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| The '''Chinese remainder theorem''' is a result about [[modular arithmetic|congruences]] in [[number theory]] and its generalizations in [[abstract algebra]]. It was first published in the 3rd to 5th centuries by Chinese mathematician [[Sun Tzu (mathematician)|Sun Tzu]].
| | == Je mehr Muskeln Michael Kors Bestellen Deutschland == |
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| In its basic form, the Chinese remainder theorem will determine a number ''n'' that when divided by some given divisors leaves given remainders. For example, what is the lowest number ''n'' that when divided by 3 leaves a remainder of 2, when divided by 5 leaves a remainder of 3, and when divided by 7 leaves a remainder of 2?
| | Wenn Sie mit MS Windows 2003 Server zu tun haben, dann wird Ihre Mission, die sich Windows-Partition wird vereinfacht. Eigentlich, MS Windows 2003 Server unterstützt Clustering eine hohe Verfügbarkeit der Anwendungen, Dienste und andere System-Ressourcen mit Architektur. <br><br>Tore Godal, Sonderberater des Ministerpräsidenten von Norwegen am Global Health Dr. Godal ist ein internationaler Spezialist für die öffentliche Gesundheit, die Arbeit als Sonderberater und Berater der norwegische Ministerpräsident, der Bill Melinda Gates Foundation, der [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=83-Michael-Kors-Bestellen-Deutschland Michael Kors Bestellen Deutschland] Weltgesundheitsorganisation (WHO), Gesundheit Metrics Network und Die GAVI Alliance. <br><br>Nach den ersten paar Nächte, sie sieht mich nur an, nachdem ich mit dem Essen fertig und sagt, nur zwei Minuten, wenn Sie können und wir gehen zu ihrem Computer und ich ihr helfen. Es ist eine nette kleine Interaktion, die immer lustig, seit sie mit mir über einige der italienische Kettenbriefe bekommt sie und will wieder aus senden erzählen will.. <br><br>Humorvolle Bewertungen und Clips aus dem Programm mit den Leitartikeln eine erste Rate gelesen, auch wenn Sie nicht wie carsVery auch von einigen renommierten Motorjournalisten geschrieben. Ein bisschen withlots von Spionschüsse erwachsen. Ich wünschte, ich wäre nur gesammelt haben sie alle und LEFT 'EM BRAND NEW in der Verpackung. Leichter gesagt als getan für sein 8 Jahre alt zu der Zeit. <br><br>Je mehr Muskeln, die Sie verwenden, desto mehr Kalorien verbrennen Sie, welche enorme Ergebnisse in Ihrem Körper Transformation. Pick-up eine Klasse Kickboxen in Beaverton noch heute! Sie werden diese Hochleistungs LIEBE, Körper verwandeln Arbeit aus. <br><br>Spartacus präsentiert die Wahl der Befriedigung seiner [http://www.eyerex.com/net/news/Beschreibung/header.asp?p=61-Pandora-Charms-Bedeutung Pandora Charms Bedeutung] persönlichen Bedürfnisse nach Rache an dem Mann, der seine Frau, die Sklaverei und schließlich zum Tod verurteilt, oder machen die größeren Opfer notwendig, um seine angehende Armee aus brechen auseinander zu halten. Enthält [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=107-Nike-Free-Run-7.0 Nike Free Run 7.0] alle der Blutgetränkte Action, exotische Sexualität und Schurkerei und Heldentum, die gekommen ist, um die Serie zu unterscheiden, die Geschichte von Spartacus wieder in epischen Mode.. <br><br>Besuchen Sie einfach die Tide Blog und melden Sie sich für ihren Newsletter. Es ist auch ein ausgezeichneter Weg sie über Ihre Probleme zu erfahren über die Marke und zur gleichen Zeit werden Sie die neuesten Entwicklungen über das Waschmittel entdecken zu lassen. <br><br>Sei es jede Saison, Sonnenbrille verkaufen wie warme Semmeln. Auch wenn Prominente sind nicht mit ihnen verbunden, Sonnenbrille haben sich die erfolgreichsten [http://www.studerkunststoffe.ch/script/style.asp?p=32-Polo-Ralph-Lauren-Online-Shop-Schweiz Polo Ralph Lauren Online Shop Schweiz] Trend oder Mode-Accessoire. Das diesjährige 176. Und Neubeginn der Derby wird nächste Woche stattfinden.<ul> |
| == Theorem statement ==
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| The original form of the theorem, contained in the 5th-century book ''[[Sunzi's Mathematical Classic]]'' ({{lang|zh|孫子算經}}) by the Chinese mathematician [[Sun Tzu (mathematician)|Sun Tzu]] and later generalized with a complete solution called ''Dayanshu'' ({{lang|zh|大衍術}}) in [[Qin Jiushao]]'s 1247 ''[[Mathematical Treatise in Nine Sections]]'' ({{lang|zh|數書九章}}, ''Shushu Jiuzhang''), is a statement about simultaneous congruences.
| | <li>[http://www.observatoiredesreligions.fr/spip.php?article8 http://www.observatoiredesreligions.fr/spip.php?article8]</li> |
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| | <li>[http://www.exinly.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=4655&fromuid=460 http://www.exinly.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=4655&fromuid=460]</li> |
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| | <li>[http://bbs.hbqcw9.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1453491 http://bbs.hbqcw9.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1453491]</li> |
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| | <li>[http://web.zaiwww.com/news/html/?182966.html http://web.zaiwww.com/news/html/?182966.html]</li> |
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| | </ul> |
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| Suppose ''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>, …, ''n''<sub>''k''</sub> are positive [[integer]]s that are [[pairwise coprime]]. Then, for any given sequence of integers ''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>''k''</sub>, there exists an integer ''x'' solving the following system of simultaneous congruences.
