren), getrocknete Preiselbeeren, Trauben, dunkle Schokolade (70% Kakao) Saft aus Zitrusfrüchten, Lebensmittel mit einem hohen Gehalt an Omega-3, grüner Tee und Rotwein. <br><br>J Lo und Supermodel Giselle sagen Die Dukan Diät half ihnen ihr Baby Gewicht zu verlieren. Kate Middleton ist angeblich nach diesem Fett Diät, wie sie bereit für ihre königliche Hochzeit bekommt. Ich habe es meinen Zweck geschaffen, um eine robuste und faszinierende Leben Stil zu schaffen, und obwohl Frauen sind ein wichtiger Aspekt, um das Gleichgewicht in meinem Leben, sie sind nicht meine Motivation pur für den Wunsch, in alles, was viel mehr machen. Ich eigentlich Lust, viel wert auf den Planeten hinzufügen und wird, durch meine Produktionen. <br><br>Wolmirstedt kosmetik Podologie Internet-Apotheke Straße des sexualtriebs imitrex Imigran generika. Staxyn Reaccion con Ceftin Demut erfolglos Regression neben einem Morgen. Wenn sie als Amulett getragen wurde, sagte Topas zu verjagen Traurigkeit und Stärkung der Intellekt. In Gold montiert und um den Hals gehängt wurde angenommen, um schlechte Reize zu zerstreuen. <br><br>Das Mädchen stellt sicher, dass alle Aufgaben, die das Mädchen wird benötigt [http://www.mcaviglia.ch/test/pageflip/test/session.asp?a=217-Nike-Air-Max-2014 Nike Air Max 2014] sind leicht angeboten, um sicherzustellen, jane ist für nahezu jede Situation, sowie Feier sicher. Totes sind in der Regel folglich gemeinsamen jetzt, wie sie stilvoll, welldesigned, zusammen mit am besten von allen eine neue Art und Weise Affirmation selbst sind.<ul> |
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| | <li>[http://fluids.hrbeu.edu.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1457887 http://fluids.hrbeu.edu.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1457887]</li> |
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| | <li>[http://www.gzbbangz.com/home.php?mod=space&uid=191614 http://www.gzbbangz.com/home.php?mod=space&uid=191614]</li> |
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| | <li>[http://mcpos.net/news/html/?159926.html http://mcpos.net/news/html/?159926.html]</li> |
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| | <li>[http://chunwan.ueuo.com/space.php?uid=42897&do=blog&id=380442 http://chunwan.ueuo.com/space.php?uid=42897&do=blog&id=380442]</li> |
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| | </ul> |
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| It is not known whether there are any odd perfect numbers, or if infinitely many perfect numbers exist.
| | == und gut auf seine Weise Nike Air Force 1 High == |
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| ==Examples== | | Mit dem Wissen, was Sie wollen, sollten Sie in der Lage, in den Spiegel schauen und sagen zu sich selbst kurz und bündig, warum Sie gerne mit [http://www.mcaviglia.ch/test/pageflip/test/session.asp?a=63-Nike-Air-Force-1-High Nike Air Force 1 High] einem Houston Zahnarzt zu erfüllen. Ist es für Vorsorgeuntersuchungen? Ist es zu leichten Zahnreinigung Verfahren durchführen? Oder ist es zu Ihrem Kinn umzustrukturieren? "Was du TMll erfordern die Dienste eines Kieferchirurgen für. <br><br>Ich habe viel Mühe in die Gestaltung der Eingabeaufforderung [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=63-Mk-Taschen-Outlet Mk Taschen Outlet] Szenario Parsen Sie die Forschung / Schreibprozess in einer Checkliste von Schritten, und die Schaffung von Produktoptionen. Und die Mädchen lieben die Gummiduckies. Das ist alles was Sie benötigen, herunterladen und ansehen alle Filme, die Sie in nur [http://www.riccicabanas.com/includes/client.asp?k=11-Oakley-Schweiz Oakley Schweiz] einer Station denken können. Sie erhalten auch freie Software, um den Download auf eine DVD brennen. <br><br>"" Es dauerte 9 Stunden von Jamaika nach Hause fliegen nach England dauerte es nur die Amerikaner drei Stunden, um nach Hause kommen. "" Mein Verlobter und ich hatten ein Zimmer, aber wir zweibett in einem Doppelbettzimmer platziert wurden. Zimmerman sagte. '' Einfach, aber robust. <br><br>Die inspriation kam von der Gründung des Lake County Vietnam