| | == Executive Secretary Air Vortex Retro == |
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| :<math>\begin{align} | | JULIAN LOBLEVYT, Executive Secretary, GAVI Alliance beigetreten Julian LobLevyt GAVI im Januar 2005 als Chief Executive Officer der GAVI Alliance. Vor der Aufnahme der Führung der GAVI arbeitete Julian mit UNAIDS als Senior Policy Adviser dem Exekutivdirektor. <br><br>Sie fahren Sie den Garten Bord gibt. Es würde Ihnen sowieso nicht geholfen haben. Als Reaktion auf die Ankündigung vom Montag, Dr. Michele Green, ein Dermatologe an Lenox Hill Hospital in New York City, sagte: "Es ist an der Zeit, dass diese Sonnenlampen wurden umgegliedert und zu einem höheren Standard gehalten Ich begrüße diesen Schritt, vor allem seit dem Aufstieg in. <br><br>Aber, was ist denn groß zu sein Air Vortex Retro im Jahr 2013? Nun, Steve Wilson eine Auswahl an bahnbrechenden Gadgets für uns mit einer Antischwerkraft-Laufband, das weltweit erste TVconcealing Aquarium, und ein Handy, das underwater.1 funktioniert. AlterG ANTIGRAVITY LAUFBAND: AlterG einzigartige "Anti-Schwerkraft-Technologie wurde ursprünglich bei der NASA entwickelt und Nike Oregon Research Project von Amerikas Top-Läufern getestet und ist Pandora Jewelry Switzerland das einzige Gerät seiner Art in der Welt. <br><br>Benicassim 3 Schlafzimmer Ferienwohnung Ferien Immobilien in Benicassim, Costa del Azahar. Luxuriöse Wohnung in der obersten Etage mit drei Schlafzimmern derzeit bei Selbstverpflegung in der exklusiven Wohnanlage La Colomera in Benicassim an der spanischen Costa del Azahar angeboten. <br><br>Ich zum ersten Mal über Peter Forrest, als er auf einem Rookie Vertrag für die NSW Cricket Kader ausgewählt. Ich war der Kraft-und Konditionstrainer und Peter, zusammen mit Steve O'Keefe und Michael Kors Hamilton Navy John Hastings, waren alle Rookies und alle von Richmond spielt mit Hawkesbury in der Sydney-Klasse Konkurrenz. <br><br>Erstellung Web-Shop durch Online-Tools und Software werden von den Online-Vermarkter in vollen Zügen eingesetzt. Diese Tools und Software sind in der ganzen Welt genutzt und Menschen aller Altersgruppen, Formen und Größen, Kasten und Glaubensbekenntnis und Nationalität schaffen verschiedene Werkzeuge mit diesen wertvollen Ressourcen. <br><br>Huge. Dass Licht, Douglas Leistung war weniger ein Durchbruch als Krönung eines Prozesses, der schon lange im Gange. Bitte überprüfen Sie die Datenschutzbestimmungen und Nutzungsbedingungen, bevor Sie diese Website. Lacoste Poloshirt Outlet Ihre Nutzung der Website erklären Sie Ihr Einverständnis mit den Nutzungsbedingungen einverstanden.. <br><br>Frauen und Männer haben die Ohrringe für eine so lange Zeit, dass sie fast überall zum Verkauf gefunden werden getragen. Bei so vielen Möglichkeiten heute, warum wählen, um handgemachte Ohrringe wie Federohrringe kaufen? Es gibt eine einfache Antwort auf diese Frage, es ist, weil sie einzigartig und schön sind.<ul> |
| x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\ | | |
| x &\equiv a_2 \pmod{n_2} \\ | | <li></li> |
| &{}\ \ \vdots \\
| | |
| x &\equiv a_k \pmod{n_k} | | <li>?article64#forum18183900</li> |
| \end{align}</math>
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| | <li></li> |
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| | <li>?mod=viewthread&tid=433381</li> |
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| | </ul> |
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| Furthermore, all solutions ''x'' of this system are congruent modulo the product, ''N'' = ''n''<sub>1</sub>''n''<sub>2</sub>…''n''<sub>''k''</sub>.
| | == kein Feind. Ray Ban New Wayfarer Größentabelle == |
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| Hence <math>\scriptstyle x \;\equiv\; y \pmod{n_i}</math> for all <math>\scriptstyle 1 \;\leq\; i \;\leq\; k</math>, if and only if <math>\scriptstyle x \;\equiv\; y \pmod{N}</math>.
| | Sie sagen gar nichts. Von allen yap in Bezug auf den Yuan, die stabil gegenüber dem Dollar getäuscht, die Gefahr zu ignorieren Braten sie aus Tokio. Beachten, so dass Sie die Anzeichen und Symptome der Annäherung an Probleme, bevor es auftritt, anstatt sich erstaunt zu verstehen. Sie können ganz weg von harten Zeiten zu bleiben, aber eine große Notfallstrategie wird es viel besser machen, um dem Sturm zu trotzen. <br><br>Die westlichen Regierungen würden nicht einmal lernen, ein Führer ist nicht alles, was sie (Großbritannien, USA und Co) wünschen ihm zu tun, auch wenn seine Politik profitieren, die Mehrheit seines Volkes, dann muss er auf der einen oder anderen Vorwand gestürzt tun. Gaddafi war Ray Ban New Wayfarer Größentabelle ein Verbündeter des Westens, kein Feind. <br><br>Leider ein trendleader hat seine Schattenseiten. Die Silvers Schuhe kaufen wie Kunst, kommende Trends zu identifizieren und Strumpf einmalig schöne Stücke. Zwei Cajun-Spezialitäten sind die Oakley Sonnenbrillen 2014 Catfish Platter (panierte und frittierte Cajun Wels serviert mit Pommes frites, die Tagesgemüse und Salat) und die Blackened Gator Abendessen (sautiert geschwärzt Alligator diente über weißem Reis und kreolischer Sauce). Sie sind von 11:30 AM10: 12.00 Uhr von Sonntag bis Donnerstag. <br><br>Ich denke, Sie über das, was Christen tun, zu viel, Gringo kümmern. Ich bin froh, dass du nicht mit, dass du als Rechtfertigung, nicht an Gott, aber glauben, denn das wäre sehr unlogisch. Wenn Sie irgendwelche Bedenken über Ihre eigene Gesundheit oder die Gesundheit Ihres Kindes haben, sollten Sie immer mit einem Arzt oder anderen Angehörigen des Gesundheitswesens aufsuchen. Bitte überprüfen Sie die Datenschutzbestimmungen und Nutzungsbedingungen, bevor Sie diese Website. <br><br>Aber ich werde ihn begann auf seiner eigenen Seite Ralph Lauren Poloshirt Sale und mir vielleicht seine eigenen kleinen Abschnitt, wenn er dies wünscht, einen zu haben. Abgesehen davon, bin ich mir nicht wirklich sicher, was ihn über setzen. Als Ergebnis sind viele Spieler tatsächlich mit Bezug auf diese Art von Fähigkeiten angeschlossen. Sie sind immer viel von ihrer Zeit in Rendering üben diese Fähigkeiten Softball trifft für sie zu filtern und beherrschen die verschiedenen Fähigkeiten. <br><br>Wenn ein Republikaner nicht wie ein Talkshow-Moderatorin, bekommen sie fox news, sie verleumden, bis der einen Seite und auf der Hollister Zürich Adresse anderen Seite. "Rachael Ray anyone? Wie über die Frau, die über Geburtenkontrolle bezeugt und wurde genannt Wenn ein Republikaner der oben liest, sie werden wahrscheinlich in einem Streit mit mir, wie die Republikaner nicht alle diese Dinge tun zu engagieren..<ul> |