Veterans Memorial in Stoney Run County Park in den frühen 1970er Jahren. Die Vision ist ehrgeizig, und gut auf seine Weise! Bitte nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um unsere Projekte und die Fortschritte zu sehen, und eine Spende für unsere Sache.. <br><br>Ebenso nehmen eine jener geschwungenen Falten weg von der Seite, entweder den einen Ursprung über dem Vorderrad, oder ein auf dem Heckflügel. Wieder, einfacher, schöner. So, alles, was er uns gerade gesagt, bedeutet das Ende nicht nur des Klassenkampfes und des dynamischen rightleft (obwohl Rifkin tut zugeben quälende Frage, wer die Produktionsmittel, sondern der Immobilie selbst (und deine Welt zu kontrollieren sollte um Zugang Beziehungen aufgebaut, wir gesagt, wahrscheinlich eine ganz andere Art von Menschen hervor Nämlich:. Verhaltenskodizes, unsere bürgerlichen Werte, ja unser tiefstes Gefühl dafür, wer wir sind hilflos in einer neuen, weniger Material, weniger grenzten, mehr immaterielle Welt zur Ware Dienstleistungen, bei denen wir der Gesellschaftsvertrag von Anfang bis Ende und kommen mit einem brandneuen Es ist nicht nur, dass wir wissen, ist plötzlich passi mehr [http://www.ahoperating.ch/images/layout/fotorahmen/style.asp?m=39-Scarpe-Mbt-Svizzera Scarpe Mbt Svizzera] düster, wir werden in einem so großen Maßstab in gestürzt, dass wir kaum in der Lage, seine letztendlichen Auswirkungen zu ergründen, was Änderung buchstabieren ein Todesurteil für die Zivilisation wie wir sie kennen..<ul> |
| The first perfect number is [[6 (number)|6]], because 1, 2, and 3 are its proper positive divisors, and 1 + 2 + 3 = 6. Equivalently, the number 6 is equal to half the sum of all its positive divisors: ( 1 + 2 + 3 + 6 ) / 2 = 6. The next perfect number is [[28 (number)|28]] = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. This is followed by the perfect numbers [[496 (number)|496]] and [[8128 (number)|8128]] {{OEIS|id=A000396}}.
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| | <li>[http://demon-inferno.net/forum/viewtopic.php?f=4&t=254932 http://demon-inferno.net/forum/viewtopic.php?f=4&t=254932]</li> |
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| | <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18184349 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18184349]</li> |
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| | <li>[http://www.hanjun123.com/forum.php?mod=viewthread&tid=338054&fromuid=6441 http://www.hanjun123.com/forum.php?mod=viewthread&tid=338054&fromuid=6441]</li> |
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| | <li>[http://slapfish.co.uk/forum/viewtopic.php?f=1&t=278902 http://slapfish.co.uk/forum/viewtopic.php?f=1&t=278902]</li> |
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| | </ul> |
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| ==Discovery== | | == zweitens Ich lebe in LA Hollister Shops Schweiz == |
| These first four perfect numbers were the only ones known to early [[Greek mathematics]], and the mathematician [[Nicomachus]] had noted 8128 as early as 100 AD.<ref name="Dickinson LE (1919)">{{cite book|last=Dickson|first=L. E. | authorlink = L. E. Dickson|title=History of the Theory of Numbers|year=1919|publisher=Carnegie Institution of Washington|location=Washington|pages=iii|url=http://www.archive.org/stream/historyoftheoryo01dick#page/4/}}</ref> In a manuscript written between 1456 and 1461, an unknown mathematician recorded the earliest reference to a fifth perfect number, with 33,550,336 being correctly identified for the first time.<ref>[[Munich]], [[Bayerische Staatsbibliothek]], Clm 14908</ref><ref name="Smith DE (1958)">{{cite book|last=Smith|first=DE|title=The History of Mathematics|year=1958|publisher=Dover|location=New York|isbn=0-486-20430-8|pages=21|url=http://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC&pg=PA21}}</ref> In 1588, the Italian mathematician [[Pietro Cataldi]] identified the sixth (8,589,869,056)<ref name="Peterson I (2002)">{{cite book|last=Peterson|first=I|title=Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles|year=2002|publisher=Mathematical Association of America|location=Washington|isbn=88-8358-537-2|pages=132|url=http://books.google.com/books?id=4gWSAraVhtAC&pg=PA132}}</ref> and the seventh (137,438,691,328) perfect numbers.<ref name="Pickover C (2001)">{{cite book|last=Pickover|first=C|title=Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning|year=2001|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|isbn=0-19-515799-0|pages=360|url=http://books.google.com/books?id=52N0JJBspM0C&pg=PA360}}</ref>
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| ==Even perfect numbers==
| | Juni 2013 13.01 Erskine Smith starb am Samstag im Alter von 67 Jahren. Erskine war so viele Dinge, und unter ihnen ein wahrer Geschichtenerzähler. Also, ich brauche ein paar Tickets für DD buchen und I. Sie ist [http://www.buesser-metallbau.ch/about/section.asp?h=30-Hollister-Shops-Schweiz Hollister Shops Schweiz] 4 Monate alt und wird auf meinem Schoß reisen. <br><br>Ich bin ein Mädchen erst ab, zweitens Ich lebe in LA, wo der Spaß mit persönlichen Stil in Ordnung ist und Sie nicht ein Sünder nicht trägt ein weißes T-Shirt und vneck langweilig blauen Jeans sind. Das ist, was mich zum Lachen. Anders als seine Rookie-Saison, als er fertig 24. Woods hat in den ersten vier der Geldrangliste jedes Jahr gewesen. <br><br>Ein paar der einzigartigen und exklusiven Luxus-Uhren finden Sie Online gehören Marken wie Tonino Lamborghini, Tokyo Flash Schurke, LTD, Police, Lacoste, Seksy, und Paris Hilton. Natürlich haben diese exklusiven Uhren der Regel eine größere Preisschild genau wie alles andere, die als ein exklusives Design sein wird. <br><br>8. Abschied und Erinnerungen teilen und / oder Wertschätzung. Daher wird der Ort oft das Venedig von Amerika bezeichnet. Es gibt zahlreiche Flüge nach Fort Lauderdale, die Sie in der Nähe von Einkaufszentren, Kaufhäuser, Salons, Geschäfte und Flohmärkte setzen [http://www.cattledog-kelpie.ch/infragistics/Images/Large/config.asp?b=57-Beats-By-Dre-Schweiz Beats By Dre Schweiz] können.. <br><br>Mit einem Reverse-Suche, können Sie auch herausfinden, dass die Hintergrundinformationen, wie denn das ist die einzelnen Familienmitglieder, Verwandte und Nachbarn. Sie können immer noch festzustellen, den Namen des oder gebührenfrei paycell Telefonnummer. <br><br>Auvitra Überprüfung ist ein Beatniks unterstützen, dass die erektile Dysfunktion mit überfluteten Aggression und mit seiner kompletten Kraftantriebe es von den Männern das Leben aus. Auvitra generischen Hocker Boxen mit ED in jeder Informationen. Vielleicht ist seine wertvollsten Beitrag kam von einer Vision, die er für eine Nachbarschaft Dumping Boden hinter seiner Mission hatte. Im Jahr 2005 brach er Boden auf diesem Grundstück und baute es zu einem städtischen Farm, die jetzt gedient hat Hunderte von Mitgliedern in [http://www.cattledog-kelpie.ch/infragistics/Images/Large/config.asp?b=31-Beats-Solo-Hd Beats Solo Hd] seinem unter Community mit frischen Produkten. <br><br>Für die Suche nach etwas, um am Samstagabend zu tun, LeLoLi Caf und Espresso Bar, bei 1053 N. Walnut Street, Milford, bietet Acoustic Night. Das war nichts Neues für Karikaturisten, natürlich, aber sie didn haben den Luxus, Geschichtenerzähler. Trudeau konnte sich auf seine Ziele zu kriechen und dann zerstören sie wie eine große Fastfood-Comic. <br><br>YlVolta. Uruguay. Singer Fiona Apple ist die südamerikanische Etappe ihrer [http://www.studerkunststoffe.ch/script/style.asp?p=73-Ralph-Lauren-Home-Schweiz Ralph Lauren Home Schweiz] Welttournee verschieben, für sie zu sterben, Hundepflege, nach CBS News. Die Sängerin machte die Ankündigung in einem handgeschriebenen Brief auf ihrer Website veröffentlicht.<ul> |
| {{unsolved|mathematics|Are there infinitely many perfect numbers?}}
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| | | <li>[http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1895/ http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1895/]</li> |
| [[Euclid]] proved that 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup>−1) is an even perfect number whenever 2<sup>''p''</sup>−1 is prime (Euclid, Prop. IX.36).