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| | <li>?article1/</li> |
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| | <li></li> |
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| | <li>#224722</li> |
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| | <li></li> |
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| | </ul> |
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| Sometimes, the simultaneous congruences can be solved even if the ''n<sub>i</sub>'''s are not pairwise coprime. A solution ''x'' exists if and only if:
| | == und eine starke demagogischen Ansatz. Nike Free 4.0 Damen == |
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| :<math>a_i \equiv a_j \pmod{\gcd(n_i,n_j)} \qquad \text{for all }i\text{ and }j</math>
| | Das ist richtig aus dem Wörterbuch und scheint Albuquerque, Berry und Schultz zu beschreiben. Faschismus neigt dazu, den Glauben an die Überlegenheit einer Gruppe über eine andere, nationalen, ethnischen, vor allem sozialen Schichten oder monetär sind; eine Verachtung für die Demokratie, ein Beharren auf Gehorsam gegenüber einem mächtigen Führer, und eine starke demagogischen Ansatz. <br><br>Ein Ziel Nike Free 4.0 Damen ist, hohe Qualitäts-Audits durch die Minimierung der Möglichkeit, dass alle externen Faktoren werden Urteile des Abschlussprüfers beeinflussen zu fördern. Der Wirtschaftsprüfer muss Nike Schuhe Zürich jede Prüfung mit professioneller Skepsis nähern und muss die Fähigkeit und die Bereitschaft, Fragen in eine unvoreingenommene und objektive Art und Weise Ralph Lauren Fake Kaufen zu entscheiden, auch wenn die Entscheidungen des Prüfers kann gegen die Interessen der Verwaltung des Prüfungsmandanten oder gegen die Interessen des Wirtschaftsprüfers sein . <br><br>Sie können vergrößern und verkleinern, verschieben Sie die Karte um, Wechsel zwischen Kartenansicht und Satellitenansicht. Alle mit deinen Dienst Bereichsgrenze angezeigt. Sie können mehr von Jasmine N und ihre sexy Uniform bei Only Tease sehen. Dort können Sie den vollen Satz von Fotos sowie sehen können, alle ihre anderen sexy Sets. <br><br>Hundert oder so auf jeder Verbindung. Es gibt etwa hundert dieser Eigenschaften entlang der Flussufer. Warum haben die FBI-Agenten zu wählen, um einen Fall im Oktober umrahmen? Weil 1. November ist die Fälligkeit der Grundsteuer. Manchmal Strahlentherapie allein verabreicht oder es kann neben anderen Ray Ban Shop Bern Behandlung gegeben werden. Strahlentherapie kann vor der Operation gegeben, um einen Tumor oder nach der Operation, um das Wachstum von Krebszellen, die bleiben möglicherweise nicht mehr schrumpfen.. <br><br>Sie lieben es, verschiedene Paar Schuhe für verschiedene Gelegenheiten tragen .. Nicht zu vergessen der Brief wouldn in einem Gericht überall in der Welt gestanden haben als Beweis anyway.Is dies einen weiteren Fall von Hindu-Extremisten Durchführung Massenmord und mit dem Finger auf Pakistan, wie sie mit Samjhauta Express und Malegaon getan hat? Beide Personen wurden zunächst auf Lashkar e Taiba und dem ISI verantwortlich gemacht. <br><br>Als ich dort lebte, wurde diese "haze" sicher gefürchtet, wenn er auftauchte, aber es war noch nicht zu einem internationalen Thema oder ein Maß für den Fortschritt. In den letzten paar Wochen hat Peking die Luftqualität zu einem Gespenst von Chinas auf Weiterentwicklung Raserei eine wirtschaftliche und Weise wir im Westen sind bei der Unterstützung zu schaffen ganz mitschuldig.<ul> |
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| All solutions ''x'' are then congruent modulo the [[least common multiple]] of the ''n<sub>i</sub>''.
| | <li>?mod=viewthread&tid=850448</li> |
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| Sun Tzu's work contains neither a proof nor a full algorithm. What amounts to an algorithm for solving this problem was described by [[Aryabhata]] (6th century; see {{harvnb|Kak|1986}}). Special cases of the Chinese remainder theorem were also known to [[Brahmagupta]] (7th century), and appear in [[Fibonacci]]'s [[Liber Abaci]] (1202).
| | <li>?option=com_kunena&view=topic&catid=3&id=191387&Itemid=326#192176</li> |
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| A modern restatement of the theorem in algebraic language is that for a positive integer <math>\scriptstyle n</math> with [[prime factorization]] <math>\scriptstyle p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}</math> we have the [[isomorphism]] between a [[ring (mathematics)|ring]] and the [[direct product]] of its prime power parts:
| | <li>?bid=111/</li> |
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| :<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/p_1^{r_1}\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p_2^{r_2}\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/p_k^{r_k}\mathbb{Z}</math>
| | <li></li> |
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| The theorem can also be restated in the language of [[combinatorics]] as the fact that the infinite [[arithmetic progression]]s of integers form a [[Helly family]] {{harv|Duchet|1995}}.
| | </ul> |
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| == Existence and uniqueness==
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| The existence and uniqueness of the solution can easily be seen through a non-constructive argument. There are N = ''n''<sub>1</sub>''n''<sub>2</sub>...''n''<sub>k</sub> different k-[[tuples]] of remainders. Let us call this set R. And there are also N different numbers between 1 and N. For each number between 1 and N, there corresponds member of R. Can two numbers a, b, between 1 and N correspond to the same member of R? That is, can they have the same set of remainders when divided by ''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>..., ''n''<sub>k</sub>? If they did then a - b would be divisible by each n. Since the n's are relatively prime, a - b would be divisible by their product: N. This can't be. So this function from {1, ... N } to R is one-to-one. Since {1, ... , N} and R have the same number of elements, this function must also be onto. Thus we have established the existence of a [[bijection]].