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| | | <li>[http://79139.com/w/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=190434 http://79139.com/w/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=190434]</li> |
| For example, the first four perfect numbers are generated by the formula 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup>−1), with ''p'' a [[prime number]], as follows:
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| | | <li>[http://www.dz-tattoo.com/news/html/?50159.html http://www.dz-tattoo.com/news/html/?50159.html]</li> |
| :for ''p'' = 2: 2<sup>1</sup>(2<sup>2</sup>−1) = 6
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| :for ''p'' = 3: 2<sup>2</sup>(2<sup>3</sup>−1) = 28
| | <li>[http://www.iehdi.org/wiki/index.php?title=User:Erjcsold#Ich_plane_Ray_Ban_Wayfarer_Amazon http://www.iehdi.org/wiki/index.php?title=User:Erjcsold#Ich_plane_Ray_Ban_Wayfarer_Amazon]</li> |
| :for ''p'' = 5: 2<sup>4</sup>(2<sup>5</sup>−1) = 496
| | |
| :for ''p'' = 7: 2<sup>6</sup>(2<sup>7</sup>−1) = 8128.
| | </ul> |
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| Prime numbers of the form 2<sup>''p''</sup>−1 are known as [[Mersenne prime]]s, after the seventeenth-century monk [[Marin Mersenne]], who studied [[number theory]] and perfect numbers. For 2<sup>''p''</sup>−1 to be prime, it is necessary that ''p'' itself be prime. However, not all numbers of the form 2<sup>''p''</sup>−1 with a prime ''p'' are prime; for example, 2<sup>11</sup>−1 = 2047 = 23 × 89 is not a prime number.<ref>All factors of 2<sup>''p''</sup>−1 are congruent to 1 mod 2''p''. For example, 2<sup>11</sup>−1 = 2047 = 23 × 89, and both 23 and 89 yield a remainder of 1 when divided by 22. Furthermore, whenever ''p'' is a [[Sophie Germain]] prime—that is, 2p+1 is also prime—and 2p+1 is congruent to 1 or 7 mod 8, then 2p + 1 will be a factor of 2<sup>''p''</sup>−1.</ref> In fact, Mersenne primes are very rare—of the 1,622,441 prime numbers ''p'' up to 25,964,951,<ref>{{cite book | title=Primality Testing and Integer Factorization in Public-Key Cryptography | volume=11 | series=Advances in Information Security | author=Song Y. Yan | edition=2nd | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2009 | isbn=0-387-77268-5 | page=199 }}</ref>
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| 2<sup>''p''</sup>−1 is prime for only 42 of them.
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| Over a millennium after Euclid, [[Ibn al-Haytham]] (Alhazen) ''circa'' 1000 AD conjectured that ''every'' even perfect number is of the form 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup>−1) where 2<sup>''p''</sup>−1 is prime, but he was not able to prove this result.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}</ref> It was not until the 18th century that [[Leonhard Euler]] proved that the formula 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup>−1) will yield all the even perfect numbers. Thus, there is a one-to-one relationship between even perfect numbers and Mersenne primes; each Mersenne prime generates one even perfect number, and vice versa. This result is often referred to as the Euclid–Euler Theorem. {{As of|2013|2}}, 48 Mersenne primes are known,<ref name="mersenne">{{cite web |url=http://www.mersenne.org/ |title=GIMPS Home |publisher=Mersenne.org |date= |accessdate=2013-02-05}}</ref> and therefore 48 even perfect numbers (the largest of which is 2<sup>57885160</sup> × (2<sup>57885161</sup>−1) with 34,850,340 digits).
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| The first 42 even perfect numbers are 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup>−1) for
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| :''p'' = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, and 25964951 {{OEIS|id=A000043}}.<ref>[http://www.mersenne.org/report_milestones/ GIMPS Milestones Report]. Retrieved 2012-12-21</ref>
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| The other 6 known are for ''p'' = 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, and 57885161. It is not known whether there are (or are not) any other perfect numbers besides the ones known after the 42nd. Neither is it known whether there are [[infinite set|infinitely many]] Mersenne primes; this is one of the [[List of unsolved problems in mathematics|unsolved problems in mathematics]]. The search for new Mersenne primes is the goal of the [[GIMPS]] distributed computing project.
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| As well as having the form 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup>−1), each even perfect number is the {{nowrap|(2<sup>''p''</sup>−1)th}} [[triangular number]] (and hence equal to the sum of the integers from 1 to {{nowrap|2<sup>''p''</sup>−1}}) and the {{nowrap|2<sup>''p''−1</sup>th}} [[hexagonal number]]. Furthermore, each even perfect number except for 6 is the {{nowrap|((2<sup>''p''</sup>+1)/3)th}} [[centered nonagonal number]] and is equal to the sum of the first {{nowrap|2<sup>(''p''−1)/2</sup>}} odd cubes:
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| :<math>
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| \begin{align}
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| 6 & = 2^1(2^2-1) & & = 1+2+3, \\[8pt]
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| 28 & = 2^2(2^3-1) & & = 1+2+3+4+5+6+7 = 1^3+3^3, \\[8pt]
| |
| 496 & = 2^4(2^5-1) & & = 1+2+3+\cdots+29+30+31 \\
| |
| & & & = 1^3+3^3+5^3+7^3, \\[8pt]
| |
| 8128 & = 2^6(2^7-1) & & = 1+2+3+\cdots+125+126+127 \\
| |
| & & & = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3, \\[8pt]
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| 33550336 & = 2^{12}(2^{13}-1) & & = 1+2+3+\cdots+8189+8190+8191 \\
| |
| & & & = 1^3+3^3+5^3+\cdots+123^3+125^3+127^3.
| |
| \end{align}
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| </math> | |
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| Even perfect numbers (except 6) are of the form
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| :<math>T_{2^p - 1} = 1 + \frac{(2^p-2) \times (2^p+1)}{2} = 1 + 9 \times T_{(2^p - 2)/3}</math>
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| | |
| with each resulting triangular number (after subtracting 1 from the perfect number and dividing the result by 9) ending in 3 or 5, the sequence starting with 3, 55, 903, 3727815, ....<ref name="mathworld">{{Mathworld|urlname=PerfectNumber|title=Perfect Number}}</ref> This can be reformulated as follows: adding the digits of any even perfect number (except 6), then adding the digits of the resulting number, and repeating this process until a single digit (called the [[digital root]]) is obtained, always produces the number 1. For example, the digital root of 8128 is 1, because 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, and 1 + 0 = 1. This works with all perfect numbers 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup>−1) with odd prime ''p'' and, in fact, with '''all''' numbers of the form 2<sup>''m''−1</sup>(2<sup>''m''</sup>−1) for odd integer (not necessarily prime) ''m''.
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| Owing to their form, 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup>−1), every even perfect number is represented in binary as ''p'' ones followed by ''p'' − 1 zeros:
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| :6<sub>10</sub> = 110<sub>2</sub>
| |
| :28<sub>10</sub> = 11100<sub>2</sub>
| |
| :496<sub>10</sub> = 111110000<sub>2</sub>
| |
| :8128<sub>10</sub> = 1111111000000<sub>2</sub>
| |
| :33550336<sub>10</sub> = 1111111111111000000000000<sub>2</sub>.
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| Thus every even perfect number is a [[pernicious number]].
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| Note that every even perfect number is also a [[practical number]] (c.f. [[#Related concepts|Related concepts]]).