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| Existence can be seen by an explicit construction of <math>\scriptstyle x</math>. We will use the notation <math>\scriptstyle [a^{-1}]_b</math> to denote the [[Modular multiplicative inverse|multiplicative inverse]] of <math>\scriptstyle a \pmod{b}</math> as calculated by the [[Extended Euclidean algorithm]]. It is defined exactly when <math>\scriptstyle a</math> and <math>\scriptstyle b</math> are coprime; the following construction explains why the coprimality condition is needed.
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| === Case of two equations ===
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| Given the system (corresponding to <math>\scriptstyle k \,=\, 2</math>)
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| :<math>\begin{align}
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| x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\
| |
| x &\equiv a_2 \pmod{n_2}
| |
| \end{align}</math>
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| Since <math>\scriptstyle \gcd(n_1, n_2) \,=\, 1</math>, we have from [[Bézout's identity]]
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| :<math>n_2 [n_2^{-1}]_{n_1} + n_1 [n_1^{-1}]_{n_2} = 1</math>
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| This is true because we agreed to use the inverses that came out of the Extended Euclidean algorithm; for any other inverses, it would not necessarily hold true, but only hold true <math>\pmod{n_1n_2}</math>.
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| | |
| Multiplying both sides by <math>\scriptstyle x</math>, we get
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| :<math>x = x n_2 [n_2^{-1}]_{n_1} + x n_1 [n_1^{-1}]_{n_2}</math>
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| | |
| If we take the congruence modulo <math>\scriptstyle n_1</math> for the right-hand-side expression, it is readily seen that
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| :<math>x \underbrace{n_2 [n_2^{-1}]_{n_1}}_1 + x \underbrace{n_1}_0 [n_1^{-1}]_{n_2} \equiv x \times 1 + x \times 0 \times [n_1^{-1}]_{n_2} \equiv x \pmod {n_1}</math>
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| But we know that
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| :<math>x \equiv a_1 \pmod {n_1}</math>
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| thus this suggests that the coefficient of the first term on the right-hand-side expression can be replaced by <math>\scriptstyle a_1</math>. Similarly, we can show that the coefficient of the second term can be substituted by <math>\scriptstyle a_2</math>.
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| We can now define the value
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| :<math>x \equiv a_1 n_2 [n_2^{-1}]_{n_1} + a_2 n_1 [n_1^{-1}]_{n_2}</math>
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| | |
| and it is seen to satisfy both congruences by reducing. For example
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| :<math>a_1 n_2 [n_2^{-1}]_{n_1} + a_2 n_1 [n_1^{-1}]_{n_2} \equiv a_1 \times 1 + a_2 \times 0 \times [n_1^{-1}]_{n_2} \equiv a_1 \pmod {n_1}</math>
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| === General case ===
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| The same type of construction works in the general case of <math>\scriptstyle k</math> congruence equations. Let <math>\scriptstyle N \;=\; n_1 n_2 \cdots n_k </math> be the product of every modulus then define
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| :<math>x := \sum_{i} a_i \frac{N}{n_i} \left[\left(\frac{N}{n_i}\right)^{-1}\right]_{n_i}</math>
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| | |
| and this is seen to satisfy the system of congruences by a similar calculation as before.
| |
| | |
| == Finding the solution with basic algebra and modular arithmetic ==
| |
| For example, consider the problem of finding an integer ''x'' such that
| |
| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| x &\equiv 2 \pmod{3} \\
| |
| x &\equiv 3 \pmod{4} \\
| |
| x &\equiv 1 \pmod{5}
| |
| \end{align}</math>
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| A brute-force approach converts these congruences into sets and writes the elements out to the product of {{nowrap|3×4×5 {{=}} 60}} (the solutions modulo 60 for each congruence):
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| | |
| :x ∈ {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59, …}
| |
| :x ∈ {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, …}
| |
| :x ∈ {1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, …}
| |
| | |
| To find an x that satisfies all three congruences, intersect the three sets to get:
| |
| | |
| :x ∈ {11, …}
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| | |
| Which can be expressed as
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| | |
| :<math>x \equiv 11 \pmod{60}</math>
| |
| | |
| Another way to find a solution is with basic algebra, modular arithmetic, and stepwise substitution.
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| We start by translating these congruences into equations for some t, s, and u:
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| | |
| *Equation 1: <math>x = 2 + 3t</math>
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| *Equation 2: <math>x = 3 + 4s</math>
| |
| *Equation 3: <math>x = 1 + 5u</math>
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| | |
| Start by substituting the x from equation 1 into congruence 2:
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| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| 2 + 3t &\equiv 3 \pmod{4} \\
| |
| 3t &\equiv 1 \pmod{4} \\
| |
| t &\equiv (3)^{-1} \equiv 3 \pmod{4}
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| meaning that <math>t = 3 + 4s</math> for some integer s.
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| | |
| Substitute t into equation 1:
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| :<math>x = 2 + 3t = 2 + 3(3 + 4s) = 11 + 12s</math>
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| Substitute this x into congruence 3:
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| :<math>11 + 12s \equiv 1 \pmod{5}</math>
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| Casting out fives, we get
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| | |
| :<math> \begin{align}
| |
| 1 + 2s &\equiv 1 \pmod{5} \\
| |
| 2s &\equiv 0 \pmod{5}
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| meaning that
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| | |
| :<math>s = 0 + 5u</math>
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| for some integer u.
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| Finally,
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| :<math>x = 11 + 12s = 11 + 12(5u) = 11 + 60u</math>
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| | |
| So, we have solutions 11, 71, 131, 191, …
| |
| | |
| Notice that 60 = lcm(3,4,5). If the moduli are pairwise [[coprime]] (as they are in this example), the solutions will be congruent modulo their product.
| |
| | |
| == A constructive algorithm to find the solution ==
| |
| The following algorithm only applies if the <math>\scriptstyle n_i</math>'s are pairwise coprime. (For simultaneous congruences when the moduli are not pairwise coprime, the [[method of successive substitution]] can often yield solutions.)
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| Suppose, as above, that a solution is required for the system of congruences:
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| | |
| :<math>x \equiv a_i \pmod{n_i} \quad\mathrm{for}\; i = 1, \ldots, k</math>
| |
| | |
| Again, to begin, the product <math>\scriptstyle N \;=\; n_1n_2 \ldots n_k</math> is defined. Then a solution ''x'' can be found as follows.
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| | |
| For each ''i'' the integers <math>\scriptstyle n_i</math> and <math>\scriptstyle N/n_i</math> are coprime. Using the [[extended Euclidean algorithm]] we can find integers <math>\scriptstyle r_i</math> and <math>\scriptstyle s_i</math> such that <math>\scriptstyle r_in_i \,+\, s_iN/n_i \;=\; 1</math>. Then, choosing the label <math>\scriptstyle e_i \;=\; s_iN/n_i</math>, the above expression becomes:
| |
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| :<math>r_i n_i + e_i = 1</math>
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| | |
| Consider <math>\scriptstyle e_i</math>. The above equation guarantees that its remainder, when divided by <math>\scriptstyle n_i</math>, must be 1. On the other hand, since it is formed as <math>\scriptstyle s_iN/n_i</math>, the presence of ''N'' guarantees a remainder of zero when divided by any <math>\scriptstyle n_j</math> when <math>\scriptstyle j \;\ne\; i</math>.
| |
| | |
| :<math>e_i \equiv 1 \pmod{n_i} \quad \mathrm{and} \quad e_i \equiv 0 \pmod{n_j} \quad \mathrm{for} ~ j \ne i</math>
| |
| | |
| Because of this, and the multiplication rules allowed in congruences, one solution to the system of simultaneous congruences is:
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| | |
| :<math>x = \sum_{i=1}^k a_i e_i</math>
| |
| | |
| For example, consider the problem of finding an integer ''x'' such that
| |
| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| x &\equiv 2 \pmod{3} \\
| |
| x &\equiv 3 \pmod{4} \\
| |
| x &\equiv 1 \pmod{5}
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Using the extended Euclidean algorithm, for ''x'' modulo 3 and 20 [4×5], we find (−13) × 3 + 2 × 20 = 1; i.e., ''e''<sub>1</sub> = 40. For ''x'' modulo 4 and 15 [3×5], we get (−11) × 4 + 3 × 15 = 1, i.e. ''e''<sub>2</sub> = 45. Finally, for ''x'' modulo 5 and 12 [3×4], we get 5 × 5 + (−2) × 12 = 1, i.e. ''e''<sub>3</sub> = −24. A solution ''x'' is therefore 2 × 40 + 3 × 45 + 1 × (−24) = 191. All other solutions are congruent to 191 modulo 60, [3 × 4 × 5 = 60], which means they are all congruent to 11 modulo 60.
| |
| | |
| Note: There are multiple implementations of the extended Euclidean algorithm which will yield different sets of <math>\scriptstyle e_1 \;=\; -20</math>, <math>\scriptstyle e_2 \;=\; -15</math>, and <math>\scriptstyle e_3 \;=\; -24</math>. These sets however will produce the same solution; i.e., (−20)2 + (−15)3 + (−24)1 = −109 = 11 modulo 60.
| |
| | |
| == Statement for principal ideal domains ==
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| For a [[principal ideal domain]] ''R'' the Chinese remainder theorem takes the following form: If ''u''<sub>1</sub>, …, ''u<sub>k</sub>'' are elements of ''R'' which are [[pairwise coprime]], and ''u'' denotes the product ''u''<sub>1</sub>…''u<sub>k</sub>'', then the [[quotient ring]] ''R/uR'' and the [[product of rings|product ring]] ''R/u''<sub>1</sub>''R''× … × ''R/u<sub>k</sub>R'' are isomorphic via the [[ring homomorphism|isomorphism]]
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| :<math>f: R/uR \rightarrow R/u_1R \times \cdots \times R/u_k R</math>
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| such that
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| :<math>f(x +uR) = (x + u_1R, \ldots, x + u_kR) \quad\mbox{ for every } x \in R</math>
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| This map is well-defined and an isomorphism of rings; the inverse isomorphism can be constructed as follows. For each ''i'', the elements ''u<sub>i</sub>'' and ''u/u<sub>i</sub>'' are coprime, and therefore there exist elements ''r'' and ''s'' in ''R'' with
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| :<math>r u_i + s u/u_i = 1</math>
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| Set ''e<sub>i</sub>'' = ''s u/u<sub>i</sub>''. Then it is clear that <math> e_i \equiv \delta_{ij} \pmod{u_jR} </math>.
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| Thus the inverse of ''f'' is the map:<math>g: R/u_1R \times \cdots \times R/u_kR \rightarrow R/uR</math> defined by:
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| <math>
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| g(a_1 + u_1R, \ldots, a_k + u_kR) =
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| \sum_{i=1}^k a_i e_i + uR \quad\mbox{ for all }a_1, \ldots, a_k \in R.
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| </math>
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| This statement is a straightforward generalization of the above theorem about integer congruences: the ring '''Z''' of [[integer]]s is a principal ideal domain, the [[surjective|surjectivity]] of the map ''f'' shows that every system of congruences of the form
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| :<math>x \equiv a_i \pmod{u_i} \quad\mathrm{for}\; i = 1, \ldots, k</math>
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| can be solved for ''x'', and the [[injective|injectivity]] of the map ''f'' shows that all the solutions ''x'' are congruent modulo ''u''.