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| ==Odd perfect numbers==<!-- This section is linked from [[Unsolved problems in mathematics]] -->
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| {{unsolved|mathematics|Are there any odd perfect numbers?}}
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| It is unknown whether there are any odd perfect numbers, though various results have been obtained. [[Carl Pomerance]] has presented a [[Heuristic (computer science)|heuristic]] argument which suggests that no odd perfect numbers exist. All perfect numbers are also [[Ore's harmonic number]]s, and it has been conjectured as well that there are no odd Ore's harmonic numbers other than 1.
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| Any odd perfect number ''N'' must satisfy the following conditions:
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| * ''N'' > 10<sup>1500</sup>.<ref name="Ochem and Rao (2012)">{{cite journal | last1=Ochem | first1=Pascal | last2=Rao | first2=Michaël | title=Odd perfect numbers are greater than 10<sup>1500</sup> | journal=[[Mathematics of Computation]] | year=2012 | volume=81 | issue=279 | doi=10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 | url=http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf | pages=1869–1877 | zbl=pre06051364 | issn=0025-5718 }}</ref>
| |
| * ''N'' is not divisible by 105.<ref name="Kühnel U (1494)">{{cite journal|last=Kühnel|first=U|title=Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen|journal=Mathematische Zeitschrift|year=1949|volume=52|pages=201–211|doi=10.1515/crll.1941.183.98,+//1941|url=http://www.reference-global.com/doi/abs/10.1515/crll.1941.183.98|accessdate=30 March 2011}}</ref>
| |
| * ''N'' is of the form ''N'' ≡ 1 (mod 12), ''N'' ≡ 117 (mod 468), or ''N'' ≡ 81 (mod 324).<ref name="Roberts T (2008)">{{cite journal|last=Roberts|first=T|title=On the Form of an Odd Perfect Number|journal=Australian Mathematical Gazette|year=2008|volume=35|issue=4|pages=244|url=http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2008/Sep08/CommsRoberts.pdf}}</ref>
| |
| * ''N'' is of the form
| |
| ::<math>N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \cdots p_k^{2e_k}, </math>
| |
| :where:
| |
| :* ''q'', ''p''<sub>1</sub>, ..., ''p''<sub>''k''</sub> are distinct primes (Euler).
| |
| :* ''q'' ≡ α ≡ 1 ([[Modular arithmetic|mod]] 4) (Euler).
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| :* The smallest prime factor of ''N'' is less than (2''k'' + 8) / 3.<ref name="Grün (1952)">{{cite journal|last=Grün|first=O|title=Über ungerade vollkommene Zahlen|journal=Mathematische Zeitschrift|year=1952|volume=55|issue=3|pages=353–354|doi=10.1007/BF01181133|url=http://www.springerlink.com/content/u6n2338x7mw10027/|accessdate=30 March 2011}}</ref>
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| :* Either ''q''<sup>α</sup> > 10<sup>62</sup>, or ''p''<sub> ''j''</sub><sup>2''e''<sub>''j''</sub></sup> > 10<sup>62</sup> for some ''j''.<ref name="Ochem and Rao (2012)"/>
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| :* ''N'' < 2<sup>4<sup>''k''+1</sup></sup>.<ref name="Nielsen (2003)">{{cite journal|last=Nielsen|first=PP|title=An upper bound for odd perfect numbers|journal=Integers|year=2003|volume=3|pages=A14–A22|url=http://www.westga.edu/~integers/vol3.html|accessdate=30 March 2011}}</ref>
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| * The largest prime factor of ''N'' is greater than 10<sup>8</sup>.<ref name="Goto and Ohno (2008)">{{cite journal|last=Goto|first=T|coauthors=Ohno, Y|title=Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10<sup>8</sup>|journal=Mathematics of Computation|year=2008|volume=77|issue=263|pages=1859–1868|doi=10.1090/S0025-5718-08-02050-9|url=http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/perfect/perfect.pdf|accessdate=30 March 2011}}</ref>
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| * The second largest prime factor is greater than 10<sup>4</sup>, and the third largest prime factor is greater than 100.<ref name="Ianucci DE (1999)">{{cite journal|last=Iannucci|first=DE|title=The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand|journal=Mathematics of Computation|year=1999|volume=68|issue=228|pages=1749–1760|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-228/S0025-5718-99-01126-6/S0025-5718-99-01126-6.pdf|accessdate=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-99-01126-6}}</ref><ref name="Ianucci DE (2000)">{{cite journal|last=Iannucci|first=DE|title=The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred|journal=Mathematics of Computation|year=2000|volume=69|issue=230|pages=867–879|url=http://www.ams.org/journals/mcom/2000-69-230/S0025-5718-99-01127-8/S0025-5718-99-01127-8.pdf|accessdate=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-99-01127-8}}</ref>