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| == Statement for general rings ==
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| The general form of the Chinese remainder theorem, which implies all the statements given above, can be formulated for commutative [[ring (algebra)|rings]] and [[ring ideal|ideals]]. If ''R'' is a commutative ring and ''I''<sub>1</sub>, …, ''I<sub>k</sub>'' are ideals of ''R'' that are pairwise [[Coprime#Generalizations|coprime]] (meaning that <math>\scriptstyle I_i \,+\, I_j \;=\; R</math> for all <math>i \neq j</math>), then the product ''I'' of these ideals is equal to their intersection, and the [[quotient ring]] ''R/I'' is isomorphic to the [[product of rings|product ring]] ''R''/''I''<sub>1</sub> × ''R''/''I''<sub>2</sub> × … × ''R''/''I''<sub>''k''</sub> via the [[ring homomorphism|isomorphism]]
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| :<math>f: R/I \rightarrow R/I_1 \times \cdots \times R/I_k</math>
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| such that
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| :<math>f(x + I) = (x + I_1, \ldots, x + I_k) \quad\text{ for all } x \in R</math>
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| Here is a version of the theorem where ''R'' is not required to be commutative:
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| Let ''R'' be any ring with 1 (not necessarily commutative) and <math>\scriptstyle I_1,\, \ldots,\, I_n</math> be pairwise coprime 2-sided ideals. Then the canonical R-module homomorphism <math>\scriptstyle R \;\rightarrow\; R/I_1 \,\times\, \cdots \,\times\, R/I_k</math> is onto, with kernel <math>\scriptstyle I_1 \,\cap\, \cdots \,\cap\, I_k</math>. Hence, <math>\scriptstyle R/(I_1 \,\cap\, \cdots \,\cap\, I_k) \,\simeq\, R/I_1 \,\times\, \cdots \,\times\, R/I_k</math> (as ''R''-modules).
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| == Applications ==
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| *In the [[RSA (algorithm)|RSA algorithm]] calculations are made modulo ''n'', where ''n'' is a product of two large [[prime number]]s ''p'' and ''q''. 1,024-, 2,048- or 4,096-[[bit]] integers ''n'' are commonly used, making calculations in <math>\scriptstyle \Bbb{Z}/n\Bbb{Z}</math> very time-consuming. By the Chinese remainder theorem, however, these calculations can be done in the isomorphic ring <math>\scriptstyle \Bbb{Z}/p\Bbb{Z} \,\oplus\, \Bbb{Z}/q\Bbb{Z}</math> instead. Since ''p'' and ''q'' are normally of about the same size, that is about <math>\scriptstyle \sqrt{n}</math>, calculations in the latter representation are much faster. Note that RSA algorithm implementations using this isomorphism are more susceptible to [[fault injection]] attacks.
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| *The Chinese remainder theorem may also be used to construct an elegant [[Gödel numbering for sequences]], which is needed to prove [[Gödel's incompleteness theorems]].
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| *The following example shows a connection with the classic polynomial interpolation theory. Let ''r'' complex points ("interpolation nodes") <math>\scriptstyle \lambda_1,\, \ldots,\, \lambda_r</math> be given, together with the complex data <math>\scriptstyle a_{j,k}</math>, for all <math>\scriptstyle 1 \,\leq\, j \,\leq\, r </math> and <math>\scriptstyle 0 \,\leq\, k \,<\, \nu_j</math>. The general [[Hermite interpolation]] problem asks for a polynomial <math>\scriptstyle P(x) \,\in\, \C[x]</math> taking the prescribed derivatives in each node <math>\scriptstyle \lambda_j</math>:
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| ::<math>P^{(k)}(\lambda_j) = a_{j, k}\quad\forall 1 \leq j \leq r, 0 \leq k < \nu_j</math>
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| :Introducing the polynomials
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| ::<math>A_j(x) := \sum_{k=0}^{\nu_j - 1}\frac{a_{j, k}}{k!}(x - \lambda_j)^k</math>
| |
| :the problem may be equivalently reformulated as a system of <math>\scriptstyle r</math> simultaneous congruences:
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| ::<math>P(x) \equiv A_j(x) \pmod {(x - \lambda_j)^{\nu_j}}, \quad\forall 1 \leq j \leq r</math>
| |
| :By the Chinese remainder theorem in the principal ideal domain <math>\scriptstyle \C[x]</math>, there is a unique such polynomial <math>\scriptstyle P(x)</math> with degree <math>\scriptstyle \deg(P) \;<\; n \;:=\; \sum_j\nu_j</math>. A direct construction, in analogy with the above proof for the integer number case, can be performed as follows. Define the polynomials <math>\scriptstyle Q \;:=\; \prod_{i=1}^{r}(x \,-\, \lambda_i)^{\nu_i}</math> and <math>\scriptstyle Q_j \;:=\; \frac{Q}{(x \,-\, \lambda_j)^{\nu_j}}</math>. The [[partial fraction decomposition]] of <math>\scriptstyle \frac{1}{Q}</math> gives ''r'' polynomials <math>\scriptstyle S_j</math> with degrees <math>\scriptstyle \deg(S_j) \;<\; \nu_j</math> such that
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| ::<math>\frac{1}{Q} = \sum_{i=1}^{r}\frac{S_i}{(x - \lambda_i)^{\nu_i}}</math>
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| :so that <math>\scriptstyle 1 = \sum_{i=1}^{r}S_i Q_i</math>. Then a solution of the simultaneous congruence system is given by the polynomial
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| ::<math>\sum_{i=1}^{r} A_i S_i Q_i = A_j + \sum_{i=1}^{r}(A_i - A_j) S_i Q_i \equiv A_j\pmod{(x - \lambda_j)^{\nu_j}}\quad\forall 1 \leq j \leq r</math>
| |
| :and the minimal degree solution is this one reduced modulo <math>\scriptstyle Q</math>, that is the unique with degree less than ''n''.
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| | |
| *The Chinese remainder theorem can also be used in [[secret sharing]], which consists of distributing a set of shares among a group of people who, all together (but no one alone), can recover a certain secret from the given set of shares. Each of the shares is represented in a congruence, and the solution of the system of congruences using the Chinese remainder theorem is the secret to be recovered. [[Secret Sharing using the Chinese Remainder Theorem]] uses, along with the Chinese remainder theorem, special sequences of integers that guarantee the impossibility of recovering the secret from a set of shares with less than a certain [[cardinality]].