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| * ''N'' has at least 101 prime factors and at least 9 distinct prime factors. If 3 is not one of the factors of ''N'', then ''N'' has at least 12 distinct prime factors.<ref name="Ochem and Rao (2012)"/><ref name="Nielsen PP (2007)">{{cite journal|last=Nielsen|first=PP|title=Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors|journal=Mathematics of Computation|year=2007|volume=76|pages=2109–2126|url=https://www.math.byu.edu/~pace/NotEight_web.pdf|accessdate=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-07-01990-4|issue=260}}</ref>
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| In 1888, [[James Joseph Sylvester|Sylvester]] stated:<ref>The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester p. 590, tr. from "Sur les nombres dits de Hamilton", ''Compte Rendu de l'Assoiation Française'' (Toulouse, 1887), pp. 164–168.</ref>
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| {{quote|...a prolonged meditation on the subject has satisfied me that the existence of any one such [odd perfect number] — its escape, so to say, from the complex web of conditions which hem it in on all sides — would be little short of a miracle.}}
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| ==Minor results==
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| All even perfect numbers have a very precise form; odd perfect numbers either do not exist or are rare. There are a number of results on perfect numbers that are actually quite easy to prove but nevertheless superficially impressive; some of them also come under [[Richard Guy]]'s [[strong law of small numbers]]:
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| * The only even perfect number of the form ''x''<sup>3</sup> + 1 is 28 (Makowski 1962).
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| * 28 is also the only even perfect number that is a sum of two positive integral cubes (Gallardo 2010).<ref>Luis H. Gallardo, On a remark of Makowski about perfect numbers, Elem. Math. 65 (2010) 121-126.</ref>
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| * The [[multiplicative inverse|reciprocals]] of the divisors of a perfect number ''N'' must add up to 2:
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| ** For 6, we have <math>1/6 + 1/3 + 1/2+ 1/1 = 2</math>;
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| ** For 28, we have <math>1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2</math>, etc. (This is particularly easy to see, just by taking the definition of a perfect number, <math>\sigma_1(n) = 2n</math>, and dividing both sides by n.)
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| * The number of divisors of a perfect number (whether even or odd) must be even, because ''N'' cannot be a perfect square.
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| ** From these two results it follows that every perfect number is an [[Ore's harmonic number]].
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| * The even perfect numbers are not [[trapezoidal number]]s; that is, they cannot be represented as the difference of two positive non-consecutive [[triangular number]]s. There are only three types of non-trapezoidal numbers: even perfect numbers, powers of two, and a class of numbers formed from [[Fermat prime]]s in a similar way to the construction of even perfect numbers from Mersenne primes. {{Clarify|date=June 2009}} <ref>{{Cite journal|title=Characterising non-trapezoidal numbers|first1=Chris|last1=Jones|first2=Nick|last2=Lord|journal=The Mathematical Gazette|volume=83|issue=497|year=1999|pages=262–263|doi=10.2307/3619053|jstor=3619053|publisher=The Mathematical Association|postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}</ref>
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| * The number of perfect numbers less than ''n'' is less than <math>c\sqrt{n}</math>, where ''c'' > 0 is a constant.<ref name="Hornfeck (1955)">{{cite journal|last=Hornfeck|first=B|title=Zur dichte der menge der follkommenen zahlen|journal=Arch. Math.|year=1955|volume=6|pages=442–443|doi=10.1007/BF01901120|issue=6}}</ref> In fact it is <math>o(\sqrt{n})</math>, using [[little-o notation]].<ref>{{cite journal|last=Kanold|first=HJ|title=Eine Bemerkung ¨uber die Menge der vollkommenen zahlen|journal=Math. Ann.|year=1956|volume=131|pages=390–392|doi=10.1007/BF01350108|issue=4}}</ref>
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| * Every even perfect number ends in 6 or 28, base ten.<ref name="mathworld"/>
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| ==Related concepts==
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| The sum of proper divisors gives various other kinds of numbers. Numbers where the sum is less than the number itself are called [[deficient number|deficient]], and where it is greater than the number, [[abundant number|abundant]]. These terms, together with ''perfect'' itself, come from Greek [[numerology]]. A pair of numbers which are the sum of each other's proper divisors are called [[amicable number|amicable]], and larger cycles of numbers are called [[sociable number|sociable]]. A positive integer such that every smaller positive integer is a sum of distinct divisors of it is a [[practical number]].