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| *The Good-Thomas [[fast Fourier transform]] algorithm exploits a re-indexing of the data based on the Chinese remainder theorem. The [[Prime-factor FFT algorithm]] contains an implementation.
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| *Dedekind's theorem on the linear independence of characters states (in one of its most general forms) that if ''M'' is a [[monoid]] and ''k'' is an [[integral domain]], then any finite family <math>\scriptstyle \left(f_i\right)_{i \in I}</math> of distinct monoid homomorphisms <math>\scriptstyle f_i:\, M \,\to\, k</math> (where the monoid structure on ''k'' is given by multiplication) is linearly independent; i.e., every family <math>\scriptstyle \left(\alpha_i\right)_{i\in I}</math> of elements <math>\scriptstyle \alpha_i \,\in\, k</math> satisfying <math>\scriptstyle \sum_{i \in I}\alpha_i f_i \;=\; 0</math> must be equal to the family <math>\scriptstyle \left(0\right)_{i \in I}</math>.
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| :''Proof using the Chinese Remainder Theorem:'' First, assume that ''k'' is a field (otherwise, replace the integral domain ''k'' by its quotient field, and nothing will change). We can linearly extend the monoid homomorphisms <math>\scriptstyle f_i:\, M \,\to\, k</math> to ''k''-algebra homomorphisms <math>\scriptstyle F_i:\, k\left[M\right] \,\to\, k</math>, where <math>\scriptstyle k\left[M\right]</math> is the [[monoid ring]] of ''M'' over ''k''. Then, the condition <math>\scriptstyle \sum_{i\in I}\alpha_i f_i \;=\; 0</math> yields <math>\scriptstyle \sum_{i \in I}\alpha_i F_i \;=\; 0</math> by linearity. Now, we notice that if <math>\scriptstyle i \;\neq\; j</math> are two elements of the index set ''I'', then the two ''k''-linear maps <math>\scriptstyle F_i:\, k\left[M\right] \,\to\, k</math> and <math>\scriptstyle F_j:\, k\left[M\right] \,\to\, k</math> are not proportional to each other (because if they were, then <math>\scriptstyle f_i</math> and <math>\scriptstyle f_j</math> would also be proportional to each other, and thus equal to each other since <math>\scriptstyle f_i\left(1\right) \;=\; 1 \;=\; f_j\left(1\right)</math> (since <math>\scriptstyle f_i</math> and <math>\scriptstyle f_j</math> are monoid homomorphisms), contradicting the assumption that they be distinct). Hence, their kernels <math>\scriptstyle \mathrm{Ker} F_i</math> and <math>\scriptstyle \mathrm{Ker} F_j</math> are distinct. Now, <math>\scriptstyle \mathrm{Ker} F_i</math> is a maximal ideal of <math>\scriptstyle k\left[M\right]</math> for every <math>\scriptstyle i \,\in\, I</math> (since <math>\scriptstyle k\left[M\right] / \mathrm{Ker} F_i \;\cong\; F_i\left(k\left[M\right]\right) \;=\; k</math> is a field), and the ideals <math>\scriptstyle \mathrm{Ker} F_i</math> and <math>\scriptstyle \mathrm{Ker} F_j</math> are coprime whenever <math>\scriptstyle i \;\neq\; j</math> (since they are distinct and maximal). The Chinese Remainder Theorem (for general rings) thus yields that the map
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| ::<math>\phi: k\left[M\right] / K \to \prod_{i \in I}k\left[M\right] / \mathrm{Ker} F_i</math>
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| :given by
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| ::<math>\phi\left(x + K\right) = \left(x + \mathrm{Ker} F_i\right)_{i \in I}</math> for all <math>x\in k\left[M\right]</math>
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| :is an isomorphism, where <math>\scriptstyle K \;=\; \prod_{i \in I}\mathrm{Ker} F_i \;=\; \bigcap_{i \in I}\mathrm{Ker} F_i</math>. Consequently, the map
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| ::<math>\Phi: k\left[M\right] \to \prod_{i \in I}k\left[M\right] / \mathrm{Ker} F_i</math>
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| :given by
| |
| ::<math>\Phi\left(x\right) = \left(x + \mathrm{Ker} F_i\right)_{i \in I}</math> for all <math>x \in k\left[M\right]</math>
| |
| :is surjective. Under the isomorphisms <math>\scriptstyle k\left[M\right] / \mathrm{Ker} F_i \,\to\, F_i\left(k\left[M\right]\right) \;=\; k</math>, this map <math>\scriptstyle \Phi</math> corresponds to the map
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| ::<math>\psi: k\left[M\right] \to \prod_{i \in I}k</math>
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| :given by
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| ::<math>x \mapsto \left[F_i\left(x\right)\right]_{i \in I}</math> for every <math>x \in k\left[M\right].</math>
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| :Now, <math>\scriptstyle \sum_{i \in I}\alpha_i F_i \;=\; 0</math> yields <math>\scriptstyle \sum_{i \in I}\alpha_i u_i \;=\; 0</math> for every vector <math>\scriptstyle \left(u_i\right)_{i \in I}</math> in the image of the map <math>\scriptstyle \psi</math>. Since <math>\scriptstyle \psi</math> is surjective, this means that <math>\scriptstyle \sum_{i \in I}\alpha_i u_i \;=\; 0</math> for every vector <math>\scriptstyle \left(u_i\right)_{i \in I} \,\in\, \prod_{i \in I}k</math>. Consequently, <math>\scriptstyle \left(\alpha_i\right)_{i \in I} \;=\; \left(0\right)_{i \in I}</math>, QED.
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| == Non-commutative case: a caveat ==
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| Sometimes in the commutative case, the conclusion of the Chinese Remainder Theorem is stated as <math>\scriptstyle R/(I_1 I_2\cdots I_k) \,\simeq\, R/I_1 \,\times\, \cdots \,\times\, R/I_k</math>. This version does not hold in the non-commutative case, since <math>\scriptstyle(I_1 \,\cap\, \cdots \,\cap\, I_k) \neq (I_1 I_2\cdots I_k) </math>, as can be seen from the following example
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| Consider the ring ''R'' of non-commutative real polynomials in ''x'' and ''y''. Let ''I'' be the principal two-sided ideal generated by ''x'' and ''J'' the principal two-sided ideal generated by <math>\scriptstyle xy \,+\, 1</math>. Then <math>\scriptstyle I \,+\, J \;=\; R</math> but <math>\scriptstyle I \,\cap\, J \;\neq\; IJ</math>.
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| === Proof ===
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| Observe that ''I'' is formed by all polynomials with an ''x'' in every term and that every polynomial in ''J'' vanishes under the substitution <math>\scriptstyle y \;=\; -1/x</math>. Consider the polynomial <math>\scriptstyle p \;=\; (xy \,+\, 1)x</math>. Clearly <math>\scriptstyle p \,\in\, I \,\cap\, J</math>. Define a term in ''R'' as an element of the multiplicative monoid of ''R'' generated by ''x'' and ''y''. Define the degree of a term as the usual degree of the term after the substitution <math>\scriptstyle y \;=\; x</math>. On the other hand, suppose <math>q \,\in\, J</math>. Observe that a term in ''q'' of maximum degree depends on ''y'' otherwise ''q'' under the substitution <math>\scriptstyle y \;=\; -1/x</math> can not vanish. The same happens then for an element <math>\scriptstyle q \,\in\, IJ</math>. Observe that the last ''y'', from left to right, in a term of maximum degree in an element of <math>\scriptstyle IJ</math> is preceded by more than one ''x''. (We are counting here all the preceding ''x''s. E.g., in <math>\scriptstyle x^2yxyx^5</math> the last ''y'' is preceded by <math>\scriptstyle 3</math> ''x''s.) This proves that <math>\scriptstyle (xy \,+\, 1)x \,\notin\, IJ</math> since that last ''y'' in a term of maximum degree (<math>\scriptstyle xyx</math>) is preceded by only one ''x''. Hence <math>\scriptstyle I \,\cap\, J \;\neq\; IJ</math>.
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| On the other hand, it is true in general that <math>\scriptstyle I \,+\, J = R</math> implies <math>\scriptstyle I \,\cap\, J \;=\; IJ \,+\, JI</math>. To see this, note that <math>\scriptstyle I \,\cap\, J \;=\; (I \,\cap\, J) (I \,+\, J) \;\subset\; IJ \,+\, JI</math>, while the opposite inclusion is obvious. Also, we have in general that, provided <math>\scriptstyle I_1,\, \ldots,\, I_m</math> are pairwise coprime two-sided ideals in ''R'', the natural map
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| :<math>R / (I_1 \cap I_2 \cap \ldots \cap I_m) \rightarrow R/I_1 \oplus R/I_2 \oplus \cdots \oplus R/I_m</math>
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| is an isomorphism. Note that <math>\scriptstyle I_1 \,\cap\, I_2 \,\cap\, \ldots \,\cap\, I_m</math> can be replaced by a sum over all orderings of <math>\scriptstyle I_1,\, \ldots,\, I_m</math> of their product (or just a sum over enough orderings, using inductively that <math>\scriptstyle I \,\cap\, J \;=\; IJ \,+\, JI</math> for coprime ideals <math>\scriptstyle I,\, J</math>).
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| == See also ==
| |
| * [[Covering system]]
| |
| * [[Hasse principle]]
| |
| * [[Residue number system]]
| |
| * [[Secret sharing using the Chinese remainder theorem]]
| |
| | |
| ==References==
| |
| * [[Donald Knuth]]. ''[[The Art of Computer Programming]]'', Volume 2: ''Seminumerical Algorithms'', Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2. Section 4.3.2 (pp. 286–291), exercise 4.6.2–3 (page 456).
| |
| * [[Thomas H. Cormen]], [[Charles E. Leiserson]], [[Ronald L. Rivest]], and [[Clifford Stein]]. ''[[Introduction to Algorithms]]'', Second Edition. [[MIT Press]] and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 31.5: The Chinese remainder theorem, pp. 873–876.
| |
| *{{cite book
| |
| | title = Fibonacci's Liber Abaci
| |
| | author = Laurence E. Sigler (trans.)
| |
| | publisher = Springer-Verlag
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| | year = 2002
| |
| | isbn = 0-387-95419-8
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| |
| *{{citation
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| | last = Kak | first = Subhash
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| | issue = 1
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| | journal = Indian Journal of History of Science
| |
| | pages = 62–71
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| | title = Computational aspects of the Aryabhata algorithm
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| | year = 1986}}.
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| | title = Algebra
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| | publisher = Springer-Verlag
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| | title = Chinese Remainder Theorem: Applications in Computing, Coding, Cryptography
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| *{{cite book | ref=harv
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| | last = Duchet | first = Pierre
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| | editor1-last = Graham | editor1-first = R. L.
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| | editor2-last = Grötschel | editor2-first = M.
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| | location = Amsterdam
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| | mr = 1373663
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| | pages = 381–432
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| |
| | |
| ==External links==
| |
| * {{springer|title=Chinese remainder theorem|id=p/c022120}}
| |
| * [http://demonstrations.wolfram.com/ChineseRemainderTheorem/ "Chinese Remainder Theorem"] by [[Ed Pegg, Jr.]], [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
| |
| * {{MathWorld | urlname=ChineseRemainderTheorem | title=Chinese Remainder Theorem}}
| |
| * [http://www.codeproject.com/KB/recipes/CRP.aspx C# program and discussion] at [[codeproject]]
| |
| * [http://www.math.hawaii.edu/~lee/courses/Chinese.pdf University of Hawaii System] CRT by Lee Lady
| |
| * [http://ctext.org/sunzi-suan-jing Full text of the Sunzi Suanjing] (Chinese) — [[Chinese Text Project]]
| |
| | |
| [[Category:Modular arithmetic]]
| |
| [[Category:Commutative algebra]]
| |
| [[Category:Theorems in number theory]]
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| [[Category:Articles containing proofs]]
| |
| [[Category:Chinese mathematics]]
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