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| By definition, a perfect number is a [[fixed point (mathematics)|fixed point]] of the restricted [[divisor function]] s(n) = σ(n) − n, and the [[aliquot sequence]] associated with a perfect number is a constant sequence. All perfect numbers are also <math>\mathcal{S}</math>-perfect numbers, or [[Granville number]]s.
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| A [[semiperfect number]] is a natural number that is equal to the sum of all or some of its proper divisors. A semiperfect number that is equal to the sum of all its proper divisors is a perfect number. Most abundant numbers are also semiperfect; abundant numbers which are not semiperfect are called [[weird number]]s.
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| ==See also==
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| * [[Jan Brożek]]
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| * [[List of perfect numbers]]
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| * [[Superperfect number]]s
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| ==Notes==
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| {{Reflist|30em}}
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| ==References==
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| <div class="references-small"> | |
| * Euclid, ''[[Euclid's Elements|Elements]]'', Book IX, Proposition 36. See [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX36.html D.E. Joyce's website] for a translation and discussion of this proposition and its proof.
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| * H.-J. Kanold, "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen", ''Journal für die Reine und Angewandte Mathematik'', 183 (1941), pp. 98–109.
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| * R. Steuerwald, "Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl", ''S.-B. Bayer. Akad. Wiss.'', 1937, pp. 69–72.
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| </div>
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| ==Further reading==
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| <!-- From http://mathforum.org/library/drmath/view/51516.html -->
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| * Nankar, M.L.: "History of perfect numbers," Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
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| * Hagis, P.: "A Lower Bound for the set of odd Perfect Prime Numbers", ''[[Mathematics of Computation]]'' 27, (1973), 951–953.
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| * Riele, H.J.J. "Perfect Numbers and Aliquot Sequences" in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): ''Computational Methods in Number Theory'', Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp. 141–157.
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| * Riesel, H. ''Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation'', Birkhauser, 1985.
| |
| * {{cite book | last1=Sándor | first1=Jozsef | last2=Crstici | first2=Borislav | title=Handbook of number theory II | location=Dordrecht | publisher=Kluwer Academic | year=2004 | isbn=1-4020-2546-7 | zbl=1079.11001 | pages=15–98 }}
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| == External links ==
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| * {{springer|title=Perfect number|id=p/p072090}}
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| * David Moews: [http://djm.cc/amicable.html Perfect, amicable and sociable numbers]
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| * [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers.html Perfect numbers – History and Theory]
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| * {{Mathworld|urlname=PerfectNumber|title=Perfect Number}}
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| * {{SloanesRef |sequencenumber=A000396|name=Perfect numbers}}
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| * [http://www.oddperfect.org OddPerfect.org] A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
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| * [http://www.mersenne.org/(GIMPS) Great Internet Mersenne Prime Search]
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| * [http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.perfect.html Perfect Numbers], math forum at Drexel.
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| * {{cite web|last=Grimes|first=James|title=8128: Perfect Numbers|url=http://www.numberphile.com/videos/8128.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]}}
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| {{Divisor classes}}
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| {{Classes of natural numbers}}
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| {{DEFAULTSORT:Perfect Number}}
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| [[Category:Divisor function]]
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| [[Category:Integer sequences]]
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| [[Category:Unsolved problems in mathematics]]
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